第二章：一元二次函数、方程和不等式章末重点题型复习（10题型）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

第二章：一元二次函数、方程和不等式章末重点题型复习 题型一 利用不等式的性质判断命题 1．（23-24高一下·四川泸州·期末）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（23-24高一上·江苏南京·月考）（多选）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 4．（23-24高一上·浙江嘉兴·月考）（多选）若，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二 利用不等式的性质求取值范围 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）（多选）已知，则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·四川绵阳·月考）（多选）已知，则的取值可以为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24高一上·安徽黄山·月考）已知实数、，满足，求的取值范围． 4．（22-23高一上·山东淄博·月考）（1）如果，，求，，的取值范围. （2）已知，满足，，求的取值范围. 题型三 比较大小与证明不等式 1．（23-24高一上·安徽·月考）（1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证： 2．（23-24高一上·浙江温州·月考）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 3．（23-24高一上·吉林长春·月考）（1）已知，，，求证：； （2）已知，，，，试比较M与N的大小，并说明理由． 4．（23-24高一上·甘肃武威·月考）（1）比较与的大小； （2）若，，证明：． 题型四 利用基本不等式求最值 1．（23-24高一上·江西上饶·月考）已知，则函数的最小值为 ． 2．（23-24高一下·云南曲靖·月考）已知，且，则的最小值为 ． 3．（23-24高一下·贵州铜仁·月考）已知，且，则的最小值为 . 4．（23-24高二下·山东济宁·月考）已知正实数满足，则的最小值为 . 5．（23-24高二下·湖北荆州·月考）（多选）已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．最小值为 C．的最大值是 D．的最小值是 题型五 基本不等式恒成立问题 1．（23-24高一上·天津红桥·期中）已知，若不等式恒成立，则实数m的最小值为 . 2．（23-24高一上·山东枣庄·月考）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 3．（23-24高一上·江苏扬州·月考）设，若恒成立，则的最大值为（    ） A．16 B．2 C．8 D．1 4．（23-24高一上·四川宜宾·月考）（多选）已知，，且，若对任意的，恒成立，则实数的可能取值为（     ） A． B． C．3 D．1 题型六 基本不等式的实际应用 1．（23-24高一上·河南·期中）（多选）如图，某小区拟建造一个矩形绿地，如果在AB中点M正北方向25米处立起一根旗杆E，在BC中点N正东方向40米处立起一根旗杆F，且E，B，F三点在同一直线上，那么该矩形绿地的周长可能为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（23-24高一上·河北·月考）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金 10g.（填“大于”“小于”“等于”“不确定”） 附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中，分别为左右盘中物体质量，，分别为左右横梁臂长. 3．（23-24高一上·浙江·期中）为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰梯形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为（宣传栏中相邻的三角形和梯形间在水平方向上的留空宽度也都是10，设． (1)当时，求海报纸（矩形）的周长； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 4．（23-24高一上·四川达州·月考）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元. (1)写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备；（年平均盈利额盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 题型七 一元二次不等式的解法 1．（23-24高一上·宁夏固原·月考）求下列不等式的解集： (1)； (2). 2．（22-23高一下·新疆阿克苏·月考）求下列不等式的解集 (1)； (2). 3．（23-24高一上·广西桂林·月考）（1）解关于x的不等式； （2）解关于x的不等式． 4．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·月考）求下列不等式的解集. (1)； (2)； (3). 题型八 分式/高次不等式的解法 1．（23-24高一上·江苏盐城·月考）不等式的解集为 . 2．（23-24高一上·吉林·月考）不等式的解集为 . 3．（23-24高一上·北京·期中）不等式的解集为 . 4．（23-24高一上·湖南衡阳·月考）已知关于的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)若，求不等式的解集. 题型九 由一元二次不等式的解集求参数 1．（23-24高一上·贵州毕节·月考）已知关于的不等式的解集为，则 . 2．（23-24高一上·吉林·月考）关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 4．（23-24高一上·湖南常德·期末）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 题型十 一元二次不等式恒成立问题 1．（23-24高一上·浙江金华·月考）已知命题p：“，使得”，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期中）若不等式对恒成立，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．2 4．（23-24高一上·湖南郴州·期末），不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章：一元二次函数、方程和不等式章末重点题型复习 题型一 利用不等式的性质判断命题 1．（23-24高一下·四川泸州·期末）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于ABD，取，满足， 显然，，，ABD错误； 对于C，，则，C正确.故选：C 2．