专题08 几何压轴大题（2大考点）-【好题汇编】三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（辽宁专用）

三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（辽宁通用） 专题08 几何压轴大题 考点01 三角形综合大题 1．（2024年辽宁省中考九年级数学试卷）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．    图1                图2                   图3 (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) (3)30 【分析】（1）利用“”即可证明； （2）可知，证明，则，可得，则，故； （3）①翻折得，根据等角的余角相等得到，故，则，即点F是中点； ②过点F作交于点M，连接，设，，则，由翻折得，故，因此，在中，由勾股定理得：，解得：或（舍，此时） ，在中，由勾股定理得：，解得：，则，由，得到，，因此，故． 【详解】（1）证明：如图，      由题意得，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）猜想： 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：①由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即点F是中点； ②过点F作交于点M，连接，    ∵， ∴， 设，， ∴， 由翻折得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 整理得，， 解得：或（舍，此时） ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∴点M为中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，翻折的性质，勾股定理解三角形，平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题的关键． 2．（2023年辽宁省锦州市中考数学真题）【问题情境】如图，在中，，．点D在边上将线段绕点D顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接． 【尝试探究】 （1）如图1，当时，易知；    如图2，当时，则与的数量关系为 ；    （2）如图3，写出与的数量关系（用含α的三角函数表示）．并说明理由；    【拓展应用】 （3）如图4，当，且点B，E，F三点共线时．若，，请直接写出的长．    【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）先证明，可得，再证得出，利用等腰三角形三线合一的性质得出，在中，利用余弦定义可求，即可得出，然后把代入计算即可； （2）仿照（1）的思路即可解答； （3）方法一：如图，过点D作于点M，过点C作，交延长线于点H，可求，得出，设，则，利用平行线分线段成比例得出，则可求，，，，，在中，利用勾股定理构建方程，求出．证明，利用相似三角形的性质即可求解； 方法二：如图，过点C作交延长线于点G，过点D作于点M，过点E作于点H，利用等腰三角形的性质与判断，平行线的性质可证明，，证明，可得出．设，则，设，则，利用平行线分线段成比例得出，求出，，，．然后在中，利用勾股定理构建方程，求出，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）如图，过点A作于点H，    ∵，， ∴， ∴． ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，H为的中点， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． 又， ∴； （2）解：； 如图，过点A作于点H，    ∵，， ∴， ∴． ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，H为的中点， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． （3）． 方法一： 如图，过点D作于点M，过点C作，交延长线于点H，    ∴． ∴． ∵线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴． ∴． ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴． 在中，，， ∴． ∴，解得． ∴． ∵， ∴． 方法二： 如图，过点C作交延长线于点G，过点D作于点M，过点E作于点H，    ∴． ∴． ∵线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴． ∵， ∴，． ∴． 设，则， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 在中，， ∴． 在中，，， ∴． ∴，解得． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判断与性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 3．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质． 已知，点为上一动点，将以为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究： 独立思考：小明：“当点落在上时，．” 小红：“若点为中点，给出与的长，就可求出的长．” 实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：    问题1：在等腰中，由翻折得到． （1）如图1，当点落在上时，求证：； （2）如图2，若点为中点，，求的长． 问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成的等腰三角形，可以将问题进一步拓展． 问题2：如图3，在等腰中，．若，则求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；问题2： 【分析】（1）根据等边对等角可得，根据折叠以及三角形内角和定理，可得，根据邻补角互补可得，即可得证； （2）连接，交于点，则是的中位线，勾股定理求得，根据即可求解； 问题2：连接，过点作于点，过点作于点，根据已知条件可得，则四边形是矩形，勾股定理求得，根据三线合一得出，根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】（1）∵等腰中，由翻折得到 ∴，， ∵， ∴； （2）如图所示，连接，交于点，    ∵折叠， ∴，，，， ∵是的中点， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴； 问题2：如图所示，连接，过点作于点，过点作于点，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是矩形， 则， 在中，，,， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．