2.6.1 双曲线的标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

第二章　平面解析几何 2.6.1　双曲线的标准方程 人教B版 数学 选择性必修第一册 课程标准 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程; 2.掌握双曲线的标准方程及其求法; 3.能用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题; 4.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 双曲线的定义 焦点的距离|F1F2| 名师点睛 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点P的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于|PF1|与|PF2|的大小. (1)若|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|>0,点P的轨迹是靠近定点F2的那一支; (2)若|PF1|<|PF2|,则|PF2|-|PF1|>0,点P的轨迹是靠近定点F1的那一支. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.(　　) (2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差等于5的点的轨迹是双曲线.(　　) (3)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　　) × × × 2.在双曲线的定义中,若去掉条件0<2a<|F1F2|,则动点的轨迹是怎样的? 解 ①当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点). ②当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在. ③当2a=0时,动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 知识点2 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 =1　   =1　   焦点 　 　　  　　 　  a,b,c的关系 b2=c2-a2 (a>0,b>0) (a>0,b>0) F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 名师点睛 双曲线与椭圆的比较 曲线名称 椭圆 双曲线 定义 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) ||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|) a,b,c的关系 b2=a2-c2 b2=c2-a2 标准方程 焦点在x轴上 =1(a>b>0) =1(a>0,b>0) 焦点在y轴上 =1(a>b>0) =1(a>0,b>0) 注意:在双曲线的标准方程中,a,b的大小关系不确定. 过关自诊 D 2.[北师大版教材例题改编]已知双曲线的两个焦点分别是F1(-5,0),F2(5,0),该双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是6,则双曲线的标准方程为　 .  重难探究·能力素养全提升 探究点一　求双曲线的标准方程 【例1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程. 规律方法　求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,再用待定系数法求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,则可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,简化求解过程. 变式训练1[北师大版教材习题]求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点为(2,0),(-2,0),且双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2; (2)焦点在y轴上,焦距为10,且经过点(0,4); 探究点二　双曲线定义的应用 【例2】 已知双曲线 -y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点,点Q的坐标为(-2,3),则|PQ|+|PF1|的最小值为　　　　　.  解析 如图, 由双曲线 -y2=1,得a2=3,b2=1,∴c2=a2+b2=4,则c=2, 则F2(2,0). 连接QF2交双曲线右支于P, 则此时|PQ|+|PF2|最小等于|QF2|. ∵Q的坐标为(-2,3),F2(2,0), 【例3】 已知F1,F2是双曲线 =1的两个焦点. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离; (2)如图,若P是双曲线左支上的点,且|PF1||PF2|=32,试求△F1PF2的面积. (1)由双曲线的定义得||MF1|-|MF2||=2a=6. 又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16, 假设点M到另一个焦点的距离等于m, 则|16-m|=6,解得m=10或m=22, 故点M到另一个焦点的距离为10或22. (2)将|PF2|-|PF1|=2a=6两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36,则|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1||PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中,由余弦定理得 变式探究将例3(2)中的条件“|PF1||PF2|=32”改为“∠F1PF2=60°”,求△F1PF2的面积. 由双曲线的定义得|PF2|-|PF1|=6. 