2.5.1 椭圆的标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

第二章　平面解析几何 2.5.1　椭圆的标准方程 人教B版 数学 选择性必修第一册 课程标准 1.掌握椭圆的定义; 2.掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程; 3.能根据条件确定椭圆的标准方程,掌握待定系数法求椭圆的标准方程. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 椭圆的定义 集合表示{P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|} 如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个常数,且　　　　　　,则平面内满足|PF1|+|PF2|=2a的动点P的轨迹称为椭圆,其中,两个定点F1,F2称为椭圆的　　　　,两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的　　　　. 2a>|F1F2| 焦点 焦距 过关自诊 1.到两个定点F1(-7,0)和F2(7,0)的距离之和为14的点P的轨迹是(　　) A.椭圆 B.线段 C.圆 D.以上都不对 2.椭圆的定义中,若2a≤|F1F2|,则动点P的轨迹还是椭圆吗? B 解析 ∵点P到两定点的距离之和为14,等于|F1F2|, ∴轨迹是一条线段. 解 不是.当2a<|F1F2|时,动点P的轨迹不存在. 当2a=|F1F2|时,动点P的轨迹为线段F1F2. 知识点2 椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 =1(a>b>0) =1(a>b>0) 图示 焦点坐标 　　　 　　  　　 　　  a,b,c的关系 　　　　　  F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) b2=a2-c2 名师点睛 1.在已知椭圆的标准方程解题时,应特别注意a>b>0这个条件. 2.焦点三角形中常用的关系式 (1)|PF1|+|PF2|=2a. (3)|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2. (4)|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|. 过关自诊 1.a=6,c=1的椭圆的标准方程是(　　) D 2.椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是(　　) C 3.[人教A版教材习题]如果椭圆 =1上一点P与焦点F1的距离等于6,那么点P与另一个焦点F2的距离是　　　　　. 14 重难探究·能力素养全提升 探究点一　椭圆定义的理解 【例1】 如图所示,已知动圆P过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其内切,求动圆圆心P的轨迹方程. 解 设动圆P和定圆B内切于点M,动圆圆心P到两定点A(-3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|,所以动圆圆心P的轨迹是以A,B为左、右焦点的椭圆,其中c=3,a=4,b2=a2-c2=42-32=7,故动圆圆心P的轨迹方程为 规律方法　利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤 变式训练1[北师大版教材习题]如图,两个定圆圆C1和圆C2内切,且半径分别为r1=1,r2=3,动圆M与圆C1外切且与圆C2内切,那么动圆圆心M的轨迹是什么?并说明理由. 解 设动圆M半径为R,因为圆M与圆C1外切,所以|MC1|=1+R.又因为圆M与圆C2内切,所以|MC2|=3-R,所以|MC1|+|MC2|=4.又圆C1和圆C2内切,所以|C1C2|=2.所以动圆圆心M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆(除掉圆C1和圆C2的切点). 变式训练2[北师大版教材例题]已知△ABC的周长为10,且|BC|=4,则△ABC的顶点A的轨迹是什么?并说明理由. 解 因为△ABC的周长为10,且|BC|=4,所以|AB|+|AC|=6,且|AB|+|AC|>|BC|. 根据椭圆的定义可知,△ABC的顶点A的轨迹是以B,C为焦点,焦距长为4的椭圆(不含椭圆与直线BC的交点). 探究点二　求椭圆的标准方程 角度1.待定系数法求椭圆的标准方程 【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程. ∵椭圆过点A(-1,-2), 规律方法　1.利用待定系数法求椭圆的标准方程,有下面几种情况: 如果明确椭圆的焦点在x轴上,那么设所求的椭圆方程为 =1(a>b>0); 如果明确椭圆的焦点在y轴上,那么设所求的椭圆方程为 =1(a>b>0); 如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在x轴上,还是在y轴上,那么方程可以设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),进而求解. 2.待定系数法求椭圆方程能有力地明晰数学运算的目标性和方向性,能较好地体现运用解析法进行数学运算的核心素养. 