2.2.2 直线的方程（讲义，8大题型）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第一册）

2.2.2 直线的方程 1、会求直线的点斜式、斜截式、两点式和一般式的方程； 2、掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系； 3、灵活选用恰当的方式求直线方程． 知识点1 直线与方程 一般地，如果直线上点的坐标都是方程的解，而且以方程的解为坐标的点都在直线的方程，而直线称为方程的直线．此时，为了简单起见，“直线”也可说成“直线”，并且记作． 知识点2 直线的点斜式方程 1、点斜式方程的推导 如图，直线经过点，且斜率为，设是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为，由斜率公式得，即． 2、直线的点斜式方程 在平面直角坐标系中，已知是直线上一点， （1）如果直线的斜率不存在，则直线的方程为． （2）如果直线的斜率存在且为，设为直线上不同于的点，则，即，化简可得． 该方程由直线上一点和直线的斜率确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 3、两种特殊的直线 倾斜角 图象特征 斜率 直线方程 0° ，即 ，即 90° 无意义，即不存在 ，即 知识点3 直线的斜截式方程 1、斜截式方程的推到 如图，如果斜率为的直线过点，这时是直线与轴的交点，代入直线的点斜式方程，得，即． 2、直线的斜截式方程 一般地，当直线既不是轴也不是轴时，若与轴的交点为，则称在轴上的截距为；若与轴的交点为，则称在轴上的截距为．一条直线在轴上的截距简称为截距． 方程由直线的斜率和截距确定，因此通常称为直线的斜截式方程． 3、斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 知识点4 直线的两点式方程 1、两点式方程的推导 如果直线经过两点，，则直线的斜率．由直线的点斜式方程得．当时，方程可以写成． 2、直线的两点式方程 设直线经过两点，，则方程叫作直线的两点式方程，简称两点式． 知识点5 直线的截距式方程 1、截距式方程的推导 如图，已知直线经过两点，，其中，有直线的两点式方程得，，即． 2、直线的截距式方程 设直线在轴的截距为，在轴的截距为，且，则方程叫作直线的截距式方程，简称截距式． 知识点6 直线的一般式方程 1、一般式方程的定义 在平面直角坐标系中，任意一个关于，的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于，的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式． 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线． 2、系数的几何意义 （1）当时，方程可以写成它表示斜率为，在轴截上的截距为的直线．特别的，当时，它表示垂直于轴的直线． （2）当时，，方程可以写成，它表示垂直于轴的直线． 3、一般式方程的桥梁作用 直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程四种形式之间的互化，一般要利用一般式方程作为桥梁，现将一种形式的方程化为一般式方程，然后将一般式方程转化为另一种形式． 【常用解题技巧】 1、截距式方程应用的注意事项 （1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； （3）要注意截距式方程的逆向应用． 2、选择直线返程形式的原则 （1）已知直线过某点，常设点斜式方程，此时应讨论斜率是否存在； （2）已知直线的斜率，常设滇西而是或斜截式方程； （3）已知截距，常设斜截式或截距式方程，此时应注意截距式不能表示平行或重合于坐标轴的直线或过原点的直线； （4）已知两点，常设两点式方程，注意两点式不能表示平行或重合于坐标轴的直线； （5）已知条件过少或难以利用时，可设斜截式方程，但不要忘记讨论斜率是否存在； （6）若所求的是直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，则应选用截距式方程． 3、过定点的直线系 （1）将方程化为点斜式，其中为参数，求得直线过定点； （2）赋值法：因为参数取任意实数，所以给参数任取两个值，得到关于的二元方程组，解方程组可得的值，即为直线过定点； （3）分离参数法：将方程变形，把作为参数的系数，即由参数的放在一起，没参数的放在一起，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为0，解方程组可得的值，即为直线过的顶点． 题型一 直线的点斜式方程 【例1】（23-24高二上·河南·期中）经过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线斜率为， 所以该直线方程为，即，故选：A． 【变式1-1】（23-24高二上·山西大同·期中）已知过点的直线的方向向量，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由直线的方向向量可得该直线的斜率为， 又直线过点，所以直线方程为，即.故选：A. 【变式1-2】（22-23高二上·北京·期中）已知直线经过点，且法向量，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知直线 的法向量是，可得其斜率为 ， 所以直线 的方程为 ，即 .故选：C 【变式1-3】（23-24高二上·河南郑州·月考）对方程表示的图形，下列叙述中正确的是（    ） A．斜率为2的一条直线 B．斜率为的一条直线 C．斜率为2的一条直线，且除去点（,6） D．斜率为的一条直线，且除去点（,6） 【答案】C 【解析】方程成立的条件知， 当时，方程变形为， 由直线方程的点斜式知它表示一条斜率为2的直线,但要除去点（,6），故选:C 题型二 直线的斜截式方程 【例2】（23-24高二上·四川攀枝花·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由直线，得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，所以， 所以直线的倾斜角为.故选：A. 