实战演练04 高中常见的恒（能）成立问题（4大常考点归纳）-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）

实战演练04 高中常见的恒（能）成立问题 ①一元二次不等式中的恒（能）成立问题 ②基本不等式中的恒（能）成立问题 ③函数中的恒（能）成立问题 ④利用导数研究不等式中的恒（能）成立问题 一、恒成立和有解问题思路一览 设函数的值域为或，或或中之一种，则 ①若恒成立（即无解），则； ②若恒成立（即无解），则； ③若有解（即存在使得成立），则； ④若有解（即存在使得成立），则； ⑤若有解（即无解），则； ⑥若无解（即有解），则． 【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法． （2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍） 二、分离参数的方法 ①常规法分离参数：如； ②倒数法分离参数：如； 【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】 ③讨论法分离参数：如: ④整体法分离参数：如； ⑤不完全分离参数法：如； ⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数． 【注意】 （1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法． （2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】 三、其他恒成立类型一 ①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ③在上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法) 四、其他恒成立类型二 ①，使得方程成立． ②，使得方程成． 五、其他恒成立类型三 ①，； ②，； ③，； ④，． ①一元二次不等式中的恒（能）成立问题 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）若关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知命题：，若为假命题，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）若命题“，”为假命题，则的取值范围是 . 5．（2024高三·全国·专题练习）若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 6．（2024高三下·全国·专题练习）已知，若对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为 ． ②基本不等式中的恒（能）成立问题 一、单选题 1．（23-24高三上·江苏·阶段练习）若两个正实数满足且不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·江西宜春·阶段练习）设，且恒成立，则n的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（    ） A．12 B．24 C． D． 二、填空题 4．（23-24高三上·安徽·期中）若，，则实数的取值范围是 . 5．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． ③函数中的恒（能）成立问题 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）已知，且在区间恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·河南·开学考试）已知正数满足，若恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·福建厦门·一模）已知，，，则下列结论错误的为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·北京昌平·二模）已知函数若对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 . 7．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数的取值范围是 . 8．（23-24高三下·湖南岳阳·阶段练习）已知函数在上恒成立，则实数a的取值范围为 ． 9．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知，，若对，使成立，则实数的取值范围是 . ④利用导数研究不等式中的恒（能）成立问题 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）若，使得不等式成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·湖北孝感·阶段练习）已知函数，若在R上单调递增，则实数a的最大值为（    ） A． B． C．1 D．e 3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在上无极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若存在，使得成立，则实数a的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高三下·全国·专题练习）设函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（2024·四川宜宾·二模）已知不等式有解，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（22-23高三上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若不等式（其中是自然对数的底数）对恒成立，则实数的取值范围为 8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围 ． 9．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数，若在上恒成立，则a的取值范围是 10．（2024·广西·模拟预测）已知函数，若的图象经过第一象限，则实数的取值范围是 ． 11．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围 ． 12．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）若对任意的正实数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 13．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 实战演练04 高中常见的恒（能）成立问题 ①一元二次不等式中的恒（能）成立问题 ②基本不等式中的恒（能）成立问题 ③函数中的恒（能）成立问题 ④利用导数研究不等式中的恒（能）成立问题 一、恒成立和有解问题思路一览 设函数的值域为或，或或中之一种，则 ①若恒成立（即无解），则； ②若恒成立（即无解），则； ③若有解（即存在使得成立），则； ④若有解（即存在使得成立），则； ⑤若有解（即无解），则； ⑥若无解（即有解），则． 【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法． （2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍） 二、分离参数的方法 ①常规法分离参数：如； ②倒数法分离参数：如； 【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】 ③讨论法分离参数：如: ④整体法分离参数：如； ⑤不完全分离参数法：如； ⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数． 【注意】 （1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法． （2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】 三、其他恒成立类型一 ①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ③在上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法) 四、其他恒成立类型二 ①，使得方程成立． ②，使得方程成． 