第二章：等式与不等式（单元测试）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第一册）

第二章：等式与不等式 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（22-23高二上·山东日照·月考）《九章算术》记载了一个方程的问题，译为：今有上禾束，减损其中之“实”十八升，与下禾束之“实"相当；下禾束，减损其中之“实”五升，与上禾束之“实”相当.问上、下禾每束之实各为多少升?设上下禾每束之实各为升和升，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】上下禾每束为升，上禾束有，减损18，即，下禾束之“实"相当，即， 同理有，所以方程组为.故选：B. 2．（22-23高一上·北京·期中）若关于x的方程的两根分别是，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】因为是方程的两根，所以 所以故选：C 3．（23-24高一上·河北石家庄·月考）若，则A、B的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解析】因为，所以.故选：B. 4．（23-24高一上·重庆云阳·月考）“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， A选项，是的真子集，满足要求，故A正确； B选项，是的充要条件，故B错误； C选项，是的真子集，不合要求，故C错误； D选项，是的真子集，不合要求，故D错误；.故选：A 5．（23-24高一上·辽宁丹东·月考）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 所以，解得，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，故选：B 6．（22-23高一上·江苏常州·月考）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于B选项，成立的条件为，故错误； 对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于D选项，由于，故，正确.故选：D 7．（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式恒成立 ，，且 当且仅当，即时取等号， ，即解得 故实数的取值范围是故选：C 8．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式，可化为， 当时，不等式的解集为空集，不合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有三个整数解，则， 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有三个整数解，则， 综上可得，实数的取值范围是.故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（22-23高一上·吉林白城·月考）等腰三角形三边长分别为，且是关于的一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】BC 【解析】①当3为底时，则， 因为是关于的一元二次方程的两根， 所以，解得， 此时三角形的三边为3，4，4，这样的三角形存在， 所以，得， ②若3为腰长时，则中有一个为3，不妨设， 因为是关于的一元二次方程的两根， 所以，得， 此时三角形三边为3，3，5，这样的三角形存在， 所以，得， 综上，或，故选：BC 10．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，由及不等式的性质可知，故A正确； 对于B，由，及不等式的性质可知，故B正确； 对于C，若，可得，故C错误； 对于D，由及，可得，故D正确．故选：ABD． 11．（23-24高一下·贵州六盘水·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，若，则，故A错误； 对于B，由基本不等式可得，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为， 所以，故D正确.故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一上·江西赣州·月考）不等式解集为集合，则 . 【答案】【解析】，得， 可得，解得 所以 13．（23-24高一上·湖南衡阳·月考）若，则的最小值为 . 【答案】 【解析】， 当且仅当，即时等号成立， 所以目标式的最小值为. 14．（23-24高一上·江苏连云港·月考）若关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，显然关于x的不等式不能恒成立； 当时，恒成立； 当时，要使关于x的不等式恒成立，即要，解得， 所以实数k的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高一上·安徽芜湖·月考）(1)已知a，，比较与的大小，并说明理由． (2)已知，求的最小值，并求取到最小值时x的值． 【答案】(1)，理由见解析；(2)最小值为8，此时 【解析】（1）由， 又，， 则， 所以． （2）由， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8，此时． 16．（23-24高一上·四川泸州·月考）（1）关于的不等式.若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式解集. 【答案】（1）；（2）答案见解析 【解析】（1）原不等式可化为， 由题知，是方程的两根， 由韦达定理得，解得. （2）当时，所以原不等式化为， 当时，即时，解原不等式可得或； 当时，即时，原不等式即为，解得； 当时，即时，解得或 综上所述，当时，解原不等式解集为：； 当时，原不等式解集为； 当时，解得. 17．（23-24高一上·湖北宜昌·月考）已知命题：“关于的方程有两个大于1的实根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)存在. 【解析】（1）因为命题为真命题， 而 ，所以且，解得 （2）令，， 因为是的必要不充分条件，所以是A的真子集， 若，此时； 若，则，解得， 综上所述，存在使得是的必要不充分条件 18．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·月考）（1）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖）（假设全部溶解），糖水变甜了.这一事实可以表示为不等式，证明这个不等式成立. （2）已知都是正数，求证； 【答案】（1）答案见解析，（2）答案见解析. 【解析】（1）证明：因为，， 所以，所以， 故成立. （2）证明：因为都是正数， 所以，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 故成立. 19．（23-24高一上·安徽黄山·月考）“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米． (1)若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值． 【答案】(1)米；(2)平方米 【解析】（1）设草坪的宽为米，长为米，由面积为平方米，可得， 因为矩形的长比宽至少多米，所以， 所以，解得， 又因为，所以， 所以草坪宽的最大值为米． （2）设整个绿化面积为平方米，由题意可得 ， 当且仅当即时，等号成立， 故整个绿化面积的最小值为平方米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章：等式与不等式 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（22-23高二上·山东日照·月考）《九章算术》记载了一个方程的问题，译为：今有上禾束，减损其中之“实”十八升，与下禾束之“实"相当；下禾束，减损其中之“实”五升，与上禾束之“实”相当.问上、下禾每束之实各为多少升?设上下禾每束之实各为升和升，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·北京·期中）若关于x的方程的两根分别是，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（23-24高一上·河北石家庄·月考）若，则A、B的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 4．（23-24高一上·重庆云阳·月考）“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·辽宁丹东·月考）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·江苏常州·月考）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（22-23高一上·吉林白城·月考）等腰三角形三边长分别为，且是关于的一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 10．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·贵州六盘水·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一上·江西赣州·月考）不等式解集为集合，则 . 13．（23-24高一上·湖南衡阳·月考）若，则的最小值为 . 14．（23-24高一上·江苏连云港·月考）若关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高一上·安徽芜湖·月考）(1)已知a，，比较与的大小，并说明理由． (2)已知，求的最小值，并求取到最小值时x的值． 16．（23-24高一上·四川泸州·月考）（1）关于的不等式.若不等式的解集为，求的值； （2）若，求不等式解集. 17．（23-24高一上·湖北宜昌·月考）已知命题：“关于的方程有两个大于1的实根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 18．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·月考）（1）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖）（假设全部溶解），糖水变甜了.这一事实可以表示为不等式，证明这个不等式成立. （2）已知都是正数，求证； 19．（23-24高一上·安徽黄山·月考）“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米． (1)若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$