2.3.3 直线与圆的位置关系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

第二章　平面解析几何 2.3.3　直线与圆的位置关系 人教B版 数学 选择性必修第一册 课程标准 1.理解直线与圆位置关系的三种表达形式; 2.能根据给定的直线的方程、圆的方程用代数法和几何法两种方法来判断直线与圆的位置关系; 3.掌握求圆的切线方程的方法,并能求与圆有关的最值问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点 直线与圆的位置关系 直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),设圆心(a,b)到直 位置关系 几何特征 代数特征(方程联立) 公共点个数 相离 d>r 无实数解(Δ<0) 0 相切 d=r 一组实数解(Δ=0) 1 相交 d<r 两组实数解(Δ>0) 2 名师点睛 如图,直线l与圆C相交于A,B,半径为r,弦AB中点为D,则①点C到直线l的距离d=|CD|,称为弦心距;②CD⊥l;③过圆内一点的直线与圆相交,最长弦长是直径,最短弦与最长弦所在的直线垂直. 过关自诊 1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是(　　) A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 B ∴直线与圆x2+y2=1相交, 又(0,0)不在y=x+1上,∴直线不过圆心. 2.过圆上一点有几条切线?过圆外一点有几条切线?若点(x0,y0)是圆x2+y2=r2上的点,你能得出过点(x0,y0)的圆的切线方程吗? 3.过圆C内一点P(不同于圆心)的所有弦中,何时弦最长?何时弦最短? 解 过圆上一点一定有1条切线,过圆外一点一定有2条切线.过圆上一点(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2. 解 过圆内一点P(不同于圆心)的所有弦中,当弦经过圆心C时弦最长,等于直径的长.当弦与过点P的直径垂直时弦最短. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　直线与圆的位置关系的判断 【例1】 求实数m的取值范围,使直线x-my+3=0与圆x2+y2-6x+5=0分别满足:①相交;②相切;③相离. 解 圆的一般方程化为标准方程为(x-3)2+y2=4,故圆心(3,0)到直线x-my+3=0 规律方法　直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. (3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性,必须是过定点的直线系. 变式训练1[北师大版教材例题]已知直线l:2x+y-3=0,圆M:(x-a)2+y2=5. (1)指出圆心M的位置特征; (2)求实数a分别取何值时,直线l与圆M相交、相切、相离. 解 (1)由圆M的方程可知圆心M(a,0)为x轴上的动点. 探究点二　求切线方程 【例2】 过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1引切线,求切线的方程. 解 由于(2-1)2+(4+3)2=50>1,故点M在圆外.当切线斜率存在时,设切线方程是y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0. 所以切线方程为24x-7y-20=0. 又当切线斜率不存在时,直线x=2与圆相切. 综上所述,所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2. 变式探究(1)若所给点M的坐标是(1,-4),圆的方程不变,求切线方程; (2)条件不变,试求切线长. 解 (1)由于(1-1)2+(-4+3)2=1,故点(1,-4)在圆上.又圆心为(1,-3),所以切线斜率为0,所以切线方程为y=-4,即y+4=0. 规律方法　求圆的切线方程的三种方法 (1)几何法:设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出未知量,此种方法需要注意斜率不存在的情况,要单独验证,若符合题意,则直接写出切线方程. (2)代数法:设出切线方程后与圆的方程联立消元,利用判别式等于零,求出未知量,若消元后的方程为一元一次方程,则说明要求的切线中,有一条切线的斜率不存在,可直接写出切线方程. (3)设切点坐标:先利用切线的性质解出切点坐标,再利用直线的两点式写出切线方程. 变式训练2[人教A版教材例题]过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线l,求切线l的方程. 解 (方法一)设切线l的斜率为k,则切线l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0. 因此,所求切线l的方程为y=1或4x-3y-5=0. (方法二)设切线l的斜率为k,则切线l的方程为y-1=k(x-2). 消元,得(k2+1)x2+(2k-4k2)x+4k2-4k=0.① 因为方程①只有一个解,所以Δ=4k2(1-2k)2-16k(k2+1)(k-1)=0,解得k=0或 . 所以,所求切线l的方程为y=1,或4x-3y-5=0. 探究点三　圆的弦长问题 (1)求圆C的方程; (2)若直线3x-y+1=0与圆C相交于A,B两点,求线段AB的长; (3)设过点(-1,0)的直线l与圆C相交于M,N两点,试问:是否存在直线l,使得以MN为直径的圆经过原点O?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由. (2)圆C的圆心坐标为(1,-2),半径为3,圆心到直线3x-y+1=0的距离为 (3)存在直线l满足题意.理由如下: 设M(x1,y1),N(x2,y2). 由题意,知OM⊥ON,且OM,ON 的斜率均存在, ∴直线l:x=-1满足条件; ②当直线l 的斜率存在时,可设直线l 的方程为y=k(x+1).