第二章：一元二次函数、方程和不等式（单元测试）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

第二章：一元二次函数、方程和不等式 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高一上·湖北孝感·月考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 即，解得， 所以不等式的解集为.故选：C 2．（22-23高一上·江苏宿迁·月考）如图，在一块长为22m，宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300m2.设道路宽为xm，根据题意可列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形， 设道路的宽应为x米，草坪面积为（22﹣x）（17﹣x）， 因为草坪的面积不小于300m2， 所以(22－x)(17－x) 300，故选：B． 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】对于A，若，则错误，如时，，所以A错误； 对于B，若，则，所以B正确； 对于C，若，则，所以C错误； 对于D，若，则，所以D错误.故选：B 4．（23-24高一上·山西朔州·月考）已知，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【解析】因为，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为．故选：D 5．（23-24高一上·陕西·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 又因为，所以，则，故选：C 6．（23-24高一上·河南周口·月考）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（    ） A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B． C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0） 【答案】C 【解析】由图形可知，，， 在Rt△OCF中，由勾股定理可得，CF＝， ∵CF≥OF，∴，故选：C. 7．（23-24高一上·吉林·月考）下列不等式一定成立的是（    ） A． B．（其中） C．的最小值为2 D．的最小值为2（其中） 【答案】B 【解析】对于A，当时，，当时，等号成立； 当时，，当时，等号成立； 所以或，故错误； 对于B，因为，所以，所以， 当，即时，等号成立，故正确； 对于C，因为，所以， 令，则有， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以，所以，故错误； 对于D，因为，所以， 令，由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以，即，故错误.故选：B. 8．（23-24高一上·福建莆田·月考）关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若不等式恒成立， 当时，恒成立， 当时，，解得， 当时，不等式不恒成立，所以的取值范围是. 所以不等式恒成立的一个充分不必要条件是.故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（22-23高一上·江苏南京·期末）设，，已知，，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最大值为 D．有最小值为 【答案】AD 【解析】，，， 当且仅当即时，等号成立，A选项正确，B选项错误； 又，时，，即， 所以，当且仅当时，等号成立，C选项错误，D选项正确；故选：AD. 10．（23-24高一上·山东青岛·月考）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．当时，． 【答案】ABC 【解析】由，则， 若， 若，则，故； 若，则，故； 由题设，结合不等式性质显然有；故选：ABC 11．（23-24高一上·山西太原·月考）已知关于的方程，则（    ）. A．当时，方程有两个不相等的实数根 B．方程无实数根的一个充分条件是 C．方程有两个不相等的负根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【答案】BC 【解析】对于A选项：当时，，此时， 此时方程没有实数根，故A选项错误； 对于B选项：方程无实数根的充要条件是，即， 所以方程无实数根的一个充分条件是的子集，显然符合，故B选项正确； 对于C选项：方程有两个不相等的负根的充要条件是 解得，故C选项正确; 对于D选项：方程有一个正根和一个负根的充要条件是 解得，故D选项错误;故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一上·湖南长沙·月考）设，那么的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为， 当时，可得， 所以的取值范围为. 13．（23-24高一上·广东佛山·月考）购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济. 【答案】乙 【解析】设第一次和第二次购物时价格分别为， 按甲策略，每次购n，按这种策略购物时，两次的平均价格， 按乙策略，第一次花m元钱，能购物物品，第二次仍花m元钱，能购物物品， 两次购物的平均价格， 比较两次购物的平均价格 ， 因为甲策略的平均价格不小于第乙种策略的平均价格，所以用第二种购物方式比较经济. 14．（23-24高一上·辽宁铁岭·月考）关于不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由题意，可得方程的解为，且， 由不等式，等价于， 整理可得，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高一上·广东顺德·月考）（1）设，，比较，大小； （2）设，，比较，的大小． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）因为， 所以． （2），， 因为，所以，所以． 16．（23-24高一上·四川南充·月考）（1） 已知，，求的取值范围； （2）若，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）设， 所以，解得， ， ，即， 的取值范围是. （2）证明：， 17．（23-24高一上·湖南常德·月考）已知 . （1）当时，求xy的最大值； （2）当时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）因为，， 所以有， 当且仅当时，取等号，即且时，取等号，所以xy的最大值为； （2）因为，所以，而， 所以有：， 即， 当且仅当时，取等号，即且时，取等号， 因此，要想不等式恒成立， 只需成立，即，解得. 18．（23-24高一上·辽宁·月考）已知关于的不等式的解集为． (1)求关于的不等式的解集； (2)若关于的不等式有且仅有6个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2). 【解析】（1）由不等式的解集为，得， 且方程的两根分别为和3， 则，得， 不等式等价于，即， 当，即时，解得；当，即时，原不等式无解； 当，即时，解得， 所以当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. （2）由（1）知，不等式等价于， 即，解得， 因为关于的不等式有且仅有6个整数解， 因此，即，解得， 所以的取值范围为. 19．（23-24高一上·福建将乐·月考）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米． (1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 【答案】(1)当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元 (2)当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功 【解析】（1）因为体育馆前墙长为米，地面面积为， 所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米， 设甲工程队报价为元， 所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元； （2）根据题意可知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 因为，， 当且仅当，即时等号成立，所以， 故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章：一元二次函数、方程和不等式 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高一上·湖北孝感·月考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江苏宿迁·月考）如图，在一块长为22m，宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300m2.设道路宽为xm，根据题意可列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（23-24高一上·山西朔州·月考）已知，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D． 5．（23-24高一上·陕西·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·河南周口·月考）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（    ） A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B． C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0） 7．（23-24高一上·吉林·月考）下列不等式一定成立的是（    ） A． B．（其中） C．的最小值为2 D．的最小值为2（其中） 8．（23-24高一上·福建莆田·月考）关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是（） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（22-23高一上·江苏南京·期末）设，，已知，，则下列说法正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最大值为 D．有最小值为 10．（23-24高一上·山东青岛·月考）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，则（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．当时，． 11．（23-24高一上·山西太原·月考）已知关于的方程，则（    ）. A．当时，方程有两个不相等的实数根 B．方程无实数根的一个充分条件是 C．方程有两个不相等的负根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一上·湖南长沙·月考）设，那么的取值范围是 ． 13．（23-24高一上·广东佛山·月考）购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济. 14．（23-24高一上·辽宁铁岭·月考）关于不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高一上·广东顺德·月考）（1）设，，比较，大小； （2）设，，比较，的大小． 16．（23-24高一上·四川南充·月考）（1） 已知，，求的取值范围； （2）若，求证：. 17．（23-24高一上·湖南常德·月考）已知 . （1）当时，求xy的最大值； （2）当时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围. 18．（23-24高一上·辽宁·月考）已知关于的不等式的解集为． (1)求关于的不等式的解集； (2)若关于的不等式有且仅有6个整数解，求的取值范围． 19．（23-24高一上·福建将乐·月考）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米． (1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$