2.1 坐标法课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

第二章　平面解析几何 2.1　坐标法 人教B版 数学 选择性必修第一册 课程标准 1.理解实数与数轴上的点的一一对应关系; 2.掌握数轴上两点形成的向量的坐标及两点间的距离公式、中点坐标公式; 3.掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式; 4.理解坐标法的意义,并会用坐标法解决简单的平面几何问题. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 数轴上的基本公式 (1)数轴的定义 给定了　　　　、　　　　　与　　　　的直线是数轴,数轴上的点与实数是一一对应的.  (2)数轴上的基本公式 ①如果数轴上点A对应的数为x1(即A的坐标为x1,记作A(x1)),且B(x2),则向量 的坐标为　　　;A,B两点之间的距离公式|AB|=| |=|x2-x1|.  ②若A(x1),B(x2),M(x)为数轴上线段AB的中点,则可得到数轴上的中点坐标公式x=　　　　　.  原点 单位长度 正方向 x2-x1 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) 如果数轴上两个向量相等,那么这两个向量的坐标相等.(　　) √ -8 2 2 知识点2 平面直角坐标系中的基本公式 (1)平面直角坐标系中两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离公式 (2)平面直角坐标系内的中点坐标公式 设平面内两点A(x1,y1),B(x2,y2),若线段AB的中点为M(x,y),则 x=　　　,y=　　　　　.  (3)坐标法 通过建立平面直角坐标系,将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算等解决问题,这种解决问题的方法称为坐标法. 名师点睛 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) 用坐标法证明矩形的对角线等长时,可以将矩形两条相邻的边所在的直线分别作为x轴和y轴建立平面直角坐标系.(　　) 2.已知线段AB的端点A(3,4)及中点O(0,3),则点B的坐标为(　　) B √ 3.[北师大版教材习题]求下列两点间的距离: (1)A(-3,2),B(0,3);(2)C(-1,3),D(2,7). 重难探究·能力素养全提升 探究点一　数轴上的坐标运算 【例1】 已知数轴上两点A(a),B(5),分别求出满足下列条件时a的取值. (1)两点间距离为5; (2)两点间距离大于5; (3)两点间距离小于3. 解 数轴上两点A,B之间的距离为|AB|=|5-a|. (1)根据题意得|5-a|=5,解得a=0或a=10. (2)根据题意得|5-a|>5,即5-a>5或5-a<-5,故a<0或a>10. (3)根据题意得|5-a|<3,即-3<5-a<3,故2<a<8. 变式训练1|x-1|+|x+2|的最小值为　　　　.  3 解析 |x-1|可以看作数轴上点x与1之间的距离,|x+2|=|x-(-2)|可以看作数轴上点x与-2之间的距离.所以|x-1|+|x+2|就表示数轴上点x与1和-2之间的距离之和.借助于数轴可以看出,当x位于-2,1之间(包括-2,1)时,x与-2,1之间的距离之和最小,最小值为3. 探究点二　平面直角坐标系中公式的应用 角度1.平面直角坐标系中两点之间距离公式的应用 【例2】 [北师大版教材例题]已知A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l:y=2x+b上的两点,若|x2-x1|=3,求|AB|. 解 因为A(x1,y1),B(x2,y2)在直线l上,所以y1=2x1+b,y2=2x2+b. 由已知|x2-x1|=3,得|y2-y1|=|(2x2+b)-(2x1+b)|=2|x2-x1|=6.根据两点间的距离 规律方法　1.点A(x1,y1)与点B(x2,y2)之间的距离公式还可以变形为|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2,O为原点时,|OA|= . 2.在涉及求平方和的最小值的问题时,可通过两点之间距离公式的形式进行构造变形,利用动点到定点的最小距离求解. 变式训练2已知A(1,3),B(5,2),点P在x轴上,则|AP|+|PB|的最小值为(　　) B 角度2.平面直角坐标系内中点坐标公式的应用 【例3】 已知△ABC的两个顶点A(3,7),B(-2,5),若AC,BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标. 解 设点C的坐标为(x,y),边AC的中点为D,BC的中点为E,则 规律方法　1. 平面内中点 坐标公式的 认识 从公式上看,根据方程思想,可以知二求一,即只要知道公式两边的任意两个量,就可以求出第三个量 从图象上看,只要知道任意两个点,就可以求出第三个点 2.对本题而言,讨论三角形两边的中点在不同的坐标轴上是解题的关键. 