专题04 基本不等式求最值（5大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题04 基本不等式求最值 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、条件等式求最值 2 题型二、常数代换法 2 题型三、消参法 3 题型四、双换元法 4 题型五、二次（一次）商式的最值 5 压轴能力测评（13题） 8 一、重要不等式 ，有，当且仅当时，等号成立. 二、基本不等式 如果，，则，当且仅当时，等号成立. 叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 三、与基本不等式相关的不等式 （1）当时，有，当且仅当时，等号成立. （2）当，时，有，当且仅当时，等号成立. （3）当时，有，当且仅当时，等号成立. 四、利用基本不等式求最值 已知，，那么 （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值. 五、利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消参法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 六、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号 【题型一 条件等式求最值】 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知，，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北邯郸·期中）若，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高一上·云南大理·阶段练习）已知，则的最小值是 . 4．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数且，则的最大值为 ，最小值为 ． 5．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数，，满足，则的最大值为 【题型二 常数代换法】 一、单选题 1．（23-24高一上·山东·期中）已知，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 3．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 4．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 5．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型三 消参法】 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 2．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D． 3．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若，且，的最小值为（   ） A．15 B． C．17 D． 4．（22-23高一上·辽宁大连·期末）若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高一上·四川眉山·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 6．（23-24高一上·浙江·期中）已知实数，，且满足，则的最小值是 . 【题型四 双换元法】 一、填空题 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ． 2．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则的最大值为 ． 3．（22-23高三上·江苏泰州·阶段练习）已知，，则的最小值 . 【题型五 二次（一次）商式的最值】 一、单选题 1．（22-23高一上·四川眉山·阶段练习）设 ,则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 4．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 5．（22-23高一上·湖南益阳·阶段练习）已知，则函数的最小值是 ． 一、单选题 1．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 2．（23-24高一上·重庆·期末）已加正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．10 D．11 3．（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C． D． 4．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．4 D． 5．（23-24高一下·湖南·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 6．（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知，若成立，则实数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 8．（23-24高一下·安徽铜陵·期末）已知正数满足，则下面不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，则下列正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．最大值为8 D．的最大值为6 三、填空题 10．（24-25高一上·上海·课后作业）设、是正实数，给出以下不等式：①；②；③，其中恒成立的为 （填序号）． 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）若实数，满足，则的最大值是 ． （2）设，则的最小值是 ． 12．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ． 13．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 基本不等式求最值 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、条件等式求最值 2 题型二、常数代换法 5 题型三、消参法 8 题型四、双换元法 11 题型五、二次（一次）商式的最值 12 压轴能力测评（13题） 14 一、重要不等式 ，有，当且仅当时，等号成立. 二、基本不等式 如果，，则，当且仅当时，等号成立. 叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 三、与基本不等式相关的不等式 （1）当时，有，当且仅当时，等号成立. （2）当，时，有，当且仅当时，等号成立. （3）当时，有，当且仅当时，等号成立. 四、利用基本不等式求最值 已知，，那么 （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值. 五、利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消参法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 六、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号 【题型一 条件等式求最值】 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知，，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意将条件等式变形得，进一步结合基本不等式即可得解. 【详解】由题意，所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以. 故选：A. 2．（23-24高一上·河北邯郸·期中）若，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立. 【详解】因为， 所以由题意 ， 因为，所以， 所以由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，即当且仅当或时等号成立， 综上所述，的最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否. 二、填空题 3．（23-24高一上·云南大理·阶段练习）已知，则的最小值是 . 【答案】7 【分析】由题设可得，利用基本不等式可得即可求目标式最小值，注意取值条件. 【详解】由， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是7. 故答案为：7 4．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知实数且，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知，，由基本不等式和配方法求最大值，，由配方法求最小值. 【详解】已知实数且， 则， ， 当或时等号成立，即的最大值为1； ，当，或时等号成立， 即的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：已知条件下求的最值，要利用好，即可化为，由可利用基本不等式求积的最小值，二次三项式可以用配方法求最值. 5．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数，，满足，则的最大值为 【答案】 【分析】设，则利用基本不等式计算可得. 【详解】设，因为， 所以 ， 令，解得或（舍去）， 因此，即，当且时取等号， 故的最大值为. 故答案为： 【题型二 常数代换法】 一、单选题 1．（23-24高一上·山东·期中）已知，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用基本知识点“1”的妙用，可得答案. 【详解】由，且，易知，，则 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C. 2．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知，且，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】结合“1”的代换和基本不等式求解即可. 【详解】由得， 于是， 又，，所以， 因此， 当且仅当，即时，等号成立. 故. 故选：B. 3．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】将分子的上乘以，得到，再利用重要不等式，化简即可. 【详解】因为，且，又， 所以， 当且仅当时取最小值，此时， 故所求为6. 故选：D. 4．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知且，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】将已知化为，，再利用基本不等式即可求解. 【详解】，， ， ， 当且仅当，且，即时等号成立， 的最小值为. 故选：A 5．