专题05 利用基本不等式、柯西不等式、权方和不等式证明（3大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题05 利用基本不等式、柯西不等式、权方和不等式证明 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、基本不等式证明 2 题型二、柯西不等式证明 3 题型三、权方和不等式 4 压轴能力测评（9题） 4 一、柯西不等式 1.二维形式的柯西不等式 2.二维形式的柯西不等式的变式 3.扩展：，当且仅当时，等号成立. 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了. 二、权方和不等式 权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 证明1： 要证 只需证 即证 故只要证 当且仅当时，等号成立 即，当且仅当时，等号成立. 证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立． 推广1：当时，等号成立． 推广:2：若，则，当时，等号成立. 推广3：若，则，当时，等号成立. 【题型一 基本不等式证明】 一、解答题 1．（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知是正实数. (1)证明：； (2)若，证明：. (3)已知是正数，且，求证：． 2．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，都是正数. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 4．（2023·全国·模拟预测）已知，且． (1)求证：； (2)求的最大值． 5．（22-23高一上·天津·期中）已知，. (1)求证：； (2)求的最大值. 【题型二 柯西不等式证明】 一、解答题 1．（22-23高一上·江西景德镇·阶段练习）已知，，，且. (1)求证：； (2)求证：. 2．（2023·广西南宁·二模）已知a，b，c均为正数，且，证明： (1)若，则； (2). 3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知均为正数，且． (1)证明：； (2)求的最小值． 4．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）（1）已知，求的最大值. （2）已知且，求的最大值. 5．（2024高三·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足． (1)若，求证：； (2)若a，b，，求证：． 【题型三 权方和不等式】 一、填空题 1．（2023高三·全国·专题练习）已知正数，，满足，则的最小值为 2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的最小值是 ． 3．（2023高三·全国·专题练习）已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 . 一、填空题 1．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 2．（2023高三·全国·专题练习）已知，求的最小值为 二、解答题 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知、为正实数，且满足．证明：． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知均为正实数，且．证明： (1)； (2)若，则． 5．（2024·四川南充·三模）若a，b均为正实数，且满足. (1)求的最大值； (2)求证：. 6．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 7．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知正数a，b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 8．（22-23高一上·广东广州·阶段练习）已知正实数a，b，c满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 9．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知，，均为正数 (1)求证：； (2)若，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 利用基本不等式、柯西不等式、权方和不等式证明 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、基本不等式证明 2 题型二、柯西不等式证明 8 题型三、权方和不等式 12 压轴能力测评（9题） 13 一、柯西不等式 1.二维形式的柯西不等式 2.二维形式的柯西不等式的变式 3.扩展：，当且仅当时，等号成立. 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了. 二、权方和不等式 权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 证明1： 要证 只需证 即证 故只要证 当且仅当时，等号成立 即，当且仅当时，等号成立. 证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立． 推广1：当时，等号成立． 推广:2：若，则，当时，等号成立. 推广3：若，则，当时，等号成立. 【题型一 基本不等式证明】 一、解答题 1．（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知是正实数. (1)证明：； (2)若，证明：. (3)已知是正数，且，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用基本不等式证明不等式； （2）应用“1”的代换，结合基本不等式证明不等式； （3）由，应用基本不等式有，即可证结论. 【详解】（1）由， 当且仅当时等号成立，即，得证. （2）由 ， 当且仅当时等号成立，则，得证. （3）由， 当且仅当时等号成立，不等式得证. 