第二章 平面解析几何 章末总结提升课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

第二章　平面解析几何 章末总结提升 人教B版 数学 选择性必修第一册 知识网络·整合构建 专题突破·素养提升 目录索引 知识网络·整合构建 专题突破·素养提升 专题一　求曲线的方程 角度1.待定系数法求曲线的方程 待定系数法求曲线方程是求曲线方程的最常用的方法,首先要牢记各类曲线方程的形式,并根据题目中已知条件选择合适的形式设出方程,如求直线的方程多设点斜式和斜截式,圆的方程需要选择标准方程还是一般方程,椭圆、双曲线、抛物线需要根据焦点位置进行选择. 【例1】 (1)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=(　　) C 解析 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A,B,C代入, 则圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0. 令x=0得y2+4y-20=0. 设M(0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得 (2)已知双曲线的渐近线方程是y=± x,且双曲线经过点M(4,3),则双曲线的标准方程为　　　　　　　　.  规律方法 变式训练1(1)(多选题)下列说法正确的是( 　　) A.直线y=ax-2a+1必过定点(2,1) B.直线3x-2y+4=0在y轴上的截距为-2 ACD 解析 2a-2a+1=1,所以点(2,1)在直线上,A正确; 对3x-2y+4=0,令x=0,得y=2,直线3x-2y+4=0在y轴上的截距为2,B错误; 设直线l的方程为ax+by+c=0,沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移2个单位长度后得a(x+3)+b(y-2)+c=0,即ax+by+c+3a-2b=0,它就是 (2)求经过点A(-2,-4)且与直线l:x+3y=26相切于点B(8,6)的圆C的一般方程. 解 设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 因为点A(-2,-4),B(8,6)在圆C上,CB⊥l, 故圆C的一般方程为x2+y2-11x+3y-30=0. 角度2.求轨迹的方程 求轨迹的方程时多数先通过数形结合的方法判断所求曲线是否满足圆锥曲线的定义,如果满足可用定义法求解,如果无法判断可用直接法求解,注意检验. 【例2】 (1)已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A,B的椭圆,求椭圆的另一个焦点F的轨迹方程. (2)设A(-c,0),B(c,0)(c>0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0),求P点的轨迹. (1)解 ∵|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14, |AF|+|AC|=|BF|+|BC|, ∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2,故点F的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为2的双曲线的一支.又c=7,a=1,b2=48,故点F的轨迹方程是y2- =1(y≤-1). 当a=1时,P点的轨迹为直线x=0,即y轴. 规律方法　 变式训练2过双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程. 解 设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x1,y1),则点N的坐标为(2x-x1,2y-y1). 因为点N在直线x+y=2上,所以2x-x1+2y-y1=2.① 又因为PQ垂直于直线x+y=2, 将③④代入⑤,得动点P的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0. 专题二　圆锥曲线的性质 角度1.圆锥曲线中的最值与范围问题 【例3】 已知M(x,y)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3). (1)求|MQ|的最大值和最小值; (3)求y-x的最大值和最小值. 解 (1)由圆C:x2+y2-4x-14y+45=0,可得(x-2)2+(y-7)2=8, 设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0. ∵直线MQ与圆C有交点, (3)设y-x=b,则x-y+b=0. 当直线y=x+b与圆C相切时,截距b取到最值, ∴b=9或b=1. ∴y-x的最大值为9,最小值为1. 规律方法　求圆锥曲线范围(最值)问题的策略 (1)数形结合的思想,将代数式转化为其几何意义,多考查距离、倾斜角、斜率、截距等. (2)化归转化的思想,借助圆锥曲线的定义将问题进行变形转化. 