2.8 直线与圆锥曲线的位置关系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

第二章　平面解析几何 2.8　直线与圆锥曲线的位置关系 人教B版 数学 选择性必修第一册 课程标准 1.理解直线与圆锥曲线的三种位置关系; 2.能用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题; 3.掌握数形结合思想的应用. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,有且只有一个公共点及有两个相异的公共点. (2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程,消元后所得方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0. 如消去y后得ax2+bx+c=0. ①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合). ②若a≠0,设Δ=b2-4ac. Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点; Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点; Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点. 过关自诊 1.直线y=x+1与椭圆x2+ =1的位置关系是(　　) A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 C 因为Δ=22+12=16>0,所以直线与椭圆相交. 2.椭圆与圆类似,是封闭曲线,能否用中心到直线的距离来判断直线与椭圆的位置关系? 解 不能.椭圆虽然与圆类似,但中心到椭圆上各点的距离不完全相等. 知识点2 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长 (2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,利用轴上两点间距离公式直接运算. 过关自诊 顶点在原点,焦点在x轴上且截直线2x-y+1=0所得弦长为 的抛物线方程为　　　　　　　　　　.  y2=12x或y2=-4x 解析 设所求抛物线的方程为y2=ax(a≠0).① 直线方程变形为y=2x+1,② 设抛物线截直线所得弦为AB. 将②代入①,整理得4x2+(4-a)x+1=0, 重难探究·能力素养全提升 探究点一　判断位置关系 角度1.点与椭圆位置关系的判断 【例1】 已知点P(k,1),椭圆 =1,点P在椭圆外,则实数k的取值范围为　　　 　　.  变式探究若将本例中P点坐标改为“P(1,k)”呢? 规律方法　处理点与椭圆位置关系问题时,紧扣判定条件,然后转化为解不等式等问题,注意求解过程与结果的准确性.对于椭圆来说: 角度2.直线与圆锥曲线的位置关系判断 【例2】 [北师大版教材例题]讨论直线l:y=kx+1与双曲线C:x2-y2=1的公共点的个数. 消去y,整理,得(1-k2)x2-2kx-2=0. (1)当k=1时,x=-1. (2)当k=-1时,x=1. (3)当k≠±1时,Δ=4k2+8(1-k2)=8-4k2. 规律方法　判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,可将直线l的方程代入曲线C的方程,消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0). (1)当a≠0时,若Δ>0,则直线l与曲线C相交;若Δ=0,则直线l与曲线C相切;若Δ<0,则直线l与曲线C相离. (2)当a=0时,即得到一个一次方程,则直线l与曲线C相交,且只有一个交点.此时,若C为双曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行于抛物线的对称轴. (3)当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线或抛物线可能相切,也可能相交. 变式训练1[北师大版教材例题]已知直线l经过点A(0,1),且与抛物线C:y2=x有唯一的公共点,求直线l的方程. 解 如图. (1)当直线l的斜率不存在时,直线l:x=0(y轴)与抛物线C相切于原点,符合条件. (2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+1. ①当k2=0时,直线l的方程为y=1,此时,方程组有唯一的实数解,符合条件; ②当k2≠0时,方程(*)有唯一的实数解的充要条件是Δ=(2k-1)2-4k2=0,解得 此时,方程组有唯一的实数解,符合条件. 综上,满足题意的直线l有三条:x=0,y=1,y= x+1. 探究点二　相交弦长问题 【例3】 [北师大版教材例题]已知直线l过椭圆C: =1的中心,且交椭圆C于A,B两点,求|AB|的取值范围. 解 (1)当直线l的斜率不存在时,直线l:x=0,代入椭圆方程解得 (2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx. 将椭圆方程化简、整理,得x2+2y2=4. 将②代入①,得x2+2(kx)2=4,化简、整理,得(2k2+1)x2=4.③ 规律方法　若直线l与圆锥曲线F(x,y)=0相交于A,B两点,求弦AB的长可用下列两种方法: (1)把直线的方程与圆锥曲线的方程联立,解得点A,B的坐标,然后用两点间距离公式,便得到弦AB的长,一般来说,这种方法较为麻烦. (2)不求交点坐标,可用一元二次方程根与系数的关系求解. 设直线方程为y=kx+m,与圆锥曲线F(x,y)=0交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则 当k=0时,直线平行于x轴,∴|AB|=|x1-x2|. 