（2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考数学真题）在中，，，点为的中点，点在直线上（不与点重合），连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，过点作，垂足为点，直线交直线于点． (1)如图，当点与点重合时，请直接写出线段与线段的数量关系； (2)如图，当点在线段上时，求证：； (3)连接，的面积记为，的面积记为，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)． (2)见解析． (3)或． 【分析】（1）可先证，得到，根据锐角三角函数，可得到和的数量关系，进而得到线段与线段的数量关系． （2）可先证，得到，进而得到，问题即可得证． （3）分两种情况：①点D在线段上，过点作垂直于，交于点，过点作垂直于，交于点，设，利用勾股定理，可用含的代数式表示，根据三角形面积公式，即可得到答案．②点D在线段的延长线上，过点作垂直于，交延长线于点,令交于点,连接,设，可证，进一步证得是等腰直角三角形，，利用勾股定理，可用含的代数式表示，根据三角形面积公式，即可得到答案 【详解】（1）解：． 理由如下： 如图，连接． 根据图形旋转的性质可知． 由题意可知，为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形斜边上的中线， ，． 又， ． 在和中， ． ，． ． ． ． （2）解：为等腰直角三角形斜边上的中线， ． ， ． ，， ． ，． ，． 在和中， ． ． ． （3）解：当点D在线段延长线上时，不满足条件，故分两种情况： ①点D在线段上，如图，过点作垂直于，交于点；过点作垂直于，交于点． 设，则． 根据题意可知，四边形和为矩形，为等腰直角三角形． ，． 由（2）证明可知， ． ． ． 根据勾股定理可知 ， 的面积与的面积之比 ②点D在线段的延长线上，过点作垂直于，交延长线于点,令交于点,连接,由题意知，四边形，是矩形， ∵ ∴ 即 又∵， ∴ ∴ 而 ∴ ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∴ 中， 的面积与的面积之比 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、勾股定理以及图形旋转的性质，灵活利用全等三角形的判定及性质是解题的关键． 5．（2023年辽宁省鞍山市中考数学真题）如图，在中，，，点D是射线上的动点（不与点B，C重合），连接，过点D在左侧作，使，连接，点F，G分别是，的中点，连接，，．    (1)如图1，点D在线段上，且点D不是的中点，当，时，与的位置关系是________，________． (2)如图2，点D在线段上，当，时，求证：． (3)当，时，直线与直线交于点N．若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)垂直， (2)见解析 (3)或 【分析】（1）连接并延长交于，根据等腰三角形的判定和性质，推出，四点共圆，进而得到，推出与垂直，利用斜边上的中线以及等腰三角形三线合一，得到，证明，得到，即可得出结果； （2）作于，作，交的延长线于点，连接，同（1）推出，得到，进而得到，变形得到，再根据等腰三角形三线合一，以及含30度角的直角三角形的性质，利用线段之间的等量代换，即可得证； （3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：连接并延长交于，      ∵， ∴， 同理：， ∴， ∴，四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴与垂直； ∵是的中点， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：垂直，； （2）作于，作，交的延长线于点，连接，    ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，四点共圆， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是梯形的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①当点在上时，作于，作，交的延长线于点，作，交的延长线与点，    由（2）知：为等边三角形，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； ②当点D在的延长线上时，作于，作于点，作，交的延长线与点，    同①可知：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查几何的综合应用，难度大，属于中考压轴题，重点考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，斜边上的中线，全等三角形和相似三角形的判定和性质，解直角三角形．解题的关键是添加合适的辅助线，构造特殊图形． 6．（2023年辽宁省抚顺市、葫芦岛市中考数学真题）是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段,连接．交于点．        (1)如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图2．当点在线段的延长线上时，请判断（）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)当，时，请直接写出的长． 【答案】(1)； (2)仍然成立，理由见解析； (3)或． 【分析】（1）可证得，进一步利用等腰三角形的三线合一得出结果； （2）连接、，可证明，从而，，进而得出，从而得出，从而，结合得出四边形是平行四边形，从而得出； （3）分为两种情形∶当点在的延长线上时，作于，可得出，，从而，进而得出，进一步得出结果；当点在上时，作于，可得出，，进一步得出结果． 【详解】（1）解∶∵是等边三角形，点是的中点， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，仍然成立，理由如下∶连接、，    ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （3）解：如图，当点在的延长线上时，作⟂于，    ∵， ∴，， ∴， ∴． 由（）知∶， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，当点在上时，作于，        由上知∶， ∴， ∴， ∴， 综上所述∶或． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”等模型． 7．