导数 专题汇编讲义-2024届高三数学二轮专题

高三数学专题汇编——导数 专题一 导数研究函数的单调性 一、真题展示，明确方向 [例1] (2023·新课标Ⅰ卷节选)已知函数 f(x)=a(eˣ+a)-x.讨论 f(x)的单调性; [例2] (2023·新课标Ⅱ卷)已知函数 lnx在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为( ) A. e² B. e C. e⁻¹ D. e⁻² [例3] (2022·浙江卷)设函数 (x>0).求 f(x)的单调区间. 二、回归课本，追本溯源 上述三题我们发现是通过导数的方式来研究函数的单调性，可分为不含参数单调性讨论与含参数单调性讨论，而在含参数单调性讨论问题中，还包含在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围的题目类型，并且含参数讨论函数的单调性问题也是属于极为常见的考查题型，比如人教 A 版选择性必修第二册87页的练习2如下： 利用导数讨论二次函数 的单调区间. 【分析】 由二次函数解析式得 f'(x)=2ax+b且 讨论a>0、a<0情况下 f(x)的单调区间即可. 【解】 由题设知：f'(x)=2ax+b(a≠0),而f'(x)=0时有 当 a>0时,f'(x)单调递增，则 上f'(x)<0,f(x)单调递减；x> 上f'(x)>0,.f(x)单调递增;当 a<0 时,f'(x)单调递减,则 f(x)单调递增； 上f'(x)<0,f(x).单调递减；∴综上,a>0时f(x)在( 上递减， 上递增;a<0 时 f(x)在 上递增， 上递减. (人教版 A 版 104 页习题 19)已知函数 f(x)= 讨论 f(x)的单调性. 【解】 f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)= (i)若 a≤0,则 f'(x)<0,所以 f (x)在(--∞,+∞)单调递减. (Ⅱ)若a>0,则由f'(x)=0得x=-ln a. 当 x∈ (-∞,-lna)时, f'(x)<0; 当 x∈(--lnα,+∞)时, f'(x)>0, 所以 f (x)在(一∞,一lnα)单调递减,在(一lnα,+∞)单调递增。 导数是研究函数单调性的基础工具，考查题型有导函数与原函数的图象关系，不含参数单调性讨论，含参数单调性讨论，已知含参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围. 1.导函数与原函数的图象关系 预测题1 (人教 A版选择性必修第二册 89 页练习3)函数y=f'(x)的图象如图所示，试画出函数y=f(x)图象的大致形状. 2.不含参数单调性讨论 预测题2 (人教 A版选择性必修第二册87 页例3)求函数 的单调区间. 3.含参数单调性讨论 预测题3 (人教B版选择性必修第三册96页练习7)分别讨论下列函数f(x)的单调性，其中a为非零实常数. (1)f(x)=lnx+ax; 4.含参数函数在区间上单调或不单调或存在单调区间 预测题 4 已知函数 在(1，+∞)上为单调递增函数，则实数 m 的取值范围为 ( ) A.(-∞,-1) B.[-1,1] C.[1,3] D.[-1,3] 专题二 利用导数研究函数的极值和最值 一、真题展示，明确方向 [例1] (2022·全国甲卷理数·6)当x=1时,函数 取得最大值-2,则f'(2)= ( ) A.-1 C. D.1 [例2] (多选)(2023·新课标Ⅱ卷·11)若函数f(x) 既有极大值也有极小值，则 ( ) A. bc>0 B. ab>0 D. ac<0 [例3] (2018·全国Ⅲ卷理数·21)已知函数f(x)= (1)若a=0,证明:当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0; (2)若x=0是f(x)的极大值点,求a. 二、回归课本，追本溯源 导数是解决函数问题的有力工具，运用导数研究函数的极值与最值等问题是高考命题的一类热点题型，也是教材中关于导数篇章中重要的组成部分. 1.利用导数研究函数的极值 在诸多版本的新教材中，函数的极值是这样定义的： 对于定义在区间D上的函数y=f(x)，设x₀∈D，对区间D内x。附近的任意不同于x₀的x，都有f(x)<f(x₀),则称x₀是函数 f(x)的一个极大值点,称 f(x₀)是函数 f(x)的一个极大值，类似的，可定义极小值点和极小值，极小值点与极大值点统称为极值点，极小值与极大值统称为极值. 