2.7.2 抛物线的几何性质 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

第二章　平面解析几何 2.7.2　抛物线的几何性质 人教B版 数学 选择性必修第一册 课程标准 1.掌握抛物线的简单几何性质; 2.了解抛物线几何性质的简单应用; 3.理解四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同; 4.能用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 抛物线y2=2px(p>0)的几何性质 x≥0 离心率 1 过关自诊 抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些? 解 抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线.它没有中心,而椭圆和双曲线有中心. 知识点2 抛物线四种形式的标准方程及其性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 准线方程 x=- x= y=- y= 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e=1 名师点睛 1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析, 其共同点:(1)顶点都为原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的 ;(4)焦点到准线的距离均为p. 其不同点:开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号. 2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.(　　) (2)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.(　　) √ √ 2.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为(　　) A.y2=8x B.y2=-8x C.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y C 解析 设抛物线方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),依题意得x= ,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,∴2|y|=2p=8,p=4,∴抛物线方程为y2=8x或y2=-8x. 3.[人教A版教材习题]填空题. (1)准线方程为x=2的抛物线的标准方程是　　　　　;  (2)抛物线y2=8x上与焦点的距离等于6的点的坐标是　　　 　　.  y2=-8x 重难探究·能力素养全提升 探究点一　抛物线的几何性质的应用 【例1】 (1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则△AOB的面积是(　　) A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2 B 解析 因为抛物线的对称轴为x轴,内接△AOB为等腰直角三角形,所以由抛物线的对称性知,直线AB与抛物线的对称轴垂直,从而直线OA与x轴的夹角为45°. (2)[人教A版教材习题]抛物线y2=2px(p>0)上一点M与焦点F的距离|MF|=2p,求点M的坐标. 解 设M(x0,y0)是抛物线上满足条件的点,由题意知,抛物线y2=2px(p>0)的 规律方法　研究抛物线的几何性质要从三个方面入手: (1)开口:由抛物线的标准方程看图象开口,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负. (2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴. (3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1. 变式训练1已知抛物线y2=8x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围; (2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长. 解 (1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x≥0. (2)由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,设垂足为点M(图略). 探究点二　抛物线中弦长问题 【例2】 [人教A版教材例题]斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长. 解 由题意可知,p=2, =1,焦点F的坐标为(1,0),准线方程为x=-1. 设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B两点到准线的距离分别为dA,dB,由抛物线的定义,可知|AF|=dA=x1+1,|BF|=dB=x2+1,于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2. 因为直线l的斜率为1,且过焦点F(1,0),所以直线l的方程为y=x-1.① 将①代入方程y2=4x,得(x-1)2=4x,化简,得x2-6x+1=0. 所以x1+x2=6,|AB|=x1+x2+2=8,所以,线段AB的长是8. 变式探究1将条件中“斜率为1”改为“垂直于x轴”,求线段AB的长. 解 因为焦点坐标为(1,0),p=2,则|AB|=4. 变式探究2[人教A版教材习题]过点M(2,0)作斜率为1的直线l,交抛物线y2=4x于A,B两点,求|AB|. 解 直线l的方程为y-0=1·(x-2),即y=x-2. 与抛物线的方程联立,消去y,得x2-8x+4=0. 设A(xA,yA),B(xB,yB),由根与系数的关系,得xA+xB=8,xAxB=4, 规律方法　求抛物线弦长问题的方法 (1)一般弦长公式 (2)焦点弦长 设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p,然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2即可. (3)解决焦点弦问题时,应注意焦点弦的几何性质.