变式训练2[人教A版教材例题]如图,过双曲线 =1的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|. 解 由双曲线的标准方程可知,双曲线的焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0). 因为直线AB的倾斜角是30°,且经过右焦点F2,所以直线AB的方程为 探究点三　中点弦问题 (1)以P(2,-1)为中点的弦所在直线的方程; (2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程; (3)过Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程. 解 设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为R(x,y),则2x=x1+x2,2y=y1+y2. 又A,B两点均在椭圆上, 两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1+y2)(y1-y2), 规律方法　对中点弦问题,常用的解题方法——平方差法,其解题步骤为 变式训练3[人教A版教材习题]已知双曲线x2- =1,过点P(1,1)的直线l与双曲线相交于A,B两点,P能否是线段AB的中点?为什么? 解 P不能是线段AB的中点.理由:设A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,线段AB的中点为M(x0,y0),因为过点P(1,1)的直线l与双曲线x2- =1相交于A,B两点,易知,直线l的方程不是x=1. 设经过点P的直线l的方程为y-1=k(x-1),即y=kx-k+1. 与双曲线的方程联立并消去y,得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k2≠0).① 当k=2时,方程①变为2x2-4x+3=0,此时Δ=16-24=-8<0,所以方程①没有实数根. 所以不能作一条直线l与双曲线交于A,B两点,使P是线段AB的中点. 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.[探究点一(角度1)]若直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆 =1的交点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.1或2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.[探究点一(角度2)]过点(1,2)且与双曲线x2- =1没有交点的直线l斜率的取值范围是(　　) A.(2,+∞) B.[2,+∞) C.[-2,2] D.[-2,+∞) B 解析 由题意,l的斜率存在,设直线l的方程为y-2=k(x-1),与双曲线方程联立, 消去y,并整理得(4-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-8=0. 若4-k2=0,即k=±2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当k=2时,方程即为-4=0,方程无解,直线l与双曲线无交点,符合题意; 当k=-2时,方程即为16x-20=0,方程有一个解,此时直线l与双曲线有一个交点,不符合题意. 若4-k2≠0,∵过点P(1,2)的直线l与双曲线没有交点, ∴Δ=[2(k2-2k)]2-4(4-k2)(-k2+4k-8)=64(-k+2)<0,解得k>2. 综上所述,直线l斜率的取值范围是[2,+∞).故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.[探究点二]过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,若两点的横坐标之和为5,则|AB|=　　　　　.  7 解析 由抛物线方程可得p=2,则由抛物线定义可得|AB|=xA+xB+p=5+2=7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.[探究点二·人教A版教材习题]经过椭圆 +y2=1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l,直线l与椭圆相交于A,B两点,则线段AB的长为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求椭圆的标准方程及离心率; (2)过点P(0,2)的斜率为2的直线l交椭圆于A,B两点,求△OAB的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B 级 关键能力提升练 9.已知抛物线的方程为y2=8x,若过点Q(-2,0)的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(　　) A.[-1,1] B.[-1,0)∪(0,1] C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) A 解析 由题意知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y并整理,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0. 当k=0时,显然满足题意; 当k≠0时,Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0,解得-1≤k<0或0<k≤1. 