为了帮助学生理解极值这一概念，湘教版教材(选择性必修第二册第31页)特意提了一句：极值是局部开区间上的最值.高中阶段所研究的函数极值，都是可导函数的极值，因此利用导数研究函数的极值和最值是这一阶段的基本内容和重点.在北师大版教材(选择性必修第二册77页)中，对利用导数求解函数的极值(点)这一问题作了简单的总结，本文将其整理为如下的思维导图： 函数定义域→求导函数→求导函数零点→分析导函数零点附近的正负号 若导函数零点附近是左正右负，则该导函数零点就是极大值点 若导函数零点附近是右正左负，则该导函数零点就是极小值点 关于‘ 是“x₀是函数 f(x)的极值点”这一必要条件，学生往往理解不透彻，这也是高考命题的依据之一，比如“(人教A 版选择性必修第二册第104 页的习题第9题)已知函数.f(x)=x(x-c)²在x=2处有极大值，求c的值”.为了帮助学生理解这一命题，各版本的教材也是颇费心思，比如人教B版教材(选择性必修第三册第 97~98页)以三次函数 为例，分别从代数的形式得出 从形(即图象)的角度观察出x=0不是函数. 的极值点，很好的论证了‘ 是 x。是函数f(x)的极值点的必要条件”这一结论，上文的例1就是在发现x=1是函数 f(x)的极大值点之后，结合这一结论来解决的，但是利用 求出参数后，需要进行检验，避免出现多解的情况.为了区分导函数零点与函数极值点之间的区别，湘教版教材(选择性必修第二册第32页)将导函数零点定义为函数的驻点，并且用“如果一个函数的导数在驻点的两侧变号，则该驻点就是此函数的一个极值点”对可导函数的极值点作了一个本质的说明.上述例2、例3考查的是含参函数的极值(点)已知的前提下求参数的取值(范围)，这种考法在教材中也频频出现，比如鄂教版选择性必修第二册第73 页 B组习题第 4题如下： 已知函数 有极值，求a的取值范围. 【解】 因为函数 有极值，所以其导函数 有变号零点，即方程 有“正穿根”. 法一：参变分离+函数图象的交点.即方程 有“正穿根”,即函数 y=--a 图象 和 函 数 (x>0)图象有“穿点”,如图. 由图可知，当 即 时，函数y=-a图象和函数 图象有“穿点”，即原函数 f(x)有极值点.因此a的取值范围为(-∞,-2 ).法二：二次函数的性质 即方程 有“正穿根”，此时 8>0,解得 或 假设该一元二次方程的两个根分别为x₁，x₂，则由韦达定理可得 因此要想该方程出现正根，只需 解得a<0,故 因此a的取值范围为(-∞,-2 ). 解后反思：含参函数的极值点存在性问题，往往转化为导函数变号零点的存在性问题，继而，或将导函数的零点求出再分析，或将其转化为方程根的分布问题，或将其转化为某给定区间上函数图象的交点问题等.考查这类问题，往往需要考生对转化与化归思想、分类讨论思想和数形结合思想等具有一定的理解. 除了利用“导数的变号零点是函数的极值点”这一结论求函数的极值点外，在湘教版选择性必修第二册第34 页的阅读材料中还介绍了“用二阶导数判断极值”，其原理如下： 函数 f(x)在驻点c处的导数 f'(c)=0而 f"(c)≠0,则x=c是f(x)的极值点. (1)若 则 f'(x)在 x=c附近递增到 再递增，由负变正，所以 f(x)由递减变为递增，在x=c处取得极小值； (2)若 则f'(x)在x=c附近递减到f'(c)=0再递减，由正变负，所以 f(x)由递增变为递减，在x=c处取得极大值. 下面以人教 A版选择性必修第二册 91 页的例5为例来说明这一方法的应用. (人教A版选择性必修第二册 91 页的例5)求函数 的极值. 【解】 令 解得x=±2,因为 f"(2)=4>0,f"(-2)=-4<0,所以函数 f(x)的极小值为 极大值为 2.利用导数研究函数的最值 首先看一下函数最值的定义(人教 A 版必修第一册 80页)， 一般地，设函数 f(x)的定义域为I，如果存在实数 M满足: (1)∀x∈I,都有 f(x)≤M; (2)∃x₀∈I,都有 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值； 类似地，如果存在实数m满足： (1)∀x∈I,都有 f(x)≥m; (2)∃x₀∈I,都有 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值。 