变式训练3(1)若椭圆C: =1的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆C上一动点,则下列说法中不正确的是(　　) A.当点P不在x轴上时,△PF1F2的周长是6 B.当点P不在x轴上时,△PF1F2面积的最大值为 C.存在点P,使PF1⊥PF2 D.|PF1|的取值范围是[1,3] C 对于选项A,根据椭圆定义,|PF1|+|PF2|=2a=4,又|F1F2|=2c=2,所以△PF1F2的周长是2a+2c=6,故选项A正确. 对于选项C,由椭圆性质可知,当点P为椭圆C短轴的一个端点时,∠F1PF2为最大,此时,|PF1|=|PF2|=a=2, 又|F1F2|=2,则△PF1F2为正三角形,∠F1PF2=60°,所以不存在点P,使PF1⊥PF2,故选项C错误. 对于选项D,由椭圆的性质可知,当点P为椭圆C的右顶点时,|PF1|取最大值,此时|PF1|=a+c=3; 当点P为椭圆C的左顶点时,|PF1|取最小值,此时|PF1|=a-c=1,所以|PF1|∈[1,3],故选项D正确.故选C. ABD 角度2.离心率问题 离心率问题是圆锥曲线中考查的热点问题,多与焦点、渐近线相结合考查,只要掌握好基本的公式和概念,充分理解题意,大都可以顺利求解,求解过程中注意数形结合方法的应用. 【例4】 (1)已知中心在坐标原点的双曲线C与抛物线x2=2py(p>0)有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,且AF⊥y轴,则双曲线的离心率为(　　) B 解析 因为双曲线与抛物线有相同的焦点,所以2c=p.① 设双曲线的另一焦点为F1,则AF=p,FF1=p, D 规律方法　 解析 如图所示.根据余弦定理|AF|2=|BF|2+|AB|2-2|AB|·|BF|cos∠ABF,即|BF|2-16|BF|+64=0,得|BF|=8. 又|OF|2=|BF|2+|OB|2-2|OB|·|BF|cos∠ABF,得|OF|=5. 根据椭圆的对称性|AF|+|BF|=2a=14,得a=7. (2)点P是双曲线 =1(a>0,b>0)和圆x2+y2=a2+b2的一个交点,且2∠PF1F2=∠PF2F1,其中F1和F2是双曲线的两个焦点,则双曲线的离心率为　　　　　.  解析 由圆x2+y2=a2+b2,得x2+y2=c2, ∴圆过焦点F1和F2. ∴∠F1PF2=90°. 又2∠PF1F2=∠PF2F1, 专题三　位置关系的判断 直线与圆锥曲线位置关系的判断可通过联立直线方程和圆锥曲线方程而成的方程组,通过确定方程组解的个数来判断其位置关系,一般转化为消元之后的Δ,通过Δ的取值范围来确定.特别地,对于直线与圆,圆与圆的位置关系多用几何法判断. 【例5】 (1)直线y=x+1与椭圆 =1的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 A 解析 (方法一)联立直线与椭圆的方程得 消去y得9x2+10x-15=0, Δ=100-4×9×(-15)>0,所以直线与椭圆相交. (方法二)直线过点(0,1),而0+ <1,即点(0,1)在椭圆内部,所以可推断直线与椭圆相交. C 规律方法　弦长公式 B (2)(多选题)以下四个命题表述正确的是(　　) A.直线mx+4y-12=0(m∈R)恒过定点(0,3) B.圆C:x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线4x-3y+3=0的距离为2 C.圆C1:x2+y2+2x=0与圆C2:x2+y2-4x-8y+4=0恰有三条公切线 D.两圆x2+y2+4x-4y=0与x2+y2+2x-12=0的公共弦所在的直线方程为x+2y+6=0 AC 解析 对于A选项,当x=0时,y=3,所以直线过定点(0,3),故A选项正确; 对于B选项,圆C的圆心为(1,4),到直线4x-3y+3=0的距离为 =1,故B选项错误; 对于C选项,圆C1的圆心为(-1,0),半径r1=1;圆C2的圆心为(2,4),半径r2=4, 专题四　圆锥曲线的综合应用 圆锥曲线的综合应用多涉及弦长、焦点弦及弦中点、取值范围等问题,其中定点、定值问题,探究性问题是热点问题. 角度1.定点问题 【例6】 已知A(-2,0),B(2,0),点C是动点,且直线AC和直线BC的斜率之积 (1)求动点C的轨迹方程; (2)设直线l与(1)中轨迹相切于点P,与直线x=4相交于点Q,判断以PQ为直径的圆是否过x轴上一定点. (2)(方法一)易知直线l的斜率存在,设直线l:y=kx+m.联立得方程组 消去y并整理,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0. 依题意得Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=0, 即3+4k2=m2. 又Q(4,4k+m),设R(t,0)为以PQ为直径的圆上一点, 综上可知,以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1,0). 即x0(1-t)+t2-4t+3=0. 由x0的任意性,得1-t=0且t2-4t+3=0,解得t=1. 