专题04 二次函数综合大题（14大考点）-【好题汇编】三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（辽宁专用）

三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（辽宁通用） 专题04 二次函数综合大题 考点01 二次函数新定义应用 1．（2024年辽宁省中考九年级数学试卷）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． (1)求函数的“升幂函数”的函数表达式； (2)如图1，点在函数的图象上，点“关于的升幂点”在点上方，当时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数”的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值． 2．（2023年辽宁省阜新市中考数学真题）某中学数学兴趣小组的同学们，对函数（a，b，c是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． (1)当，时，即，当时，函数化简为；当时，函数化简为______． (2)当，，时，即． ①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 6 2 0 2 4 6 … 其中______． ②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．    (3)当时，即． ①当时，函数化简为______． ②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数的图象． (4)请写出函数（a，b，c是常数，）的一条性质：______．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准） 3．（2022年辽宁省阜新市中考数学试卷）当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于“一次函数图像平移的性质”的探究过程，请补充完整． (1)如图，将一次函数的图像向下平移个单位长度，相当于将它向右平移了______个单位长度； (2)将一次函数的图像向下平移个单位长度，相当于将它向______（填“左”或“右”）平移了______个单位长度； (3)综上，对于一次函数的图像而言，将它向下平移个单位长度，相当于将它向______（填“左”或“右”）（时）或将它向______（填“左”或“右”）（时）平移了个单位长度，且，，满足等式_______． 考点02 三角形面积相等的存在性问题 4．（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是轴上方抛物线上一点，射线轴于点，若，且，请直接写出点的坐标． (3)如图2，点是第一象限内一点，连接交轴于点，的延长线交抛物线于点，点在线段上，且，连接，若，求面积． 考点03 二次函数与图形的变换问题 5．（2023年辽宁省阜新市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C．    (1)求这个二次函数的表达式． (2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． (3)如图2，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2022年辽宁省营口市中考数学真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作，垂足为D，作轴，垂足为E，交于点F，设的面积为，的面积为，当时，求点P坐标； (3)点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线垂直平分线段？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由． 7．（2023年辽宁省沈阳市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与轴的交点为点和点．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)点，在轴正半轴上，，点在线段上，以线段，为邻边作矩形，连接，设． 连接，当与相似时，求的值； 当点与点重合时，将线段绕点按逆时针方向旋转后得到线段，连接，，将绕点按顺时针方向旋转后得到，点，的对应点分别为、，连接当的边与线段垂直时，请直接写出点的横坐标． 考点04 线段相等的存在性问题 8．（2023年辽宁省抚顺市、葫芦岛市中考数学真题）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作轴于点E，交于点F．    (1)求抛物线的解析式； (2)当的周长是线段长度的2倍时，求点P的坐标； (3)当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接，过点B作直线，连接并延长交直线于点M．当时，请直接写出点Q的坐标． 考点05 平行四边形存在性问题 9．（2022年辽宁省阜新市中考数学试卷）如图，已知二次函数的图像交轴于点，，交轴于点．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发．设运动时间为秒（）．当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 考点06 正方形存在性问题 10．（2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考数学真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求抛物线的解析式； (2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长； (3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 考点07 矩形存在性问题 11．（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是，过点D作直线轴，垂足为点E，交直线于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长； (3)若点P是抛物线上的一个动点（点P不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平面内，当四边形是矩形邻边之比为时，请直接写出点P的横坐标． 12．（2023年辽宁省鞍山市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点、，其中点的横坐标为，点的横坐标为1，抛物线过点、．过作轴交抛物线另一点为点．以、长为边向上构造矩形．    (1)求抛物线的解析式； (2)将矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上． ①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； ②直线交抛物线于点，交抛物线于点．当点为线段的中点时，求的值； ③抛物线与边、分别相交于点、，点、在抛物线的对称轴同侧，当时，求点的坐标．如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，其中点的横坐标为，点的横坐标为，抛物线过点．过作轴交抛物线另一点为点．以长为边向上构造矩形． 13．（2022年辽宁省丹东市中考数学真题）如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式； (2)设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h； (3)如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值； (4)如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标． 考点08 菱形存在性问题 14．（2023年辽宁省锦州市中考数学真题）如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)若点在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若点是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 15．（2022年辽宁省朝阳市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，﹣3)，连接BC． (1)求抛物线的解析式及点B的坐标． (2)如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值． (3)动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 考点09 和角的存在性问题 16．