在人教A版选择性必修第二册94~95页中介绍了求函数y=f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤： 第一步,求函数y=f(x)在区间[a,b]上的极值; 第二步，将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 在高考数学中考查的方向主要有这三个： 1.由图判断函数极值； 2.求已知函数的极值； 3.已知极值(点)求参. 1.由图判断函数极值 预测题 1 (2011·浙江省高考文数·10)设函数 ,若x=--1为函数f(x)eˣ的一个极值点，则下列图象不可能为y=f(x)的图象是 ( ) 2.求已知函数的极值与最值 预测题 2 (2013·重庆卷理科数学·17)f(x)= 其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6). (1)确定a的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 3.已知极值(点)求参 预测题3—1 (改编自人教A版教材选择性必修第二册第 104 页的习题第 9 题)已知函数 f(x)= 在x=2处有极大值,则c= . 预测题3—2 (改编自苏教版选择性必修第一册215页第10题)设a∈R,若函数 有大于零的极值点，则 ( ) A.0>a>-3 B. a<-3 专题三 切线与公切线问题 -- 真题展示，明确方向 [例1] (2023·全国甲卷文数· 8)曲线 在点(1,½)处的切线方程为 ( ) [例2] (2016·全国Ⅱ卷·16)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= . [例3](2022·新高考Ⅰ卷·15)若曲线y=(x+a)eˣ 有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是 二、 回归课本，追本溯源 观察上述三个高考题的解法，我们可以发现求函数切线问题的步骤如下：(1)设切点，(2)写切线方程，(3)利用切线的性质列等式，(4)求得切线方程.此思路求曲线的切线问题可让求解过程变得简洁与快捷.考查曲线的切线问题在历年高考中频繁出现，在近几年的全国卷中更是屡见不鲜.仔细观察各个版本的教材，我们也不难发现教材里出现与切线有关的例题与习题很多，也有求解切线问题的示范与归纳，比如人教 B版选择性必修第三册 79 页的例题5如下. 已知函数 而l是曲线y=f(x)的切线,且 l经过点(2,3). (1)判断(2,3)是否是曲线y=f(x)上的点; (2)求 l的方程. 【解】 (1)因为 所以点(2,3)不是曲线y=f(x)上的点. (2)设切点为(x₀,f(x₀)).因为 所以切线的斜率为 又因为 所以直线l的方程为 将(2,3)代入并整理，可得： 解得. 或 因此切点为(1,1)或(3,9),切线方程为y--1=2(x-1)或y-9=6(x-3).即l的方程为y=2x-1或y=6x-9. 注：上例说明，在利用导数求曲线的切线时，关键是要确定切点.求曲线的切线方程是导数几何意义的应用与体现，在命题中主要有三个方向： 1.给切点的切线问题； 2.过点的切线问题； 3.两支曲线的公切线问题. 1.给切点的切线问题 预测题1 (北师大选择性必修第二册 P68@·2)求曲线 在点(1，1)处的切线的方程. 2.过点的切线问题 预测题 2—1 过点 P(2,e)可以作两条直线与曲线 y=ae*(a>0)相切,则实数a的取值范围是 . 预测题2—2 已知曲线C: 则过点 P(2,2)可向 C引切线，其切线条数为. ( ) A.1 B.2 C.3 D.0 3.两支曲线的公切线问题 预测题3 (鄂教版选修第二册73 页习题B组·3)求曲线 与曲线 的公共切线的方程. 专题四 导数与函数不等式的证明 一 真题展示，明确方向 [例1] (2023·新课标Ⅰ卷·19)已知函数 f(x)= (1)讨论 f(x)的单调性; (2)证明:当a>0时, [例2](2021·全国乙卷理数·20)设函数f(x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点. (1)求a; (2)设函数 证明:g(x)<1. [例3] (2023·天津卷·20 节选)已知函数 f(x)= 当x>0时,证明:f(x)>1; 二、回归课本，追本溯源 利用导数证明函数不等式，是高考中的高频考点.