综上可知,以PQ为直径的圆过x轴上一定点(1,0). 规律方法　圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点. (2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关. 变式训练6已知抛物线C的顶点在原点,焦点在坐标轴上,点A(1,2)为抛物线C上一点. (1)求抛物线C的方程; (2)若点B(1,-2)在抛物线C上,过点B作抛物线C的两条弦BP与BQ,若kBP·kBQ=-2,求证:直线PQ过定点. (1)解 若抛物线的焦点在x轴上,设抛物线方程为y2=ax,代入点A(1,2),可得a=4,所以抛物线方程为y2=4x.若抛物线的焦点在y轴上,设抛物线方程为 (2)证明 因为点B(1,-2)在抛物线C上,所以由(1)可得抛物线C的方程是y2=4x. 易知直线BP,BQ的斜率均存在,设直线BP的方程为y+2=k(x-1),将直线BP的方程代入y2=4x,消去y,得k2x2-(2k2+4k+4)x+(k+2)2=0. 在上述方程中,令x=3,解得y=2, 所以直线PQ恒过定点(3,2). 角度2.定值问题 (2)试探求△OPQ的面积S是否为定值,并说明理由. ②当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y=kx+b. 消去y并整理得(4k2+1)x2+8kbx+4b2-4=0, 其中Δ=(8kb)2-4(4k2+1)(4b2-4)=16(1+4k2-b2)>0,即b2<1+4k2, 综合①②,△POQ的面积S为定值1. 规律方法　圆锥曲线中定值问题的两大解法 (1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关; (2)引起变量法:其解题流程为 (1)求实数a的值; (2)求证:直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值,并求出此定值. 角度3.最值问题 【例8】 已知点A(4,-2),F为抛物线y2=8x的焦点,点M在抛物线上移动,当|MA|+|MF|取最小值时,点M的坐标为(　　) D 解析 如图,过点M作抛物线的准线l的垂线,垂足为E.由抛物线的定义知|MF|=|ME|.当点M在抛物线上移动时,|ME|+|MA|的值在变化,显然当M移到M'时,A,M',E'三点共线,|M'E'|+|M'A|最小,此时AM'∥Ox.把y=-2代入 【例9】 已知F1,F2为椭圆x2+ =1的两个焦点,AB是过焦点F1的一条动弦,求△ABF2面积的最大值. 解 由题意,知|F1F2|=2.经分析,当直线AB的斜率不存在时,不满足题意.故设直线AB的方程为y=kx+1,代入椭圆的方程2x2+y2=2,得 规律方法　与圆锥曲线有关的最值问题,大都是些综合性问题,解法灵活,技巧性强,涉及代数、三角、几何诸方面的知识,这类问题的求解策略与方法如下: (1)平面几何法. 平面几何法求最值问题,主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解. (2)目标函数法. 建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题,是常规方法,其关键是选取适当的变量建立目标函数. 变式训练8长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动,M为AB的中点,则点M到y轴的最短距离为　　　　　.  1 解析 如图,抛物线y2=2x的准线为l:x=- ,过A,B,M分别作AA',BB',MM'垂直于l,垂足分别为A',B',M'.由抛物线定义,知|AA'|=|FA|,|BB'|=|FB|. 又M为AB中点,由梯形中位线定理,得 角度4.探索性问题 线段为RS,当l⊥x轴时,|RS|=3. (1)求椭圆C的标准方程; (2)在x轴上是否存在一点T,使得当l变化时,总有TS与TR所在直线关于x轴对称?若存在,请求出点T的坐标;若不存在,请说明理由. (2)当直线l垂直于x轴时,显然x轴上任意一点T都满足TS与TR所在直线关于x轴对称. 当直线l不垂直于x轴时,假设存在T(t,0)满足条件,设l的方程为y=k(x-1), R(x1,y1),S(x2,y2). 即2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0,③ 将①代入③得 则t=4,综上所述,存在T(4,0),使得当l变化时,总有TS与TR所在直线关于x轴对称. 规律方法　此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件,则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在,否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式,再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论. 