因为|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°, 所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1||PF2|, 规律方法　求双曲线中距离的范围和焦点三角形面积的策略 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时,若已知该点的横、纵坐标,则根据两点间距离公式可求结果;若已知该点到另一焦点的距离,则根据定义中的条件||PF1|-|PF2||=2a求解. (2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时,首先要注意定义中的条件||PF1|-|PF2||=2a的应用;其次要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算. 模仿椭圆中焦点三角形的面积公式,可类似得到双曲线中焦点三角形的面 变式训练2(1)已知双曲线C: =1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线C的左支交于A,B两点,若|AB|=7,则△ABF2的周长为(　　) A.16 B.30 C.38 D.60 B 解析 设|AF1|=m,|BF1|=n,由题意可得m+n=7,由双曲线的定义可得|AF2|=m+8,|BF2|=n+8,则△ABF2的周长是|AB|+|AF2|+|BF2|=m+n+(m+n)+16=16+2|AB|=16+2×7=30.故选B. (2)若点P在曲线C1: =1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 B 解析 在双曲线C1中,a=4,b=3,c=5,易知两圆圆心分别为双曲线C1的两个焦点, 记点F1(-5,0),F2(5,0),当|PQ|-|PR|取最大值时,P在 双曲线C1的左支上,所以|PQ|-|PR|≤|PF2|+1- (|PF1|-1)=|PF2|-|PF1|+2=2a+2=10.故选B. 探究点三　与双曲线有关的轨迹问题 【例4】 (1)一动圆P过定点M(-4,0),且与已知圆N:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是(　　) C 解析 动圆圆心为P,半径为r,已知圆N的半径为4.由题意知,|PM|=r,|PN|=r+4或r-4,所以||PN|-|PM||=4,即动点P到两定点的距离之差的绝对值为常数4,P在以M,N为焦点的双曲线上,且2a=4,2c=8, (2)某飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方向. 解 因为|PC|=|PB|,所以P在线段BC的垂直平分线上.又因为|PB|-|PA|=4<6=|AB|,所以P在以A,B为焦点的双曲线的右支上. 以线段AB的中点为坐标原点,AB的垂直平分线所在直线为y轴,正东方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示. 规律方法　求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:(1)列出等量关系,化简得到方程;(2)寻找几何关系,根据双曲线的定义,得出对应的方程.定义法求解双曲线的轨迹问题时要特别注意:(1)双曲线的焦点所在的坐标轴;(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.(3)实际应用问题还要注意实际意义以及该意义下隐藏的变量范围. 变式训练3(1)[人教A版教材例题]已知A,B两地相距800 m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s,且声速为340 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程. 解 如图,建立平面直角坐标系Oxy,使A,B两点在x轴上,并且原点O与线段AB的中点重合.设炮弹爆炸点P的坐标为(x,y),则|PA|-|PB|=340×2=680,即2a=680,a=340. 又|AB|=800,所以2c=800,c=400,b2=c2-a2=44 400. 因为|PA|-|PB|=680>0,所以点P的轨迹是双曲线的 右支,因此x≥340. (2)[人教A版教材习题]设动点M与定点F(c,0)(c>0)的距离和M到定直线 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C 解析 由题意知2c=8,c=4,a2=m,b2=1. 因为c2=a2+b2,所以16=m+1,解得m=15.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2.[探究点二]设点P在双曲线 =1上,若F1,F2为双曲线的两个焦点,且|PF1|∶|PF2|=1∶3,则△F1PF2的周长等于(　　) A.22 B.16 C.14 D.12 A 由双曲线定义知||PF2|-|PF1||=6. 又|PF1|∶|PF2|=1∶3,∴|PF1|=3,|PF2|=9, ∴△F1PF2的周长为3+9+10=22.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3.[探究点一](多选题)若方程 =1所表示的曲线为C,则下面四个说法错误的是(　　) A.若C为椭圆,则1<t<3 B.若C为双曲线,则t>3或t<1 C.曲线C可能是圆 D.若C为椭圆,且长轴在y轴上,则1<t<2 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4.[探究点二]已知双曲线 =1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为(　　) A.3或7 B.6或14 C.3 D.7 A 解析 设右焦点为F2,连接PF2,ON(图略),ON是△PF1F2的中位线, ∴|ON|= |PF2|. ∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或6, ∴|ON|= |PF2|=7或3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5.[探究点二]已知F是双曲线 =1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为(　　) A.9 B.8 C.7 D.6 A |PF|+|PA|≥9,当且仅当A,P,F'三点共线时取等号,所以|PF|+|PA|的最小值为9.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A.2 B.3 C.4 D.5 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7.[探究点一]已知双曲线对称轴为坐标轴,中心在原点,焦点在直线x+y=6上,且c=2a,则此双曲线的标准方程为　　 　　　　　　　　.  