（2022年辽宁省朝阳市中考数学真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．    (1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明ADE≌ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程． (2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由． (3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长． 【答案】(1)AC=BC+CD；理由见详解； (2)CB+CD=AC；理由见详解； (3)或 【分析】（1）如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．证明△ADE≌△ABC（SAS），推出∠DAE=∠BAC，AE=AC，推出△ACE的等边三角形，可得结论； （2）结论：CB+CD=AC．如图2中，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥CB交CB的延长线于点N．证明△AMD≌△ANB（AAS），推出DM=BN，AM=AN，证明Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），推出CM=CN，可得结论； （3）分两种情形：如图3-1中，当∠CDA=75°时，过点O作OP⊥CB于点P，CQ⊥CD于点Q．如图3-2中，当∠CBD=75°时，分别求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．    ∵∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠B+∠ADC=180°， ∵∠ADE+∠ADC=180° ∴∠B=∠ADE， 在△ADE和△ABC中， ， ∴△ADE≌△ABC（SAS）， ∴∠DAE=∠BAC，AE=AC， ∴∠CAE=∠BAD=60°， ∴△ACE的等边三角形， ∴CE=AC， ∵CE=DE+CD， ∴AC=BC+CD； （2）解：结论：CB+CD=AC． 理由：如图2中，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥CB交CB的延长线于点N．    ∵∠DAB=∠DCB=90°， ∴∠CDA+∠CBA=180°， ∵∠ABN+∠ABC=180°， ∴∠D=∠ABN， ∵∠AMD=∠N=90°，AD=AB， ∴△AMD≌△ANB（AAS）， ∴DM=BN，AM=AN， ∵AM⊥CD，AN⊥CN， ∴∠ACD=∠ACB=45°， ∴AC=CM， ∵AC=AC．AM=AN， ∴Rt△ACM≌Rt△ACN（HL）， ∴CM=CN， ∴CB+CD=CNBN+CM+DM=2CM=AC； （3）解：如图3-1中，当∠CDA=75°时，过点O作OP⊥CB于点P，CQ⊥CD于点Q．    ∵∠CDA=75°，∠ADB=45°， ∴∠CDB=30°， ∵∠DCB=90°， ∴CD=CB， ∵∠DCO=∠BCO=45°，OP⊥CB，OQ⊥CD， ∴OP=OQ， ∴， ∴， ∵AB=AD=，∠DAB=90°， ∴BD=AD=2， ∴OD=． 如图3-2中，当∠CBD=75°时，    同法可证，， 综上所述，满足条件的OD的长为或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 8．（2022年辽宁省沈阳市中考数学真题）（1）如图1，和是等腰直角三角形，，点C在上，点D在线段延长线上，连接，．线段与的数量关系为______； （2）如图2，将图1中的绕点O顺时针旋转（）第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由． （3）如图3，若，点C是线段外一动点，，连接， ①若将绕点C逆时针旋转 得到，连接，则的最大值______； ②若以为斜边作，（B、C、D三点按顺时针排列），，连接，当时，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）结论仍成立，理由见详解；（3）①，②或． 【分析】（1）由题意易得，，，然后可证，进而问题可求解； （2）由题意易得，，然后可证，进而问题可求证； （3）①过点作，使，连接，易证，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当在的延长线上时，的值最大，即可得解；②分点在线段的上方和下方，两种情况进行讨论求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵和是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ， 故答案为：； （2）结论仍成立，理由如下： ∵和是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，即， ∴， ； （3）①过点作，使，连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， ∴当在的延长线上时，的值最大，最大值为； 故答案为：； ②当点在上方时，如图，在上方作，过点作于点，连接、、，过点作于点． ，； ∴， ， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴   当点在下方时，如图，在上方作，过点作于点，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质，四点共圆及解直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定，相似三角形的判定方法，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 9．（2022年辽宁省朝阳市中考数学真题）如图，在中，，D，E，F分别为的中点，连接． 　　 　　 (1)如图1，求证：； (2)如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据中位线定理可得，即可得证； （2）证明，根据（1）的结论即可得； （3）连接，过点作于，证明，可得，勾股定理求得，根据，，可得，进而求得，根据求得，根据（2）的结论，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，D，E，F分别为的中点， ，， ， ， （2），理由如下， 连接，如图， ，D，E，F分别为的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 将绕点D顺时针旋转一定角度，得到， ， ， ， ， ， ， （3）如图，连接，过点作于， 中，, ， ， ， ， ， ， ， 中， ， 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质定理，相似三角形的性质与判定，求角的正确，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 10．