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标； (3)在（2）的条件下，连接，在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（2022年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图，抛物线与x轴交于两点（A在B的左侧），与y轴交于点，点P在抛物线上，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点P在第四象限，点D在线段上，连接并延长交x轴于点E，连接，记的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标； (3)如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段交于点G，当时，求点P的横坐标． 考点10 倍角的存在性问题 18．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． (1)求点B，点C的坐标； (2)如图1，点在线段上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，，连接，设的面积为，的面积为，，当S取最大值时，求m的值； (3)如图2，抛物线的顶点为D，连接，点P在第一象限的抛物线上，与相交于点Q，是否存在点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点11 特殊角的存在性问题 19．（2023年辽宁省鞍山市中考数学真题）如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第一象限内抛物线上一动点．   　　   (1)求抛物线的解析式． (2)直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接．当时，求点E的横坐标． (3)如图2，点N为x轴正半轴上一点，与交于点M．若，，求点E的坐标． 20．（2022年辽宁省鞍山市中考数学真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)点是第三象限抛物线上一点，直线与轴交于点，的面积为12，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，若点是线段上点，连接，将沿直线翻折得到，当直线与直线相交所成锐角为时，求点的坐标． 21．（2022年辽宁省朝阳市中考数学真题）如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标； (3)P为抛物线上一点，连接，过点P作交抛物线对称轴于点Q，当时，请直接写出点P的横坐标． 考点12 动点问题与重叠面积 22．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）如图，在中，，，点D在上，，连接，，点P是边上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作的垂线，与相交于点Q，连接，设，与重叠部分的面积为S． (1)求的长； (2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． 23．（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A．为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴交直线于点D，与的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．    (1)的长为 ___________；的面积为 ___________； (2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围． 24．（2022年辽宁省沈阳市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，与直线OC交于点． (1)求直线AB的函数表达式； (2)过点C作轴于点D，将沿射线CB平移得到的三角形记为，点A，C，D的对应点分别为，，，若与重叠部分的面积为S，平移的距离，当点与点B重合时停止运动． ①若直线交直线OC于点E，则线段的长为________（用含有m的代数式表示）； ②当时，S与m的关系式为________； ③当时，m的值为________． 考点13 相似三角形的存在问题 25．（2022年辽宁省铁岭市、葫芦岛市中考数学真题）抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A(3，0)，点C(0，﹣3)，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，点P为直线AC下方抛物线上的点，连接PA，PC，△BAF的面积记为S1，△PAC的面积记为S2，当S2＝S1时．求点P的横坐标； (3)如图②，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标． 考点14 直角三角形的存在问题 26．（2022年辽宁省抚顺本溪辽阳市中考数学真题）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，点D为x轴上方抛物线上的动点，射线交直线于点E，将射线绕点O逆时针旋转得到射线，交直线于点F，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)当点D在第二象限且时，求点D的坐标； (3)当为直角三角形时，请直接写出点D的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司16 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（辽宁通用） 专题04 二次函数综合大题 考点01 二次函数新定义应用 1．（2024年辽宁省中考九年级数学试卷）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． (1)求函数的“升幂函数”的函数表达式； (2)如图1，点在函数的图象上，点“关于的升幂点”在点上方，当时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数”的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)①或；②；③或 【分析】（1）根据“升幂函数”的定义，可得，即可求解， （2）设，根据“升幂点”的定义得到，由，在点上方，得到，即可求解， （3）①由，，点与点重合，得到，即可求解，②由，得到对称轴为，、关于对称轴对称，结合，则，得到，进而得到，，由点在点的上方，得到点在点的上方，，解得：， ，当，，，当， ，，即可求解，③根据②中结论得到，，，将，，代入，得到，，，结合图像可得，当时，直线与函数的图象有3个交点，当时，直线与函数的图象有2个交点，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，结合，可得，当时，，解得：，由，得到，解得：，即可求解， 【点睛】本题考查了，求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数综合，根据系数关系，解题的关键是：熟练掌握二次函数的性质，将题目所给条件进行转化． 【详解】（1）解：根据题意得：， 故答案为：， （2）解：设点，则， ∵，在点上方， ∴， 解得：， ∴； （3）解：①根据题意得：，则， ∵点与点重合， ∴，解得：或， ②根据题意得：， ∴对称轴为，、关于对称轴对称， ∵，则， ∴，解得：， ∴，， ∵点在点的上方， ∴，解得：， ∴， 当，点在点右侧时，，， 当，点在点左侧时，，， ∴， ③∵， ∴，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，， 当时，直线与函数的图象有3个交点， 当时，直线与函数的图象有2个交点， 直线与函数交于、两点，，即：， ∴，，， 直线与函数交于、两点，，即：， ∴，，， ∵， ∴，整理得：， 当时， ，解得：或（舍）， ∴， ∴，解得：， ∴， 或． 2．（2023年辽宁省阜新市中考数学真题）某中学数学兴趣小组的同学们，对函数（a，b，c是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． (1)当，时，即，当时，函数化简为；当时，函数化简为______． (2)当，，时，即． ①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 6 2 0 2 4 6 … 其中______． ②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．    (3)当时，即． ①当时，函数化简为______． ②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数的图象． (4)请写出函数（a，b，c是常数，）的一条性质：______．