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A中，例如：，满足，但，所以A不正确； 对于B中，例如：，满足，但，所以B不正确； 对于C中，由， 因为，可得且，所以，所以C正确； 对于D中，由，可得，可得， 所以，所以D不正确.故选：C. 3．（23-24高一上·江苏南京·月考）（多选）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】BCD 【解析】对A：若，则，故A错误； 对B：由，则，，即，故B正确； 对C：由，则，又，则，故C正确； 对D：由，则，因为，则，故，故D正确.故选：BCD. 4．（23-24高一上·浙江嘉兴·月考）（多选）若，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【解析】令，满足，但是，故A错误； 令，满足，但是，故B错误； 令，满足，但是，故C错误； 因为，所以，故D正确；故选：ABC 题型二 利用不等式的性质求取值范围 1．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）（多选）已知，则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于A中，由，可得，由不等式的性质，可得，所以A正确； 对于B中，由，根据不等式的性质，可得，所以B正确； 对于C中，由，可得，所以，所以C错误； 对于D中，由，可得，所以D错误.故选：AB. 2．（23-24高一上·四川绵阳·月考）（多选）已知，则的取值可以为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】ABC 【解析】设， 则，解得， ， ， ，即，故选：ABC. 3．（23-24高一上·安徽黄山·月考）已知实数、，满足，求的取值范围． 【答案】 【解析】设, ,解得， 所以， 因为， 所以 所以，即， 因此，的取值范围是. 4．（22-23高一上·山东淄博·月考）（1）如果，，求，，的取值范围. （2）已知，满足，，求的取值范围. 【答案】（1），，；（2） 【解析】（1）因为，， 所以，，， 所以，； （2）设，， 则，解得， 所以， 又，， 所以，则， 所以的取值范围是. 题型三 比较大小与证明不等式 1．（23-24高一上·安徽·月考）（1），其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证： 【答案】（1） ；（2）证明见解析 ． 【解析】（1）因为， 作差得， 因为，，所以，， 所以，即； （2）因为，且，，， 所以， 所以 所以， 所以， 所以， 故. 2．（23-24高一上·浙江温州·月考）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为， 所以. （2）因为，所以， 又，所以，所以， 所以，即， 又，所以. 3．（23-24高一上·吉林长春·月考）（1）已知，，，求证：； （2）已知，，，，试比较M与N的大小，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）因为，， 所以，， 所以， 又，所以. （2）由题意，， 因为，， 所以，，，， 所以， 即，当且仅当时，. 4．（23-24高一上·甘肃武威·月考）（1）比较与的大小； （2）若，，证明：． 【答案】（1） ；（2）证明见解析 ． 【解析】（1）依题意有：， 又，，，所以， 即； （2）证明：，，又，， ，则有：， 又，． 题型四 利用基本不等式求最值 1．（23-24高一上·江西上饶·月考）已知，则函数的最小值为 ． 【答案】5 【解析】，则函数， 当且仅当时即时取等号， 故函数的最小值为5. 2．（23-24高一下·云南曲靖·月考）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由于，因此， 则， 当且仅当时取等号． 3．（23-24高一下·贵州铜仁·月考）已知，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】因为，所以， 又，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 4．（23-24高二下·山东济宁·月考）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】正实数满足，故，所以， 则，又，解得， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 5．（23-24高二下·湖北荆州·月考）（多选）已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．最小值为 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】BC 【解析】对于A，∵，且，∴，即时，等号成立， 即的最大值是，故A不正确； 对于B，∵，∴，， 所以，故B正确； 对于C，∵，且，∴，即 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，∵， 即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误．故选：BC． 题型五 基本不等式恒成立问题 1．（23-24高一上·天津红桥·期中）已知，若不等式恒成立，则实数m的最小值为 . 【答案】 【解析】因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 因为不等式 恒成立，所以，则， 所以实数m的最小值为. 2．（23-24高一上·山东枣庄·月考）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】，，， ， ， 当且仅当，即，时取等号， 即（当且仅当，时取等号）， 因为恒成立，，解得， 即实数的取值范围为. 3．（23-24高一上·江苏扬州·月考）设，若恒成立，则的最大值为（    ） A．16 B．2 C．8 D．1 【答案】C 【解析】因为，故， 则， 当且仅当，即时取得等号， 由于恒成立，故，即的最大值为8，故选：C 4．（23-24高一上·四川宜宾·月考）（多选）已知，，且，若对任意的，恒成立，则实数的可能取值为（     ） A． B． C．3 D．1 【答案】ABC 【解析】由，，则，即恒成立， 又， 当且仅当时，等号成立， 故，即， 即，解得或.故选：ABC. 题型六 基本不等式的实际应用 1．（23-24高一上·河南·期中）（多选）如图，某小区拟建造一个矩形绿地，如果在AB中点M正北方向25米处立起一根旗杆E，在BC中点N正东方向40米处立起一根旗杆F，且E，B，F三点在同一直线上，那么该矩形绿地的周长可能为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】CD 【解析】如图， 设，，由题意知， 即，，所以，化简得， 因此矩形绿地的周长， 当且仅当时取等号．故矩形菜地的周长可能为米，米． 故选：CD． 2．（23-24高一上·河北·月考）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金 10g.（填“大于”“小于”“等于”“不确定”） 附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中，分别为左右盘中物体质量，，分别为左右横梁臂长. 