2.6.2 双曲线的几何性质 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

第二章　平面解析几何 2.6.2　双曲线的几何性质 人教B版 数学 选择性必修第一册 课程标准 1.了解双曲线的简单几何性质(对称性、顶点、实轴长和虚轴长等); 2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程; 3.双曲线几何性质的简单应用. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点 双曲线的几何性质 标准方程 =1 (a>0,b>0) =1(a>0,b>0) 图形 性 质 范围 　　 　　　 y∈R 　　　　 　 x∈R 对称性 对称轴:x轴、y轴;对称中心:坐标原点 顶点坐标 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 轴 实轴:线段　　　　,长:　　　　;  虚轴:线段　　　　,长:　　　　;  半实轴长:　　　,半虚轴长:　　　  渐近线 y=± x y=± x 离心率 e= ,e∈(1,+∞),其中c= a,b,c间的关系 c2=　　　　　(c>a>0,c>b>0)  x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a A1A2　 2a B1B2 2b a b a2+b2 名师点睛 1.双曲线与椭圆的六个不同点: 曲线名称 双曲线 椭圆 曲线形状 两支曲线 封闭的曲线 顶点 两个顶点 四个顶点 轴 实、虚轴 长、短轴 渐近线 有渐近线 无渐近线 离心率 e>1 0<e<1 a,b,c关系 a2+b2=c2 a2-b2=c2 2.等轴双曲线是实轴和虚轴等长的双曲线,它的渐近线方程是y=±x,离心 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (3)等轴双曲线的渐近线互相垂直.(　　) √ × √ 2.双曲线 =1的渐近线方程为(　　) A.3x±4y=0 B.4x±3y=0 C. x±2y=0 D.9x±16y=0 A 3.[北师大版教材例题]求双曲线x2-4y2=1的焦点、中心、顶点坐标、实轴和虚轴的长. 5.一条直线与双曲线的一条渐近线平行时,它与双曲线有几个公共点? 解 双曲线的离心率e= 反映了双曲线开口的大小,e越大,双曲线的开口就越大. 4.双曲线的离心率对开口大小有怎样的影响? 解 1个. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　双曲线的几何性质 角度1.由双曲线方程研究其几何性质 【例1】 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 规律方法　由双曲线的方程求几何性质的一般步骤 变式训练1[北师大版教材习题]求下列双曲线的实轴和虚轴的长、焦点坐标、虚轴端点坐标、离心率和渐近线方程: (1)6x2-10y2+60=0; (2)20x2-25y2=500. 角度2.由双曲线的几何性质求标准方程 【例2】 根据以下条件,求双曲线的标准方程. 规律方法　1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式. 2.当已知条件中告诉离心率e,通常用e2=1+ 进行转化. 变式训练2[人教A版教材习题]求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点在x轴上,实轴长是10,虚轴长是8; (2)焦点在y轴上,焦距是10,虚轴长是8; (3)离心率e= ,经过点M(-5,3). 探究点二　双曲线的渐近线 角度1.共渐近线的双曲线的设法 【例3】 [北师大版教材习题]求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)渐近线方程为y=±2x,实轴长为2且焦点在x轴上; 规律方法　1.根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中,最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”,就得到了此双曲线的渐近线方程. 变式训练3(1)[北师大版教材习题改编]双曲线4x2-9y2=k的渐近线方程为　　　　　.  2x±3y=0 (2)[人教A版教材习题改编]对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是F1(-6,0),求双曲线的标准方程. 角度2.双曲线焦点到渐近线的距离 【例4】 [北师大版教材习题]求双曲线 =1的焦点到其渐近线的距离. 解 由已知可得双曲线的一个焦点为F(5,0),一条渐近线方程为3x-4y=0,焦点到渐近线的距离为 =3. C 探究点三　双曲线的离心率问题 A A 解析 因为△ABF2为等边三角形,所以|AB|=|BF2|=|AF2|.因为A为双曲线右支上一点,所以|F1A|-|F2A|=|F1A|-|AB|=|F1B|=2a.因为B为双曲线左支上一点,所以|BF2|-|BF1|=2a,所以|BF2|=4a.由∠ABF2=60°,得∠F1BF2=120°,在△F1BF2中,由余弦定理得4c2=4a2+16a2-2·2a·4acos 120°,得c2=7a2,则e2=7. 