2．（23-24高一上·江苏苏州·期中）已知，，都是正数. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：利用作差法证明即可；方法二：利用乘“1”法及基本不等式证明即可； （2）方法一：利用基本不等式求出，则，利用结合二次函数的性质计算可得；方法二：由，利用基本不等式求出的最小值，再由对勾函数的性质求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）方法一:，且，，都是正数， ，当且仅当时取等号， 故. 方法二：，且，，都是正数， 所以 ，当且仅当时取等号， 故. （2）方法一:、都是正数， 当且仅当时取等号， 又，，所以，当且仅当时取等号， ， ，即， ，. 令，其中， 因为在上单调递减， 所以，所以的最小值为. 方法二:因为 都是正数， ，当且仅当，即时取等号， 又， ，当且仅当时取等号， 令，下面即要讨论函数，的最小值； 首先，讨论函数在上的单调性， 对， 有. 函数在上单调递减. 当，即时，取得最小值. ，当且仅当时取等号. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相乘可得结论； （2）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相加化简可得结论. 【详解】证明：（1）∵、都是正数， ∴，，， ∴， 当且仅当时，等号成立． （2）∵，，， ∴，，， ∴， 故，当且仅当， 即时等号成立． 4．（2023·全国·模拟预测）已知，且． (1)求证：； (2)求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过，，，三式相加，可得： . 再根据，，∴，，且，可得结果. （2）先用公式和把原式转化为： ，再用和进行消元，转化为的二次三项式，再用配方法可求最大值. 【详解】（1）因为， 所以， 以上三式相加得， 所以，当且仅当时取等号． 因为，且，所以，，所以， 所以． 故. （2）， ， 当且仅当，时取等号， 的最大值为． 【点睛】结论点睛：叠加法是证明不等式的一种基本方法，若一个复杂的不等式可拆成若干个结构相同的简单不等式，可分别证明，再相加． 5．（22-23高一上·天津·期中）已知，. (1)求证：； (2)求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据综合法结合基本不等式即可证明； （2）把化为，利用（1）的结论即可求得最值. 【详解】（1）因为，，所以，， 所以， 所以，且当且仅当时等号成立，得证. （2）， 因为，，所以， 所以由（1）知 ， 当且仅当且时等号成立，即时等号成立. 所以的最大值为. 【点睛】易错点点睛：利用基本不等式解题的注意点： （1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立. （2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等. （3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号. 【题型二 柯西不等式证明】 一、解答题 1．（22-23高一上·江西景德镇·阶段练习）已知，，，且. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】利用基本不等式或权方和不等式或柯西不等式证明即可. 【详解】（1）方法一：∵，，∴， ∴，即， 同理可的，， 将以上各式相加得：，即. 当且仅当时，取等号. 方法二：，，， 由权方和不等式可得：， 当且仅当，即时，取等号. 方法三：，，， 由柯西不等式可得： ， ∴ ， 当且仅当时，取等号. （2）方法一：∵，，， ∴， ∴，即， ∴， 当且仅当时，取等号. 方法二：∵，，， 由权方和不等式可得：， ∴ 当且仅当时，取等号. 方法三：∵，，， 由柯西不等式可得： ，整理得， 当且仅当时，取等号. 2．（2023·广西南宁·二模）已知a，b，c均为正数，且，证明： (1)若，则； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由基本不等式证明； （2）用柯西不等式证明． 【详解】（1），，， ， 当且仅当，时取等号， ，即； （2）∵a，b，c均为正数，且，由柯西不等式得， ， ， ，当且仅当时取等号． 3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知均为正数，且． (1)证明：； (2)求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)27 【分析】（1）构造基本不等式，利用不等式即可证明； （2）首先由柯西不等式证明，再构造柯西不等式，求的最小值． 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以，故． （2）由柯西不等式得， 当且仅当时上式等号成立，所以． 再由柯西不等式得， 所以， 当且仅当时上式等号成立，所以的最小值为27． 4．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）（1）已知，求的最大值. （2）已知且，求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）令，把不等式转化为，结合基本不等式，即可求解； （2）令，转化为，结合柯西不等式和基本不等式，即可求解. 【详解】 解：（1）由题意，令，解得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. （2）由题意，令，可得， 因为，可得，即， 又由柯西不等式，可得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得，所以实数的最大值为. 5．（2024高三·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足． (1)若，求证：； (2)若a，b，，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，又，结合基本不等式可得，化简求得，得证； （2）法一，由已知条件得，同理可得，，三式相加得证；法二，根据已知条件可得，所以，利用柯西不等式求解证明. 