五、其他恒成立类型三 ①，； ②，； ③，； ④，． ①一元二次不等式中的恒（能）成立问题 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论，利用判别式小于0，即可得到结论 【详解】当，即时，，恒成立； 当时，，解之得， 综上可得 故选： 2．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）若关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时显然恒成立，当时参变分离可得恒成立，令，，根据单调性求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为关于的不等式对任意均成立， 当时，恒成立， 当时，恒成立， 令，， 因为与在上单调递增， 则在上单调递增，所以当时取得最大值， 即， 所以，则， 综上可得实数的取值范围为. 故选：D 3．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知命题：，若为假命题，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用命题的关系、分离参数法、二次函数的图象与性质分析运算即可得解. 【详解】若命题为真命题，即：， 设，则由二次函数图象与性质知， 当时，最小值为，所以. 因为命题为假命题，所以， 即的取值范围为. 故选：A. 二、填空题 4．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）若命题“，”为假命题，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意知，命题的否定为真命题，再结合一元二次不等式恒成立求得的取值范围. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”真命题， 所以， 解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 5．（2024高三·全国·专题练习）若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用分离参变量思想，再用换元法转化到对钩函数求最小值，即可得到取值范围. 【详解】由， 因为，所以，令， 由， 构造函数， 即，当且仅当时取等号， 所以 故答案为：. 6．（2024高三下·全国·专题练习）已知，若对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】思路一：移向转换为对一切实数x恒成立，对分类讨论即可求解；思路二：移向构造函数，对分类讨论，转换为函数最小值大于0求参数即可；思路三：分离参数，构造函数，利用导数求最值即可求解. 【详解】解法一（运用判别式）：由已知可得， 即对一切实数x恒成立． 当时，不可能恒成立， 从而由二次函数的性质可得，只能，解得． 因此实数a的取值范围为． 解法二（利用二次函数图像与性质）：原不等式整理得， 令，则原问题转化为对恒成立． 当时，抛物线开口向下，显然不合题意； 当时，，其图像是一条直线，也不合题意； 当时，抛物线开口向上，只要，即． 解得或，∴，因此实数a的取值范围为． 解法三（参变分离，构造新函数，运用导数求解函数的单调性及最值）： ∵恒成立． ∴问题转化为对恒成立，从而． 令，则， 令，则或． 从而在，上单调递增，在上单调递减． 又，且当时，，故． 于是，因此实数a的取值范围为． 故答案为：. ②基本不等式中的恒（能）成立问题 一、单选题 1．（23-24高三上·江苏·阶段练习）若两个正实数满足且不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，根据不等式恒成立及一元二次不等式的解法求参数m的范围. 【详解】由题设， 当且仅当时取等号， 又恒成立，即. 故选：A 2．（22-23高三上·江西宜春·阶段练习）设，且恒成立，则n的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由基本不等式得出，，再由不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以，，，所以不等式恒成立等价于恒成立. 因为，，所以（当且仅当时等号成立），则要使恒成立，只需使，故n的最大值为4. 故选：C 3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（    ） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】令，不等式变形为，求出的最小值，从而得到实数的最大值. 【详解】，，变形为， 令， 则转化为 ，即， 其中      当且仅当，即时取等号，可知. 故选：B 【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，先分离参数后，然后利用基本不等式求最值. 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 二、填空题 4．（23-24高三上·安徽·期中）若，，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题知可将式子构造为：，然后利用基本不等式从而求解. 【详解】因为，所以， 于是， 当且仅当，即时取等号，所以. 故答案为：. 5．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将变形为，利用均值不等式求的最小值即可求解. 【详解】因为， 所以 ， 所以 ，等号成立当且仅当， 所以，， 故实数a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到，再进一步结合乘“1”法即可顺利得解. ③函数中的恒（能）成立问题 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）已知，且在区间恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在区间恒成立，只需要即可，再根据指数函数的单调性求出最大值即可得解. 【详解】由解析式易知：单调递增， 当时，恒成立，则，得． 故选：B． 2．（23-24高三下·河南·开学考试）已知正数满足，若恒成立，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】变形得到，变形得到，求出，得到答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 故， 即， 当且仅当时，等号成立， 故，实数的最小值为. 故选：D 3．（2024·福建厦门·一模）已知，，，则下列结论错误的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】举例即可判断ABC；再根据基本不等式及三角函数的性质即可判断D. 【详解】对于A，当时， ，，此时， 所以，，故A正确； 对于B，当时，，，此时， 所以，，故B正确； 对于C，当时， ，，此时， 所以，，故C正确； 对于D，当时， ，当且仅当，即时取等号， ， 由，得， 而， 所以当，即时，， 所以，当且仅当时取等号， 而，所以，，故D错误. 故选：D. 4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出分段函数的最小值；再求解不等式的解集即可. 【详解】因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值. 又因为函数在区间上单调递增， 所以当时，. 综上可得函数的最小值为. 因为，使得成立， 所以，解得：或. 故选：C. 5．（2024·北京昌平·二模）已知函数若对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先画出函数的图象，再利用数形结合求实数的取值范围. 【详解】因为，令，作出图象，如图所示， 令，由图知，要使对任意的都有恒成立，则必有， 当时，，由，消得到， 由，得到，即，由图可知， 故选：B. 二、填空题 6．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，问题转化为存在，为真命题，即，求出的最小值得解. 【详解】若命题任意“，”为假命题， 则命题存在，为真命题， 因为时，， 令，则， 则在上单调递增， 所以， 所以. 故答案为：. 7．