解析 直线x+y=6与坐标轴的交点坐标为(6,0),(0,6). 当双曲线的焦点在横轴时,c=6,因为c=2a,所以a=3, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8.[探究点二]已知双曲线C: =1的两焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上一点,若|PF1|=10,则|PF2|=　　　　　.  18或2 点,|PF1|=10, 所以||PF2|-|PF1||=2a=8,即||PF2|-10|=8, 所以|PF2|=18或|PF2|=2. 因为|PF1|=10>a+c=9, 所以|PF2|=18或|PF2|=2都符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9.[探究点一·北师大版教材习题]已知双曲线的焦点与椭圆 =1的左、右顶点相同,且经过椭圆的右焦点,求该双曲线的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10.[探究点三]如图所示,已知定圆F1:(x+5)2+y2=1,定圆F2:(x-5)2+y2=42,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解 圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1; 圆F2:(x-5)2+y2=42,圆心F2(5,0),半径r2=4. 设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4, ∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B 级 关键能力提升练 11.(多选题)已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),且AC,BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0),则下列说法正确的是(　　) A.当m>0时,点C的轨迹是双曲线 B.当m>0时,点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去两个顶点) C.当m=-1时,点C在圆x2+y2=25(除去点(5,0),(-5,0))上运动 D.当m<-1时,点C的方程表示焦点在x轴上的椭圆(不含左、右顶点) BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12.若双曲线上存在点P,使得P到两个焦点的距离之比为2∶1,则称此双曲线存在“L点”,下列双曲线中存在“L点”的是(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 整理得|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=100,① 根据点P在双曲线上可得||PF1|-|PF2||=6,则(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36,② ①-②,得|PF1||PF2|=64,则△PF1F2的面积为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14.已知F是双曲线C:x2- =1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为　　　　　.  所以P(2,±3),|PF|=3. 又因为A(1,3),所以点A到直线PF的距离为1, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析 设A(-5,0),B(5,0). |MB|=6<10,故点M到定点A(-5,0)与到定点B(5,0)的距离差为6,则动点M(x,y)的轨迹是以(±5,0)为焦点,以6为实轴长的双曲线的右支. 由于2a=6,c=5,则b2=c2-a2=25-9=16,故M的轨迹的标准方程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16.在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN= ,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线方程. 解 因为△MPN的周长为48,且tan∠PMN= , 所以设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k. 由3k+4k+5k=48,得k=4.所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20. 以MN所在直线为x轴,以MN的中点为原点建立直角坐标系,如图所示. 由|PM|-|PN|=4,得2a=4,a=2,a2=4. 由|MN|=20,得2c=20,c=10,c2=100, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C 级 学科素养创新练 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 所以1<tan θ<4,即tan θ的取值范围为(1,4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1.过点(1,1),且的双曲线的标准方程是(　　) A.-y2=1 B.-x2=1 C.x2-=1 D.-y2=1或-x2=1 解析 ∵,∴b2=2a2. 当焦点在x轴上时,设双曲线方程为=1, 将点(1,1)的坐标代入方程中,得a2=, 此时双曲线的标准方程为-y2=1.同理求得焦点在y轴上时,双曲线的标准方程为-x2=1. =1 (1)焦点在x轴上,a=2,经过点A(-5,2); (2)经过两点A(-7,-6),B(2,3). 解 (1)由已知可设双曲线方程为=1(a>0,b>0),则a=2 =1,解得b2=16, 则双曲线的标准方程为=1. (2)设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0), 则有解得 则双曲线的标准方程为=1. (3)经过点(2,),(-,2). 解 (1)双曲线的焦点在x轴上,设其标准方程为=1(a>0,b>0). 由题意,得c=2,2a=2,a=1,b2=c2-a2=3,因此,所求双曲线的标准方程为x2-=1. (2)双曲线的焦点在y轴上,设其标准方程为=1(a>0,b>0). 由题意,得2c=10,c=5,a=4,b2=c2-a2=9. 