认真翻阅各个版本的教材，发现教材上给出了很好的示例，并配有较好的习题. 1.利用导数证明函数不等式的思路一：图象判断，导数证明 (人教A版选择性必修第二册，5.3. 1 例 4,P89)设 x>0, 两个函数的图象如图所示.判断f(x)，g(x)的图象与C₁，C₂ 之间的对应关系. 【解】 因为f(x)=ln x,g(x)=1- ,所以 当x=1时, 当0<x<1 时, ;当x>1时,0< 所以,f(x),g(x)在(0,+∞)上都是增函数.在区间(0,1)上,g(x)的图象比 f(x)的图象要“陡峭”;在区间(1,+∞)上,g(x)的图象比 f(x)的图象要“平缓”.所以,f(x),g(x)的图象依次是图中的C₂,C₁. 观察上题中的图，我们发现， 当x>0时 ① 怎样证明这个结论呢? 我们将不等式①转化为 设 那么 令s'(x)=0,解得x=1. 当x变化时,s'(x),s(x)的变化情况如表所示. x (0,1) 1 (1,+∞) s'(x) — 0 + s(x) 单调递减 0 单调递增 所以,当x=1时,s(x)取得最小值. 所以s(x)≥s(1)=0,即 所以,当x>0时, (鄂教版选择性必修第二册，2.3.2 函数的极值与最值,P66) 求证:lnx≤x-1. 【证明】 设 f(x)=lnx-x+1,则函数的定义域为(0,+∞).对函数 f(x)求导数,得 令 得x=1. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x (0,1) 1 (1,+∞) f'(x) + 0 f(x) 极大 因此,当x=1时,函数 f(x)有极大值 f(1)=0(如图甲)，这个极大值也是函数 f(x)的最大值，所以 f(x)=lnx-x+1≤0. 于是 lnx≤x-1,如图乙. 不同的教材对于类似的问题，给出了相同的做法，图象辅助，导数证明是一种基本方法. 2.利用导数证明函数不等式的思路二：二阶导数，极值运用 (湘教版选择性必修第二册，1.3.2 函数的极值与导数“多知道一点”，P34)用二阶导数判断极值 能不能用一个简单的条件来判断导函数的图象是穿过x轴，还是碰一下就回头?如果碰一下就回头，那能碰点就成了导函数的极值点了，导函数的导函数在这一点就应当为0.反过来，如果导函数的导函数在此点处非零，此点就不是导函数的极值点，导函数的图象会在这里穿过x轴. 上面的讨论说明：函数 f(x)在驻点 c 处的导数.f'(c)=0而. 则x=c是f(x)的极值点.若 f"(c)>0, 则 f'(x)在x=c附近递增到f'(c)=0再递增,由负变正,所以f(x)由递减变为递增，在x=c处取到极小值.若. 则f'(x)在x=c附近递增到. 再递减，由正变负，所以f(x)由递增变为递增，在x=c处取到极大值.以函数. 为例.由 得 f(x)的唯一驻点. 说明导函数 f'(x)在x=0附近递增(穿x轴而过), 即 f'(x)在x=0附近由负变正,因此x=0是 f(x)的极值点,且f(0)=0为极小值.进一步,我们还可以得出. 恒成立,当且仅当x=0时等号成立. 因此,eˣ>1+x对所有x≠0均成立. 导数证明函数不等式，在高考命题中的方向主要有： 1.在选择题与填空题中出现，具体表现为函数不等式的判断；利用函数不等式恒(能)成立，来求解参数的取值范围(包括最值)；本专题中不展开，另有其他专题讲述. 2.在解答题中出现，具体表现为函数不等式的证明，分为不含参数的函数不等式证明，含有参数的函数不等式的证明.证明思路主要有三类：思路一是图象判断，导数证明，方式上是直接构造(作差)函数；思路二是二阶导数，极值运用，某种意义上可以说是先猜后证的味道；思路三是重新构造新函数证明函数不等式，结合放缩法综合运用.本专题注重于此类函数不等式的证明. 1.不含参函数不等式的证明 预测题1 (人教B版选择性必修第三册，复习参考题03C组 T7,P114)求证:x≥0时,有 2.含参函数不等式的证明 预测题2 (人教A版选择性必修第二册，复习参考题5T18,P104)已知函数 当m≤2时,求证:f(x)>0. 3.重新构造新函数，证明函数不等式 预测题 3 设函数 曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线:y=e(x-1)+2. (1)求a,b; (2)证明:f(x)>1. 