变式训练9已知动点P到定点F(1,0)和到直线x=2的距离之比为 ,设动点P的轨迹为曲线E,过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A,B两点,直线l:y=mx+n与曲线E交于C,D两点,与AB相交于一点(交点位于线段AB上,且与A,B不重合). (1)求曲线E的方程; (2)当直线l与圆x2+y2=1相切时,四边形ACBD的面积是否有最大值?若有,求出其最大值及对应的直线l的方程;若没有,请说明理由. (2)设C(x1,y1),D(x2,y2),由条件可得|AB|= . 当m=0时,显然不合题意. 当m≠0时,∵直线l与圆x2+y2=1相切, 等号成立. ∵直线l与线段AB有交点, A.2 B.8 C.4 D.10 得解得 y1+y2=-4,y1y2=-20,故|MN|=|y1-y2|==4. =1 解析 ∵双曲线的渐近线为y=±x, ∴设双曲线方程为y2-x2=λ. ∵双曲线经过点M(4,3), ∴9-×16=λ,得λ=-3. ∴双曲线的标准方程为=1. C.直线x+y+1=0的倾斜角为120° D.若直线l沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移2个单位长度后,回到原来的位置,则该直线l的斜率为- 直线x+y+1=0的斜率为-,倾斜角为120°,C正确; ax+by+c=0,所以3a-2b=0,所以k=-=-,D正确.故选ACD. 所以 整理得解得 (2)解 设动点P的坐标为(x,y). 由=a(a>0)得=a, ① 化简①得(1-a2)x2+2c(1+a2)x+c2(1-a2)+(1-a2)y2=0. ② 当a≠1时,x2+x+c2+y2=0, 整理得+y2=. 当a=1时,化简②得x=0,所以当a≠1时,P点的轨迹是以为圆心,为半径的圆; 所以=1,即x-y+y1-x1=0.② 联立①②解得 又点Q在双曲线x2-y2=1上,所以=1.⑤ (2)求的最大值和最小值; ∴圆心C的坐标为(2,7),半径r=2. 又|QC|==4, ∴|MQ|max=4+2=6,|MQ|min=4-2=2. (2)可知表示直线MQ的斜率k. ∴≤2,可得2-≤k≤2+, ∴的最大值为2+,最小值为2-. ∴=2, 解析 由椭圆方程可知a=2,b=,从而c==1. 对于选项B,设点P(x0,y0)(y0≠0),因为|F1F2|=2,则|F1F2|·|y0|=|y0|. 因为0<|y0|≤b=,则△PF1F2面积的最大值为,故选项B正确. (2)(多选题)已知P(x,y)为曲线x=2上一动点,则(　 　) A.的最小值为1 B.存在一个定点和一条定直线,使得P到定点的距离等于P到定直线的距离 C.P到直线y=-x-2的距离的最小值小于 D.的最小值为6 解析 由x=2,得x2=4y(x≥0),则曲线x=2为抛物线x2=4y的右半部分(含原点). 因为抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),准线为l:y=-1,所以B正确;=|PF|≥1,A正确;原点到直线y=-x-2的距离为,数形结合可知,原点到直线y=-x-2的距离是最短距离,C错误. 设点A(1,5)到准线l:y=-1的距离为d,P到准线l:y=-1的距离为d1,则=|PF|+|PA|=d1+|PA|≥d=5+1=6,D正确. 故选ABD. A. B.+1 C.+1 D. 所以AF1=p.由双曲线的定义,知AF1-AF=2a, 即p-p=2a,② ①②相除,得e=+1. (2)椭圆=1(a>b>0)的焦距为2c,若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c,则椭圆的离心率等于(　　) A. B. C.-1 D.-1 解析 当x=c时,由=1,得y=±. 又交点在y=2x上,∴交点坐标为, ∴2c==a-, ∴=1-,即e2+2e-1=0,解得e=-1±. ∵0<e<1,∴e=-1. 变式训练4(1)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则C的离心率e=　　　　　.  又|OF|=c=5,故离心率e=. ∴∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°,于是|PF2|=c,|PF1|=c. 由双曲线的定义,有c-c=2a,∴e=+1. (2)已知斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点,交椭圆于A,B两点,则弦AB的长为(　　) A. B. C. D. 解析 由题意得,a2=4,b2=1,所以c2=3,所以右焦点坐标为(,0),则直线l的方程为y=x-,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消y得,5x2-8x+8=0,则x1+x2=, x1·x2=,所以|AB|=. 即弦AB的长为. (1)设直线与曲线的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=或|AB|=·|y1-y2|=,k为直线斜率且k≠0. (2)圆的弦长l=2(其中R为圆的半径,d为圆心到直线的距离). 