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准） 【答案】(1) (2)4，图像见详解； (3)，图像见详解； (4)答案见详解； 【分析】（1）根据绝对值的性质直接求解即可得到答案； （2）将代入解析式即可得到答案，根据表格描点用直线连接起来即可得到答案； （3）根据绝对值性质化简即可得到答案，根据解析式找点，描点用直线连接即可得到答案； （4）根据绝对值性质化简函数解析式，结合一次函数性质直接写即可得到答案； 【详解】（1）解：当时， ， 故答案为：； （2）解：①当时， ， 故答案为：4； ②根据表格描点再连接起来，如图所示，   ； （3）解：①当时， ， 故答案为：； ②当时， ， 当时，， 当时，， 当时，， 描点如图所示，   ； （4）解：由解析式得，当时， ， 当时，时，y随x增大而增大， 当时，时，y随x增大而减小， 当时，， 当时，时，y随x增大而减小， 当时，时，y随x增大而增大， 故答案为：当时，时，y随x增大而增大，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而增大（写其中任意一条即可）． 【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，解题的关键是根据绝对值的性质化简出解析式． 3．（2022年辽宁省阜新市中考数学试卷）当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于“一次函数图像平移的性质”的探究过程，请补充完整． (1)如图，将一次函数的图像向下平移个单位长度，相当于将它向右平移了______个单位长度； (2)将一次函数的图像向下平移个单位长度，相当于将它向______（填“左”或“右”）平移了______个单位长度； (3)综上，对于一次函数的图像而言，将它向下平移个单位长度，相当于将它向______（填“左”或“右”）（时）或将它向______（填“左”或“右”）（时）平移了个单位长度，且，，满足等式_______． 【答案】(1)1 (2)左， (3)右，左， 【分析】（1）根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可得到结论； （2）根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可得到结论； （3）根据（1）（2）题得出结论即可． 【详解】（1）解：∵将一次函数的图像向下平移个单位长度得到， 相当于将它向右平移了个单位长度， 故答案为：； （2）解：将一次函数的图像向下平移个单位长度得到， 相当于将它向左平移了个单位长度； 故答案为：左；； （3）解：综上，对于一次函数的图像而言，将它向下平移个单位长度，相当于将它向右时或将它向左时平移了个单位长度，且，，满足等式． 故答案为：右，左，． 【点睛】本题考查了一次函数图像与几何变换，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”，关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系． 考点02 三角形面积相等的存在性问题 4．（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是轴上方抛物线上一点，射线轴于点，若，且，请直接写出点的坐标． (3)如图2，点是第一象限内一点，连接交轴于点，的延长线交抛物线于点，点在线段上，且，连接，若，求面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点，代入抛物线得到，解方程组即可得到答案； （2）设，，则，则，，从而表示出点的坐标为，代入抛物线解析式，求出的值即可得到答案； （3）求出直线的表达式，利用，得到，求出点的坐标，再根据进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：， 设，， ， ， ， 点， ， ， 点的坐标为， 点是轴上方抛物线上一点， ， 解得：（舍去）或， ； （3）解：设点，直线的解析式为， ， ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ， 在抛物线中，当时，， ， ， ， 设点的坐标为， ，， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为， ． 【点睛】本题为二次函数综合，主要考查了求二次函数的解析式、二次函数图象和性质、一次函数的应用、锐角三角函数、三角形面积的计算，确定关键点的坐标是解本题的关键． 考点03 二次函数与图形的变换 5．（2023年辽宁省阜新市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C．    (1)求这个二次函数的表达式． (2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． (3)如图2，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据抛物线的交点式直接得出结果； （2）作于，作于，交于，先求出抛物线的对称轴，进而求得，坐标及的长，从而得出过的直线与抛物线相切时，的面积最大，根据的△求得的值，进而求得的坐标，进一步求得上的高的值，进一步得出结果； （3）分两种情形：当点在线段上时，连接，交于，设，根据求得的值，可推出四边形是平行四边形，进而求得点坐标；当点在的延长线上时，同样方法得出结果． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：如图1， 作于，作于，交于， ，， ， ， 抛物线的对称轴是直线：， ， ， ， ， 故只需的边上的高最大时，的面积最大， 设过点与平行的直线的解析式为：， 当直线与抛物线相切时，的面积最大， 由得， ， 由△得， 得， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图2， 当点在线段上时，连接，交于， 点和点关于对称， ， 设， 由得，， ，（舍去）， ， ∵， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ∴； 如图3， 当点在的延长线上时，由上可知：， 同理可得：， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 6．（2022年辽宁省营口市中考数学真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作，垂足为D，作轴，垂足为E，交于点F，设的面积为，的面积为，当时，求点P坐标； (3)点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线垂直平分线段？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线的解析式为， (2) (3)存在或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）设，则，中，，证明，根据相似三角形的性质以及建立方程，解方程即可求解； （3）设直线交轴于点，设交于点，连接，，，证明是等腰直角三角形，则设，则，，根据列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点， ， 解得， 抛物线解析式为， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， （2）如图，设直线与轴交于点， 由，令,得，则， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 中，， 设的面积为，的面积为， ， ， ， 即， 设，则， ， 解得或（舍）， 当时，， （3）设直线交轴于点，设交于点，连接，，，如图， 由，令，得，则 设过直线的解析式为， 解得 过直线的解析式为， 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 直线垂直平分线段 是等腰直角三角形， ， 设，则， ， 解得 或即或 【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，二次函数线段问题，掌握以上知识是解题的关键． 7．（2023年辽宁省沈阳市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与轴的交点为点和点．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)点，在轴正半轴上，，点在线段上，以线段，为邻边作矩形，连接，设． 