规律方法　求双曲线的离心率 (1)求双曲线的离心率的值或取值范围的方法 ②列出含有a,b,c的齐次方程或不等式,借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程或不等式求解. (2)求解时,若用到特殊几何图形,则可运用几何性质使问题简化. 变式训练5(1)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是(　　) C D 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5.[探究点一(角度1)](多选题)已知双曲线C: =1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为2,P为C上一点,则(　 　) A.双曲线C的实轴长为2 B.双曲线C的一条渐近线方程为y= x C.|PF1|-|PF2|=2 D.双曲线C的焦距为4 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.[探究点一(角度1)]已知F1,F2为双曲线C: =1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为　　　　　.  8 解析 由双曲线的对称性以及|PQ|=|F1F2|可知,四边形PF1QF2为矩形,所以 解得|PF1||PF2|=8, 所以四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8.[探究点一(角度2)]求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)两顶点间的距离是6,两焦点所连线段被两顶点和中心四等分; (2)渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6. 解 (1)由两顶点间的距离是6,得2a=6,即a=3. 由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12,即c=6,于是有b2=c2-a2=62-32=27. 由于焦点所在的坐标轴不确定,故所求双曲线的标准方程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9.[探究点二(角度1)]过双曲线C: =1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,求C的离心率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 级 关键能力提升练 10.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆的长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 解析 若以MN为直径的圆经过右焦点F2, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 由|MF2|-|MF1|=2a,|NF1|-|NF2|=2a, 两式相加可得|NF1|-|MF1|=|MN|=4a, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.(多选题)定义:以双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线.以下关于共轭双曲线的结论正确的是(　　) B.互为共轭的双曲线渐近线不相同 C.互为共轭的双曲线的离心率为e1,e2,则e1e2≥2 D.互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上 CD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15.已知双曲线 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆交y轴正半轴于点P,线段PF1交双曲线的渐近线于点A,若点A恰好为线段PF1的中点(O为坐标原点),则∠AOF1的大小为　　　　　,双曲线的离心率为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.求适合下列条件的双曲线的离心率: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 级 学科素养创新练 (1)求双曲线的标准方程和渐近线方程; (2)已知点M(0,1),设P是双曲线C上的点,Q是P关于原点的对称点.设 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 率为. 3.离心率e=. (1)双曲线=1与=1(a>0,b>0)的形状相同.(　　) (2)双曲线=1与=1(a>0,b>0)的渐近线相同.(　　) 解析 双曲线=1的渐近线方程为3x±4y=0. 解 将x2-4y2=1化为标准方程为x2-=1,由此可得半实轴长a=1,半虚轴长b=,半焦距c=,所以双曲线的焦点坐标为(-,0),(,0),中心坐标为(0,0),顶点坐标为(-1,0),(1,0),实轴长为2,虚轴长为1. 解 将9y2-4x2=-36化为标准方程为=1,即=1,所以a=3,b=2,c=,因此顶点坐标为(-3,0),(3,0),焦点坐标为(-,0),(,0),实轴长2a=6,虚轴长2b=4,离心率e=,渐近线方程为y=±x=±x. 解 (1)将方程6x2-10y2+60=0化为=1,所以a=,b=,c=4. 