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率等问题,注意利用根与系数的关系,设而不求,能避免繁杂的计算. A 解析 抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,设点A(x1,y1),B(x2,y2),依题意,x1-(-1)=3,解得x1=2,显然,直线l的斜率存在且不为0,设其方程为 探究点三　与抛物线有关的最值问题 【例3】 (1)[北师大版教材习题]已知点P在抛物线y2=-4x上,求点P到椭圆 解 设P(x,y),由已知可得椭圆的左顶点为A(-4,0),所以|PA|2=(x+4)2+y2=x2+4x+16=(x+2)2+12≥12,当x=-2时,|PA|取得最小值2 . (2)求抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的最小距离. 解 (方法一)设A(t,-t2)为抛物线上的点,则点A到直线4x+3y-8=0的距离 (方法二)如图,设与直线4x+3y-8=0平行的抛物线的切线方程为4x+3y+m=0, 规律方法　1.求抛物线上一点到定直线的距离的最值,最常见的解题思路: 一是利用抛物线的标准方程进行消元代换,得到有关距离的含变量的代数式,以计算函数最值来解决. 二是转化两平行线间距离,代入两平行线间距离公式可求得. 2.建立形与数的联系,提升数形结合的能力,有利于优化解题的方式与方法. 变式训练3已知P为抛物线y= x2上的动点,P在x轴上的射影为H,点A的坐标为(12,6),则|PA|+|PH|的最小值是(　　) A.13 B.12 C.11 D.10 B 解析 化抛物线y= x2为标准形式x2=4y,得它的焦点为F(0,1),准线为l:y=-1, 延长PH交准线于G,连接PF,根据抛物线的定义,得|PA|+|PH|=|PA|+|PG|-1 =|PA|+|PF|-1.∵|PA|+|PF|≥|AF|, ∴当且仅当P,A,F三点共线时,|PA|+|PF|=|AF|为最小值. 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.[探究点一]已知抛物线C:y2=8x上一点A到焦点F的距离等于6,则直线AF的斜率为(　　) D 解析 由题意,点F(2,0),因为|AF|=xA+2=6,可得xA=4,又因为点A在抛物线上, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.[探究点二]过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|=(　　) A.6 B.8 C.9 D.10 B 解析 因为直线AB过焦点F(1,0),所以|AB|=x1+x2+p=6+2=8.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.[探究点一](多选题)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为(　　) A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y CD 解析 设抛物线方程为x2=2py或x2=-2py(p>0),2p=8,p=4,∴抛物线方程为x2=8y或x2=-8y. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.[探究点三]已知抛物线y2=8x的准线为l,点P是抛物线上的动点,直线l1的方程为2x-y+3=0,过点P分别作PM⊥l,垂足为M,PN⊥l1,垂足为N,则|PM|+|PN|的最小值为(　　) B 解析 令抛物线y2=8x的焦点为F,则F(2,0),连接PF,如图. 因为l是抛物线y2=8x的准线,点P是抛物线上的动点,且PM⊥l于M,于是 得|PM|=|PF|,点F(2,0)到直线l1:2x-y+3=0的距离 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 又PN⊥l1于N,显然点P在点F与N之间,于是有|PM|+|PN|=|PF|+|PN|≥d,当且仅当F,P,N三点共线时取“=”,所以|PM|+|PN|的最小值为d= .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.[探究点二](多选题)已知抛物线C:x2=4y,其焦点为F,准线为l,PQ是过焦点F的一条弦,点A(2,2),则下列说法正确的是( 　　) A.焦点F到准线l的距离为2 B.焦点F(1,0),准线方程l:x=-1 C.|PA|+|PF|的最小值是3 D.以弦PQ为直径的圆与准线l相切 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.[探究点三]已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+ y2+3的最小值是　　　　　.  3 解析 因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0, 所以当x=0时,z最小,其值为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.[探究点一]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点是F,A是C的准线上一点,线段AF与C交于点B( ,y0),O为坐标原点,且S△AOF=3,则p=　　　　　.  3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.[探究点二]已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1. (1)求p的值; (2)直线l:y=x-1交抛物线于A,B两点,求弦长|AB|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 级 关键能力提升练 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,直线l':x-y+2=0,动点M在C上运动,记点M到直线l与l'的距离分别为d1,d2,O为坐标原点,则当d1+d2最小时,cos∠MFO的值为(　　) A 解析 由抛物线的定义可知,d1=|MF|,设MN⊥l',垂足为N, ∴d1+d2=|MF|+|MN|, 当M,F,N三点共线时,d1+d2最小. ∵抛物线C:y2=4x,∴焦点F(1,0), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设直线l'与x轴的交点为D,令y=0,得x=-2,即FD=2+1=3,在Rt△DNF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(多选题)已知直线l: x-y- =0过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线C交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M,N,则下列说法错误的是(　　) A.