连接，当与相似时，求的值； 当点与点重合时，将线段绕点按逆时针方向旋转后得到线段，连接，，将绕点按顺时针方向旋转后得到，点，的对应点分别为、，连接当的边与线段垂直时，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2)①或；②或或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）①利用已知条件用含a的代数式表示出点E，D，F，G的坐标，进而得到线段的长度，利用分类讨论的思想方法和相似三角形的性质，列出关于a的方程，解方程即可得出结论； ②利用已知条件，点的坐标的特征，平行四边形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质求得 ，和的长，利用分类讨论的思想方法分三种情形讨论解答利用旋转的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理求得相应线段的长度即可得出结论； 【详解】（1）二次函数的图象经过点，与轴的交点为点， 解得： 此抛物线的解析式为 （2）令，则 解得：或， ∴ ． ∵, ∴ 四边形为矩形， ∴ ∴ ∴ Ⅰ当时， ∴ ∴ ∴ Ⅱ当时， ∴ ∴ ∴ 综上，当与相似时，的值为或； 点与点重合， ∴ ∴ ∴ 四边形为平行四边形， 在和中， Ⅰ、当 所在直线与 垂直时，如图， ，，三点在一条直线上， 过点 作 轴于点 ， 则 ∴此时点 的横坐标为 Ⅱ当所在直线与垂直时，如图， ， ， 设的延长线交于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则轴，． ， ， ． ， ． ， ， 此时点的横坐标为； Ⅲ当所在直线与垂直时，如图， ，， ， ，，三点在一条直线上，则， 过点作，交的延长线于点， ， 此时点的横坐标为． 综上，当的边与线段垂直时，点的横坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度和正确利用分类讨论的思想方法是解题的关键 考点04 线段相等的存在性问题 8．（2023年辽宁省抚顺市、葫芦岛市中考数学真题）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作轴于点E，交于点F．    (1)求抛物线的解析式； (2)当的周长是线段长度的2倍时，求点P的坐标； (3)当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接，过点B作直线，连接并延长交直线于点M．当时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）根据直角三角形三角函数值可得，，进而可得的周长，结合已知条件可得，设，则，，从而可得方程，解方程即可； （3）先求出，，设，过点M作轴于点N，通过证明，求出，再求出直线的解析式为，将点代入解析式求出n的值即可． 【详解】（1）解：将，代入， 可得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：，， ，， ， ，， 的周长， 的周长是线段长度的2倍， ， 设直线的解析式为， 将，代入可得， 解得， 直线的解析式为， 设，则，， ，， ， 解得，（舍）， ， ； （3）解：， 当时，y取最大值， ， 直线的解析式为， 当时，， ， 设，过点M作轴于点N，    由题意知， ， ， ， 又，， ， ，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 将点代入，得， 解得或， 或． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等，综合性较强，难度较大，熟练运用数形结合思想，正确作出辅助线是解题的关键． 考点05 平行四边形存在性问题 9．（2022年辽宁省阜新市中考数学试卷）如图，已知二次函数的图像交轴于点，，交轴于点．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发．设运动时间为秒（）．当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的面积最大，最大面积是 (3)存在，的坐标为或或或 【分析】用待定系数法可求得二次函数的表达式为； 过点作轴于点，设面积为，由，，可得，，即得，由二次函数性质可得当秒时，的面积最大，求得其最大面积； 由，得直线解析式为，设，，分三种情况进行讨论求解． 【详解】（1）将点，代入中， 得， 解这个方程组得， 二次函数的表达式为； （2）过点作轴于点，如图：       设面积为， 根据题意得：，． ， ， 在中，令得， ， ， ． ， ， ， 当时，的面积最大，最大面积是； （3）存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 由，得直线解析式为， 设，，又，， 当，是对角线，则，的中点重合， ， 解得与重合，舍去或， ； 当，为对角线，则，的中点重合， ， 解得舍去或， ； 当，为对角线，则，的中点重合， ， 解得或， 或， 综上所述，的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度． 考点06 正方形存在性问题 10．（2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考数学真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求抛物线的解析式； (2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长； (3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)； (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式为，设，则，利用对称性质求得，推出，，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解； （3）先求得直线的解析式为，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，证明，推出，，设，则，由点M在直线上，列式计算，可求得m的值，利用平移的性质可得点N的坐标；设点，则点，当绕着点O逆时针旋转得到时，当点M绕点O逆时针得到点E时，根据旋转的性质，可得点N的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点和， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 设，且，则， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 依题意得， 解得（舍去）或， ∴； （3）解：令，则， 解得或， ∴， 同理，直线的解析式为， ∵四边形是正方形， ∴，，分别过点M、E作y的垂线，垂足分别为P、Q，如图，     ，， ∴， ∴，， 设， ∴，， 则， ∵点M在直线上， ∴， 解得或， 当时，，， 即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形是正方形，此时； 当时，，， 点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M， 则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N， ∴，即； 设点，则点， 当绕着点O逆时针旋转得到时，如图， ∵点E在的图象上， ∴， ∴点， ∵点E在的图象上， ∴， 解得：或0， ∴，， 当点M绕点O逆时针得到点E时，点，， ∵点E在的图象上， ∴， 解得：， ∴点，，，， ∴点N的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和正方形的性质，是一道综合性较强的题，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论． 考点07 矩形存在性问题 11．（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是，过点D作直线轴，垂足为点E，交直线于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长； (3)若点P是抛物线上的一个动点（点P不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平面内，当四边形是矩形邻边之比为时，请直接写出点P的横坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将点，代入解析式即可求解； （2）可求直线的解析式为，可得，，，①当时，可求，，即可求解；②当时，，，即可求解； （3）①当在对称轴的左侧时，得到是矩形，邻边之比为，即，即可求解；②当在对称轴的右侧时，同理可求． 【详解】（1）解：由题意得 解得， 故抛物线的表达式； （2）解：当时，， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 点D的横坐标是，过点D作直线轴， ，，， ①如图，当时，   ， ， ， 整理得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， ； ②如图，当时，   ， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ； 综上所述：线段的长为或． （3）解：设点，， 当四边形是矩形时，则为直角， ①当在对称轴的左侧时， 如图，过作轴交轴于，交过作轴的平行线于，   ， ∵为直角， 则， ∵， ∴， ∴， ∵是矩形邻边之比为，即或， 即和的相似比为或， 即， 由题意得：，， ∴， 则， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）； ②当在对称轴的右侧时，    同理可得：， 解得：， 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数综合体，主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，矩形的性质，三角形相似的性质等知识点，分类求解是解答本题的关键． 