（2022年辽宁省铁岭市、葫芦岛市中考数学真题）在▱ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，点P为射线CD上的动点（点P不与点D重合），连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E． (1)如图①，当点P为线段CD的中点时，请直接写出PA，PE的数量关系； (2)如图②，当点P在线段CD上时，求证：DA+DP＝DE； (3)点P在射线CD上运动，若AD＝3，AP＝5，请直接写出线段BE的长． 【答案】(1)PA＝PE (2)见解析 (3)BE的长为或7 【分析】（1）连接BD，证明△BDC是等腰直角三角形，可得∠ADP＝∠PBE＝135°，进而证明△ADP≌△EBP（ASA），即可得PA＝PE； （2）过点P作PF⊥CD交DE于点F，证明△ADP≌△EFP（ASA），由cos∠PDF＝，根据DE＝DF+EF，即可得证； （3）①当点P在线段CD上时，如图②，作AG⊥CD，交CD延长线于G，②当点P在CD的延长线上时，作AG⊥CD，交CD延长线于G，分别求解即可． 【详解】（1）解：连接BD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB， ∵AD＝BD， ∴∠BDC＝∠C＝45°， ∴△BDC是等腰直角三角形， ∵点P为CD的中点， ∴DP＝BP，∠CPB＝45°， ∴∠ADP＝∠PBE＝135°， ∵PA⊥PE， ∴∠APE＝∠DPB＝90°， ∴∠APD＝∠BPE， ∴△ADP≌△EBP（ASA）， ∴PA＝PE； （2）证明：如图，过点P作PF⊥CD交DE于点F， ∵PF⊥CD，EP⊥AP， ∴∠DPF＝∠APE＝90°， ∴∠DPA＝∠FPE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C＝∠DAB＝45°，AB∥CD， 又∵AD＝BD， ∴∠DAB＝∠DBA＝∠C＝∠CDB＝45°， ∴∠ADB＝∠DBC＝90°， ∴∠PFD＝45°， ∴∠PFD＝∠PDF， ∴PD＝PF， ∴∠PDA＝∠PFE＝135°， ∴△ADP≌△EFP（ASA）， ∴AD＝EF， 在Rt△FDP中，∠PDF＝45°， ∵cos∠PDF＝， ∴DF＝， ∵DE＝DF+EF， ∴DA+DP＝DE； （3）解：当点P在线段CD上时，如图②，作AG⊥CD，交CD延长线于G， 则△ADG是等腰直角三角形， ∴AG＝DG＝3， ∴GP＝4， ∴PD＝1， 由（2）得，DA+DP＝DE； ∴3+＝DE， ∴DE＝4， ∴BE＝DE﹣BD＝4﹣3＝， 当点P在CD的延长线上时，作AG⊥CD，交CD延长线于G， 同理可得△ADP≌△EFP（AAS）， ∴AD＝EF， ∵PD＝AG+DG＝4+3＝7， ∴DF＝PD＝7， ∴BE＝BD+DF﹣EF＝DF＝7， 综上：BE的长为或7． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，余弦，平行四边形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． 11．（2022年辽宁省盘锦市中考数学真题）在中，，点D在线段上，连接并延长至点E，使，过点E作，交直线于点F． (1)如图1，若，请用等式表示与的数量关系：____________． (2)如图2．若，完成以下问题： ①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示之间的数量关系，并说明理由； ②当点D，点F位于点A的同侧时，若，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)①；②或； 【分析】（1）过点C作CG⊥AB于G，先证明△EDF≌△CDG，得到，然后等腰三角形的性质和含30度直角三角形的性质，即可求出答案； （2）①过点C作CH⊥AB于H，与（1）同理，证明△EDF≌△CDH，然后证明是等腰直角三角形，即可得到结论； ②过点C作CG⊥AB于G，与（1）同理，得△EDF≌△CDG，然后得到是等腰直角三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案． 【详解】（1）解：过点C作CG⊥AB于G，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴△EDF≌△CDG， ∴； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：①过点C作CH⊥AB于H，如图， 与（1）同理，可证△EDF≌△CDH， ∴， ∴， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ②如图，过点C作CG⊥AB于G， 与（1）同理可证，△EDF≌△CDG， ∴， ∵， 当点F在点A、D之间时，有 ∴， 与①同理，可证是等腰直角三角形， ∴； 当点D在点A、F之间时，如图： ∴， 与①同理，可证是等腰直角三角形， ∴； 综合上述，线段的长为或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，正确得到三角形全等． 12．（2022年辽宁省抚顺本溪辽阳市中考数学真题）在中，，线段绕点A逆时针旋转至（不与重合），旋转角记为，的平分线与射线相交于点E，连接． (1)如图①，当时，的度数是_____________； (2)如图②，当时，求证：； (3)当时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据旋转的性质可知，当时可根据等腰三角形的性质计算的角度，再由，是的平分线可知，由三角形外角的性质，通过即可得出答案； （2）延长到F，使，连接，先证明，可推导、、，再由已知条件及等腰三角形的性质推导，然后证明，推导，在中，由三角函数可计算，即可证明； （3）分两种情况讨论：①当时，借助（2）可知，再求的值即可；②当时，在线段BD上取点F，使得，结合（2）中，可知、，易证明，可推导、、， ，在中，由三角函数可计算，即可推导，再求的值即可． 【详解】（1）解：由旋转可知，，当时， 可知， ∵，是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：； （2）证明：延长到F，使，连接． ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）①当时，由（2）可知， ，， ∴， 当时，可知， ∴； ②当时，如下图，在线段BD上取点F，使得， 由（2）可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 当时，可知， ∴． 综上所述，当时， 或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角函数解直角三角形的知识，解题关键是熟练掌握相关性质，并通过作辅助线构建全等三角形． 13．