【变式2-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）若直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】直线，即， 故选：D 【变式2-2】（23-24高二上·江苏·期中）已知直线l上一点向左平移3个单位长度，再向下平移2个长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，设直线l的方程为， 则平移后直线方程为， 由于平移后与原直线重合，则， 解得，即直线l的斜率为.故选：B. 【变式2-3】将直线的方程作如下转换： (1)化成斜截式，并指出它们的斜率与在轴上的截距． (2)化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距． 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析 【解析】（1）将原方程移项，可得，可得直线的截距式方程为， 则直线的斜率为，在轴上的截距为. （2）将原方程化简为，可得直线的截距式方程为， 所以直线在轴和轴上的截距分别为. 题型三 直线的两点式方程 【例3】（23-24高二上·内蒙古赤峰·月考）已知直线过点点，则直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为过点点， 所以直线的方程为，即．故选：A． 【变式3-1】（23-24高二上·山东·月考）一束光线从点射到轴上，经反射后反射光线与轴交于点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取点关于轴的对称点，则直线即为所求直线， 所以反射光线所在直线的方程为，解得.故选：B. 【变式3-2】（23-24高二上·广东广州·期中）已知的三个顶点分别为，，，则边上中线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，，∴边中点为，即 又，∴中线所在的直线方程为，即.故选：D. 【变式3-3】（23-24高二上·广东深圳·期中）经过两点、的直线方程都可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当经过、的直线不与轴平行时，所有直线均可以用， 由于可能相等，所以只有选项C满足包括与轴平行的直线.故选:C 题型四 直线的截距式方程 【例4】（23-24高二下·陕西榆林·月考）过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【解析】设在x轴、y轴上的截距均为a， 若，即直线过原点，设直线为， 代入，可得， 所以直线方程为，即； 若，则直线方程为， 代入，则，解得， 所以此时直线方程为； 综上所述：所求直线方程为或. 【变式4-1】（23-24高二上·天津和平·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】当直线过原点时，方程为，符合题意， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则，解得， 所以直线方程为， 综上，所求直线的方程为或.故选：D. 【变式4-2】（23-24高二上·河南南阳·期中）已知直线l过点，且在x轴上的截距为y轴上截距的3倍，则直线l的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】分两种情况：①当过原点时，由直线经过点， 可得直线方程为，即； ②当不过原点时，设的方程为， 将点的坐标代入得，解得， 此时的方程为，即.，故选：C 【变式4-3】（23-24高二上·浙江金华·期中）（多选）过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，即，则或. 当 时，则直线设为，将代入，解得， 此时直线方程为：，即.故A正确； 当时，则直线设为，即，将代入， 解得，此时直线方程为：，即.故B正确； 当 时，则直线设为，即，将代入，解得， 此时直线方程为：，即.故D正确；故选：ABD． 题型五 直线的一般式方程 【例5】（21-22高二上·北京·月考）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的斜率为，设倾斜角为，， 则，解得，故倾斜角为.故选：A 【变式5-1】（23-24高二下·安徽芜湖·期末）直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，直线方程为， 令，解得， 所以直线在轴上的截距为.故选：C. 【变式5-2】（23-24高二下·江苏南京·月考）已知直线在x轴和y轴上的截距之和为1，则实数m的值是（     ）. A．－2 B．－ C． D．2 【答案】D 【解析】对于直线，令，则， 令，则，故，则，故选：D 【变式5-3】（23-24高二上·山东枣庄·期末）（多选）已知直线，则（    ） A．直线的倾斜角为 B．点在直线的右上方 C．为直线的一个方向向量 D．直线在轴上的截距为 【答案】BC 【解析】对于A选项，直线的斜率为， 设该直线的倾斜角为，则，则，故，A错； 对于B选项，因为，所以，点在直线的右上方，B对； 对于C选项，因为直线的斜率为， 所以，为直线的一个方向向量，C对； 对于D选项，在直线的方程中，令可得， 所以，直线在轴上的截距为，D错.故选：BC. 题型六 直线过定点问题 【例6】（23-24高二上·天津武清·月考）已知直线，当k变化时，所有直线都恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线可化为：， 故直线过定点，故选：D. 【变式6-1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·月考）不论k为任何实数，直线恒过定点，则这个定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线 即， 根据的任意性可得，解得， 不论取什么实数时，直线都经过一个定点．故选：B 【变式6-2】不论m，n取什么值，直线必过一定点为 . 【答案】 【解析】由题意，在 令，解得， 不论m，n取什么值，直线必过一定点. 【变式6-3】（23-24高二上·河北石家庄·月考）直线，若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，求三角形AOB面积的最小时的直线的方程 . 【答案】 【解析】 ，即直线所过定点为. 由题设直线方程为：，其中，则,. 由基本不等式，，面积的最小值为4， 当且仅当，即时取等号. 