专题五 三次函数的相关问题 一 真题展示，明确方向 [例1] (2018·全国Ⅰ卷文数)设函数 若 f(x)为奇函数,则曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 ( ) A. y=-2x B. y=-x C. y=2x D. y=x [例2] (2021·全国甲卷·理数)设a≠0,若x=a为函数 的极大值点，则 ( ) A. a<b B. a>b [例3] (2022·新高考Ⅰ卷·21 节选)记 M(a)={t|t=f(x)-f(a),x≥a},L (a)= {t | t =f(x)-f(a),x≤a}.若 求证：对于任意 a∈R,都有 M(a)⊆[-4,+∞),.且存在a,使得-4∈M(a). 二、回归课本，追本溯源 三次函数是高中阶段体现导数工具性特征的基础性模型，教材中非常重视基于三次函数来实现导数在研究函数中的工具价值.教材中多次用到三次函数这个模型，通过对三次函数的研究，引导考生积累利用导数研究函数性质的基本活动经验以及方法. 1.(北师大选择性必修第二册56 页例题)求函数 在x=1处的切线方程. 【解】 =6+6△x+2(Δx)². 令△x趋于0 ,可知 在x=1处的导数为f'(1)=6. 于是，函数 在点(1,f(1))即(1,2)处的切线斜率为6，所以即该切线经过点(1，2)，且斜率为 6.因此，函数 在 x=1处的切线方程为y—2=6(x-1),即y=6x-4. 三次函数是高中阶段可以系统研究的一个重要函数，因为其导函数二次函数是中学阶段研究最深的函数之一，于是在一轮复习中，我们可以通过对其导函数二次函数的详细研究来弄清楚三次函数的基本性质.通过对三次函数的系统研究，来增强对导数的应用价值的认识和理解. 2.(北师大选择性必修第二册74 页例题1)讨论函数 的单调性. 【解】 设 f'(x)>0,则6(x+2)(x-3)>0,即x<-2或x>3. 故当x∈(-∞,-2)或x∈(3,+∞)时,f'(x)>0,因此，在这两个区间内，函数 f(x)均单调递增；当x∈(-2,3)时,f'(x)<0,因此,在这个区间内,函数 f(x)单调递减. 函数的单调性决定了函数图象的大致形状.因此，当确定了函数的单调性后，再通过描出一些特殊的点,如(-2,60),(3,-65)等,就可以画出函数的大致图象. (北师大选择性必修第二册85 页例题5) 对于企业来说，生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题.对一家药品生产企业的研究表明，该企业的生产成本 y(单位：万元)和生产收入 z(单位：万元)都是产量x(单位：t)的函数，分别为 (1)试写出该企业获得的生产利润w(单位：万元)与产量x之间的函数关系； (2)当产量为多少时，该企业可获得最大利润?最大利润为多少? 【解】 (1)因为总利润=总收入-总成本,即w=z-y,所以 即 (2)根据导数公式及导数的运算法则，可得：w'(x)=--3x²+48x-45=-3(x-1)(x-15). 解方程 得 当 x≥15时, 所以ω(x)≤ω(15). 比较x=0,x=1和x=15的函数值, w(0)=-10,w(1)=-32,w(15)=1 340, 可知，函数w=w(x)在x=15处取得最大值，此时最大值为 1 340.即该企业的产量为 15 t时，可获得最大利润，最大利润为 1 340 万元. 新课标对于三次函数一般有以下三个考点： 1.围绕导数的几何意义展开，求曲线的切线方程.根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大. 预测题1 (苏教版选择性必修第一册 215本章测试 14)已知函数 且 (1)求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (2)求函数 f(x)在区间[0,2]上的最大值. 2.围绕利用函数研究函数的单调性，极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数范围的问题 预测题 2已知函数 (1) 当x∈[-2,4]时,求证:x-6≤f(x)≤x; (2)设.f(x)=|f(x)--(x+a)|(a∈R),记 f(x)在区间[-2,4]上的最大值为M(a),当M(a)最小时，求a的值. 3.围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题.