抛物线的方程为y2=4x BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l于A,若直线AF的倾斜角为120°,那么|PA|=　　　　　.  4 解析 如图,令抛物线的准线l交x轴于点E,连接PF,点F(1,0),直线l:x=-1. 因为直线AF的倾斜角为120°,则有∠AFE=60°,又PA⊥l于A,即PA∥x轴,得∠PAF=60°. 由抛物线定义知|PF|=|PA|,于是得△PAF为正三角形, 即|PA|=|AF|=2|EF|=4,所以|PA|=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 级 学科素养创新练 14.(多选题)已知抛物线C:y= x2,过焦点F的直线交抛物线C于A(x1,y1), B(x2,y2)两点,直线AO,BO分别与直线m:y=-2相交于M,N两点,则下列说法正确的是( 　　) A.焦点F的坐标为(0,2) B.y1y2=1 D.△AOB与△MON的面积之比为定值 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析 由题意知抛物线方程为x2=4y,其焦点坐标为(0,1),故A错误; 显然直线AB的斜率存在,设斜率为k,则直线AB的方程为y=kx+1, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (4,4),(4,-4) 由方程组 所以A,B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p,-2p), 所以|AB|=4p,所以S△AOB=×4p×2p=4p2. 准线方程为x=-. 由抛物线的定义知,|MF|=x0+,所以x0+=2p,解得x0=.将x0=代入y2=2px,得y0=±p. 因此,点M的坐标为(p)或(,-p). 又焦点F是△OAB的重心,则|OF|=|OM|. 因为F(2,0),所以|OM|=|OF|=3,所以M(3,0),故设A(3,m),代入y2=8x得 m2=24,所以m=2或m=-2, 所以A(3,2),B(3,-2), 所以|OA|=|OB|=, 所以△OAB的周长为2+4. ∴|AB|==4. |AB|=|x1-x2|=|y1-y2|. 变式训练2过抛物线C:x=y2的焦点F作直线l交抛物线C于A,B两点,若点A到抛物线的准线的距离为3,则|AB|=(　　) A. B.3 C. D.4 y=k(x-1),由消去y并整理,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,则有x1x2=1,于是得x2=,因此,|AB|=|AF|+|BF|=x1-(-1)+x2-(-1)=,所以|AB|=. 故选A. =1左顶点的距离最小值. d=[3+8]=,所以当t=时,d有最小值. 由 消去y得3x2-4x-m=0,∴Δ=16+12m=0,∴m=-, 故最小距离为. ∵|AF|==13,∴|PA|+|PH|的最小值为13-1=12. A.2 B.±2 C.2 D.±2 所以=32,则yA=±4,所以点A(4,±4),则kAF==±2. 3.[探究点一]若抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴,若|AB|=2,则点A到抛物线的准线的距离为(　　) A. B. C.2 D. 解析 由抛物线y2=2x,其准线方程为x=-, ∵AB垂直于x轴,|AB|=2, A到y轴的距离为,假设A在y轴上侧,即y=, 代入抛物线y2=2x,求得x=1, 点A到抛物线的准线的距离d=1+. A. B. C. D.2+ d=. 因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2, 解析 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点是F(,0),不妨设B在第一象限,则B(),所以kBF=-,则直线AF的方程为y=-(x-).令x=-,得yA=,由S△AOF=3=,解得p=3. 解 (1)由抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1,得-=-1,所以p=2. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得x2-6x+1=0,则x1+x2=6,x1x2=1, 所以|AB|= =8. 10.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点(点A在第一象限),且=4,则直线l的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 解析 如图,过A,B作AA',BB'垂直准线x=-,垂足为A',B', 过B作AA'的垂线,垂足为C. 由抛物线定义知|BF|=|BB'|,|AF|=|AA'|,3|BF|=|AF|,2|BF|=|AC|,所以 cos∠BAC=,∠BAC=,所以直线l的倾斜角为.故选C. A. B. C. D. ∴|FN|=d=. 中,cos∠MFO=cos∠NFD=.故选A. B.线段AB的长度为 C.∠MFN=90° D.线段AB的中点到y轴的距离为 C.||||的最小值为4 联立消去x得到y2-(2+4k2)y+1=0, Δ=16k4+16k2≥0,y1+y2=2+4k2,y1y2=1,故B正确; 由抛物线的性质知||=y1+1,||=y2+1,则 ||||=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1=4+4k2≥4,当且仅当k=0时,||||取得最小值为4,故C正确; 显然∠AOB=∠MON,=(定值),故D正确.故选BCD. $$