2.7.2 抛物线的几何性质（讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学平面解析几何中抛物线的标准方程这一核心知识点，承接椭圆、双曲线等圆锥曲线的学习，通过定义（平面内到定点F与不过F的定直线l距离相等的点的轨迹）构建概念基础，系统梳理四种标准方程（y²=±2px，x²=±2py，p>0）及其焦点坐标、准线方程，形成完整的知识支架。 该资料以梯度化设计为特色，随学随练即时巩固定义应用（如点到焦点距离问题），题型示例涵盖定义应用、求标准方程等核心技能，素养提升题结合传统文化（如彩凤穿花纹碗轴截面）培养数学眼光。课中助力教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化数学思维与应用意识。

第二章 平面解析几何 2.7.1　抛物线的标准方程 课标要点 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界中的作用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程 学习重难点 重点： 抛物线的定义及其标准方程的四种形式． 难点： 应用抛物线的定义及其标准方程解决问题． 知识点一 抛物线的定义 一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线． 随学随练 1．（25-26高一下·重庆·期中）已知抛物线上的点与焦点的距离为7，则到轴的距离为（    ） A． B． C．2 D．4 2．（25-26高二下·湖南长沙·期中）抛物线C：的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线的距离，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 知识点二 抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 特别提醒 (1)抛物线的标准方程是由焦点到准线的距离p以及焦点的位置确定的． (2)焦点坐标中横(纵)坐标的值是抛物线标准方程中一次项系数的，准线方程中的数值是抛物线标准方程中一次项系数的－. (3)注意抛物线的标准方程和二次函数的一般形式的区别与联系． [拓展]　灵活设抛物线上点的坐标 (1)当抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)这一类型时，可设抛物线上点的坐标为. (2)当抛物线的方程为x2＝2py(p≠0)这一类型时，可设抛物线上点的坐标为. 设点的坐标时注意横、纵坐标的范围限制． 随学随练 3．（25-26高二下·山西朔州·期中）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·云南昭通·期中）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 题型抛物线的定义及其应用 ▌例1（25-26高二上·河南·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在上，，则点到直线的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌对点练1-1．（2024·四川南充·三模）已知为抛物线上一点，点到抛物线焦点的距离为，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 题型求抛物线的标准方程 ▌例1（25-26高二上·上海·期中）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二上·河北唐山·阶段检测）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 题型 利用抛物线的定义求轨迹方程 ▌例1（25-26高二下·上海闵行·期中）抛物线方程为，则此抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二下·北京海淀·期中）抛物线的焦点为，若点在上且横坐标为，则（   ） A．9 B．5 C．4 D．3 基础通关 1．（2026·北京海淀·一模）抛物线的焦点为F，点A在W上，且，则线段中点的横坐标为（   ） A．2 B． C．3 D． 2．（2026·山东济宁·一模）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东清远·期末）若点在抛物线上，点的纵坐标为1，则点到抛物线的准线的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D． 4．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 5．（25-26高二下·河南·期中）彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样．某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为1cm，曲线，均是焦点到准线的距离为5cm的抛物线的一部分，则该碗的高度为（    ） A．8cm B．10cm C．9cm D．11cm 6．（25-26高二下·河南濮阳·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则（    ） A．4 B．3 C． D． 7．（2026·四川广安·二模）已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为抛物线的焦点，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 8．