12．（2023年辽宁省鞍山市中考数学真题）中考1年模拟数学真题分项汇编（全国通用））如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点、，其中点的横坐标为，点的横坐标为1，抛物线过点、．过作轴交抛物线另一点为点．以、长为边向上构造矩形．    (1)求抛物线的解析式； (2)将矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上． ①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； ②直线交抛物线于点，交抛物线于点．当点为线段的中点时，求的值； ③抛物线与边、分别相交于点、，点、在抛物线的对称轴同侧，当时，求点的坐标．如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，其中点的横坐标为，点的横坐标为，抛物线过点．过作轴交抛物线另一点为点．以长为边向上构造矩形． 【答案】(1) (2)①；②；③或 【分析】（1）根据题意得出点，，利用待定系数法求解析式即可求解． （2）①根据平移的性质得出，根据点的对应点落在抛物线上，可得，即可求解． ②根据题意得出，，求得中点坐标，根据题意即可求解． ③作辅助线，利用勾股定理求得，设出点，点坐标，将点代入，求得点坐标，进而根据点的对应点落在抛物线上，即可求解． 【详解】（1）根据题意，点的横坐标为，点的横坐标为1，代入抛物线， 当时，，则， 当时，，则， 将点，代入抛物线， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）①轴交抛物线另一点为， 当时，， ， 矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上． ，， 整理得， ，， ， ； ②如图，    ，， ， ， ， 由①可得，， ，的横坐标为，分别代入，， ，， ， 的中点坐标为， 点为线段的中点， ， 解得或（大于4，舍去）． ③如图，连接，过点作于点，    则， ， ， 设，则，， 将点代入， 得， 解得， 当，， ， 将代入， 解得， 或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，掌握二次函数的性质以及掌握复杂运算属于中考压轴题． 13．（2022年辽宁省丹东市中考数学真题）如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式； (2)设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h； (3)如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值； (4)如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标． 【答案】(1)y＝x2+x+3 (2)h＝m2+m（0＜m＜6） (3)m＝1 (4)点Q的坐标为（2，）或（2，﹣1）或（2，4） 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）利用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3），即可得出h＝m2+m； （3）如图，过点E、F分别作EH⊥y轴于点H，FG⊥y轴于点G，可证得△BOC∽△PFE，得出＝，可求得EF＝（m2+m），再由△CEH∽△CBO，可得＝，求得CE＝m，结合CF＝EF，可得EF＝CE＝m，建立方程求解即可得出答案； （4）设Q（2，t），分两种情况：①当点O′恰好落在该矩形对角线OD所在的直线上时，②当点O′恰好落在该矩形对角线CD上时，③当点O′恰好落在该矩形对角线DC延长线上时，分别求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为y＝x2+x+3； （2）解：∵抛物线y＝x2+x+3与y轴交于点C， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（6，0）、C（0，3）代入， 得：， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3）， ∴h＝m2+m+3﹣（﹣m+3）＝m2+m， ∵点P是第一象限内抛物线上的一个动点， ∴0＜m＜6， ∴h＝m2+m（0＜m＜6）； （3）解：如图，过点E、F分别作EH⊥y轴于点H，FG⊥y轴于点G， ∵P（m，m2+m+3），E（m，﹣m+3）， ∴PE＝m2+m， ∵PF⊥CE， ∴∠EPF+∠PEF＝90°， ∵PD⊥x轴， ∴∠EBD+∠BED＝90°， 又∵∠PEF＝∠BED， ∴∠EPF＝∠EBD， ∵∠BOC＝∠PFE＝90°， ∴△BOC∽△PFE， ∴＝， 在Rt△BOC中，BC＝＝＝3， ∴EF＝×PE＝（m2+m）＝（m2+m）， ∵EH⊥y轴，PD⊥x轴， ∴∠EHO＝∠EDO＝∠DOH＝90°， ∴四边形ODEH是矩形， ∴EH＝OD＝m， ∵EH//x轴， ∴△CEH∽△CBO， ∴＝，即＝， ∴CE＝m， ∵CF＝EF， ∴EF＝CE＝m， ∴m＝（m2+m）， 解得：m＝0或m＝1， ∵0＜m＜6， ∴m＝1； （4）解：∵抛物线y＝x2+x+3， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2， ∵点Q在抛物线的对称轴上， ∴设Q（2，t），设抛物线对称轴交x轴于点H，交CP边于点G， 则GQ＝3﹣t，CG＝2，∠CGQ＝90°， ①当点O′恰好落在该矩形对角线OD所在的直线上时，如图， 则CQ垂直平分OO′，即CQ⊥OD， ∴∠COP+∠OCQ＝90°， 又∵四边形OCPD是矩形， ∴CP＝OD＝4，OC＝3，∠OCP＝90°， ∴∠PCQ+∠OCQ＝90°， ∴∠PCQ＝∠COP， ∴tan∠PCQ＝tan∠COP＝＝， ∴＝tan∠PCQ＝， ∴＝， 解得：t＝， ∴Q（2，）； ②当点O′恰好落在该矩形对角线CD上时，如图，连接CD交GH于点K， ∵点O与点O′关于直线CQ对称， ∴CQ垂直平分OO′， ∴∠OCQ＝∠DCQ， ∵GH//OC， ∴∠CQG＝∠OCQ， ∴∠DCQ＝∠CQG， ∴CK＝KQ， ∵C、P关于对称轴对称，即点G是CP的中点，GH//OC//PD， ∴点K是CD的中点， ∴K（2，）， ∴GK＝， ∴CK＝KQ＝﹣t， 在Rt△CKG中，CG2+GK2＝CK2， ∴22+（）2＝（﹣t）2， 解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣1， ∴Q（2，﹣1）； ③当点O′恰好落在该矩形对角线DC延长线上时，如图，过点O′作O′K⊥y轴于点K，连接OO′交CQ于点M， ∵点O与点O′关于直线CQ对称， ∴CQ垂直平分OO′， ∴∠OCM＝∠O′CM，∠OMC＝∠O′MC＝90°，O′C＝OC＝3， ∵∠O′KC＝∠DOC＝90°，∠O′CK＝∠DCO， ∴△O′CK∽△DCO， ∴＝＝，即＝＝， ∴O′K＝，CK＝， ∴OK＝OC+CK＝3+＝， ∴O′（﹣，）， ∵点M是OO′的中点， ∴M（﹣，）， 设直线CQ的解析式为y＝k′x+b′， 则， 解得：， ∴直线CQ的解析式为y＝x+3， 当x＝2时，y＝×2+3＝4， ∴Q（2，4）； 综上所述，点Q的坐标为（2，）或（2，﹣1）或（2，4）． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，轴对称性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 考点08 菱形存在性问题 14．（2023年辽宁省锦州市中考数学真题）如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)若点在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若点是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点G的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）方法一：连接，过点作轴交于点．先求得直线的表达式为：．再设，，则，利用面积构造一元二次方程求解即可得解；方法二：令抛物线的对称轴与轴交于点，过点作轴于点，设，利用面积构造一元二次方程求解即可得解； （3）如下图，连接，，由菱形及等边三角形的性质证明得．从而求得直线的表达式为：．联立方程组求解，又连接，，，证．得，又证．得．进而求得直线的表达式为：．联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得． ∴抛物线的表达式为：． （2）解：方法一：如下图，连接，过点作轴交于点．      ∵ ， ∴． 令中，则， 解得或， ∴， 设直线为， ∵过点，，， ∴， 解得， ∴直线的表达式为：． 设，， ∴ ． ∴ ． ∵， ∴． 整理得，解得． ∴． 方法二： 如下图，    抛物线的对称轴与轴交于点，过点作轴于点， 设， ∴， ∴ ． ∵， ∴． 