主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答其中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用. 预测题3 设函数 f(x)= 其中t₁,t₂,t₃∈R,且t₁,t₂,t₃是公差为d的等差数列.若曲线y=f(x)与直线 有三个互异的公共点，求 d 的取值范围 专题六 不等式恒(能)成立问题 一 真题展示，明确方向 [例1] [2020·新高考全国Ⅰ卷(山东)·21]已知函数 . 若 f(x)≥1,求a的取值范围. [例2] (人教A版选择性必修第二册104 页·19/人教 B 版选择性必修第三册 114 页 ·5)设函数 ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数 x₀,使得 则a的取值范围是 ( ) [例3] (2023·全国甲卷文数·20)已知函数f(x)= 若 f(x)+sinx<0,求a的取值范围. 二 回归课本，追本溯源 从上述三道高考真题中我们发现导数模块中不等式恒成立和能成立问题的一般描述方式：①恒成立问题一般描述方式如下：对任意(也可用符号∀表示)的变量(可以是单变量也可以是多变量)属于某区间，有不等式恒成立.需要注意的是，有时候“任意”“恒成立”等描述性的文字和变量的定义域会省略不写.如2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)21题.②能成立问题一般描述方式如下：存在(也可用符号∃表示)变量(可以是单变量也可以是多变量)属于某区间，使得不等式能成立.需要注意的是，有时候“能成立”等描述性的文字和变量的定义域会省略不写.并且我们可以从以上高考题及解析可以发现，处理这类问题的解题方法一般是构造函数后转化为求最值的问题(转化关系在下文中有备注).并且解题过程中常见的技巧如下：(1)构造函数的技巧：移项构造(做差或移到两边用凹凸反转等)；同构；取对数等.(2)对参数的处理方法：分类讨论；参数分离；主元法(这里指主参换位法，且经常以端点效应，极值点效应或必要性探路开头，来缩小参数范围，再用主元法以参数为主元去掉参数后变成无参的结构证明).(3)缩小参数范围的技巧：端点效应，极值点效应，必要性探路.(4)多变量的处理技巧：三元思想(消元、换元、主元)；放缩消元；构造函数，用单调性统一变量等. 注1：不等式恒(能)成立与最值的转化关系如下： ∀x∈[a,b],f(x)>M⇔∀x∈[a,b],f(x) min>M;∀x∈[a,b], f (x)<M⇔∀x∈[a,b],f(x) max<M;∃x₀∈[a,b],f(x₀)>M⇔∀x∈ -f (x) min<M;∀x∈[a,b],f(x)>g(x)⇔ f(x)<g(x)⇔∀x∈[a,b],[f(x)-g(x)]mʌₓ< > g (x₂) min 注2：上述的大于、小于分别改成不大于、不小于，相应的与最值的关系对应的不等号也改变. 等式恒(能)成立与值域转化关系如下： ⇔∀x₁∈[a,b],∀x₂∈[c,d], f(x₁)的值域为g(x₂)值域的子集∃x₁∈[a,b],∃x₂∈[c,d], f(x₁)的值域与g(x₂)值域有交集. 不等式能成立转化为恒成立问题如下： M，解出答案后取补集. 注2：(1)端点效应：如果函数 f(x)在端点x。处满足 ,则当x>x₀时,f(x)>0恒成立的一个必要条件为端点 x。处的导数值. 如果 ，则我们根据f'(x)的图象连续性可以知道:∃x₁∈(x₀,+∞)有,当. 时 所以 f(x)在. 单调递减，所以 时, 与题意矛盾，故应有 得证.同理，若 则应有 但是，需要注意的是， (或 只是 f(x)>0(或 f(x)<0)成立的一个必要条件，如果二阶导不变号，那么这种方法没有问题；但是如果二阶导变号，那么计算出的结果很有可能不是正确答案. 综上所述，端点效应总结如下：∀x∈[a，b]，f(x)≥0恒成立,则 ①f(a)≥0,f(b)≥0 ②若 f(a)=0(或 f(b)=0),则 f'(a)≥0(或f'(b)≤0) ③若f(a)=0,f'(a)=0(或f(b)=0,f'(b)=0),则 f"(a)≤0(或f"(b)≤0) (2)必要性探路：是端点效应的拓展，不等式在区间上均成立，则可以尽可能多的带入区间内的所有点，得到参数相关的不等式求出范围，减少分类讨论的情况(有可能得到的就是正确答案)，常见的带入点包括选择极值点，不等式公共取等条件，常见特殊值((0,1,e,e², ln 2,或者参数相关的式子等等) (3)极值点效应：∀x∈[a,b],f(x)≥0恒成立,如果我们发现x₀∈(a,b)有 ,则 f(x)≥0就等价于 f(x)≥f(x₀),所以我们得到 x₀为x∈[a，b]的一个极小值点，故有. 