因此,所求双曲线的标准方程为=1. (3)若双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0), 则解得a2=b2=1. 因此,双曲线的标准方程为x2-y2=1. 若双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0), 则该方程组无解. 因此,所求双曲线的标准方程为x2-y2=1. 5+2 ∵|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=2+|PF2|, 则|PQ|+|PF1|=|PQ|+|PF2|+2. ∴|QF2|==5, ∴|PQ|+|PF1|的最小值为5+2. 解 双曲线的标准方程为=1, 故a=3,b=4,c==5. cos∠F1PF2==0, 且0°<∠F1PF2<180°,所以∠F1PF2=90°, 故|PF1||PF2|=×32=16. 解 由=1得a=3,b=4,c=5. 所以|PF1||PF2|=64,所以|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=×64×=16. 积为(其中θ为∠F1PF2). (3)求三角形的面积还可以利用公式|F1F2|d(d为点P到F1F2的距离). A.=1(x≥2) B.=1(x≤2) C.=1 D.=1 ∴b=2,∴动圆圆心P的轨迹方程为=1. 则A(3,0),B(-3,0),C(-5,2),所以双曲线方程 为=1,BC的垂直平分线方程为x-y+7=0. 联立两方程解得x=8(舍负),y=5,所以P(8,5),kPA=tan∠PAx=, 所以∠PAx=60°,所以P点在A点的北偏东30°方向. 所以,炮弹爆炸点的轨迹方程为=1(x≥340). l:x=的距离的比是(a<c),求动点M的轨迹方程,并说明轨迹的形状. 解 设点M(x,y)满足题意,则. 整理得=1(a>0,c>a). 令c2-a2=b2(b>0),则上式变为=1(a>0,b>0).所以所求的点M的轨迹方程为=1,其中b2=c2-a2,轨迹的形状为双曲线. 1.[探究点一]若双曲线-y2=1的焦距为8,则实数m的值是(　　) A. B. C.15 D.17 解析 由题意知|F1F2|=2=10. 解析 由=1,得a2=4,b2=12,则a=2,b=2,c==4,所以左焦点为F(-4,0),右焦点为F'(4,0),则由双曲线的定义得|PF|-|PF'|=2a=4. 因为点A(1,4)在双曲线的两支之间,所以|PA|+|PF'|≥|AF'|==5,所以 6.[探究点一]已知双曲线=1(m>0,n>0)和椭圆=1有相同的焦点,则的最小值为(　　) 解析 由题意,双曲线=1(m>0,n>0)和椭圆=1有相同的焦点, ∴m+n=5-2=3, ∴(m+n)))=(5+)≥(5+2)=3,当且仅当,即m=2n时等号成立,故的最小值为3. =1或=1 因此b==3,即双曲线方程为=1; 当双曲线的焦点在纵轴时,c=6,因为c=2a,所以a=3, 因此b==3,即双曲线方程为=1. 解析 由=1,得a2=16,b2=9,则a=4,b=3,c==5. 因为双曲线C:=1的两焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上一 解 椭圆=1的左、右顶点坐标分别为(-2,0),(2,0),右焦点坐标为(1,0),因此,双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0),且经过点(1,0),可设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),c=2,2a=||=2,a=1,所以b2=c2-a2=3,所以所求双曲线的标准方程为x2-=1. ∴点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,且a=,c=5, 于是b2=c2-a2=. ∴动圆圆心M的轨迹方程为=1. A.x2-=1 B.x2-=1 C.x2-=1 D.x2-=1 解析 若双曲线的方程为x2-=1, 则a=1,c=,不妨设|PF1|=2|PF2|,则由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,即(x-)2+y2=4,与双曲线方程4x2-y2=4联立可得5x2-2x-3=0,其判别式Δ=20+60=80>0,故存在“L点”. 13.双曲线=1的两焦点为F1,F2,点P在双曲线上,直线PF1,PF2的倾斜角之差为,则△PF1F2的面积为(　　) A.16 B.32 C.32 D.42 解析 根据F1,F2为双曲线=1的两焦点可得|F1F2|=2=10. 又直线PF1,PF2倾斜角之差为,所以∠F1PF2=, 根据余弦定理可得cos∠F1PF2=, |PF1||PF2|sin∠F1PF2=×64×=16. 故选A. 解析 因为F是双曲线C:x2-=1的右焦点,所以F(2,0). 因为PF⊥x轴,所以可设P的坐标为(2,yP). 因为P是C上一点,所以4-=1,解得yP=±3, 所以S△APF=×|PF|×1=×3×1=. 15.若动点M满足=6,则点M的轨迹方程为　　　　　　　　　　.  =1(x>0) 由于动点M(x,y)的轨迹方程为=6,则|MA|- =1(x>0). 设所求双曲线方程为=1(a>0,b>0). 所以b2=c2-a2=100-4=96,故所求方程为=1. 17.设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若P在双曲线上,且=0,则||=(　　) A.2 B. C.2 D. 解析 由题意,知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(-,0),F2(,0). 设点P(x,y), 则=(--x,-y),=(-x,-y). ∵=0,∴x2+y2-10=0,即x2+y2=10. ∴||==2. 18. 设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示.已知 △OFQ的面积为2,且=m,其中O为坐标原点. (1)设<m<4,求的夹角θ的正切值的取值范围; (2)设||=c,m=c2,当||取得最小值时,求此双曲线的标准方程. 解 (1)因为 所以tan θ=. 又<m<4, (2)设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),Q(x1,y1),则=(x1-c,y1), 所以S△OFQ=|·|y1|=2,则y1=±. 又=m,即(c,0)·(x1-c,y1)=c2,解得x1=c, 所以||==2, 当且仅当c=4时,取等号,||最小. 这时Q的坐标为()或(,-). 因为所以 于是所求双曲线的标准方程为=1. $$