（2026·广东·模拟预测）已知抛物线，则其焦点坐标为（    ）． A． B． C． D． 9．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 10．（2026·广东广州·一模）已知抛物线：（）的焦点为，圆：与交于，两点，若直线与直线的斜率之积为，则（   ） A．3 B． C．4 D．5 素养提升 11．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点Q在其准线上，三角形PQF为等边三角形，则P点的横坐标为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，D两点，若，且的面积为，则（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高二下·河北石家庄·期中）已知抛物线：的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．8 14．（25-26高二下·福建福州·期中）已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 15．（25-26高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，点是抛物线：的焦点，点，在抛物线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二下·湖南长沙·期中）（多选）已知是抛物线的焦点，M是C上的点，为坐标原点，为抛物线的准线，过点M作于，则（    ） A． B． C．不可能为等边三角形 D．线段FQ的垂直平分线经过点M 17．（25-26高三上·河北·开学考试）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B． C．的面积为 D． 18．（25-26高三下·甘肃武威·期中）（多选）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，则（    ） A． B．的方程为 C．原点到直线的距离为 D． 19．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为______________ 20．（25-26高二下·陕西安康·期中）记抛物线，为坐标原点，直线与抛物线交于、两点，且，，则______ 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 平面解析几何 2.7.2　抛物线的几何性质 课标要点 1.了解抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.了解抛物线的简单应用． 学习重难点 重点： 抛物线的几何性质． 难点： 抛物线的几何性质的应用． 知识点一 抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 性质 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0，0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 随学随练 1．（25-26高二下·四川达州·期中）若抛物线的焦点在圆上，则_________． 【答案】4 【分析】将抛物线焦点代入圆的方程求解即可. 【详解】根据题意可得的焦点为，则，解得． 2．（25-26高二上·陕西安康·期末）若直线与曲线有且仅有一个公共点，则__________. 【答案】 【分析】联立方程组得到，再结合题意建立方程，求解参数即可. 【详解】联立方程组，可得， 因为直线与曲线有且仅有一个公共点， 所以，解得. 故答案为： 题型抛物线的简单几何性质　 ▌例1（25-26高二下·重庆·期中）抛物线：的焦点是，不过原点的直线与抛物线相交于，两点，且，直线与抛物线相交于点，直线与抛物线相交于点，则________． 【答案】/ 【分析】设，利用得出，再利用三点共线得出，即可求出，代入计算即可. 【详解】由题意得，， 设，其中， 因为，所以， 因为，即， 所以，即， 因为，所以，同理可得，， 则， 故. ▌对点练1-1．（25-26高一下·北京·期中）已知点，抛物线的焦点为，准线为，则过点和且与抛物线的准线相切的圆有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】因为，所以点在抛物线上，又焦点， 由抛物线的定义知，过点、且与相切的圆的圆心即为线段的垂直平分线与抛物线的交点， 这样的交点共有2个，故过点、且与相切的圆有2个. 题型由抛物线的几何性质求标准方程 ▌例1（（25-26高三下·云南昭通·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线方程为，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点（异于原点O），抛物线在P，Q两点处的切线交于点T. (1)求抛物线C的标准方程； (2)证明：点T在定直线上； (3)在（2）的结论下，求此时的面积最小值，并求此时直线的方程. 