（2022年辽宁省大连市中考数学真题）综合与实践 问题情境： 数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在中，D是上一点，．求证． 独立思考： （1）请解答王老师提出的问题． 实践探究： （2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长至点E，使，与的延长线相交于点F，点G，H分别在上，，．在图中找出与相等的线段，并证明．” 问题解决： （3）数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当时，若给出中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长．” 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）利用三角形的内角和定理可得答案； （2）如图，在BC上截取 证明 再证明 证明 可得 从而可得结论； （3）如图，在BC上截取 同理可得： 利用勾股定理先求解 证明 可得 可得 证明 可得 而 可得 再利用勾股定理求解BE，即可得到答案． 【详解】证明：（1） 而 （2） 理由如下： 如图，在BC上截取 ， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （3）如图，在BC上截取 同理可得： 而 而 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 14．（2022年辽宁省大连市中考数学真题）如图，在中，，，点D在上，，连接，，点P是边上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作的垂线，与相交于点Q，连接，设，与重叠部分的面积为S． (1)求的长； (2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据勾股定理可求出BD的长，进而求得AD的长； （2）利用相似可求出QP的长，然后利用三角形面积公式可求出关系式,注意分在线段和在线段上分别讨论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴=5， ∴AC=AD+DC=5+3=8； （2）解：由（1）得AD=5， ∵AP=x， ∴PD=5-x， ∵过点P作的垂线，与相交于点Q， ∴， ∵， ∴即， 在和中 ， ∴， ∴ ∴ ∵与重叠部分的面积为S ∴的面积为S 即， ∵点P不与点A，D，C重合， ∴， 即． 当在上运动时，如图，设交于点， 则 即 综上所述， 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形，三角形的面积公式，解题的关键是能找到各个边长的关系． 考点02 四边形综合大题 15．（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）在中，，，，点D是的中点．四边形是菱形（D，E，F，G按逆时针顺序排列），，且，菱形可以绕点D旋转，连接和，设直线和直线所夹的锐角为．    (1)在菱形绕点D旋转的过程中，当点在线段上时，如图①，请直接写出与的数量关系及的值； (2)当菱形绕点D旋转到如图②所示的位置时，（1）中的结论是否成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)设直线与直线的交点为P，在菱形绕点D旋转一周的过程中，当所在的直线经过点时，请直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)（1）中结论成立，证明见解析； (3)或 【分析】（1）根据，即可得出答案； （2）证明，即可求解； （3）证明、均为等边三角形，证明A、M、P、G共线，由（1）、（2）知，，则，在等边三角形中，，则，则，进而求解；当B、F重合时，也符合题意，由（1）、（2）知，，根据，在中，用解直角三角形的方法即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 在中，， 则， 点D是的中点， ， 则， , 为等边三角形， ； （2）解：（1）的结论成立，理由： 证明：延长交于点T，交于点N，   ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：当B、E、F共线时，如下图，连接，    根据图形的对称性，当B、E、F共线时，且点D是的中点， 则F、G、C共线，分别过点G、E作的垂线，垂足分别为H、M，交于点P， ， 则， 则, 即，均为等边三角形， ， 由（1）知为等边三角形， 则，则A、M、P、G共线， 由（1）、（2）知，， 则， 在等边三角形中，， 则， ， ； 当B、F重合时，也符合题意，如下图：    在中，， ， 由（1）、（2）可知，， ， 设，则， ， ， 即， 解得：， ； 综上，的面积为：或． 【点睛】本题为四边形综合题，涉及到三角形全等、解直角三角形、面积的计算、勾股定理的运用，题目难度很大，分类求解是本题解题的关键． 16．（2023年辽宁省沈阳市中考数学真题）如图，在纸片中，，，，点为边上的一点（点不与点重合），连接，将纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为、，射线与射线交于点．    (1)求证：； (2)如图，当时，的长为______ ； (3)如图，当时，过点作，垂足为点，延长交于点，连接、，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质，得到，再根据折叠的性质，得到，然后结合邻补角的性质，推出，即可证明； （2）作，交的延长线于，先证明四边形是正方形，再利用特殊角的三角函数值，求出，进而得到，即可求出的长； （3）作，交的延长线于，作于，交的延长线于，作于，解直角三角形，依次求出、、、的值，进而求得的值，根据和，求得、，进而得出的值，解直角三角形，求出的值，进而得出的值，根据，得出，从而设，，进而表示出，最后根据，列出，求出，根据，得出，进而得到，即可求出的面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠性质可知，， ， ， ， ； （2）解：如图，作，交的延长线于，    ，， ，， ， ， ， 四边形是矩形， 由（1）可知：， 矩形是正方形， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图，作，交的延长线于，作于，交的延长线于，作于，    四边形是平行四边形， ，，，， ， 在中，，， ， 在中，， 由（1）可知：， ， ， 又纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， 设，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形、轴对称的性质等知识，正确作辅助线，熟练解直角三角形是解题关键． 17．