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将题中的已知条件转化为两个函数值域的关系求解即可. 【详解】函数在的值域为， 函数在的值域为， 因为对任意的，总存在使得成立， 所以，所以，解得. 故答案为： 8．（23-24高三下·湖南岳阳·阶段练习）已知函数在上恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意，先求出在上的最小值为，然后分和讨论在上是否恒成立，即可得到答案. 【详解】因为，， 所以，，设， 所以， 所以在上单调递增， 所以在上的最小值为， ①当时，即时，在上单调递增， 又，所以函数在上恒成立， 所以满足题意； ②当时，即时，又在上单调递增，且， 所以，，使得，当时，， 即在上单调递减，又， 所以当时，，不满足恒成立， 综合①②可得实数a的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：求出在上的最小值为，通过讨论的正负得到函数在上恒成立时实数a的取值范围. 9．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知，，若对，使成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出的最大值，由题意可知，，分离参数a，结合二次函数性质，即可求得答案. 【详解】令，则，即， 所以（为辅助角，）， 故，即，解得. 由题可知，，，即对，. 令，令，则， 当时，的最小值为，即， 则，即， 故答案为： ④利用导数研究不等式中的恒（能）成立问题 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）若，使得不等式成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用分离变量将问题转化为，使得恒成立，令，利用导数求出其最大值可得结果. 【详解】，使得不等式成立，可得． 令，则，令，解得， 令，解得， 所以函数g(x)在上单调递增，在上单调递减， 所以，则依题意有， ∴ 实数a的取值范围是． 故选：C． 2．（23-24高三上·湖北孝感·阶段练习）已知函数，若在R上单调递增，则实数a的最大值为（    ） A． B． C．1 D．e 【答案】C 【分析】求出导函数，利用导函数非负，得出不等式恒成立问题，参变量分离后，将恒成立问题转化为最值问题即可得解. 【详解】因为在R上单调递增，所以在R上恒成立， 等价于在R上恒成立， 令，易得在R上单调递增， 又 所以当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 所以实数a的最大值为1． 故选：C． 3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在上无极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导数确定单调性，讨论x的取值范围可得结果. 【详解】由题意得，，故， 因为函数在上无极值， 所以在R上恒成立， 当时，， 设，则， 当时，得，当时，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 从而，故， 当时，，则. 综上，. 故选：D. 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．若存在，使得成立，则实数a的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为“直线与函数的图象有交点”，然后利用导数分析的单调性以及取值，由此求解出的最大值. 【详解】存在，使得成立， 即在上有解，即在上有解， 所以直线与函数的图象有交点， 又，令，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以要使直线与函数的图象有交点，只需， 所以的最大值是， 故选：A． 5．（2024高三下·全国·专题练习）设函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设函数，求得，求得得到单调性，且的值，结合图象，列出不等式组，即可求解. 【详解】设函数， 可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 且， 图象如图，函数经过，要使存在唯一的正整数， 使得，即有唯一正整数解， 所以只要并且，即 ，解得. 故选：A． 6．（2024·四川宜宾·二模）已知不等式有解，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离参数转化为，构造函数，利用导数法求出，即为所求. 【详解】不等式有解，即，，只需要， 令， ，， 令，， ，所以函数在上单调递增， 又，，所以存在，使得，即， ，，即；，，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，又由，可得， . . 故选：A. 【点睛】思路点睛：由题意问题转化为，，构造函数，利用导数求出的最小值，即只要. 二、填空题 7．（22-23高三上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若不等式（其中是自然对数的底数）对恒成立，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】根据给定条件，分离参数构造函数，求出函数最小值即可作答. 【详解】，，令，，求导得：， 当时，当时，，即函数在上递减，在上递增， 因此当时，，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】由题意，即，构造函数，利用导数求出最大值即可. 【详解】存在，使得可得， 构造函数，其中，则， 当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减， 则，所以，，解得，因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 9．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数，若在上恒成立，则a的取值范围是 【答案】 【分析】由题意知恒成立的不等式为，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法，继而构造函数，利用导数求解即可. 【详解】由题意知，其中 只需要恒成立， 令，， ，， 设，，则， 在单调递减， 在单调递减， ， ； 故答案为： 10．（2024·广西·模拟预测）已知函数，若的图象经过第一象限，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，列出不等式并分离参数，转化为能成立的问题求解即可. 【详解】由的图象经过第一象限，得，使得，即， 设，求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，则，有， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 11．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】分离参数得，设，利用导数求出其最小值即可. 【详解】因为，由，即， 即，设， 根据题意知存在，使得成立，即成立， 由，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 12．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）若对任意的正实数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可将不等式等价转化为，进而构造函数，从而将恒成立问题等价转化成函数单调性问题，故通过函数单调性即可求解. 【详解】由题意， 令，则， 所以当时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为， 由题意当且时，即恒成立， 所以在上单调递减，故，， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将不等式转化为，使得，设，求导确定单调性从而得函数最值，即可得实数的取值范围． 【详解】因为 ，使得，所以， 令，即， 因为， 设，，则， 所以在单调递减，又， 则当，当， 故函数在上单调递增，上单调递减， 所以的最大值为，所以， 即实数的取值范围是． 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$