2.3.2 圆的一般方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

第二章　平面解析几何 2.3.2　圆的一般方程 人教B版 数学 选择性必修第一册 课程标准 1.掌握圆的一般方程及其特点; 2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程; 3.能熟练地指出圆心的位置和半径的大小; 4.能根据某些具体条件,用待定系数法确定圆的方程,并能解决相关实际问题; 5.了解二元二次方程、圆的标准方程和圆的一般方程之间的关系. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 圆的一般方程 圆的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,限制条件是　　　　　　　.  过关自诊 已知方程x2+y2+x+y+m=0表示一个圆,则实数m的取值范围为　　　　　. D2+E2-4F>0 解析 由已知得1+1-4m>0,得m< . 知识点2 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形 条件 图形 D2+E2-4F<0 不表示任何图形 D2+E2-4F=0 表示一个点 D2+E2-4F>0 表示以 为圆心,为半径的圆 名师点睛 圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义,若D2+E2-4F>0成立,则表示圆,否则不表示圆. (2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解. 过关自诊 [人教A版教材习题]判断下列方程分别表示什么图形,并说明理由: (1)x2+y2=0;(2)x2+y2-2x+4y-6=0. 解 (1)方程x2+y2=0表示一个点(0,0). (2)方程x2+y2-2x+4y-6=0可化为(x-1)2+(y+2)2=11,故表示圆心坐标是(1,-2),半径是 的圆. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　判断圆的方程 【例1】 [北师大版教材例题]讨论方程λ(x2+y2)=(x-3)2+y2表示的是怎样的图形. 解 将原方程整理为(λ-1)x2+(λ-1)y2+6x-9=0.① 当λ=1时,方程①是一元一次方程6x-9=0,表示与x轴垂直的直线. 当λ<0时,方程②无解,故原方程不表示任何图形; 规律方法　判断方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否表示圆的方法 变式训练1[人教A版教材习题]判断方程x2+y2+2ax-b2=0表示什么图形,并说明理由. 解 方程x2+y2+2ax-b2=0可化为(x+a)2+y2=a2+b2. 当a2+b2≠0时,原方程表示圆心坐标是(-a,0),半径是 的圆; 当a2+b2=0,即a=0且b=0时,方程x2+y2+2ax-b2=0表示一个点(0,0). 探究点二　求圆的一般方程 【例2】 已知点A(2,2),B(5,3),C(3,-1). (1)求△ABC的外接圆的一般方程; (2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求实数a的值. 解 (1)设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由题意,得 故△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-8x-2y+12=0. (2)由(1)知,△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或a=6. 变式探究若本例中将“点C(3,-1)”改为“圆C过A,B两点且圆C关于直线y=-x对称”,其他条件不变,如何求圆C的方程? 规律方法　应用待定系数法求圆的方程时应注意的问题 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程,那么一般采用圆的标准方程,用待定系数法求出a,b,r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,那么一般采用圆的一般方程,用待定系数法求出常数D,E,F. 变式训练2[北师大版教材习题]已知圆经过A(0,2),B(-1,1)两点,且圆心在直线x+2y-1=0上,求圆的方程. 所以圆的方程为x2+y2-2x-4=0. 探究点三　求动点的轨迹方程问题 【例3】 如图,已知线段AB的中点C的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的端点B的轨迹方程. 解 设点B的坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0).因为点C的坐标是(4,3)且C是 把①代入②,得(8-x+1)2+(6-y)2=4, 整理得(x-9)2+(y-6)2=4, 所以点B的轨迹方程为(x-9)2+(y-6)2=4. 规律方法　与圆有关的轨迹问题可结合圆的有关性质解决,解决的方法可以是直接法、定义法、相关点代入法等. (1)直接法:根据题设,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标,并找出动点坐标所满足的关系式; (2)定义法:当动点的轨迹符合圆的定义时,可利用定义写出点的轨迹方程; (3)相关点代入法:若动点P(x,y)因为已知圆上的另一动点Q(x1,y1)而运动,且x1,y1可用x,y表示,则用x,y表示出x1,y1,并将点Q的坐标代入已知圆的方程,求得动点P的轨迹方程. 变式训练3已知点P在圆C:x2+y2-8x-6y+21=0上运动,求线段OP(O为坐标原点)的中点M的轨迹方程. 解 (方法一)设点M(x,y),点P(x0,y0), (方法二)设点M的坐标为(x,y),连接OC,PC,取线段OC的中点A,连接MA. 圆C的方程可化为(x-4)2+(y-3)2=4,圆心C(4,3),|CP|=2,则点A的坐标为 如图所示,在△OCP中,M,A分别是OP,OC的中点,则|MA|= |CP|,即|MA|=1. 又当O,C,P三点共线时,|MA|=1,所以点M的轨迹是以A为圆心,1为半径的圆, 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1.