所以双曲线=1的实轴长为2,虚轴长为2,焦点坐标为(0,-4),(0,4),虚轴端点坐标为(-,0),(,0),离心率为,渐近线方程为y=±x. (2)将方程20x2-25y2=500化为=1,所以a=5,b=2,c=3,所以双曲线=1的实轴长为10,虚轴长为4,焦点坐标为(-3,0),(3,0),虚轴端点坐标为(0,-2),(0,2),离心率为,渐近线方程为y=±x. (1)过点P(3,-),离心率为; (2)与椭圆=1有公共焦点,且离心率e=. 解 (1)若双曲线的焦点在x轴上, 则设其方程为=1(a>0,b>0). ∵e=,∴=2,又a2+b2=c2,∴a2=b2.① 又双曲线过P(3,-),∴=1,② 由①②得a2=b2=4,故双曲线的标准方程为=1. 若双曲线的焦点在y轴上,则设其方程为=1(a>0,b>0),同理有a2=b2, ③ =1,④ 由③④得a2=b2=-4(舍去). 综上,双曲线的标准方程为=1. (2)由椭圆方程=1,知半焦距为, ∴焦点是F1(-,0),F2(,0). 设双曲线方程为=1(a>0,b>0). 由已知条件,有解得 ∴所求双曲线的标准方程为-y2=1. 解 (1)由题意可设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),且2a=10,2b=8, ∴a=5,b=4,∴所求双曲线的标准方程为=1. (2)由题意可设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),且2c=10,2b=8, ∴c=5,b=4,a2=c2-b2=9, ∴所求双曲线的标准方程为=1. (3)∵e=,c2=a2+b2,∴a=b. 当焦点在x轴上时,设双曲线方程为x2-y2=a2(a>0). ∵双曲线过点M(-5,3),∴a2=16. ∴双曲线的标准方程为=1. 当焦点在y轴上时,设双曲线方程为y2-x2=a2(a>0). ∵双曲线过点M(-5,3),∴a2=9-25=-16,无解. 综上可知,所求双曲线的标准方程为=1. (2)顶点为(0,-6),(0,6),渐近线方程为y=±x; (3)渐近线方程为y=±x,且经过点(3,2). 解 (1)由题意设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则2a=2且=2,即a=1,b=2,故所求双曲线的标准方程为x2-=1. (2)由题意设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则a=6,,即b=8, 故所求双曲线的标准方程为=1. (3)由题意设双曲线的方程为y2-(x)2=λ,即y2-x2=λ. 将点(3,2)的坐标代入上式得4-×18=λ,λ=-4,故y2-x2=-4.因此,所求双曲线的标准方程为=1. 2.与双曲线=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线方程可设为 =λ(λ≠0);若已知双曲线的渐近线方程=0或y=±x,则双曲线方程可设为=λ(λ≠0).当λ>0时,焦点在x轴上;当λ<0时,焦点在y轴上. 解 由题意设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ>0),即=1(λ>0),因为双曲线的一个焦点是F1(-6,0),所以2λ=36,所以λ=18.所以双曲线的标准方程为 =1. 变式训练4已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一个焦点F(c,0)到C的一条渐近线的距离为c,则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析 因为C的一个焦点F(c,0)到C的一条渐近线的距离为c,不妨取一条渐近线方程为y=-x,即bx+ay=0,所以=b=c,两边平方得4c2=49b2.又b2=c2-a2,所以4c2=49(c2-a2),化简得,所以. 故选C. 【例5】 (1)双曲线方程为-y2=1,其中a>0,双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=1相切,则双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析 根据题意,可以求得双曲线的渐近线的方程为x±ay=0,而圆(x-2)2+y2=1的圆心为(2,0),半径为1,结合题意有=1,结合a>0,求得a=,所以c==2,所以有e=,故选A. (2)已知F1,F2是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B,A,若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为(　　) A. B.4 C. D. 又e>1,所以e=.故选A. ①求a,b,c的值,由e2==1+直接求e; A. B.1 C. D.2 解析 因为双曲线的渐近线方程为x±y=0,所以a=b,所以c=a,双曲线的率心率e=. (2)已知点F(1,0).若直线l:x=-1与双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为(　　) A. B. C.2 D. 解析 由已知得渐近线方程为y=±x,将x=-1代入得y=∓, ∴|AB|=. 由|AB|=4|OF|得=4,故=2,()2==5,∴e=,故选D. 1.[探究点一(角度1)]若双曲线x2-=1的一条渐近线的斜率是-2,则实数k的值为(　　) A.4 B. C.