（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图，四边形是正方形，点M在上，点N在的延长线上，，连接，，点H在的延长线上，，点E在线段上，且，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，使得，交于点F．    (1)线段与线段的关系是______． (2)若，，求的长． (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）求证，即可得证结论；     （2）由题知，，于是，可证，所以，于是； （3）连接，令，则，中，，可求，所以，得证；延长线段至点I，使，可证，得，于是． 【详解】（1）解： ∵四边形是正方形， ∴，. ∴ 又∵， ∴ ∴． （2）解：由题知，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）解：连接，令，则， 中，， ∴． 中，． ∴． ∴． ∴． 延长线段至点I，使，连接，则垂直平分， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴．      【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等；添加辅助线，构造全等三角形，从而求证线段之间的相等关系是解题的关键． 18．（2023年辽宁省阜新市中考数学真题）如图，在正方形中，线段绕点C逆时针旋转到处，旋转角为，点F在直线上，且，连接．    (1)如图1，当时， ①求的大小（用含的式子表示）． ②求证：． (2)如图2，取线段的中点G，连接，已知，请直接写出在线段旋转过程中（）面积的最大值． 【答案】(1)①；②见解析； (2)面积的最大值为． 【分析】（1）①利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理计算得到，据此求解即可；②连接，计算得到，利用证明，推出是等腰直角三角形，据此即可证明； （2）先证明点G在以为直径的圆上，连接、交于点O，过O作于点H，延长，交于点G，连接，，根据，一定，得出最大时的面积最大，求出最大值即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴，， 由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）解：当时，根据解析（1）可知，为等腰直角三角形， ∵点G为的中点， ∴， ∴， 当时，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， 由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵点G为的中点， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵点G为的中点， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵点G为的中点， ∴， ∴， ∴点G在以为直径的圆上， 连接、交于点O，过O作于点H，延长，交于点G，连接，，如图所示： ∵，一定， ∴最大时的面积最大， ∵此时最大， ∴此时的面积最大， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题考查的是正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键． 19．（2022年辽宁省阜新市中考数学试卷）已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，． (1)如图，求证：≌； (2)直线与相交于点． 如图，于点，于点，求证：四边形是正方形； 如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析② 【分析】根据证明三角形全等即可； 根据邻边相等的矩形是正方形证明即可； 作交于点，作于点，证明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得结论． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，． ，． ， ， 在和中， ≌； （2）证明：如图中，设与相交于点． ， ． ≌， ． ， ． ， ，， 四边形是矩形， ． 四边形是正方形， ，． ． 又， ≌． ． 矩形是正方形； 解：作交于点，作于点， ∵ ∴≌． ． ，， 最大时，最小，． ． 由可知，是等腰直角三角形， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 20．（2022年辽宁省营口市中考数学真题）如图1，在正方形中，点M为边上一点，过点M作且，连接，点P，Q分别为的中点，连接． (1)证明：； (2)将图1中的绕正方形的顶点D顺时针旋转． ①（1）中的结论是否成立？若成立，请结合图2写出证明过程；若不成立，请说明理由； ②若，在绕点D旋转的过程中，当B，M，N三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①成立，见解析；②的长为或 【分析】（1），连接，取的中点，连接，证明是等腰直角三角形，根据中位线的性质即可得证； （2）①如图，连接，取的中点，连接，证明，证明，过点作于点，证明，则，根据中位线的性质即可得证； ②分情况讨论，根据勾股定理即可求的的长，根据①的结论即可求解． 【详解】（1）如图，连接，取的中点，连接， 且， 是等腰直角三角形， ， 四边形是正方形，则， 且D,N,B在边CD的同侧， 三点共线， 设，，则，， 分别为的中点， ， 分别为的中点， ，， 过点作 则是等腰直角三角形 垂直平分 ， ， ， （2）①如图，连接，取的中点，连接， ， ， ， ， ， ，， 分别为的中点， ，， ，， 分别为的中点， ，， ，， ， 过点作于点， 则是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ； ②如图，当共线，在的上方时， ， ， 中，， ， ， ， ， ， ， 如图，当共线，在的左边时， 中，， ， ， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，正确的添加辅助线是解题的关键． 21．（2022年辽宁省丹东市中考数学真题）已知矩形，点E为直线上的一个动点（点E不与点B重合），连接，以为一边构造矩形（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接． (1)如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； (2)如图2，当时，请猜想线段与线段的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，分别取线段，的中点M，N，连接，，，若，，请直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)，，理由见解析 (3)或 【分析】（1）证明，进一步得出结论； （2）证明，进一步得出结论； （3）当点在线段上时，解斜三角形，求得，根据（2）可得，从而得出三角形的面积，可证得，与的面积比等于，进而求得结果；同理可得点在的延长线时的情形． 