综上,-1≤k≤1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线的斜率为 且经过点F,直线l与抛物线C交于点A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AF|=4,则以下结论正确的是( 　　) A.p=2 B.F为AD中点 C.|BD|=2|BF| D.|BF|=2 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 面积等于12,这样的点P共有　　　　　个.  2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求椭圆的方程; (2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为坐标原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由题意,设P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0). 设直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知直线l:y=x+b与抛物线C:y2=4x. (1)若直线l与抛物线C相切,求实数b的值; (2)若直线l与抛物线C相交于A,B两点,且|AB|=8,求直线l的方程. 解 (1)∵直线l与抛物线C相切, ∴Δ=(2b-4)2-4b2=16-16b=0⇒b=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)方程联立可知x2+(2b-4)x+b2=0, ∴x1+x2=4-2b,x1x2=b2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知抛物线C:y2=2px过点A(1,1). (1)求抛物线C的方程; (2)若过点P(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合).设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值. (1)解 由题意得2p=1,所以抛物线方程为y2=x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)证明 设M(x1,y1),N(x2,y2), 直线MN的方程为x=t(y+1)+3, 代入抛物线方程得y2-ty-t-3=0. 所以Δ=(t+2)2+8>0,y1+y2=t,y1y2=-t-3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求满足上述条件的点M(x,y)的轨迹C的方程; (2)设曲线C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点P,Q,点A(0,-1),当|AP|=|AQ|时,求实数m的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为- .记M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程,并说明C是什么曲线; (2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G. ①证明:△PQG是直角三角形; ②求△PQG面积的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)①证明:设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k>0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由消元, 解析 联立消去y,得3x2+2x-1=0, |P1P2|=或|P1P2|=(k≠0). 则|AB|=,解得a=12或a=-4,所以所求抛物线的方程为y2=12x或y2=-4x. 解析 依题意得,>1,解得k<-或k>,故实数k的取值范围为. 解 依题意得,>1,解得k2>,即k<-或k>,故实数k的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞). 点P(x0,y0)与椭圆=1(a>b>0)的位置关系: 点P在椭圆上⇔=1; 点P在椭圆内部⇔<1; 点P在椭圆外部⇔>1. 解 联立方程组 若Δ>0,则-<k<;若Δ=0,则k=±;若Δ<0,则k<-或k>. 综上,当k<-或k>时,直线l与双曲线C没有公共点; 当k=±时,直线l与双曲线C相切于一点; 当k=±1时,直线l与双曲线C相交于一点; 当-<k<-1或-1<k<1或1<k<时,直线l与双曲线C有两个公共点. 由方程组消去y并整理,得k2x2+(2k-1)x+1=0.(*) k=, A(0,),B(0,-),所以|AB|=2. 将直线和椭圆方程联立,得 显然,无论k取何值,方程③都有实数解,xA=,xB=-. 由两点间的距离公式,可得|AB|==4. 为了便于求|AB|的取值范围,将④进行变形整理,得|AB|=4. 因为4k2+2≥2,由不等式的性质可得0<,所以2<|AB|≤4. 综合(1)和(2)的结果,|AB|的取值范围为[2,4]. |AB|== =; 或当k≠0时,|AB|=|y1-y2| =. y=(x-3).① 由消去y,得5x2+6x-27=0. 解方程,得x1=-3,x2=. 将x1,x2的值分别代入①,得y1=-2,y2=-. 于是,A,B两点的坐标分别为(-3,-2),(,-). 所以|AB|==. 【例4】 已知椭圆=1,求: 故有+4=16,+4=16. 故kAB==-=-. (1)由kAB=-,得所求轨迹方程为x-2y-4=0. (2)由kAB=-=2,得所求轨迹方程为x+8y=0(-4≤x≤4). (3)由kAB=-,得所求轨迹方程为(x-4)2+4(y-1)2=20(-4≤x≤4). x0=. 