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先得出，再根据基本不等式“1”的妙用求得结果. 【详解】设， 则且，解得. 所以， 因为，所以， 当时取等号，即且， 解得. 故选：B. 【题型三 消参法】 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据将转化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】 ，当且仅当， 即，时取得等号． 故选：B． 2．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据题意对进行适当变形，利用基本不等式即可求解. 【详解】由， 即，因为， 所以， 又 得， 因为，所以 由， 所以 ， 当且仅当即时取“=”， 所以的最小值为3. 故选：B 3．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）若，且，的最小值为（   ） A．15 B． C．17 D． 【答案】C 【分析】利用，可将消元为只含或只含的式子，再利用基本不等式求解. 【详解】∵， ∴，其中， ∴， 又∵，∴， 则 ， 当且仅当即时，等号成立. ∴的最小值为17. 故选：C 4．（22-23高一上·辽宁大连·期末）若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，进而有，结合基本不等式求最大值，注意取值条件. 【详解】由题设，，而，， 所以， 所以且， 又，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即目标式最大值为. 故选：D 二、填空题 5．（23-24高一上·四川眉山·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】将已知式子适当变形替换，结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意，所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 6．（23-24高一上·浙江·期中）已知实数，，且满足，则的最小值是 . 【答案】17 【分析】设，从而得到，，不等式转化为，换元后，由基本不等式求出最小值. 【详解】令，则，化简得，故， 故， 令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 此时，解得， 当时，，，满足要求， 当时，，，满足要求， 故答案为：17 【题型四 双换元法】 一、填空题 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，令，，则，即可用含、的式子表示、，再代入，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为实数，满足， 化为， 令，，则． 联立可得，， 则 ， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是用含、的式子表示、，再利用基本不等式求出最小值. 2．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】通过换元，将分式变成整式，再通过“1”的代换和基本不等式求出即可. 【详解】令，， 则，，，，，所以， 所以 ， 当且仅当，，即，时等号成立． 故答案为： 3．（22-23高三上·江苏泰州·阶段练习）已知，，则的最小值 . 【答案】20 【分析】设，利用表示，利用得到，再变形得到，利用基本不等式求出最小值. 【详解】令，则， 去分母化简得：，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立． 故答案为：20 【题型五 二次（一次）商式的最值】 一、单选题 1．（22-23高一上·四川眉山·阶段练习）设 ,则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】首先由等式把转化为，再应用常数分离得到，最后应用基本不等式得到最小值. 【详解】由题意，所以， 得到， 当且仅当，即时， 等号成立，则的最小值为． 故选：A. 2．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 二、填空题 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】化简整理后，将看成一个整理，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 ， 当且仅当，，即时，等号成立. 故答案为： 4．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 【答案】16 【分析】将目标式化为，结合及二次函数性质求最大值即可. 【详解】由，则， 而，故当时，目标式最小值为16. 故答案为：16 5．（22-23高一上·湖南益阳·阶段练习）已知，则函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是，故答案为:. 一、单选题 1．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】由已知可得，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：D. 2．（23-24高一上·重庆·期末）已加正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．10 D．11 【答案】D 【分析】根据条件得到，从而得到，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】因为，显然，得到，所以， 又，为正实数，所以，得到，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故选：D. 3．（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C． D． 【答案】B 【分析】把变为，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可. 【详解】因为x，y为正实数，且，所以 ， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为25. 故选：B 4．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】由基本不等式中“1”的妙用代入计算即可得出最小值. 【详解】， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值为5. 故选：A. 5．（23-24高一下·湖南·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得. 【详解】由，得，当且仅当时取等号， 因此，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故选：A 6．（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定，再由基本不等式得到，从而求出的取值范围. 【详解】因为，，则，所以． 又， 即，即，解得， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 即的取值范围为. 故选：D． 7．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知，若成立，则实数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】令，，则，再用表示，依据基本不等式求的最值. 【详解】令，，则， 因为，所以， 因为，所以， 则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 故选：C. 二、多选题 8．（23-24高一下·安徽铜陵·期末）已知正数满足，则下面不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意，利用基本不等式，以及“1”的代换，逐项判定，即可求解. 【详解】因为正数满足，由， 当且仅当时，即时，等号成立， 对于A中，由，可得，所以A正确； 对于B中，因为，由， 可得，所以，当且仅当时，等号成立， 所以B不正确； 对于C中，由， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C正确； 对于D中，因为，可得，且， 则，所以D不正确. 故选：AC. 9．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，则下列正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．最大值为8 D．的最大值为6 【答案】BC 【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， A选项，， ，解得， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以A选项错误. B选项，，， ， 当且仅当时等号成立，所以B选项正确. D选项，， 整理得，， 当且仅当时等号成立，所以D选项错误. C选项，， 由D选项的分析可知：，所以C选项正确. 故选：BC 【点睛】方法点睛：用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： “一正，二定，三相等” .（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致. 三、填空题 10．（24-25高一上·上海·课后作业）设、是正实数，给出以下不等式：①；②；③，其中恒成立的为 （填序号）． 【答案】③ 【分析】对于①③，利用基本不等式分析判断，对于②，作差分析判断. 【详解】对于①，∵、是正实数时，， ∴，当且仅当时等号成立，∴①不恒成立； 对于②，∵，当且仅当时取等号，∴②不恒成立； 对于③，∵，∴③恒成立． 故答案为：③ 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）若实数，满足，则的最大值是 ． （2）设，则的最小值是 ． 【答案】 4 【分析】（1）根据题意，结合，得到，即可求解； （2）化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】解：（1）因为， 由，可得，解得， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为. （2）因为 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 12．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】 将拆开为，同时用两次均值不等式构造相同结构即可. 【详解】 ， 所以， 当且仅当时取到等号， 故答案为： 13．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用可把放缩为即的形式，利用基本不等式可求后者的最小值. 【详解】因为，故. 又， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$