-4 D.- 解析 双曲线x2-=1的一条渐近线的斜率是-2, 可得=2,解得k=4. 2.[探究点一(角度1)·2021全国卷,文]点(3,0)到双曲线=1的一条渐近线的距离为(　　) A. B. C. D. 解析 由题意可知,双曲线的渐近线方程为=0,即3x±4y=0,结合对称性,不妨考虑点(3,0)到直线3x+4y=0的距离d=.故选A. 3.[探究点一、二(角度2)]已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦点到渐近线的距离为1,且与椭圆=1有公共焦点,则双曲线C的渐近线方程为 (　　) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 4.[探究点一(角度2)](多选题)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的两个顶点分别为A1(-a,0),A2(a,0),P,Q的坐标分别为(0,b),(0,-b),且四边形A1PA2Q的面积为2,四边形A1PA2Q内切圆的周长为,则双曲线C的方程可以为(　　) A.-y2=1 B.x2-=1 C.=1 D.=1 6.[探究点一(角度1)·2021全国乙,理13]已知双曲线C:-y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则C的焦距为　　　　　.  解析 由双曲线方程可知其渐近线方程为±y=0,即y=± x,得-=-,解得m=3. 可得C的焦距为2=4. =1或=1. (2)设双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0), 即=1(λ≠0),由题意得a=3. 当λ>0时,=9,λ=36,双曲线方程为=1; 当λ<0时,=9,λ=-81,双曲线方程为=1. 故所求双曲线的标准方程为=1或=1. 解 如图所示,与渐近线平行的直线l的斜率为,又直线l过右焦点F(c,0),则直线l的方程为y=(x-c).因为点P的横坐标为2a,代入双曲线方程得=1,化简得y=-b或y=b(点P在x轴下方,故舍去), 故点P的坐标为(2a,-b),代入直线方程得-b=(2a-c), 化简可得离心率e==2+. A.3 B.2 C. D. 解析 设椭圆与双曲线的标准方程分别为=1(a>b>0),=1 (m>0,n>0),因为它们共焦点,所以设它们的半焦距均为c,所以椭圆与双曲线的离心率分别为e1=,e2=,由点M,O,N将椭圆长轴四等分可知m=a-m,即2m=a,所以=2. 11.已知双曲线=1(a,b均为正数)的两条渐近线与直线x=-1围成的三角形的面积为,则双曲线的离心率为(　　) A. B. C.2 D.2 解析 双曲线的渐近线为y=±x,令x=-1,可得y=∓,不妨令A(-1,),B(-1,-), 所以|AB|=,所以S△AOB=|AB|·|xA|=, 所以|AB|=2,即=2,所以, 所以e==2.故选D. 12.(多选题)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右两个顶点分别是A1,A2,左、右两个焦点分别是F1,F2,P是双曲线上异于A1,A2的任意一点,给出下列结论,其中正确的是(　　) A.||PA1|-|PA2||=2a B.直线PA1,PA2的斜率之积等于定值 C.使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有四个 D.若=b2,则=0 13.设双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线分别交双曲线的左、右两支于M,N.若以MN为直径的圆经过右焦点F2,且|MF2|=|NF2|,则双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 则=0,又|MF2|=|NF2|, 可得△MNF2为等腰直角三角形, 设|MF2|=|NF2|=m,则|MN|=m, 即有m=2a. 过F2作MN的垂线交于点H,则|F2H|=2a. 在直角三角形HF1F2中可得4c2=4a2+(2a+2a-2a)2,化为c2=3a2, 即e=. A.与=1(a>0,b>0)共轭的双曲线是=1(a>0,b>0) (1)双曲线的渐近线方程为y=±x; (2)双曲线=1(0<a<b)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,且原点到直线l的距离为c. 解 (1)若焦点在x轴上,则, 故e=. 若焦点在y轴上,则,即, 故e=. 综上所述,双曲线的离心率为. (2)依题意,得直线l:bx+ay-ab=0.由原点到l的距离为c,得c,即ab=c2, ∴16a2b2=3(a2+b2)2,即3b4-10a2b2+3a4=0, ∴3-10×+3=0.解得=3. ∵0<a<b,∴=3.∴e==2. 17.已知双曲线C的焦点F(,0),双曲线C上一点P到F的最短距离为 . λ=,求λ的取值范围. 解 (1)∵双曲线C的焦点F(,0),双曲线C上一点P到F的最短距离为,可设双曲线的方程为=1, ∴c=,c-a=,∴a=, ∴b2=c2-a2=()2-()2=1,则双曲线的方程为-y2=1,令-y2=0,则y=±x,即渐近线方程为y=±x. (2)设P的坐标为(x0,y0),则Q的坐标为(-x0,-y0), ∴λ==(x0,y0-1)·(-x0,-y0-1)=-+1=-+2. ∵|x0|≥,∴λ的取值范围是(-∞,-1]. $$