[探究点一]方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,则该圆的圆心在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D 解析 因为方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是圆,又方程可化为 故该圆的圆心在第四象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2.[探究点一]圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为(　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3.[探究点一]方程x2+y2+2ax+2by+a2+b2=0表示(　　) A.以(a,b)为圆心的圆 B.以(-a,-b)为圆心的圆 C.点(a,b) D.点(-a,-b) D 解析 原方程可化为(x+a)2+(y+b)2=0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4.[探究点二](多选题)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0), B(-2,3),C(-1,-2),则下列说法正确的有(　　) A.AC边上的高所在直线的方程为x+y-1=0 B.△ABC的外接圆的方程为x2+y2+3x-y-4=0 C.△ABC的面积为12 D.直线BC在y轴上的截距为7 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5.[探究点一](多选题)圆x2+y2-4x-1=0(　 　) A.关于点(2,0)对称 B.关于直线y=0对称 C.关于直线x+3y-2=0对称 D.关于直线x-y+2=0对称 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6.[探究点一]已知圆C:x2+y2-4y=0,则圆C的坐标为　　　　　,圆C的半径为　　　　　.  (0,2) 2 解析 因为圆C:x2+y2-4y=0,即圆C:x2+(y-2)2=4,所以圆C的圆心为(0,2),半径为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7.[探究点二]已知直线与圆P:x2+y2+2x-4y+a=0(a<5)相交于A,B两点,且弦AB的中点Q的坐标为(0,1),则直线AB的方程为　　　　　　　　　　.  x-y+1=0 解析 易知圆心P的坐标为(-1,2). ∵弦AB的中点Q的坐标为(0,1), ∴直线AB的斜率k=1,故直线AB的方程为y-1=1×(x-0),即x-y+1=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 8.[探究点二]求圆C:x2+y2-8x+2y-8=0关于点(2,-1)对称的圆的方程为　　　　　　　　　　.  x2+(y+1)2=25 解析 圆C:x2+y2-8x+2y-8=0化为标准方程为(x-4)2+(y+1)2=25,所以C(4,-1),半径r=5,故圆C关于点(2,-1)对称的圆的半径为5,圆心设为D. 由中点坐标公式求得D(0,-1),所以对称圆的方程为x2+(y+1)2=25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9.[探究点二]求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点A(5,2)和点B(3,-2)的圆的一般方程. 解 ∵圆心在直线2x-y-3=0上, ∴可设圆心坐标为(a,2a-3),半径为r(r>0), 则圆的方程为(x-a)2+(y-2a+3)2=r2. 把点A(5,2)和点B(3,-2)的坐标代入方程, 得(5-a)2+(2-2a+3)2=r2,① (3-a)2+(-2-2a+3)2=r2,② 由①②可得a=2,r2=10. 故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10,即x2+y2-4x-2y=5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 10.[探究点二·人教A版教材习题] 如图,在四边形ABCD中,AB=6,CD=3,且AB∥CD,AD=BC,AB与CD间的距离为3.求等腰梯形ABCD的外接圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B 级 关键能力提升练 11.已知方程x2+y2+kx-2y-k2=0表示的圆中,当圆面积最小时,此时k=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 B 即圆的面积最小.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 12.(多选题)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法中正确的是 (　 　) A.圆M的圆心为(4,-3) B.圆M被x轴截得的弦长为8 C.圆M的半径为25 D.圆M被y轴截得的弦长为6 ABD 解析 圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,即(x-4)2+(y+3)2=25.圆的圆心坐标为(4,-3),半径为5.显然选项C不正确,A,B,D均正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 13.(多选题)若a∈{-2,0,1, },方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的值可以为(　 　) A.-2 B.0 C.1 D. ABD 解析 根据题意,若方程表示圆, 则有(2a)2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,解得a<1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14.已知点P(7,3),圆M:x2+y2-2x-10y+25=0,点Q为圆M上一点,点S在x轴上,则|SP|+|SQ|的最小值为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 C 解析 由题意知圆M的方程可化为(x-1)2+(y-5)2=1,所以圆心为M(1,5),半径为1. 如图所示,作点P(7,3)关于x轴的对称点P'(7,-3),连接MP',交圆M于点Q,交x轴于点S,此时|SP|+|SQ|的值最小且(|SP|+|SQ|)min=|P'M|-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 15.