导数中不等式恒(能)成立问题是高考中的高频考点问题，在全国卷和各地地方卷频繁考查.仔细观察各个版本的教材，发现教材上给出了很好的例题，比如人教B版 R选择性必修第二册 102 页题5： 已知eˣ≥kx+1恒成立，求k的取值范围. 【解】 设 且f'(x)单调递增.当k≤0时, 恒成立,故 f(x)单调递增,又 f(0)=0,故 x∈(-∞,0)时,f(x)<f(0)=0不合题意,舍去;当k>0时,令. ,故f(x)在 x ∈ (-∞, ln k)单 调 递 减, 在 x ∈.(ln k,+∞)单调递增.故只需 =e'nk-klnk-1=k-klnk-1≥0.令g(k)=k-kln k-1,则g'(k)=1--(ln k+1)=-ln k>0⇔k∈(0,1),故 g(k)在 k∈(0,1)递增,在 k∈(1,+∞)递减,故g(k) max=g(1)=0,故只有k=1时, 恒成立. 导数中不等式恒(能)成立问题，在命题中方向主要是： 1.不等式恒成立求参数取值和范围问题； 2.不等式能成立求参数取值和范围问题； 3.可以转化为不等式恒(能)成立的问题； 4.不等式恒(能)成立的证明问题(已经在专题14 介绍，这里不再给出). 1.不等式恒成立求参数取值和范围问题 预测题1 (湘教版选择性必修第二册 42 页题 14)若a>0，求最大的常数a使 对所有x≥0 成立. 2.不等式能成立求参数取值和范围问题 预测题2 (改编自湘教版选择性必修第二册42 页题14)若a>0,若存在x≥0使得( 成立，则a的取值范围为 . 3.能转化为不等式恒(能)成立的问题 预测题3 (改编自湘教版选择性必修第二册42 页题14)若a>0,求最大的常数a使 在x≥0上单调递增. 专题七 导数与函数的零点 一、真题展示，明确方向 [例1] (2023·全国乙卷文数·8)函数 ax+2存在3个零点，则a的取值范围是 ( ) A.(-∞,-2) B.(-∞,-3) C.(-4,-1) D.(-3,0) [例2] (2023·新课标Ⅰ卷·11)(多选)若函数 既有极大值也有极小值，则 ( ) A. bc>0 B. ab>0 D. ac<0 [例3] (2022·全国乙卷·20)已知函数 f(x)= 若 f(x)恰有一个零点，求a的取值范围. 二 回归课本，追本溯源 上述三题是典型的函数和导数的零点问题，函数零点问题主要求解方法有转最值、分参、讨论、作图等，在高考中是频繁出现的热门考点。仔细观察各个版本的教材，发现教材上对于函数和导数的零点问题也给予了很大的篇幅，比如人教A版教材必修第一册142页开始的函数的零点与方程的解的介绍和重要的零点存在定理，以及人教 A版教材选择性必修第二册91页对于极值点的说明。 (改编自人教A版教材选择性必修第二册 P104·9)已知函数f(x)=x(x-c)²在 x=2处有极大值，则c的值为 . 【答案】6 【解析】】 且函数 在x=2处有极大值， ∴f'(2)=0,即 解得c=6或2.经检验c=2时,函数 f(x)在x=2处取得极小值,不符合题意，应舍去.故c=6. 例题考查函数的极值点(导函数的零点)，可导函数在极值点处的导数为零，是教材中一个经典的借助导数处理极值(点)的问题，体现了导数的应用价值. (人教A版教材选择性必修第二册 P104·19) 已知函数 (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)有两个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)详见解析,(2)(0,1) 【解析】(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x) (Ⅰ) 若 a≤0,则 所以 f(x)在(一∞,+∞)单调递减. (Ⅱ)若a>0,则由f'(x)=0得x=-lnα. 