代入 (x-1)2+(y+2)2=9,得(1+k2)x2+(2k2+4k-2)x+k2+4k-4=0, 由x1x2+y1y2=0,得x1x2+k2(x1+1)(x2+1)=0, 即(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=0, ∴直线l的方程为y=x+1. 综上可知,存在满足条件的直线l:x=-1和l:y=x+1. 规律方法　1.求直线与圆相交时的弦长有三种方法 (1)交点法:将直线方程与圆的方程联立,求出交点A,B的坐标,根据两点间的 (2)弦长公式法: 如图所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是 (3)几何法:如图,直线与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长 通常采用几何法较为简便. 2.若涉及直线和圆相交的问题,除了借助平面几何知识进行分析,还经常利用联立方程,用解方程组的思路来讨论有关弦长和垂直等问题. 变式训练3[人教A版教材习题]已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆C的位置关系;如果相交,求直线l被圆C所截得的弦长. 消去y,得x2-3x+2=0,解得x1=2,x2=1. 所以,直线l与圆C相交,有两个公共点. 把x1=2,x2=1分别代入方程①,得y1=0,y2=3. 所以,直线l与圆C的两个交点是A(2,0),B(1,3). (方法二)圆C的方程x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,因此圆心C的坐标为 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1.[探究点一·人教A版教材习题改编]直线3x+4y+2=0与圆(x-1)2+y2=1的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 B 解析 圆(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0),半径r=1, 由(m-1)x+(m-3)y-2=0,得m(x+y)=x+3y+2,由 得x=1,y=-1,所以直线过定点(1,-1), 代入(x-1)2+y2=1成立,所以点(1,-1)为圆上的定点,所以直线与圆相切或者相交. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.[探究点三]过点(1,0)且倾斜角为30°的直线被圆(x-2)2+y2=1所截得的弦长为(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.[探究点二]过点(1,2)作圆x2+y2=5的切线,则切线方程为(　　) A.x=1 B.3x-4y+5=0 C.x+2y-5=0 D.x=1或x+2y-5=0 C 当斜率不存在时,x=1,显然不与圆相切. 综上,切线方程为x+2y-5=0.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.[探究点三]若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2 ,则实数a的值为(　　) A.0或4 B.0或3 C.-2或6 D.-1或 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.[探究点一、三](多选题)已知直线l:kx-y+2k=0和圆O:x2+y2=16,则(　　) A.直线l恒过定点(2,0) B.存在k使得直线l与直线l0:x-2y+2=0垂直 C.直线l与圆O相交 D.若k=-1,直线l被圆O截得的弦长为4 BC 所以直线l恒过定点(-2,0),故A错误; 对于C,因为直线l恒过定点(-2,0),而(-2)2+02=4<16,即(-2,0)在圆O:x2+y2=16内,所以直线l与圆O相交,故C正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.[探究点三]过圆x2+y2=8内的点P(-1,2)作直线l交圆于A,B两点.若直线l的倾斜角为135°,则弦AB的长为　　　　　.  解析 由题意知直线l的方程为y-2=-(x+1), 即x+y-1=0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.[探究点二]已知直线l:y=kx被圆C:x2+y2-6x+5=0截得的弦长为2,则|k|的值为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.[探究点三]过点A(3,5)作圆x2+y2-4x-8y-80=0的最短弦,则这条弦所在直线的方程是　 .  x+y-8=0 解析 将圆x2+y2-4x-8y-80=0化成标准形式为(x-2)2+(y-4)2=100,圆心为M(2,4),则点A在圆内,当AM垂直这条弦时,所得到的弦长最短. ∵kAM= =1,∴这条弦所在直线的斜率为-1,其方程为y-5=-(x-3), 即x+y-8=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9.[探究点三]如果一条直线过点M 且被圆x2+y2=25所截得的弦长为8,求这条直线的方程. 解 圆x2+y2=25的半径长r为5,直线被圆所截得的弦长l=8,所以弦心距 因为圆心O(0,0)到直线x=-3的距离恰为3,所以直线x=-3是符合题意的一条直线. 综上可知,满足题意的直线方程为x=-3和3x+4y+15=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.[探究点二]已知圆x2+y2=25,求满足下列条件的切线方程. (1)过点A(4,-3); (2)过点B(-5,2). 解 (1)因为圆x2+y2=25的圆心为O(0,0),半径为r=5,点A(4,-3)在圆x2+y2=25上,所以过点A(4,-3)的切线斜率存在,且其与直线AO垂直(O为坐标原点). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)因为圆x2+y2=25的圆心为O(0,0),半径为r=5, 所以当过点B(-5,2)的切线斜率不存在时,其方程为x=-5,满足题意; 当切线斜率存在时,设斜率为k,则其方程为y-2=k(x+5),即kx-y+5k+2=0,所 综上,所求切线方程为21x-20y+145=0或x=-5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B 级 关键能力提升练 11.圆x2+y2+2x-2y-2=0上到直线l:x+y+ =0的距离为1的点共有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 解析 化x2+y2+2x-2y-2=0为(x+1)2+(y-1)2=4,得圆心坐标为(-1,1),半径为2, 结合图形可知(图略),圆上有三点到直线l的距离为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12.已知直线l:mx-y-3m+1=0恒过点P,过点P作直线与圆C:(x-1)2+(y-2)2=25相交于A,B两点,则|AB|的最小值为(　　) A 解析 直线方程可化为m(x-3)-y+1=0,故其恒过点P(3,1). 又(3-1)2+(1-2)2=5<25,即P在圆C内,要使|AB|最小,只需圆心C(1,2)与P的连线与该直线垂直. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.(多选题)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(　 　) A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.[2022天津卷]若直线x-y+m=0(m>0)与圆(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦长为m,则m=　　　　　.  2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15.过点(1,4)且斜率为k的直线l与曲线y= +1有公共点,则实数k的取值范围是　　　　　.  解析 曲线y= +1可化为(x+2)2+(y-1)2=1(1≤y≤2),设点C(1,4),如图所示,当直线l在直线AC和BC之间运动时,直线l与曲线有公共点,其中点A为(-1,1),点B为直线l与曲线的切点,即直线l与圆心为(-2,1),半径为1的半圆相切. ∵直线l的方程为y=k(x-1)+4, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.已知圆C:x2+y2-4x=0,直线l恒过点P(4,1). (1)若直线l与圆C相切,求l的方程; (2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且|AB|=2 时,求l的方程. 解 (1)由题意可知,圆C的圆心为(2,0),半径r=2, ①当直线l的斜率不存在,即l的方程为x=4时,此时直线与圆相切,符合题意; ②当直线l的斜率存在时,设斜率为k,∴直线l的方程为y-1=k(x-4),化为一般式为kx-y+1-4k=0. 综上,当直线l与圆C相切时,直线l的方程为x=4或3x+4y-16=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)由题意可知,直线l的斜率一定存在,设斜率为k, ∴直线l的方程为y-1=k(x-4),即kx-y+1-4k=0. 则直线l的方程为y=1或4x-3y-13=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点; (2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程. (1)证明 直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0化为(2x+y-7)m+x+y-4=0,则 在圆C内,所以不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)解 当直线l所过的定点为弦的中点,即CM⊥l时,直线l被圆截得的弦长 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 C 级 学科素养创新练 18.已知A,B为圆C:(x+1)2+(y-1)2=5上两个动点,且|AB|=2,直线l:y=k(x-5),若线段AB的中点D关于原点的对称点为D',若直线l上任一点P,都有|PD'|≥1, 则实数k的取值范围是　　　 　　.  则D的轨迹方程为(x+1)2+(y-1)2=4. ∵线段AB的中点D关于原点的对称点为D', 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∴D'的轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=4. 要使直线l:y=k(x-5)上任一点P,都有|PD'|≥1, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+4=0经过点(5,3),(2,0). (1)求圆C的标准方程. (2)若直线l:y=kx+2与圆C交于M,N两点,是否存在直线l,使得 =6(O为坐标原点)?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由. ∴圆C的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∴k2-4k+3=0,∴k=1或3. 线的距离是d,d=,则有: 解析 ∵圆心(0,0)到直线y=x+1的距离d=<1, 的距离为d=,圆的半径为r=2. ①若相交,则d<r,即<2,所以m<-2或m>2,故m的取值范围为 (-∞,-2)∪(2,+∞); ②若相切,则d=r,即=2,所以m=±2,故m的取值范围为{2,-2}; ③若相离,则d>r,即>2,所以-2<m<2,故m的取值范围为 (-2,2). (2)根据点到直线的距离公式,得圆心M到直线l的距离为d=. 