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x+2y=4与x轴交于A点,直线m:kx+y-1=0与y轴及直线l分别交于B点,C点,且A,B,C,O四点共圆,则此圆的标准方程是　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16.已知直线3x+4y-10=0与圆x2+y2-5y+F=0相交于A,B两点,且OA⊥OB(O是原点),则F=　　　　　.  0 解析 易得圆x2+y2-5y+F=0的圆心坐标为 ,它在直线3x+4y-10=0上,再由OA⊥OB,可知圆x2+y2-5y+F=0过原点O,将O(0,0)代入圆的方程可求得F=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 17.已知方程x2+y2+2mx+4y+2m2-3m=0表示一个圆. (1)求实数m的取值范围; (2)求圆的周长的最大值. 解 (1)原方程可化为(x+m)2+(y+2)2=-m2+3m+4,若方程表示一个圆,则 -m2+3m+4>0,解得-1<m<4,即实数m的取值范围是(-1,4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 18.已知圆C的方程可以表示为x2+y2-2x-4y+m=0,其中m∈R. (1)若m=1,求圆C被直线x+y-1=0截得的弦长; (2)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (2)设M(x1,y1),N(x2,y2), 直线l的方程代入圆的方程得5x2-8x+4(m-4)=0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C 级 学科素养创新练 19.已知圆C:x2+y2+2x+Ey+F=0,有以下命题: ①E=-4,F=4是曲线C表示圆的充分不必要条件; ②若曲线C与x轴交于两个不同点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2∈[-2,1),则0≤F≤1; ③若曲线C与x轴交于两个不同点A(x1,0),B(x2,0),且x1,x2∈[-2,1),O为坐标 其中所有真命题的序号是　　　　　.  ①③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20.设△ABC顶点坐标A(0,a),B(- ,0),C( ,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆. (1)求圆M的方程; (2)当a变化时,圆M是否过某一定点,请说明理由. 解 (1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 所以圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 (2)圆M过定点(0,-3).理由如下,圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y)=0.由 当λ≠1时,方程①可进一步整理为(x+)2+y2=.② 当λ=0时,方程②只有一组解故原方程表示一个点(3,0); 当λ>0且λ≠1时,原方程表示一个圆心在点(-,0),半径为的圆. 解得 解 ∵kAB=,AB的中点坐标为, ∴AB的垂直平分线方程为y-=-3. 联立 即圆心C的坐标为. 又半径r=, ∴圆C的方程为. 解 设圆的方程为x2+y2-Dx-Ey+F=0,则圆心坐标为(), 由题意得所以 线段AB的中点,所以4=,3=,所以x0=8-x,y0=6-y.① 因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,所以点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4,即(x0+1)2+=4. ② 则所以 因为点P(x0,y0)在圆C:x2+y2-8x-6y+21=0上, 所以-8x0-6y0+21=0, 所以(2x)2+(2y)2-8×2x-6×2y+21=0, 即点M的轨迹方程为x2+y2-4x-3y+=0. . 所以点M的轨迹方程为(x-2)2+=1. +(y-a)2=-a2-3a,故圆心坐标为,r2=-a2-3a. 又r2>0,即-a2-3a>0,解得-4<a<0, A.2 B. C.1 D. 解析 因为圆心坐标为(1,-2),所以圆心到直线x-y=1的距离为d=. ∴∴方程表示点(-a,-b). ∴直线PQ的斜率kPQ==-1, 解 (方法一)由题意可知A(-3,0),B(3,0),C(,3). 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则解得 故所求圆的方程为x2+y2-y-9=0,其圆心坐标为(0,),半径长为 ,所以四边形ABCD的外接圆的方程是x2+(y-)2=. 这个圆的圆心坐标是(0,),半径长是. (方法二)由题意,可得点B的坐标是(3,0),点C的坐标是(,3). 线段BC的中点坐标是(),直线BC的斜率kBC=-2. 线段BC的垂直平分线的方程是y-(x-),与方程x=0联立,解得y=. 所以四边形ABCD外接圆的圆心E的坐标是(0,). 半径长|EB|=. 解析 由x2+y2+kx-2y-k2=0,得(x+)2+(y-1)2=+1,易知当k=0,圆的半径最小, 又a∈{-2,0,1,},所以a的值可以为-2,0,. =-1=9. (x-2)2+(y-)2= 解析 由题意A,B,C,O四点共圆且OA⊥OB,所以AB为圆的直径,易得B(0,1),A(4,0),所以此圆的圆心为(2,),半径为r=|AB|=, 所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-)2=. (2)圆的半径r=,当且仅当m=时,半径r取得最大值,所以圆的周长的最大值为5π. 解 (1)m=1,配方得(x-1)2+(y-2)2=4,圆心到直线的距离为,所以圆C被直线x+y-1=0截得的弦长为2=2. 所以x1+x2=,x1x2=. 因为OM⊥ON,所以x1x2+y1y2=x1x2-(x1+x2)+4=0,所以+4=0,所以m=,此时Δ>0. 原点,则||的最大值为2; ④若E=2F,则曲线C表示圆,且该圆面积的最大值为. 因为圆M过点A(0,a),B(-,0),C(,0), 所以解得 解得x=0,y=-3.所以圆M过定点(0,-3). $$