则三角形AOB面积最小时直线方程为 题型七 直线方程与图形辨析 【例7】（23-24高二上·浙江金华·期中）已知直线，当满足一定条件时，它们的图形可能是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选项A，由的图象可知，，，由的图象可知，，，不成立，A错误； 选项B，由的图象可知，，，由的图象可知，，，可能成立，B正确； 选项C，由的图象可知，，，由的图象可知，，，不成立，C错误； 选项D，由的图象可知，，，由的图象可知，，，不成立，D错误. 故选：B. 【变式7-1】（23-24高二上·北京·月考）直线：与：（其中，，），在同一坐标系中的图象是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线：，即，且与轴交于点， 直线：，即，且与轴交于点， 对于A：直线中，，直线中，，且， 则，所以的倾斜角大于的倾斜角，不符合题意，故A错误； 对于B：直线中，，直线中，，且， 则，所以的倾斜角大于的倾斜角，符合题意，故B正确； 对于C：直线中，，直线中，，矛盾，故C错误； 对于D：直线中，，直线中，，矛盾，故D错误；故选：B 【变式7-2】（23-24高二上·山东威海·月考）直线经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若，则直线不会经过三个象限，所以， 所以， 因为直线经过第一、二、四象限， 所以斜率，与轴交点纵坐标，解得，故选：A 【变式7-3】（23-24高二上·山东济宁·期中）若，，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】依题意，，，则， 直线可化为， 其中， 所以直线不经过第四象限.故选：D 题型八 直线与坐标轴围成面积问题 【例8】（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知， 直线与轴交于点，与轴交于点， 所以围成的三角形的面积为．故选：C 【变式8-1】（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【解析】设直线：，， 因为直线过点，所以，即， 所以，解得，当且仅当，即，时等号成立， 则直线与轴、轴的正半轴围城的三角形面积.故选：B. 【变式8-2】（23-24高二上·广东佛山·期中）过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【解析】可化为①， 要使与两坐标轴能围成三角形，则且， 由①令得；令得， 依题意，， 所以或, 所以或， 设，则或， 则或，解得或， 即或， 即或， 所以这样的直线有条.故选：D 【变式8-3】（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或；(2) 【解析】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得， 所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.2 直线的方程 1、会求直线的点斜式、斜截式、两点式和一般式的方程； 2、掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种基本形式及它们之间的关系； 3、灵活选用恰当的方式求直线方程． 知识点1 直线与方程 一般地，如果直线上点的坐标都是方程的解，而且以方程的解为坐标的点都在直线的方程，而直线称为方程的直线．此时，为了简单起见，“直线”也可说成“直线”，并且记作． 知识点2 直线的点斜式方程 1、点斜式方程的推导 如图，直线经过点，且斜率为，设是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为，由斜率公式得，即． 2、直线的点斜式方程 在平面直角坐标系中，已知是直线上一点， （1）如果直线的斜率不存在，则直线的方程为． （2）如果直线的斜率存在且为，设为直线上不同于的点，则，即，化简可得． 该方程由直线上一点和直线的斜率确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 3、两种特殊的直线 倾斜角 图象特征 斜率 直线方程 0° ，即 ，即 90° 无意义，即不存在 ，即 知识点3 直线的斜截式方程 1、斜截式方程的推到 如图，如果斜率为的直线过点，这时是直线与轴的交点，代入直线的点斜式方程，得，即． 2、直线的斜截式方程 一般地，当直线既不是轴也不是轴时，若与轴的交点为，则称在轴上的截距为；若与轴的交点为，则称在轴上的截距为．一条直线在轴上的截距简称为截距． 方程由直线的斜率和截距确定，因此通常称为直线的斜截式方程． 3、斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 知识点4 直线的两点式方程 1、两点式方程的推导 如果直线经过两点，，则直线的斜率．由直线的点斜式方程得．当时，方程可以写成． 2、直线的两点式方程 设直线经过两点，，则方程叫作直线的两点式方程，简称两点式． 知识点5 直线的截距式方程 1、截距式方程的推导 如图，已知直线经过两点，，其中，有直线的两点式方程得，，即． 2、直线的截距式方程 设直线在轴的截距为，在轴的截距为，且，则方程叫作直线的截距式方程，简称截距式． 知识点6 直线的一般式方程 1、一般式方程的定义 在平面直角坐标系中，任意一个关于，的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于，的二元一次方程（其中、不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式． 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线． 2、系数的几何意义 （1）当时，方程可以写成它表示斜率为，在轴截上的截距为的直线．特别的，当时，它表示垂直于轴的直线． （2）当时，，方程可以写成，它表示垂直于轴的直线． 3、一般式方程的桥梁作用 直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式方程四种形式之间的互化，一般要利用一般式方程作为桥梁，现将一种形式的方程化为一般式方程，然后将一般式方程转化为另一种形式． 【常用解题技巧】 1、截距式方程应用的注意事项 （1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； （3）要注意截距式方程的逆向应用． 