【详解】（1）因为，所以． 因为， 所以，当且仅当时等号成立， 整理得，所以． （2）解法一： 因为，且a，b，， 所以，，，所以， 同理可得，， 以上三式相加得，当且仅当时等号成立． 解法二：因为，且a，b，， 所以，，，且， 所以 ， 当且仅当时等号成立． 【题型三 权方和不等式】 一、填空题 1．（2023高三·全国·专题练习）已知正数，，满足，则的最小值为 【答案】 【分析】根据权方和不等式可得解. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当即时取等号. 故答案为：. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】利用权方和不等式求解最值即可. 【详解】令， 则， 当时，即时，两个等号同时成立，原式取得最小值8． 故答案为：8 3．（2023高三·全国·专题练习）已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】直接根据权和不等式即可得结果. 【详解】由权方和不等式，可知 ==， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 一、填空题 1．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 【答案】 【详解】解法一：设， 可解得， 从而 ， 当且仅当时取等号. 故答案为：． 解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：， ， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：． 2．（2023高三·全国·专题练习）已知，求的最小值为 【答案】 【分析】应用权方和不等式即可求解. 【详解】 当且仅当时取等号 故答案为：60 二、解答题 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知、为正实数，且满足．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】先由题意可得，化简后利用基本不等式可证得，然后再利用基本不等式可证得结论. 【详解】证明：因为、为正实数，且满足， 所以， 当且仅当时取等号， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以原不等式成立． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知均为正实数，且．证明： (1)； (2)若，则． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用柯西不等式推理即得. （2）利用（1）的结论，再作差比较推理即得. 【详解】（1）由均为正实数，得，又， 则 ，当且仅当时取等号， 所以. （2）当时，由（1）得：， 因此，当且仅当时取等号， 则，由，即得取等号， 所以. 5．（2024·四川南充·三模）若a，b均为正实数，且满足. (1)求的最大值； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用柯西不等式直接求解； （2）由分析法转化为求证，换元后由函数单调性得证. 【详解】（1）由柯西不等式得：， 即，故， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最大值为. （2）要证：， 只需证：， 只需证：， 即证：， 由a，b均为正实数，且满足可得， 当且仅当时等号成立，即， 设，则设， 在上单调递增，在上单调递减， 又，， 即. 6．（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式，求得，进而证得. （2）化简，然后利用不等式的性质以及（1）的结论证得. 【详解】（1）， 因为，，，则，当且仅当时等号成立， 所以； （2） ， 由（1）有，有，，有，， 有，当且仅当时等号成立， 所以． 7．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知正数a，b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）利用常值代换法和基本不等式即可求出最小值； （2）将已知式分解因式为，利用常数分离法将所求式化成，再运用基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）因为，，且，则， 所以， 当且仅当，即，即，时等号成立， 故的最小值为． （2）因为，，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为18． 8．（22-23高一上·广东广州·阶段练习）已知正实数a，b，c满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 【答案】(1)3 (2)证明见解析 【分析】(1) 由，有，与相乘，利用基本不等式求最小值. (2) 要证，利用柯西不等式转化为证明，由，只需证，换元，利用基本不等式可证. 【详解】（1）正实数a，b，c满足，由基本不等式， ，当且仅当时等号成立. 的最小值为3. （2），由柯西不等式， ∴ 要证 只需证 即证 由，， 令， ∴，得证. ∴，当且仅当时等号成立., 9．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知，，均为正数 (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分别对两个因式使用均值定理即可. （2）先对原式进行变形简化，然后通过换元，最后使用柯西不等式即可. 【详解】（1）∵，，均为正数， ∴，，均为正数， ∴由三个正数的均值定理，有，当且仅当时等号成立． 又∵，，均为正数， ∴由三个正数的均值定理， 有，当且仅当时等号成立． ∴， 当且仅当时等号成立． ∴. （2）,同理可得, ∴, 设有 则原式=     由可得， ∴ ，当且仅当时等号成立， ∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$