整理得，解得． ∴． （3）解：存在，点的坐标为或． 如下图，连接，，    ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∵，，， ∴，，点与点关于对称轴对称， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴即，， ∴． ∴． ∴直线的表达式为：． 与抛物线表达式联立得． ∴点坐标为． 如下图，连接，，，     同理可证：是等边三角形，是等边三角形，． ∴， ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴直线的表达式为：． 与抛物线表达式联立得． ∴点坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，一元二次方程的应用，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的图像及性质，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数与二次函数的解析式是解题的关键． 15．（2022年辽宁省朝阳市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，﹣3)，连接BC． (1)求抛物线的解析式及点B的坐标． (2)如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值． (3)动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，（-3，0） (2) (3)或（-2，1）或 【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式求得a，c的值，进而得出解析式，当y=0时，求出方程的解，进而求得B点坐标； （2）由B，C两点求出BC的解析式，进而设出点P和点Q坐标，表示出PQ的长，进一步得出结果； （3）要使以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，只需△PMB是等腰三角形，所以分为PM=BM，PM=PB和BP=BM，结合图象，进一步得出结果． 【详解】（1）解：把点A(1，0)，C(0，﹣3)代入得： ，解得：， ∴抛物线解析式为； 令 y=0，则， 解得：， ∴点B的坐标为（-3，0）； （2）解：设直线BC的解析式为， 把点B（-3，0），C(0，﹣3)代入得： ，解得：， ∴直线BC的解析式为， 设点，则， ∴， ∴当时，PQ最大，最大值为； （3）解：存在， 根据题意得：，则， 如图，当BM=PM时， ∵B（-3，0），C（0，-3）， ∴OB=OC=3， ∴∠OCB=∠OBC=45°， 延长NP交y轴于点D， ∵点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形， ∴PN∥x轴，BN∥PM，即DN⊥y轴， ∴△CDP为等腰直角三角形， ∴， ∵BM=PM， ∴∠MPB=∠OBC=45°， ∴∠PMO=∠PDO=∠MOD=90°， ∴四边形OMPD是矩形， ∴OM=PD=t，MP⊥x轴， ∴BN⊥x轴， ∵BM+OM=OB， ∴t+t=3，解得， ∴， ∴； 如图，当PM=PB时，作PD⊥y轴于D，连接PN， ∵点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形， ∴PN⊥BM，NE=PE， ∴BM=2BE， ∴∠OEP=∠DOE=∠ODP=90°， ∴四边形PDOE是矩形， ∴OE=PD=t， ∴BE=3-t， ∴t=2（3-t），解得：t=2， ∴P（-2，-1）， ∴N（-2，1）； 如图，当PB=MB时， ，解得：， ∴， 过点P作PE⊥x轴于点E， ∴PE⊥PM， ∴∠EON=∠OEP=∠EPN=90°， ∴四边形OEPN为矩形， ∴PN=OE，PN⊥y轴， ∵∠OBC=45°， ∴， ∴， ∴点N在y轴上， ∴， 综上所述，点N的坐标为或（-2，1）或． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形． 考点09 和角的存在性问题 16．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标； (3)在（2）的条件下，连接，在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）根据抛物线过点，对称轴为直线，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意求得，，求得，则，进而求得直线的解析式为，过点作轴，交于点，证明，根据已知条件得出设，则，将点代入，即可求解． （3）根据题意可得，以为对角线作正方形，则，进而求得的坐标，待定系数法求得的解析式，联立解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，则对称轴为直线， ∴， 解得： ∴抛物线解析式为； （2）解：由，当时，， 解得：， ∴， 当时，，则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，则， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作轴，交于点，    ∵， ∴ ∵ ∴，则 设，则即， 将点代入 即 解得：或（舍去） 当时，， ∴； （3）∵，， 则，是等腰直角三角形， ∴，由（2）可得， ∵ ∴， 由（2）可得， 设直线的解析式为，则 解得： ∴直线的解析式为 如图所示，以为对角线作正方形，则，    ∵，则，则，， 设，则， 解得：，， 则，， 设直线的解析式为，直线的解析式为 则，， 解得：，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， ∴解得：，则， 解得：,则， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 17．（2022年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图，抛物线与x轴交于两点（A在B的左侧），与y轴交于点，点P在抛物线上，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点P在第四象限，点D在线段上，连接并延长交x轴于点E，连接，记的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标； (3)如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段交于点G，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的横坐标为 【分析】（1）将将、两点代入即可求解； （2）设点，由，可得即可求解； （3）作CE⊥l，PQ⊥BC，PN⊥x轴，连接PC交x轴于点H，设，PC的表达式为：，由P，C代入得，PC的表达式，由可表示PQ、PB，分别求EF、CF，由，PQ⊥BC，CE⊥l，证即可求解； 【详解】（1）解：将、两点代入得， ，解得： ∴抛物线的解析式为： （2）由可得， 设点 则 ∵， ∴ ∴ 解得：（舍去） ∴ （3）如图，作CE⊥l，PQ⊥BC，PN⊥x轴，连接PC交x轴于点H， 设，PC的表达式为：， 将P，C代入得， 解得： PC的表达式为：， 将y=0代入得，，即， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ 由题可知， ∴ 将代入得，， ∴ ∴ ∵，PQ⊥BC，CE⊥l， ∴ ∴ ∴ 解得：（舍去）． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，一次函数的应用，三角形的相似，勾股定理，掌握相关知识正确构造辅助线是解题的关键． 考点10 倍角的存在性问题 18．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． (1)求点B，点C的坐标； (2)如图1，点在线段上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，，连接，设的面积为，的面积为，，当S取最大值时，求m的值； (3)如图2，抛物线的顶点为D，连接，点P在第一象限的抛物线上，与相交于点Q，是否存在点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当最大时， (3) 【分析】（1）利用抛物线的解析式，令x=0，可得C的坐标，令y=0，可得A，B的坐标； （2）由 可得 再分别表示 再建立二次函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案； （3） 如图，延长DC与x轴交于点N，过A作于H，过作轴于K，连接BD，证明 证明 求解 可得 再求解 及为再联立： 从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， 令 则 令 则 解得： ∴ （2）∵ ∴ 而 ∴ ∴当最大时，则 （3）如图，延长DC与x轴交于点N，过A作于H，过作轴于K，连接BD， ， ∵抛物线 ∴顶点 轴， ∴ 设为 解得 ∴为 联立： 解得： 所以 【点睛】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，函数的交点坐标问题，求解Q的坐标是解本题的关键． 