变式训练5(1)直线l:y=x+m与圆x2+y2=4相交于A,B两点,若|AB|≥2,则实数m的取值范围为(　　) A.[-2,2] B.[-] C.[-1,1] D.[-] 解析 令圆x2+y2=4的圆心O(0,0)到直线l的距离为d,而圆半径为r=2,弦AB长满足|AB|≥2,则有d=≤1, 又d=,于是得≤1,解得-≤m≤,所以实数m的取值范围为[-].故选B. 圆心距为=5=r1+r2,所以两圆外切,故恰有三条公切线,故C正确; 对于D选项,由两式相减并化简得x-2y+6=0,故D选项错误.故选AC. 为-. 解 (1)设C(x,y). 由题意得kACkBC==-(y≠0), 整理,得=1(y≠0), 故动点C的轨迹方程为=1(y≠0). 设x1,x2为方程(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0的两个根,则x1+x2=, ∴x1=x2=, ∴P,即P. 则由=0,得·(4-t,4k+m)=0. 整理,得(t-1)+t2-4t+3=0. 由的任意性,得t-1=0且t2-4t+3=0,解得t=1. (方法二)设P(x0,y0),则曲线C在点P处的切线PQ:=1.令x=4,得Q. 设R(t,0)为以PQ为直径的圆上一点, 则由=0,得(x0-t)(4-t)+3-3x0=0, x2=my,代入点A(1,2),可得m=,所以抛物线方程为x2=y. 综上所述,抛物线C的方程是y2=4x或x2=y. 设P(x1,y1),则x1=,所以P. 用-替换点P坐标中的k,可得Q((k-1)2,2-2k), 从而直线PQ的斜率为,故直线PQ的方 程是y-2+2k=·[x-(k-1)2]. 【例7】 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+y2=1,点P(x1,y1),Q(x2,y2)是椭圆C上两个动点,直线OP,OQ的斜率分别为k1,k2,若m=,n=,m·n=0. (1)求证:k1k2=-; (1)证明 ∵k1,k2均存在,∴x1x2≠0. 又m·n=0,∴+y1y2=0,即=-y1y2, ∴k1k2==-. (2)解 ①当直线PQ的斜率不存在, 即x1=x2,y1=-y2时,由=-,得=0. 又点P(x1,y1)在椭圆上,∴=1, ∴|x1|=,|y1|=,∴S△POQ=|x1||y1-y2|=1. 联立得方程组 ∴x1+x2=,x1x2=. ∵+y1y2=0,∴+(kx1+b)(kx2+b)=0,得2b2-4k2=1(满足Δ>0), ∴S△POQ=|PQ|=|b|=2|b|=1. 变式训练7已知双曲线E:=1(a>0)的中心为原点O,左、右焦点分别是F1,F2,离心率为,点P是直线x=上任意一点,点Q在双曲线E上,且满足=0. (1)解 由已知离心率e=,又因为b=2,所以c2=a2+4,解得a=. (2)证明 由(1)可知,x=,F2(3,0), 设P(,t),Q(x0,y0),因为=0, 所以)3-,-t)·(3-x0,-y0)=0,所以ty0=(x0-3). 因为Q在双曲线E上,所以E:=1⇒-5), kPQ·kOQ=, 所以直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值,为. A.(0,0) B.(1,-2) C.(2,-2) D. y2=8x,得x=,所以M'的坐标为,故选D. (k2+2)x2+2kx-1=0,则xA+xB=-,xAxB=-, ∴|xA-xB|=. |F1F2||xA-xB|=×2×2=2≤2. 当,即k=0时,△ABF2的面积最大,为. |MM'|=(|AA'|+|BB'|)=(|FA|+|FB|)≥|AB|=×3=, ∴x≥=1(x为M点的横坐标,当且仅当AB过抛物线的焦点时取“=”), ∴x最小值为1,即M点到y轴的最短距离为1. 【例10】 已知椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,短轴的一个端点为P,△PF1F2内切圆的半径为,设过点F2的直线l被椭圆C截得的 解 (1)由内切圆的性质,得×2c×b=×(2a+2c)×,得.将x=c代入=1,得y=±,所以=3.又a2=b2+c2,所以a=2,b=,故椭圆C的标准方程为=1. 联立方程得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,由根与系数的关系得 ① 其中Δ>0恒成立,由TS与TR所在直线关于x轴对称,得kTS+kTR=0(显然TS,TR的斜率存在),即=0. ② 因为R,S两点在直线y=k(x-1)上,所以y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),代入②得==0, =0, 解 (1)设点P(x,y),由题意,可得,得+y2=1. ∴曲线E的方程是+y2=1. ∴=1,得n2=m2+1. 联立消去y得x2+2mnx+n2-1=0, 则Δ=4m2n2-4(n2-1)=2m2>0, x1+x2=-,x1x2=, S四边形ACBD=|AB||x1-x2|=,当且仅当2|m|=,即m=±时 ∴当m=时,n=-;当m=-时,n=. 经检验可知,直线y=x-和直线y=-x+都符合题意. $$