【答案】(1) (2) 抛物线的焦点坐标为，设过的直线方程为， 直线与抛物线交点、坐标分别为、且， 联立直线方程和抛物线方程可得， 化简可得， 根据韦达定理可得，， 对抛物线求导可得， 因此在处的切线斜率为，则切线方程为， 因为在抛物线上，所以，代入可得， 同理可得在处的切线方程为， 联立两条切线方程可得，化简可得， 因为，所以解得，代入可得， 因为 ，所以，即点在定直线上. (3)， 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 由题意可知，准线方程为，即，解得， 因此抛物线的标准方程为. （2）略 （3）， ， 因此， 设点到直线的距离为，，的方程为， ， 因此， 因为，所以当时，取到最小值1， 因此的最小值为， 此时直线的方程为. ▌对点练1-1（25-26高二下·湖北·期中）已知抛物线：的焦点为，上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为. (1)求抛物线的标准方程； (2)如图，已知过点的直线，与分别交于点与点，（其中点在第一象限）直线与直线交于点，线段与的中点分别为. ①证明：点在定直线上； ②若直线，直线的斜率分别为，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) ①设，，，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立消去整理得， 所以，， 联立，消去，可得，所以，， 所以直线的方程为， 即， 同理直线的方程为， 联立，得， 即， 即， 即， 所以，即点在直线上. ② 【分析】（1）根据抛物线的定义，把到的距离与到点的距离之和的最小值转化为到准线的距离为和到点的距离之和的最小值，再根据平面几何即可得出答案； （2）①设，，，，计算出直线的方程和直线的方程，然后联立并根据韦达定理即可证明；②计算出，再根据基本不等式求解. 【详解】（1）如图，设点到准线的距离为， 抛物线的准线方程为，由抛物线的定义，得，解得， 当且仅当三点共线时，等号成立，所以抛物线的标准方程为. （2）①略 ②由题意可知，，的斜率存在且均不为0， 因为，所以设直线的方程为，则直线的方程为， 由①知，，.所以，， 所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，又易知，所以的取值范围为. 题型 抛物线几何性质的应用 ▌例1（25-26高二下·广东深圳·期中）已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】直线方程与抛物线方程联立，求得，利用抛物线定义可得，再根据基本不等式得结果. 【详解】由题知，的焦点，准线为， 如图，作准线，准线， 联立，得， ，解得， 设，则， 又， 当且仅当时等号成立. ▌对点练1-125-26高二下·云南大理·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，其中为的中点，为坐标原点，则下列说法正确的为（    ） A．若直线的方程为，则 B． C．点的轨迹方程为 D． 【答案】ACD 【分析】先联立抛物线与直线方程，利用韦达定理得到交点坐标关系，再根据各选项要求，结合中点公式，焦半径公式、弦长公式等进行推理判断. 【详解】 已知抛物线为，其焦点为，直线的方程为， 联立抛物线与直线方程可得：，化简可得：， 由题意可得直线与抛物线交于两点，所以， 设，则由韦达定理可得：， 代入直线的方程可得：，所以利用中点公式可得：， 在A选项中，若直线的方程为：，则，所以，A选项正确， 在B选项中，，B选项错误， 在C选项中，，所以，C选项正确， 在D选项中，， D选项正确.    基础通关 1．（25-26高三下·江西景德镇·期中）已知O为坐标原点，过焦点的直线与抛物线交于两点，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】显然直线不垂直于轴，设其方程为，， 由消去得，则， 因此，而， 所以. 2．（25-26高二下·湖北荆州·期中）已知是抛物线上不同的点，点，若，则（ ） A． B． C．60 D．80 【答案】D 【分析】首先确定抛物线参数，然后利用向量条件求出，最后利用焦半径公式求出模长的和. 【详解】 抛物线方程，则， 焦点，即焦点为，准线为， 由焦半径公式可知，抛物线上任意一点， 到焦点的距离， 设，则向量， 已知， 由向量加法的坐标运算得 则，解得， 由焦半径公式， ． 3．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知是抛物线上不同的点，点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 抛物线方程，则，焦点，即焦点为，准线为， 由焦半径公式可知，抛物线上任意一点，到焦点的距离： ， 设，则向量， 已知，由向量加法的坐标运算得： ，则，解得， 由焦半径公式， ． 4．（2026·湖南郴州·三模）已知点，抛物线的焦点为，点是抛物线上一动点，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】设到准线的距离为，则．然后求出．判断当与抛物线相切时，最小，即取得最大值，再利用切线性质计算即可得. 【详解】抛物线的准线方程为， 设到准线的距离为，则， 则， 则当与抛物线相切时，最小，即取得最大值， 设过点的直线与抛物线相切， 联立，得， ，解得， 即有，解得，把代入得， 或，此时. 5．（25-26高二下·上海·期中）如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直交直线于点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【详解】由题意知翻折后点E与落点F重合，因此折痕l是线段的垂直平分线， 点P在l上，根据垂直平分线性质可得， 结合抛物线定义判断：已知，因此PF就是点P到定直线CD的距离， 即点P满足：到定点E的距离等于到定直线CD的距离，符合抛物线的定义， 因此点P的轨迹是抛物线的一部分. 