当d<,即-1<a<4时,直线l与圆M相交; 当d=,即a=-1或a=4时,直线l与圆M相切; 当d>,即a<-1或a>4时,直线l与圆M相离. 由于直线与圆相切,故=1,解得k=, (2)因为点M(2,4)到圆心的距离为,圆的半径为1,所以所求圆的切线长为=7. 由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1,得=1,解得k=0或. 因为直线l与圆相切,所以方程组只有一组解. 【例3】 已知点P1(-+1,0),P2(+1,0),P3(1,1)均在圆C上. 解 (1)∵点P1(-+1,0),P2(+1,0),P3(1,1)均在圆C上, ∴圆心C的横坐标为1. 设圆C的方程为(x-1)2+(y-b)2=r2, 则解得 ∴圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=9. d=, ∴直线3x-y+1=0被圆C截得的弦AB的长为2. ∴kOMkON=-1,则=-1,即x1x2+y1y2=0. ①当直线l的斜率不存在时,可得直线l的方程为x=-1,则M(-1,-2), N(-1,--2),满足x1x2+y1y2=0, 则x1+x2=-,x1x2=. ∴(1+k2)·-k2·+k2=0,解得k=1, 距离公式 |AB|=求解. A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2| =|y1-y2|(直线l的斜率k存在且不为0). 为|AB|,则有+d2=r2,即|AB|=2. 解 (方法一)联立直线l与圆C的方程,得 因此|AB|=. (0,1),半径为,圆心C(0,1)到直线l的距离d=. 所以,直线l与圆C相交,有两个公共点. 由垂径定理,得|AB|=2. 圆心到直线的距离d==1=r,所以圆与直线相切.故选B. A. B.1 C. D.2 解析 根据题意,设过点(1,0)且倾斜角为30°的直线为l,其方程为 y=tan 30°(x-1),即y=(x-1),变形可得x-y-1=0,圆(x-2)2+y2=1的圆心为(2,0),半径r=1, 设直线l与圆交于点A,B,圆心到直线的距离d=,则|AB|=2×,故选C. 解析 由题可知,圆心为(0,0),半径为. 当斜率存在时,设切线方程为y=k(x-1)+2,则d=,可得k=-, 所以y=-(x-1)+2,即x+2y-5=0. 解析 由圆的方程,可知圆心坐标为(a,0),半径r=2.又直线被圆截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离d=.又d=,所以|a-2|=2,解得a=4或a=0. 解析 对于A,由l:kx-y+2k=0,得k(x+2)-y=0,令解得 对于B,直线l0:x-2y+2=0的斜率为,则当k=-2时,满足直线l与直线l0:x-2y+2=0垂直,故B正确; 对于D,k=-1时,直线l:x+y+2=0,圆心到直线的距离为d=,所以直线l被圆O截得的弦长为2=2,故D错误.故选BC. 圆心O(0,0)到直线l的距离为d=, 则有|AB|=2=2. 解析 由题意,圆C:(x-3)2+y2=4,故圆心C(3,0),半径r=2,故圆心到直线l:kx-y=0的距离为,故,即3k2=k2+1,解得k2=,即|k|=. d==3. 设直线y+=k(x+3)也符合题意,即圆心到直线kx-y+=0的距离等于3,所以=3,解得k=-,故直线的方程为3x+4y+15=0. 因为kAO=-,所以所求切线的斜率为,所以所求切线方程为y+3=(x-4),即4x-3y-25=0. 以圆心O(0,0)到切线的距离为d==5=r,解得k=,所以切线方程为x-y++2=0,即21x-20y+145=0. ∵圆心到直线l:x+y+=0的距离d==1<2, A.4 B.2 C.4 D.2 由|CP|=,圆的半径为5,得|AB|=2×=4.故选A. 解析 圆心C(0,0)到直线l的距离d=, 若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以d==|r|,则直线l与圆C相切,故A正确; 若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2<r2,所以d=>|r|,则直线l与圆C相离,故B正确; 若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以d=<|r|,则直线l与圆C相交,故C错误; 若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以d==|r|,直线l与圆C相切,故D正确.故选ABD. 解析 圆(x-1)2+(y-1)2=3的圆心坐标为(1,1),半径为,圆心到直线x-y+m=0(m>0)的距离为,由勾股定理可得()2+()2=3, 因为m>0,解得m=2. ∴在点B处有=1,解得k=(舍),而直线AC的斜率为,∴k∈. 若直线l与圆相切,则d==2,即1-4k+4k2=4k2+4,解得k=-, ∴直线l:-x-y+4=0,即直线l:3x+4y-16=0. 设圆心到直线l的距离为d,则d=, 由垂径定理可得,d2+()2=4,即+3=4, 整理得,3k2-4k=0,解得k=0或k=, 解得 所以直线l恒过定点M(3,1). 由题可知圆心C(1,2),半径r=5,又因为|CM|=<5,所以点M(3,1) 最短,kCM==-,所以直线l的斜率为2,即-=2,解得m=-,所以直线l的方程为2x-y-5=0. 解析 ∵|AB|=2,且圆C:(x+1)2+(y-1)2=5的半径为, ∴AB的中点D到圆心(-1,1)的距离为=2, 则-2≥1,解得k≤或k≥. ∴实数k的取值范围是∪[,+∞). 解 (1)依题设得解得 (2)设M(x1,y1),N(x2,y2), 联立消去y并化简得(1+k2)x2-2(k+2)x-4=0, ∴x1+x2=,x1x2=, ∴=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4 =-4++4=6, $$