令=1,则k=2. 2.[探究点三]已知双曲线中心在原点,且一个焦点为F(,0),直线y=x-1与双曲线交于M,N两点,且MN中点的横坐标为-,则此双曲线的方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 得 4.[探究点三]已知椭圆C:=1,过点P(1,1)的直线l与椭圆C交于A,B两点,若点P恰为弦AB中点,则直线l的斜率是(　　) A.-3 B.- C.- D.- 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2,则=1,=1,两式相减得=-,所以=-=-=-,即直线l的斜率是-.故选C. 7.[探究点一(角度2)]在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q,求k的取值范围. 解 由已知条件知直线l的方程为y=kx+,代入椭圆方程得+(kx+)2=1, 整理得x2+2kx+1=0, 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2-4=4k2-2>0,解得k<-或k>, 所以k的取值范围为. 8.[探究点二]椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其中F2(,0),O为原点,椭圆上任意一点到F1,F2的距离之和为2. 解 (1)由题意,c=,2a=2, ∴a=,b2=a2-c2=1, ∴椭圆的标准方程为+y2=1,离心率为e=. (2)由题得直线l的方程为y=2x+2,代入椭圆方程得13x2+24x+9=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则Δ=108>0,x1+x2=-,x1x2=. ∴|AB|=|x1-x2|=. 又∵点O到直线AB的距离d=, ∴S△OAB=×d×|AB|=,即△OAB的面积为. 11.直线=1与椭圆=1相交于A,B两点,椭圆上的点P使△PAB的 解析 易知直线=1过点(4,0),(0,3),则(4,0),(0,3)即为直线与椭圆交点,不妨设A(4,0),B(0,3),AB==5. 设P到直线AB的距离为h,则AB·h=12,解得h=, 作与直线AB平行且与椭圆相切的直线l,设l:=m, 联立椭圆方程 化简得x2-4mx+8m2-8=0,由Δ=0解得m=±,则l:=-. 又因为与AB的距离为=-与AB的距离为,故这样的点P共有2个. 12.设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为. 解 (1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,,又a2=b2+c2,可得a=,b=2,c=1. 所以,椭圆的方程为=1. 程联立 整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-,代入y=kx+2得yP=,进而直线OP的斜率. 在y=kx+2中,令y=0,得xM=-. 由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-. 由OP⊥MN,得·(-)=-1,化简得k2=,从而k=±.所以,直线PB的斜率为或-. ∴联立得x2+(2b-4)x+b2=0, 又|AB|=8,且|AB|=, ∴8==4⇒1-b=2⇒b=-1,满足Δ>0,∴直线l的方程为y=x-1. 所以k1·k2==-,所以k1·k2是定值. 15.已知向量a=(x,y),b=(1,0),且(a+b)⊥(a-b). 解 (1)∵(a+b)⊥(a-b),∴(a+b)·(a-b)=0,∴a2-3b2=0,∴x2+3y2=3, 即点M(x,y)的轨迹C的方程为+y2=1. (2)由得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.∵曲线C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点,∴Δ=(6km)2-12(1+3k2)(m2-1)=12(3k2-m2+1)>0,即3k2-m2+1>0, ① 且x1+x2=-,x1x2=. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点N(x0,y0),则 ∵|AP|=|AQ|,∴PQ⊥AN. 设kAN表示直线AN的斜率,又k≠0,∴kAN·k=-1,即·k=-1,得3k2=2m-1. ② ∵3k2>0,∴m>. 将②代入①得2m-1-m2+1>0,即m2-2m<0, 解得0<m<2,∴m的取值范围为. 解 (1)由题设得=-,化简得=1(|x|≠2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点. 由得x=±. 记u=,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0). 于是直线QG的斜率为,方程为y=(x-u). 由得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0. (ⅰ) 设G(xG,yG),则-u和xG是方程(ⅰ)的解,故xG=,由此得yG=. 从而直线PG的斜率为=-. 所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形. ②由①得|PQ|=2u,|PG|=, 所以△PQG的面积S=|PQ||PG|=. 设t=k+,则由k>0,得t≥2,当且仅当k=1时取等号. 因为S=在区间[2,+∞)内单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为. 因此,△PQG面积的最大值为. $$