另解： 如下图所示，以为原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系， 设，，则，，，， 因为是的中点，所以， 因为翻折后落在上，落点为，所以设的坐标为， 折痕是和连线的垂直平分线，的中点坐标为， 的斜率为，因此的斜率为， 所以的点斜式方程为， 在上，且，设P的坐标为， 代入可得，化简可得， 因为点的坐标为，把替换成可得点的轨迹方程为， 是一个二次函数，所以点的轨迹为抛物线的一部分. 6．（25-26高二下·上海·期中）对于问题“已知直线l过抛物线的焦点F，且交抛物线于P、Q两点，由P、Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R、S，设，，M为线段RS的中点，求的长度”，甲同学解得，乙同学解得．则下列正确的选项为（   ） A．只有甲同学正确 B．只有乙同学正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【详解】如下图所示，连接，， ， ， 由抛物线的定义可知， ， ， 同理，，从而可得， 由直角三角形的性质可知， ， . 7．（25-26高二下·安徽马鞍山·期中）已知抛物线：上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【详解】 抛物线：的焦点，准线：， 设点到准线的距离为，点到准线的距离为， 所以. 8．（25-26高二下·北京延庆·期中）过抛物线的焦点的一条直线与它交于两点，过点和此抛物线顶点的直线与抛物线的准线交于点，则（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】设抛物线方程为，将过焦点直线与抛物线联立，设交点为，表示出直线PO及M坐标，然后由韦达定理可得表示到准线距离，由抛物线定义可判断选项正误. 【详解】设抛物线方程为：，则焦点为，准线为. 再设过的直线为：，， 将直线与抛物线方程联立，则，判别式， 设，由韦达定理：. 则直线方程为：，其与准线联立可得M纵坐标为： ，从而，即表示到准线距离， 然后由抛物线定义可得：.    9．（25-26高一下·重庆·期中）已知点为曲线图象上的动点，直线，曲线，下列说法正确的是（    ） A．不存在定点，使得等于到直线的距离 B．存在定点，使得等于到直线的距离 C．曲线与曲线有两个不同的交点 D．曲线与曲线有四个不同的交点 【答案】BC 【分析】抛物线向左平移1个单位，并向上平移2个单位得到曲线,从而可求出曲线焦点坐标，准线方程，由抛物线定义即可判断A，B； 先将化为，即曲线为两直线，,将直线方程与联立即可得解. 【详解】抛物线向左平移1个单位，并向上平移2个单位得到曲线， 故曲线焦点为，准线方程为，即定点符合题意，选项B正确，A错误； 因为可化为， 即曲线为两条直线，. 与联立得，化简得，故与有一个交点； 同理与有一个交点. 曲线与曲线有两个不同的交点，选项C正确，D错误. 10．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知抛物线：（）的焦点也是椭圆的一个焦点，过点作的两条切线，斜率分别为，，对应的切点分别为，，则（   ） A． B．（） C．点在直线上 D．的中点到轴的距离为 【答案】ACD 【分析】求出焦点坐标，设出切线方程并与抛物线方程联立，结合抛物线定义逐项求解判断. 【详解】椭圆的右焦点为，即为的焦点，则，抛物线：， 对于A，显然，设过点的切线方程为， 由，得， 令，整理得， 依题意，，是此方程的两个实数根，则，A正确； 对于B，是的实数根，则，同理，B错误； 对于C，点的坐标分别为，直线的方程为， 化简得，而，得， 又，则直线过点，即点在直线上，C正确； 对于D，的准线方程为，设分别为到准线的距离， 由抛物线的定义知，的中点到准线的距离为， 所以的中点到轴的距离为，D正确. 素养提升 11．（2026·四川·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，过点A，B作C的准线l的垂线，垂足分别为，，则（   ） A．l的方程为 B．为正三角形 C． D．的面积为 【答案】ABD 【详解】抛物线的焦点在直线上，则，解得， 对于A，抛物线的准线l的方程为，A正确； 对于B，由，解得或，， ，为正三角形，B正确； 对于C，由选项B得，，，C错误； 对于D，点到直线的距离，，，D正确. 12．（25-26高三上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，过的直线交于，两点，交的准线于点.若，则下列说法中正确的有（ ） A．抛物线的方程为： B． C． D．的面积为 【答案】ACD 【分析】由椭圆方程可得其焦点坐标，可得，进而求解判断A；设，根据抛物线的定义及可求得，不妨取，进而求得直线的方程为，可得，，进而求解判断BCD. 【详解】由于椭圆的焦点坐标为， 则，即，所以抛物线的方程为：，故A正确； 由，设，则，即， 又，则，结合对称性，不妨取， 则，即直线的方程为，即， 联立，解得或，即， 则，故B错误； 而，故C正确； 点到直线的距离为， 则，故D正确. 故选：ACD    13．（2026·福建宁德·二模）设抛物线的焦点为，准线为.过的直线交于两点，过，作的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B．的最小值为2 C．若为的中点，则 D．点到上点的距离的最小值为3 【答案】AC 【详解】对于A，因为抛物线的焦点为，准线为， 所以，由抛物线的定义可知：，故A正确； 对于B，设直线的方程为， 联立，设， 所以， 由抛物线的定义可知： ， 当时，的最小值为4，故B错误； 对于C，若为的中点，,, 因为所以，所以， 又因为 所以，故C正确； 对于D，设上任意一点为，则该点到的距离为： ， 当时，，故D错误. 14．