当 x∈ (-∞,-lna)时, f'(x)<0; 当 x∈(——lnα,+∞)时,f'(x)>0, 所 以 f (x)在 (-∞,-lnα)单 调 递 减, 在(--lna,+∞)单调递增. (2)(i)若a≤0,由(1)知,f(x)至多有一个零点. (ii)若a>0,由(1)知,当x=—lna时,f(x)取得最小值，最小值为 ①当a=1时,由于f(-lna)=0,故f(x)只有一个零点； ②当a∈(1,+∞)时,由于 即 f(-lna)>0,故f(x)没有零点; ③当a∈(0,1)时, 即 f(-ln a)<0. 又 0,故 f(x)在(-∞,-lnα)有一个零点. 设正整数n。满足 则 由 于 因 此 f (x)在(--lna,+∞)有一个零点. 综上,a的取值范围为(0,1). 例题考查函数的单调性与极值点(导函数的零点)，已知零点个数求参数范围，第一问通过导函数正负的分析与讨论得到函数的单调性，在第一问结论的基础上展开进一步的讨论，对于参数a的不同范围，研究函数零点的个数与性质，通过大小要求的比较，得出f(x)有两个零点时参数的范围要求.是教材中一个经典的借助导数处理函数单调性与零点个数的问题. 导数与函数的零点是函数当中的一个重要概念，涉及与x轴的交点及函数的单调性，与函数的趋势及图象密切相关.在命题中方向主要是三个： 1.判断、证明或讨论函数零点的个数； 2.已知零点存在情况求参数范围； 3.函数零点性质研究. 1.判断、证明或讨论函数零点的个数 预测题1 (多选)已知函数 下列结论正确的是 ( ) A.若函数 f(x)无极值点,则 f(x)没有零点 B.若函数 f(x)无零点,则 f(x)没有极值点 C.若函数 f(x)恰有一个零点，则 f(x)可能恰有一个极值点 D.若函数 f(x)有二个零点，则 f(x)一定有二个极值点 2.已知零点存在情况求参数范围 预测题2 (人教B版必选三P101C 组·4)已知函数 若 f(x)存在唯一的零点x₀,且x₀>0,则a的取值范围为 . 3.函数零点性质研究 预测题3 (多选)已知函数. 的零点为a,函数g(x)=lnx+x--m的零点为b,其中m∈R，则下列各式成立的是 ( ) 专题八 导数与三角函数问题 一 真题展示，明确方向 [例1] (2023·全国甲卷理数·21)已知函数 f(x)= 当a=8时,讨论 f(x)的单调性. [例2] (2023·新课标全国Ⅱ卷·22)(1)证明:当0<x<1时, (2)已知函数 若x=0是 f(x)的极大值点，求a的取值范围. [例3] 若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有 T 性质.下列函数中具有 T性质的是 ( ) A. y=sinx B. y=lnx 二、回归课本，追本溯源 从上述三题中我们发现，近年来对于函数单调性与极值的判断中开始频繁出现三角函数.特别是较为复杂的三角函数形式或三角函数与指对幂函数的结合出现的比较多. 同时注意到前几年高考切线方程的求解中也比较喜欢出现与三角函数相关的问题.其中函数 f(x)=sinx与g(x)=tanx有一条公切线为y=x,且sinx<x<tanx在. 上恒成立. 其实上述两类问题在书本上已经是明确给出了的.下面我们看几个例子. 1.(人教A版选择性必修二77 页例 4 节选(3))求下列函数的导数： 【解】 2.(人教 A版选择性必修二78 页练习 2)求下列函数的导数： (1)y=3cosx+2ˣ; (2)y=tanx. 【答案】 【解析】 3.(人教A版选择性必修二81页复习巩固5)求曲线 在点M(π，0)处的切线方程. 【答案】 x+πy-π=0 【解析】 由函数的解析式可得： 所求切线的斜率为： 由于切点坐标为(π，0)，故切线方程为：y=- 即为x+πy-π=0. 由以上例题可知在人教A版教材中三角函数在单调性的判断和切线的求解中还是相当重要的，所以我们需要熟悉三角函数的导数运算与切线的求解，也需要熟练掌握含三角函数的极值最值的求解. 1.导数的运算 预测题1 (人教 A 版选择性必修二81 页复习巩固2)求下列函数的导数. (1)y=(2x-3) sin(2x+5); 2.单调性的判断，极值最值的求解 预测题2 (22—23 高二下湖北黄冈阶段练习)已知函数 (1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数 f(x)在区间| 上的最大值和最小值. 3.求切线，以及借助切线比较大小 预测题 3 (2024·浙江台州统考一模)已知 则 ( ) A. a<c<b B. c<a<b C. a<b<c D. b<c<a 学科网（北京）股份有限公司 $$