【详解】（1），理由如下： 由题意得：四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， ， ，， ， ， ； （2），，理由如下： 由（1）得：， ， ， ，， ， ， ； （3）如图， 当在线段上时， 作于， ， 设，， 在中， ， ，， 在中， ， ， ， ， ， ， 由（2）得：，， ， ， 在和中，点是的中点，点是的中点， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， 如图， 同上可得：， ， ， ， 综上所述：的面积是或． 【点睛】本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是类比的方法． 22．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）在中，，点E在上，点G在上，点F在的延长线上，连接．，．        (1)如图1，当时，请用等式表示线段与线段的数量关系______； (2)如图2，当时，写出线段和之间的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，当点G是的中点时，连接，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，，在上截取，连接，证明，推出，，得到； （2）当时，得到，，过点G作交于点M，证明，推出，得到，由此得到，进而推出； （3）由（2）得，设，由点G是的中点，得到，推出，，过点E作于N，根据角的性质及勾股定理求出，，即可得到，根据公式计算即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵在中，， ∴，， ∴ ∴，    在上截取，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 当时，， ∴，， 过点G作交于点M，    ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ （3）∵，， ∴， 设， ∵点G是的中点， ∴， ∴, ∴， ∴，， 过点E作于N，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，求角的正切值，熟练掌握各知识点是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三年（2022-2024）中考数学真题分项汇编（辽宁通用） 专题08 几何压轴大题 考点01 三角形综合大题 1．（2024年辽宁省中考九年级数学试卷）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．    图1                图2                   图3 (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接． ①求证：点是的中点； ②若，求的面积． 2．（2023年辽宁省锦州市中考数学真题）【问题情境】如图，在中，，．点D在边上将线段绕点D顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接． 【尝试探究】 （1）如图1，当时，易知；    如图2，当时，则与的数量关系为 ；    （2）如图3，写出与的数量关系（用含α的三角函数表示）．并说明理由；    【拓展应用】 （3）如图4，当，且点B，E，F三点共线时．若，，请直接写出的长．    3．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质． 已知，点为上一动点，将以为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究： 独立思考：小明：“当点落在上时，．” 小红：“若点为中点，给出与的长，就可求出的长．” 实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：    问题1：在等腰中，由翻折得到． （1）如图1，当点落在上时，求证：； （2）如图2，若点为中点，，求的长． 问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成的等腰三角形，可以将问题进一步拓展． 问题2：如图3，在等腰中，．若，则求的长． 4．（2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考数学真题）在中，，，点为的中点，点在直线上（不与点重合），连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，过点作，垂足为点，直线交直线于点． (1)如图，当点与点重合时，请直接写出线段与线段的数量关系； (2)如图，当点在线段上时，求证：； (3)连接，的面积记为，的面积记为，当时，请直接写出的值． 5．（2023年辽宁省鞍山市中考数学真题）如图，在中，，，点D是射线上的动点（不与点B，C重合），连接，过点D在左侧作，使，连接，点F，G分别是，的中点，连接，，．    (1)如图1，点D在线段上，且点D不是的中点，当，时，与的位置关系是________，________． (2)如图2，点D在线段上，当，时，求证：． (3)当，时，直线与直线交于点N．若，，请直接写出线段的长． 6．（2023年辽宁省抚顺市、葫芦岛市中考数学真题）是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段,连接．交于点．        (1)如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图2．当点在线段的延长线上时，请判断（）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)当，时，请直接写出的长． 7．（2022年辽宁省朝阳市中考数学真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．    (1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明ADE≌ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程． (2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由． (3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长． 8．（2022年辽宁省沈阳市中考数学真题）（1）如图1，和是等腰直角三角形，，点C在上，点D在线段延长线上，连接，．