变式训练3已知A(x,5)关于C(1,y)的对称点是B(-2,-3),则点P(x,y)到原点O的距离是(　　) D 解析 因为C为AB的中点, 探究点三　坐标法在平面几何图形中的应用 【例4】 已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的平面直角坐标系,证明:|AM|= |BC|. 证明 如图所示,以Rt△ABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系.设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c). 变式探究本例中条件不变,试用坐标法证明:|AB|2+|AC|2=|BC|2. 证明 如图所示,以Rt△ABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系. 设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c),由两点距离公式得 |AB|2=(b-0)2+(0-0)2=b2, |AC|2=(0-0)2+(0-c)2=c2, |BC|2=(b-0)2+(0-c)2=b2+c2, 所以|AB|2+|AC|2=|BC|2. 规律方法　1.建立平面直角坐标系的常见技巧 (1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上. (2)如果图形中有互相垂直的两条直线,那么考虑其作为坐标轴. (3)考虑图形的对称性,可将图形的对称中心作为原点,将图形的对称轴作为坐标轴. 2.“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤 成果验收·课堂达标检测 A 级 必备知识基础练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1.[探究点一]已知A,B都是数轴上的点,A(3),B(-2),则 的坐标为 (　　) A.17 B.1 C.-1 D.-17 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.[探究点二(角度2)]已知点P(1,2),Q(3,0),则线段PQ的中点为(　　) A.(4,2) B.(2,1) C.(2,4) D.(1,2) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.[探究点二(角度2)]点P(2,-1)关于点M(3,4)的对称点Q的坐标为(　　) A.(1,5) B.(4,9) C.(5,3) D.(9,4) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.[探究点二(角度2)]已知平行四边形的三个顶点坐标为(3,-2),(5,2),(-1,4),则第四个顶点坐标不是(　　) A.(9,-4) B.(1,8) C.(-3,0) D.(1,-3) D 解析 设第四个顶点的坐标为(x,y),然后分情况讨论. x=9,y=-4,即(9,-4); (2)若(5,2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(1,8); (3)若(3,-2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(-3,0).故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.[探究点二(角度1)]在平面直角坐标系中,若点(2,b)到原点的距离不小于5,则实数b的取值范围是　　 　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.[探究点二]已知点A(2,1),B(-2,3),C(0,1),则△ABC中,BC边上的中线长为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.[探究点三]用坐标法证明:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 证明 以线段BC的中点为原点,BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设A(a,b),C(c,0)(c>0),则B(-c,0). 又E,F的纵坐标相同,所以EF∥BC. 综上所述,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. B 级 关键能力提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.已知P(cos α,sin α),Q(cos β,sin β),则|PQ|的最大值为(　　) B ∵cos(α-β)∈[-1,1],∴|PQ|∈[0,2].故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.(多选题)下列说法中,不正确的有(　　) A.任何一条直线都有唯一的倾斜角 B.任何一条直线都能找出方向向量 C.任何一条直线都有唯一的斜率 D.