考点11 特殊角的存在性问题 19．（2023年辽宁省鞍山市中考数学真题）如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第一象限内抛物线上一动点．   　　   (1)求抛物线的解析式． (2)直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接．当时，求点E的横坐标． (3)如图2，点N为x轴正半轴上一点，与交于点M．若，，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)或1 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法，把已知点坐标代入解析式即可求解函数的解析式； （2）分别过，向轴作垂线，垂足为，，根据证得 ，从而，设点坐标，分别表示出，坐标，再列方程求解即可； （3）将平移到，连接，则；过作于，过作轴于，过作交延长线于，延长交轴于，设，则，，，由可得，从而，设由 可得，， ，再求出点坐标为，代入抛物线解析式中即可求得或，从而可得点坐标 ． 【详解】（1）解：把和代入到解析式中可得 ，解得， 抛物线的解析式为：； （2）直线中，令，则，所以， 直线中，令，则，所以， 分别过，向轴作垂线，垂足为，，    根据题意可得， 轴，轴， 和为直角三角形， 在和中， ， ， ， 设， 则， ，， 从而，， 则有或， 解得（舍去），或，或 故点的横坐标为：或1； （3）将平移到，连接，则四边形为平行四边形，，过作于，过作轴于，过作交延长线于，延长交轴于， ， 可设，则， ∴， 则，    设， 轴， ， ， ，，， ，，， ， ，， ， ， ，，则， ，， ， 代入抛物线解析式中有：， 解得：或， 当时，， 当时，． 【点睛】本题是二次函数与相似三角形综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正切的定义等知识，解题关键是在坐标系中利用等线段构造全等进行计算，构造相似三角形解决问题． 20．（2022年辽宁省鞍山市中考数学真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)点是第三象限抛物线上一点，直线与轴交于点，的面积为12，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，若点是线段上点，连接，将沿直线翻折得到，当直线与直线相交所成锐角为时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)P（−3，−7）； (3)的坐标为或． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）先由△BDC的面积求出OD的长，从而确定D点坐标为（0，−4），再由待定系数法求出直线BD的解析式，直线BD与抛物线的交点即为所求； （3）当在第一象限时，由∠ODB＝45°，可知，求出直线BC的解析式，可设E（t，），在中，，则，在Rt△BHE中，由勾股定理得，求出t的值即可求坐标；当在第二象限时，轴，可得四边形是平行四边形，则，由折叠的性质可判断平行四边形是菱形，再由BE＝OB，可得 ，求出t的值即可求坐标． 【详解】（1）将A（−1，0），C（0，2）代入， ∴， 解得， ∴； （2）令y＝0，则， 解得x＝−1或x＝4， ∴B（4，0）， ∴OB＝4， ∴， ∴OD＝4， ∴D（0，−4）， 设直线BD的解析式为y＝kx＋b， ∴， 解得， ∴y＝x−4， 联立方程组， 解得或， ∴P（−3，−7）； （3）如图1，当在第一象限时， 设直线BC的解析式为， ， 解得， ∴， 设E（t，），， ∴OE＝t，EH＝， ∵D（0，−4），B（4，0）， ∴OB＝OD， ∴∠ODB＝45°， ∵直线与直线BP相交所成锐角为45°， ∴， 由折叠可知，，， 在中，， ∴， ∴ 在Rt△BHE中，， 解得， ∵0≤t≤4， ∴t＝， ∴； 如图2，当在第二象限，时， ∵∠ABP＝45°， ∴轴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠可知， ∴平行四边形是菱形， ∴BE＝OB， ∴， 解得或， ∵0≤t≤4， ∴， ∴； 综上所述：的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用是解题的关键． 21．（2022年辽宁省朝阳市中考数学真题）如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标； (3)P为抛物线上一点，连接，过点P作交抛物线对称轴于点Q，当时，请直接写出点P的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的横坐标为或或或 【分析】（1）把点和代入解析式求解即可； （2）过点D作DH∥y轴，交AC于点H，由（1）设，直线AC的解析式为，然后可求出直线AC的解析式，则有，进而可得，最后根据可进行求解； （3）由题意可作出图象，设，然后根据题意及k型相似可进行求解． 【详解】（1）解：把点和代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点D作DH∥y轴，交AC于点H，如图所示： 设，直线AC的解析式为， 由（1）可得：， ∴，解得：， ∴直线AC的解析式为， ∴， ∴， ∵DH∥y轴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大， ∴； （3）解：由题意可得如图所示： 分别过点C、Q作垂线，交过点P作y轴的平行线于点G、H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点，由题意可知：抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴， 当时，解得：， 当时，解得： 综上：点P的横坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合、三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的综合、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 考点12 动点问题与重叠面积 22．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）如图，在中，，，点D在上，，连接，，点P是边上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作的垂线，与相交于点Q，连接，设，与重叠部分的面积为S． (1)求的长； (2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据勾股定理可求出BD的长，进而求得AD的长； （2）利用相似可求出QP的长，然后利用三角形面积公式可求出关系式,注意分在线段和在线段上分别讨论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴=5， ∴AC=AD+DC=5+3=8； （2）解：由（1）得AD=5， ∵AP=x， ∴PD=5-x， ∵过点P作的垂线，与相交于点Q， ∴， ∵， ∴即， 在和中 ， ∴， ∴ ∴ ∵与重叠部分的面积为S ∴的面积为S 即， ∵点P不与点A，D，C重合， ∴， 即． 当在上运动时，如图，设交于点， 则 即 综上所述， 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形，三角形的面积公式，解题的关键是能找到各个边长的关系． 23．（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A．为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴交直线于点D，与的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．    (1)的长为 ___________；的面积为 ___________； (2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围． 【答案】(1)4， (2) 【分析】（1）由时，P与O重合，得，时，P与B重合，得； （2）设，由，即，得到，则；分两种情况：当时，设交于E，可得，得到，则；当时，求出直线AB解析式为，可得，由得，故． 【详解】（1）解：当时，P与O重合，此时， 当时，，P与B重合， ∴，， ∴的长为4，的面积为， 故答案为：4，； （2）∵A在直线上， ∴， 设， ∴，即， ∴， ∴； 当时，设交于E，如图：    ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图：    设直线解析式为，把，代入得 ， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是从函数图象中获取有用的信息． 24．