线段与的数量关系为______； （2）如图2，将图1中的绕点O顺时针旋转（）第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由． （3）如图3，若，点C是线段外一动点，，连接， ①若将绕点C逆时针旋转 得到，连接，则的最大值______； ②若以为斜边作，（B、C、D三点按顺时针排列），，连接，当时，直接写出的值． 9．（2022年辽宁省朝阳市中考数学真题）如图，在中，，D，E，F分别为的中点，连接． 　　 　　 (1)如图1，求证：； (2)如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，求的长． 10．（2022年辽宁省铁岭市、葫芦岛市中考数学真题）在▱ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，点P为射线CD上的动点（点P不与点D重合），连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E． (1)如图①，当点P为线段CD的中点时，请直接写出PA，PE的数量关系； (2)如图②，当点P在线段CD上时，求证：DA+DP＝DE； (3)点P在射线CD上运动，若AD＝3，AP＝5，请直接写出线段BE的长． 11．（2022年辽宁省盘锦市中考数学真题）在中，，点D在线段上，连接并延长至点E，使，过点E作，交直线于点F． (1)如图1，若，请用等式表示与的数量关系：____________． (2)如图2．若，完成以下问题： ①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示之间的数量关系，并说明理由； ②当点D，点F位于点A的同侧时，若，请直接写出的长． 12．（2022年辽宁省抚顺本溪辽阳市中考数学真题）在中，，线段绕点A逆时针旋转至（不与重合），旋转角记为，的平分线与射线相交于点E，连接． (1)如图①，当时，的度数是_____________； (2)如图②，当时，求证：； (3)当时，请直接写出的值． 13．（2022年辽宁省大连市中考数学真题）综合与实践 问题情境： 数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在中，D是上一点，．求证． 独立思考： （1）请解答王老师提出的问题． 实践探究： （2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长至点E，使，与的延长线相交于点F，点G，H分别在上，，．在图中找出与相等的线段，并证明．” 问题解决： （3）数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当时，若给出中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长．” 14．（2022年辽宁省大连市中考数学真题）如图，在中，，，点D在上，，连接，，点P是边上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作的垂线，与相交于点Q，连接，设，与重叠部分的面积为S． (1)求的长； (2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． 考点02 四边形综合大题 15．（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）在中，，，，点D是的中点．四边形是菱形（D，E，F，G按逆时针顺序排列），，且，菱形可以绕点D旋转，连接和，设直线和直线所夹的锐角为．    (1)在菱形绕点D旋转的过程中，当点在线段上时，如图①，请直接写出与的数量关系及的值； (2)当菱形绕点D旋转到如图②所示的位置时，（1）中的结论是否成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)设直线与直线的交点为P，在菱形绕点D旋转一周的过程中，当所在的直线经过点时，请直接写出的面积． 16．（2023年辽宁省沈阳市中考数学真题）如图，在纸片中，，，，点为边上的一点（点不与点重合），连接，将纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为、，射线与射线交于点．    (1)求证：； (2)如图，当时，的长为______ ； (3)如图，当时，过点作，垂足为点，延长交于点，连接、，求的面积． 17．（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）如图，四边形是正方形，点M在上，点N在的延长线上，，连接，，点H在的延长线上，，点E在线段上，且，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，使得，交于点F．    (1)线段与线段的关系是______． (2)若，，求的长． (3)求证：． 18．（2023年辽宁省阜新市中考数学真题）如图，在正方形中，线段绕点C逆时针旋转到处，旋转角为，点F在直线上，且，连接．    (1)如图1，当时， ①求的大小（用含的式子表示）． ②求证：． (2)如图2，取线段的中点G，连接，已知，请直接写出在线段旋转过程中（）面积的最大值． 19．（2022年辽宁省阜新市中考数学试卷）已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，． (1)如图，求证：≌； (2)直线与相交于点． 如图，于点，于点，求证：四边形是正方形； 如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 20．（2022年辽宁省营口市中考数学真题）如图1，在正方形中，点M为边上一点，过点M作且，连接，点P，Q分别为的中点，连接． (1)证明：； (2)将图1中的绕正方形的顶点D顺时针旋转． ①（1）中的结论是否成立？若成立，请结合图2写出证明过程；若不成立，请说明理由； ②若，在绕点D旋转的过程中，当B，M，N三点共线时，请直接写出线段的长． 21．（2022年辽宁省丹东市中考数学真题）已知矩形，点E为直线上的一个动点（点E不与点B重合），连接，以为一边构造矩形（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接． (1)如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系； (2)如图2，当时，请猜想线段与线段的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，分别取线段，的中点M，N，连接，，，若，，请直接写出的面积． 22．（2023年辽宁省营口市中考数学真题）在中，，点E在上，点G在上，点F在的延长线上，连接．，．        (1)如图1，当时，请用等式表示线段与线段的数量关系______； (2)如图2，当时，写出线段和之间的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，当点G是的中点时，连接，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$