角度2.定义法求椭圆的标准方程 【例3】 求适合下列条件的椭圆的标准方程:两个焦点的坐标分别是 解 因为椭圆的焦点在y轴上, 规律方法　用定义法求椭圆的标准方程,先根据椭圆定义,确定a2,b2的值,再结合焦点位置写出椭圆的标准方程. 变式训练4已知椭圆两个焦点的坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26,求满足条件的椭圆的标准方程. 解 因为椭圆的焦点在y轴上, 因为2a=26,所以a=13,又因为c=5, 所以b2=a2-c2=144, 探究点三　椭圆定义的应用 【例4】 已知P为椭圆 =1上一点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积. 在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°,即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|.① 即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|.② 由①②得|PF1||PF2|=4, 变式探究若将例4中“∠F1PF2=60°”变为“∠PF1F2=90°”,求△F1PF2的面积. 规律方法　1.椭圆上一点P(不与焦点共线)与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,再结合正弦定理、余弦定理等知识求解. 2.焦点三角形的常用公式 (1)焦点三角形的周长L=2a+2c. (2)在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2. 变式训练5(1)P是椭圆 =1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若|PF1||PF2|=12,则∠F1PF2的大小为(　　) A.60° B.30° C.120° D.150° A ∵0°<∠F1PF2<180°, ∴∠F1PF2=60°. (2)已知F1,F2为椭圆 =1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=　　　　　.  8 解析 由直线AB过椭圆的一个焦点F1, 知|AB|=|F1A|+|F1B|, 所以在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20. 又|F2A|+|F2B|=12,所以|AB|=8. (3)[人教A版教材习题]如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式 =10,那么点M的轨迹是什么曲线?为什么?写出它的方程. 解 点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆. ∵点M(x,y)到两定点(0,-3),(0,3)的距离之和为10,且大于两定点间的距离6, 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1.[探究点二(角度1)]若椭圆C: =1的一个焦点坐标为(-1,0),则实数m的值为(　　) A.9 B.6 C.4 D.1 C 解析 因为椭圆的焦点(-1,0)在x轴上, 所以a2=5,b2=m,所以c2=a2-b2=5-m, 即5-m=1,解得m=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2.[探究点一](多选题)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),下列说法中正确的是(　　) A.当a=2时,点P的轨迹不存在 B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3 C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6 D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆 AC 解析 当a=2时,2a=4<|AB|,故点P的轨迹不存在,A正确; 当a=4时,2a=8>|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,B错误,C正确; 当a=3时,2a=6=|AB|,故点P的轨迹为线段AB,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3.[探究点二(角度1)]已知命题p:方程 =1表示焦点在y轴上的椭圆,则使命题p成立的充分不必要条件是(　　) A.3<m<5 B.4<m<5 C.1<m<5 D.m>1 B 则m-1>5-m>0,解得3<m<5,所以p成立的充要条件是3<m<5. 结合四个选项可知,p成立的充分不必要条件是4<m<5. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.[探究点二(角度2)]已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程为(　　) A 解析 由题可知c=1. 由点P(2,0)在椭圆上,可得a=2, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.