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大 CD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.使得|x-3|+|x+1|≥a恒成立的a的取值范围为　　　　　.  (-∞,4] 解析 在数轴上,设点A(x),B(3),C(-1),则|x-3|+|x+1|=|AB|+|AC|的最小值为|BC|=4,所以使|x-3|+|x+1|≥a恒成立的a的取值范围为(-∞,4]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.在平面直角坐标系xOy中,x轴上的动点R到两个定点A(0,1),B(3,3)的距离之和的最小值为　　　　　.  5 解析 如图,设点A(0,1)关于x轴的对称点为A'(0,-1),则AR=A'R,所以AR+BR=A'R+BR≥A'B,所以动点R到两个定点A(0,1),B(3,3)的距离之和的最小值为A'B的长. 因为|A'B|= =5,所以x轴上的动点R到两个 定点A(0,1),B(3,3)的距离之和的最小值为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.[北师大版教材例题] 如图,已知△ABC的三个顶点分别为A(4,3),B(1,2),C(3,-4). (1)试判断△ABC的形状; (2)设点D为BC的中点,求BC边上中线的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 河流的一侧有A,B两个村庄,如图所示,计划在河上共建一座水电站给两村供电.已知A,B两村到河边的垂直距离分别为300 m和600 m,且两村相距500 m.为了使水电站到两村的距离之和最小,水电站P应建在什么位置? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 如图所示,以河边所在直线为x轴,以AC为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,300),B(400,600). 设A关于x轴的对称点为A',则A'(0,-300),连接A'B交OD于点P,此时|PA|+|PB|最小. 2.数轴上A,B,C的坐标分别为-6,4,2,则的坐标为　　　　,|BC|=　　　, ||=　　　　.  |AB|=||=　　　　　　　　.  1.已知A(x0,y0),则=(x0,y0),||=. 2.A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)为顶点的△ABC的重心坐标为(). A.() B.(-3,2) C.(3,2) D.(3,10) 解析 设B(x,y),则解得 故点B的坐标为(-3,2).故选B. 解 (1)|AB|=. (2)|CD|==5. 公式,得|AB|==3. A.6 B. C. D.5 解析 如图,作A(1,3)关于x轴的对称点A'(1,-3),连接A'B交x轴于点P.可知|A'B|即为|AP|+|PB|的最小值,而|A'B|=,故|AP|+|PB|的最小值为. DE􀰿AB.因为AB与坐标轴不平行,所以D,E两点不可能都在x轴或y轴上. 线段AC的中点D的坐标为, 线段BC的中点E的坐标为. 若点D在y轴上,则=0,即x=-3,此时点E的横坐标不为零,点E要在坐标轴上只能在x轴上, 所以=0,即y=-5,所以C(-3,-5). 若点D在x轴上,则=0,即y=-7,此时点E的纵坐标不为零,点E只能在y轴上,所以=0,即x=2,此时C(2,-7).综上可知,符合题意的点C的坐标为 (-3,-5)或(2,-7). A.4 B. C. D. 所以解得故P(4,1),|OP|=. 因为点M是BC的中点,所以点M的坐标为,即. 由两点距离公式得|BC|=, |AM|=, 所以|AM|=|BC|. 3+4 解析 由题意,可得向量的坐标为3,向量的坐标为-2,所以向量3+4的坐标为3×3+4×(-2)=1.故选B. 解析 因为P(1,2),Q(3,0),所以PQ的中点的横坐标为=2,纵坐标为=1,所以线段PQ的中点为(2,1).故选B. 解析 设点Q的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得所以故点Q的坐标为(4,9). (1)若点(3,-2),(5,2)为平行四边形的对顶点,则有,解得 (-∞,-]∪[,+∞) 解析 根据两点的距离公式得点(2,b)到原点的距离d=≥5,即4+b2≥25,所以b2≥21,解得b≤-或b≥. 解析 BC中点坐标为(-1,2),所以BC边上中线长为. 线段AB的中点E的坐标是(),线段AC的中点F的坐标是(), 则|EF|==c. 因为|BC|=2c,所以|EF|=|BC|. A. B.2 C.4 D.2 解析 ∵P(cos α,sin α),Q(cos β,sin β), ∴|PQ|== = =. 解 (1)根据两点间的距离公式,得|AB|=,|BC|==2,|CA|==5,因为()2+(2)2=(5)2,即|AB|2+|BC|2=|CA|2,所以△ABC是直角三角形. (2)因为BC的中点D的横坐标x==2,纵坐标y==-1, 所以BC边上中线的长|AD|==2. 设|OP|=x,则由△OA'P∽△DBP,得.解得x=,故水电站P应建在C,D之间距离点C m的地方. $$