2、选择直线返程形式的原则 （1）已知直线过某点，常设点斜式方程，此时应讨论斜率是否存在； （2）已知直线的斜率，常设滇西而是或斜截式方程； （3）已知截距，常设斜截式或截距式方程，此时应注意截距式不能表示平行或重合于坐标轴的直线或过原点的直线； （4）已知两点，常设两点式方程，注意两点式不能表示平行或重合于坐标轴的直线； （5）已知条件过少或难以利用时，可设斜截式方程，但不要忘记讨论斜率是否存在； （6）若所求的是直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，则应选用截距式方程． 3、过定点的直线系 （1）将方程化为点斜式，其中为参数，求得直线过定点； （2）赋值法：因为参数取任意实数，所以给参数任取两个值，得到关于的二元方程组，解方程组可得的值，即为直线过定点； （3）分离参数法：将方程变形，把作为参数的系数，即由参数的放在一起，没参数的放在一起，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为0，解方程组可得的值，即为直线过的顶点． 题型一 直线的点斜式方程 【例1】（23-24高二上·河南·期中）经过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二上·山西大同·期中）已知过点的直线的方向向量，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（22-23高二上·北京·期中）已知直线经过点，且法向量，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二上·河南郑州·月考）对方程表示的图形，下列叙述中正确的是（    ） A．斜率为2的一条直线 B．斜率为的一条直线 C．斜率为2的一条直线，且除去点（,6） D．斜率为的一条直线，且除去点（,6） 题型二 直线的斜截式方程 【例2】（23-24高二上·四川攀枝花·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·江苏常州·期中）若直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-2】（23-24高二上·江苏·期中）已知直线l上一点向左平移3个单位长度，再向下平移2个长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】将直线的方程作如下转换： (1)化成斜截式，并指出它们的斜率与在轴上的截距． (2)化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距． 题型三 直线的两点式方程 【例3】（23-24高二上·内蒙古赤峰·月考）已知直线过点点，则直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二上·山东·月考）一束光线从点射到轴上，经反射后反射光线与轴交于点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·广东广州·期中）已知的三个顶点分别为，，，则边上中线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二上·广东深圳·期中）经过两点、的直线方程都可以表示为（    ） A． B． C． D． 题型四 直线的截距式方程 【例4】（23-24高二下·陕西榆林·月考）过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 ． 【变式4-1】（23-24高二上·天津和平·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-2】（23-24高二上·河南南阳·期中）已知直线l过点，且在x轴上的截距为y轴上截距的3倍，则直线l的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-3】（23-24高二上·浙江金华·期中）（多选）过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程可以是（    ） A． B． C． D． 题型五 直线的一般式方程 【例5】（21-22高二上·北京·月考）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二下·安徽芜湖·期末）直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二下·江苏南京·月考）已知直线在x轴和y轴上的截距之和为1，则实数m的值是（     ）. A．－2 B．－ C． D．2 【变式5-3】（23-24高二上·山东枣庄·期末）（多选）已知直线，则（    ） A．直线的倾斜角为 B．点在直线的右上方 C．为直线的一个方向向量 D．直线在轴上的截距为 题型六 直线过定点问题 【例6】（23-24高二上·天津武清·月考）已知直线，当k变化时，所有直线都恒过点（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·月考）不论k为任何实数，直线恒过定点，则这个定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】不论m，n取什么值，直线必过一定点为 . 【变式6-3】（23-24高二上·河北石家庄·月考）直线，若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，求三角形AOB面积的最小时的直线的方程 . 题型七 直线方程与图形辨析 【例7】（23-24高二上·浙江金华·期中）已知直线，当满足一定条件时，它们的图形可能是图中的（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高二上·北京·月考）直线：与：（其中，，），在同一坐标系中的图象是图中的（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高二上·山东威海·月考）直线经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高二上·山东济宁·期中）若，，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型八 直线与坐标轴围成面积问题 【例8】（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【变式8-2】（23-24高二上·广东佛山·期中）过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式8-3】（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$