[探究点三]已知F1,F2为椭圆C: +y2=1的左、右焦点,点P在椭圆C上,∠F1PF2=60°,则|PF1||PF2|= . 解析 由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=4,利用余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°=|F1F2|2, 所以(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=|F1F2|2=12,解得3|PF1||PF2|=4,即 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8.[探究点一]若△ABC的三边长a,b,c满足2b=a+c,A(-1,0),C(1,0),则顶点B的轨迹方程是　　　　　　　　　　.  解析 设点B的坐标为(x,y). ∵2b=a+c,即|BC|+|BA|=2|AC|,又A(-1,0),C(1,0),∴|BC|+|BA|=4>2, 根据椭圆的定义可知,点B的轨迹是以A(-1,0),C(1,0)为焦点,以4为长轴长的椭圆, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9.[探究点二(角度1)]求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2); (2)c∶a=5∶13,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 解 (1)由焦距是4可得c=2, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (2)由题意知,2a=26,即a=13,又c∶a=5∶13,所以c=5,所以b2=a2-c2=132- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 级 关键能力提升练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 CD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.已知定点A(0,-2),点B在圆C:x2+y2-4y-32=0上运动,C为圆心,线段AB的垂直平分线交BC于点P,则动点P的轨迹E的方程为　　 　　.  解析 由题意,得|PA|=|PB|, ∴|PA|+|PC|=|PB|+|PC|=6>|AC|=4, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15.已知椭圆C: =1内有一点M(2,3),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,P为椭圆C上的一点,求: (1)|PM|-|PF1|的最大值与最小值; (2)|PM|+|PF1|的最大值与最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.已知x轴上一定点A(1,0),Q为椭圆 +y2=1上任意一点,求AQ的中点M的轨迹方程. 解 设中点M的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x0,y0),利用中点公式,得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 级 学科素养创新练 ABC (2)|PF1||PF2|sin∠F1PF2. A.=1 B.=1 C.+y2=1 D.=1或=1 A.(±,0) B.(0,±) C.(±,0) D. 解析 ∵椭圆的标准方程为=1, ∴焦点在x轴上,且a2=,b2=, ∴c2=a2-b2=,∴焦点坐标为. =1. (1)过点A(-1,-2)且与椭圆=1的两个焦点相同; (2)过点P(,-2),Q(-2,1). 解 (1)∵椭圆=1中,a2=9,b2=6, ∴c2=a2-b2=3,得焦点坐标为(0,±), 故设所求的椭圆方程为=1(m>3). ∴=1,解得m=6(m=2不合题意,舍去). ∴椭圆的标准方程为=1. (2)设椭圆的方程为=1,p,q均为正数且不相等. ∵椭圆经过点P(,-2),Q(-2,1), ∴解得∴椭圆的标准方程为=1. 变式训练3[北师大版教材习题]求与椭圆=1的焦点相同,且经过点()的椭圆的标准方程. 解 椭圆=1中,c=1,焦点在x轴上. 设所求椭圆的标准方程为=1(a>b>0). 由题意可知解得 所以所求椭圆的标准方程为+y2=1. (0,-2),(0,2),并且经过点. 所以设它的标准方程为=1(a>b>0). 由椭圆的定义知,2a==2,即a=. 又c=2,所以b2=a2-c2=6, 所以所求椭圆的标准方程为=1. 所以设它的标准方程为=1(a>b>0). 所以所求椭圆的标准方程为=1. 解 由已知得a=2,b=, 所以c==3,从而|F1F2|=2c=6. 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=4, 所以|PF1||PF2|sin 60°=. 解 由已知得a=2,b=, 所以c==3,从而|F1F2|=2c=6. 