（2022年辽宁省沈阳市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，与直线OC交于点． (1)求直线AB的函数表达式； (2)过点C作轴于点D，将沿射线CB平移得到的三角形记为，点A，C，D的对应点分别为，，，若与重叠部分的面积为S，平移的距离，当点与点B重合时停止运动． ①若直线交直线OC于点E，则线段的长为________（用含有m的代数式表示）； ②当时，S与m的关系式为________； ③当时，m的值为________． 【答案】(1)y＝﹣x+9； (2)①m；②m2；③或15﹣2． 【分析】（1）将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线解析式，求解即可； （2）①过点C作CF⊥C′D′，易得△CFC′∽△AOB，可用m表达CF和C′F的长度，进而可表达点C′，D′的坐标，由点C的坐标可得出直线OC的解析式，代入可得点E的坐标； ②根据题意可知，当0＜m＜时，点D′未到直线OC，利用三角形面积公式可得出本题结果； ③分情况讨论，分别求出当0＜m＜时，当＜m＜5时，当5＜m＜10时，当10＜m＜15时，S与m的关系式，分别令S＝，建立方程，求出m即可． 【详解】（1）解：将点B（0，9），C（8，3）的坐标代入直线y＝kx+b， ∴， 解得． ∴直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9； （2）①由（1）知直线AB的函数表达式为：y＝﹣x+9， 令y＝0，则x＝12， ∴A（12，0）， ∴OA＝12，OB＝9， ∴AB＝15； 如图1，过点C作CF⊥C′D′于点F， ∴CF∥OA， ∴∠OAB＝∠FCC′， ∵∠C′FC＝∠BOA＝90°， ∴△CFC′∽△AOB， ∴OB：OA：AB＝C′F：CF：CC′＝9：12：15， ∵CC′＝m， ∴CF＝m，C′F＝m， ∴C′（8﹣m，3+m），A′（12﹣m，m），D′（8﹣m，m）， ∵C（8，3）， ∴直线OC的解析式为：y＝x， ∴E（8﹣m，3﹣m）. ∴C′E＝3+m﹣（3﹣m）＝m． 故答案为：m． ②当点D′落在直线OC上时，有m＝（8﹣m）， 解得m＝ ， ∴当0＜m＜时，点D′未到直线OC， 此时S＝C′E•CF＝•m•m＝m2； 故答案为：m2． ③分情况讨论， 当0＜m＜时，由②可知，S＝m2； 令S＝m2＝ ，解得m＝＞（舍）或m＝﹣（舍）； 当≤m＜5时，如图2， 设线段A′D′与直线OC交于点M， ∴M（m，m）， ∴D′E＝m﹣（3﹣m）＝m﹣3， D′M＝m﹣（8﹣m）＝m﹣8； ∴S＝m2﹣•（m﹣3）•（m﹣8） ＝﹣m2+m﹣12， 令﹣m2+m﹣12＝； 整理得，3m2﹣30m+70＝0， 解得m＝ 或m＝＞5（舍）； 当5≤m＜10时，如图3， S＝S△A′C′D′＝×4×3＝6≠，不符合题意； 当10≤m＜15时，如图4， 此时A′B＝15﹣m， ∴BN＝（15﹣m），A′N＝（15﹣m）， ∴S＝•（15﹣m）•（15﹣m）＝（15﹣m）2， 令（15﹣m）2＝，解得m＝15+2＞15（舍）或m＝15﹣2． 故答案为：或15﹣2． 【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、三角形的面积、相似三角形的性质与判定、一元二次方程、分类讨论思想等知识，根据△A′C′D′的运动，进行正确的分类讨论是解题关键． 考点13 相似三角形的存在问题 25．（2022年辽宁省铁岭市、葫芦岛市中考数学真题）抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A(3，0)，点C(0，﹣3)，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，点P为直线AC下方抛物线上的点，连接PA，PC，△BAF的面积记为S1，△PAC的面积记为S2，当S2＝S1时．求点P的横坐标； (3)如图②，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3 (2)P点的横坐标为或 (3)Q点坐标为(﹣7，5)或(﹣12，5)或(3，﹣10)或(3，﹣5) 【分析】（1）用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）先分别求出直线AE、AC的解析式，进而求出点B（1，2），D（1，0），F（1，﹣2），过点P作x轴垂线交AC于点M，交x轴于点N，设P（m，m2﹣2m﹣3），则M（m，m﹣3），由面积关系求出P点的横坐标； （3）分类讨论①当△CDF∽△QAE时， ；②当△CDF∽△AQE时，；③当△CDF∽△EQA时， ；④当△CDF∽△QEA时， ．分别求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：将A（3，0），点C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c， ∴， 解得， ∴y＝x2﹣2x﹣3； （2）将A（3，0）代入y＝﹣x+b中， ∴b＝3， ∴y＝﹣x+3， 设直线AC的解析式为y＝kx+b'， ∴， 解得， ∴y＝x﹣3， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴B（1，2），D（1，0），F（1，﹣2）， 过点P作x轴垂线交AC于点M，交x轴于点N，    设P（m，m2﹣2m﹣3），则M（m，m﹣3）， ∴PM＝﹣m2+3m， ∴S2＝×OA×PM＝m2+m， S1＝×BF×AD＝4， ∵S2＝S1， ∴m2+m＝， 解得m＝或m＝， ∴P点的横坐标为或； （3）∵C（0，﹣3），D（1，0），F（1，﹣2）， ∴CD＝，CF＝，DF＝2， ∵E（﹣2，5），A（3，0）， ∴AE＝5， 设Q（x，y）， ①当△CDF∽△QAE时， ∴＝＝， ∴AQ＝5，EQ＝5， ∴， 解得或（舍）， ∴Q（﹣7，5）； ②当△CDF∽△AQE时，， ∴＝＝， ∴AQ＝5，QE＝10， ∴， 解得（舍）或， ∴Q（﹣12，5）； ③当△CDF∽△EQA时， ， ∴＝＝， ∴EQ＝5，AQ＝10， ∴， 解得或（舍）， ∴Q（3，﹣10）； ④当△CDF∽△QEA时， ， ∴＝＝， ∴EQ＝5，AQ＝5， ∴， 解得或（舍）， ∴Q（3，﹣5）； 综上所述：Q点坐标为（﹣7，5）或（﹣12，5）或（3，﹣10）或（3，﹣5）． 【点睛】本题主要是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形面积，相似三角形的判定和性质，利用数形结合和分类讨论思想解答是解题的关键． 考点14 直角三角形的存在问题 26．（2022年辽宁省抚顺本溪辽阳市中考数学真题）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，点D为x轴上方抛物线上的动点，射线交直线于点E，将射线绕点O逆时针旋转得到射线，交直线于点F，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)当点D在第二象限且时，求点D的坐标； (3)当为直角三角形时，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点D作于点G，交于点H，先求出直线AC的解析式，设，则，证明△EDH∽△EOC得到，即可求出DH=3，据此求解即可； （3）分D和F为直角顶点进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点D作于点G，交于点H， 设过点的直线的解析式为，则 ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得或 将分别代入得 ∴或； （3）解：如图1所示，当点D与点C重合时， ∵点A（-4，0），点C（0，4）， ∴OA=OC=4， ∴∠OCA=∠OAC=45°， 当点C与点D重合时，∵OP是OD逆时针旋转45°得到的， ∴∠POD=45°，即∠FOC=45°， ∴∠AOF=∠FOC=45°， 又∵OA=OC， ∴OF⊥AC，即∠OFC=90°， ∴△OFC是直角三角形， ∴此时点D的坐标为（0，4）； 如图2所示，当∠DFO=90°时，连接CD， 由旋转的性质可得∠DOF=45°， ∴△DOF是等腰直角三角形， ∴OF=OD，∠FDO=∠FCO=45°， ∴C、D、F、O四点共圆， ∴∠FCD=∠FOD=45°， ∴∠OCD=∠FCD+∠FCO=90°， ∴CD⊥OC， ∴点D的纵坐标为4， ∴当y=4时，， 解得或（舍去）， ∴点D的坐标为（-3，4）； 如图3所示，当∠ODF=90°时，过点D作DH⊥y轴于H，过点F作FG⊥DH交HD延长线于G，同理可证△DOF是等腰直角三角形， ∴OD=DF， ∵FG⊥DH，DH⊥y轴， ∴∠FGD=∠DHO=90°， ∴∠GDF+∠GFD=90°， 又∵∠GDF+∠HDO=90°， ∴∠GFD=∠HDO， ∴△GDF≌△HOD（AAS）， ∴GD=OH，GF=DH， 设点D的坐标为（m，）， ∴， ∴， ∴点F的坐标为（，）， ∵点F在直线AC：上， ∴， ∴， 解得， ∴点D的坐标为或； 综上所述，点D的坐标为（-3，4）或（0，4）或或 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司94 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司93 学科网（北京）股份有限公司 $$