（25-26高二下·浙江·期中）抛物线，分别为坐标原点和抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，表示直线的斜率，则下列结论正确的是（    ） A．当时，弦长等于8 B．的最小值为6 C．为定值 D．当存在时，的中垂线恒过定点 【答案】AC 【分析】设，对于A，求出直线的方程，联立方程，再根据焦点弦公式求解即可；对于B，设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再根据焦半径公式结合基本不等式即可判断；对于C，根据数量积的坐标公式判断即可；对于D，求出中垂线的方程判断即可. 【详解】由题意，设， 对于A，当时，直线的方程为， 联立，消得，， 则， 所以，故A正确； 对于B，易得直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立，消得， 则，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故B错误； 对于C，由B选项得， 即为定值，故C正确； 对于D，由B选项得， 则线段的中点坐标为，线段的中垂线所在直线的斜率为， 所以中垂线所在直线的方程为， 即， 该方程含三次项，无法对任意找到固定点使得等式成立， 所以当存在时，的中垂线不过定点，故D错误. 15．（25-26高二下·浙江杭州·期中）设抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过且垂直于的直线交准线于，则（   ） A．准线方程为 B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据抛物线的性质、焦点弦公式、韦达定理等知识逐项计算判断即可. 【详解】由题意得，，准线方程为，所以A正确； 设直线的方程为，. 联立，得，即. 根据韦达定理. 由抛物线的焦点弦长公式，C正确； 因为，所以直线的斜率为，则直线的方程为. 令，可得，即. 点到直线的距离. 所以，所以D错误. 当时，轴，此时， 则，此时，所以B错误. 16．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点的坐标为，则当取得最小值时，点的坐标为__________． 【答案】 【详解】 如图，抛物线的准线方程为，过点作，垂足为， 由抛物线定义可知，所以， 当时，取得最小值，所以，则， 此时点的坐标为． 17．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限的交点为，若，则直线的斜率为__________. 【答案】/ 【详解】如图： 将直线与抛物线方程联立，消去，可得： ， 整理得：. 设，，则，. 根据焦半径公式，，， 由，所以， 因为，所以. 结合. 因为、在第一象限，所以，. 所以. 所以直线的斜率为：. 18．（25-26高二下·上海·期中）已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为2. (1)求的值和抛物线的准线方程； (2)直线与抛物线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点，求实数的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据抛物线的几何性质可得； （2）利用韦达定理，结合求解可得. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为， 因为焦点F到准线的距离为2，所以. 故抛物线的标准方程为： （2）由（1）可得抛物线方程为，联立得， 因为直线与抛物线C有两个交点， 所以，，解得且， 设，则， 得， 因为以为直径的圆经过坐标原点，所以， 所以，解得. 19．（25-26高二上·上海·期末）如图，已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点．    (1)设，求线段中点到轴的距离； (2)若直线的倾斜角为，求面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由求出即可求解； （2）设，直线的方程：与抛物线方程联立，求出、，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得三角形的高，再由三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为过焦点的直线交抛物线于A，B两点，且， 设，则由抛物线的性质可得， 又由题，所以， 所以线段中点的横坐标即为线段中点到轴的距离为. （2）由直线的倾斜角为，则直线斜率为1，焦点为，所以直线的方程：， 将直线与抛物线联立，整理可得，        设，所以，， 所以，                        原点到直线的距离，      所以.    20．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知抛物线C的顶点在原点，焦点为，斜率为的直线l与抛物线C相交于两点． (1)求抛物线C的标准方程； (2)若，求l的方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据抛物线的焦点即可求解方程， （2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，根据抛物线的焦半径即可求解. 【详解】（1）由焦点，可得，得， 因此抛物线C的标准方程为． （2）设， 联立方程组，得， 韦达定理知， ， ， 则l的方程． 试卷第1页，共28页 学科网（北京）股份有限公司 $