由∠PF1F2=90°可知当x=-3时,=1,得y=±,故|PF1|=,所以△PF1F2的面积S=|PF1||F1F2|=×6=,即△PF1F2的面积是. (3)设点P(xP,yP),焦点三角形PF1F2的面积|PF1||PF2|sin∠F1PF2 =b2tan. 解析 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=8,|F1F2|=2,∴(|PF1|+|PF2|)2=64. ∵|PF1||PF2|=12,∴|PF1|2+|PF2|2=40. 在△F1PF2中,cos∠F1PF2=. ∴由椭圆的定义知a=5,c=3,则b2=a2-c2=16,∴椭圆的方程为=1. 故点M的轨迹是以F1(0,-3),F2(0,3)为焦点的椭圆,它的方程是=1. 解析 若方程=1表示焦点在y轴上的椭圆, 4.[探究点三]椭圆=1(m>0)的焦点为F1,F2,与y轴的一个交点为A,若∠F1AF2=,则m=(　　) A.1 B. C. D.2 解析 在椭圆=1(m>0)中,a=,b=m,c=1.易知|AF1|=|AF2|=a. 又∠F1AF2=,所以△F1AF2为等边三角形,即|AF1|=|F1F2|,所以=2,即m=.故选C. 5.[探究点二(角度1)]已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|=2,若2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,则椭圆C的标准方程为(　　) A.=1 B.=1或=1 C.=1 D.=1或=1 A.=1 B.+y2=1 C.=1 D.+x2=1 ∴椭圆的方程为=1. |PF1||PF2|=. =1(y≠0) 故顶点B的轨迹方程为=1. 又B为三角形的顶点,故所求的轨迹方程为=1(y≠0). 且焦点坐标为(0,-2),(0,2).由椭圆的定义知, 2a==8, 所以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12. 又焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为=1. 52=144,因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为=1或=1. 10.如图,已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,B在x轴上,△ABF2是直角三角形,且|BF1|=|F1F2|,O为坐标原点,若点O到直线AB的距离为,则椭圆C的方程为(　　) A.=1 B.=1 C.+y2=1 D.=1 11.椭圆=1的焦点为F1,F2,椭圆上的点P满足∠F1PF2=60°,则点P到x轴的距离为(　　) A. B. C. D. 解析 易得c==6.设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则r1+r2=20. 在△PF1F2中,由余弦定理得(2c)2=-2r1r2cos 60°, 即144=-r1r2=(r1+r2)2-3r1r2=400-3r1r2,则r1r2=, 所以r1r2sin 60°=. 设点P到x轴的距离为d,则×|F1F2|×d=6d,故6d=,解得d=.故选C. 12.(多选题)已知P是椭圆E:=1上一点,F1,F2为其左、右焦点,且 △F1PF2的面积为3,则下列说法正确的是(　　) A.P点纵坐标为3 B.∠F1PF2> C.△F1PF2的周长为4(+1) D.△F1PF2的内切圆半径为-1) 13.已知P是椭圆=1上的点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若,则△F1PF2的面积为　　　　　.  3 解析 因为=cos∠F1PF2=,0≤∠F1PF2≤π, 所以∠F1PF2=. 又c==4,记|PF1|=m,|PF2|=n, 则 ②2-①整理得mn=12,所以mnsin×12×=3. =1 ∴点P的轨迹E是以A,C为焦点的椭圆,其中c=2,a=3,∴b=, ∴椭圆方程为=1. 解 (1)由椭圆C:=1可知a=5,b=4,c=3, 则F1(-3,0),F2(3,0), 则||PM|-|PF1||≤|MF1|=,当且仅当P,M,F1三点共 线时成立,所以-≤|PM|-|PF1|≤,所以|PM|-|PF1| 的最大值与最小值分别为和-. (2)2a=10,F2(3,0),|MF2|=. 设P是椭圆上任一点,由|PF1|+|PF2|=2a=10,|PM|≥|PF2|-|MF2|,所以|PM|+|PF1|≥|PF2|-|MF2|+|PF1|=2a-|MF2|=10-,等号仅当|PM|=|PF2|-|MF2|时成立,此时P,M,F2共线.由|PM|≤|PF2|+|MF2|,所以|PM|+|PF1|≤|PF2|+|MF2|+|PF1|=2a+|MF2|=10+,等号仅当|PM|=|PF2|+|MF2|时成立,此时P,M,F2共线,故|PM|+|PF1|的最大值与最小值分别为10+和10-. 所以 因为Q(x0,y0)在椭圆+y2=1上,所以=1. 将x0=2x-1,y0=2y代入上式,得+(2y)2=1. 故所求AQ的中点M的轨迹方程是+4y2=1. 17.(多选题)已知椭圆C:=1,F1,F2分别为它的左、右焦点,A,B分别为它的左、右顶点,点P是椭圆上的一个动点,下列结论中正确的有(　 　) A.存在点P使得∠F1PF2= B.cos∠F1PF2的最小值为- C.若PF1⊥PF2,则△F1PF2的面积为9 D.直线PA与直线PB斜率的乘积为定值 $$