【答案】大于 【解析】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，， ，， ， 当且仅当，即时等号成立， 但，等号不成立，即． 因此，顾客购得的黄金大于． 3．（23-24高一上·浙江·期中）为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰梯形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为（宣传栏中相邻的三角形和梯形间在水平方向上的留空宽度也都是10，设． (1)当时，求海报纸（矩形）的周长； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 【答案】(1)；(2)选择矩形的长宽分别为的海报纸，可使用纸量最少 【解析】（1）设阴影部分直角三角形的高为， 阴影部分的面积， 又， 由图可知：， 海报纸的周长为. （2）由（1）知， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 此时， 故选择矩形的长宽分别为的海报纸，可使用纸量最少. 4．（23-24高一上·四川达州·月考）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元. (1)写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)； (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备；（年平均盈利额盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 【答案】(1)，从第 3 年开始该设备开始全年盈利； (2)方案①比较合理，理由见解析 【解析】（1）， 解不等式，得，，故， 故从第 3 年该设备开始全年盈利； （2）①， 当且仅当时，即时等号成立. 到2025年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元. ②，当时，. 故到 2028 年，盈利额达到最大值，该设备可获利 万元. 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理. 题型七 一元二次不等式的解法 1．（23-24高一上·宁夏固原·月考）求下列不等式的解集： (1)； (2). 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1），解得， 所以不等式的解集为. （2）由得，解得或， 所以不等式的解集为或. 2．（22-23高一下·新疆阿克苏·月考）求下列不等式的解集 (1)； (2). 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）可化为，解得或， 所以解集为. （2）可化为，解得， 所以解集为. 3．（23-24高一上·广西桂林·月考）（1）解关于x的不等式； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【解析】（1）不等式化为：，解得或， 所以原不等式的解集为. （2）不等式化为：， 当时，， 当时，解得或， 当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 4．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·月考）求下列不等式的解集. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)；(2)；(3)答案详见解析 【解析】（1），解得， 所以原不等式的解集为. （2）由得， 解得，所以原不等式的解集为. （3）， 若，则原不等式化为，解得； 若，则原不等式的解集为或； 若，则原不等式的解集为或. 题型八 分式/高次不等式的解法 1．（23-24高一上·江苏盐城·月考）不等式的解集为 . 【答案】 【解析】不等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为. 2．（23-24高一上·吉林·月考）不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由， 所以不等式解集为. 故答案为： 3．（23-24高一上·北京·期中）不等式的解集为 . 【答案】或 【解析】原不等式等价于，且 分别令各个因式为0，可得根依次为，2， 利用数轴“穿针引线”法可得不等式的解集为或． 故答案为：或. 4．（23-24高一上·湖南衡阳·月考）已知关于的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)若，求不等式的解集. 【答案】(1)或；(2)答案见解析 【解析】（1）当时，原不等式即为，即， 等价于，如下图所示：    由图可知，当时，原不等式的解集为或. （2）当时，原不等式即为，即，解得； 当时，原不等式等价于， 当时，即当时，解原不等式可得或； 当时，即当时，原不等式即为，解得且； 当时，即当时，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为. 题型九 由一元二次不等式的解集求参数 1．（23-24高一上·贵州毕节·月考）已知关于的不等式的解集为，则 . 【答案】 【解析】由题意可得， 故，，则. 2．（23-24高一上·吉林·月考）关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】关于的不等式可化为， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 因为不等式的解集中恰有两个整数， 所以，当时，不等式的整数解为和，所以的取值范围为； 当时，不等式的整数解为和，所以的取值范围为， 综上可得，实数的取值范围为.故选：A 3．（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】由不等式的解集为或， 得是方程的两个根，且， 因此，且，解得， 不等式化为：，解得， 所以不等式为.故选：C 4．（23-24高一上·湖南常德·期末）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 【答案】AC 【解析】关于的不等式的解集为， 所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确； 且方程的两根为、4， 由韦达定理得，解得. 对于B，，由于，所以， 所以不等式的解集为，故B不正确； 对于C，因为，所以，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于D，，故D不正确.故选：AC. 题型十 一元二次不等式恒成立问题 1．（23-24高一上·浙江金华·月考）已知命题p：“，使得”，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若命题p：“，使得”为假， 则命题：“，使得”为真. 所以判别式，解得.故选：B 2．（23-24高一下·上海·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】①当时，不等式恒成立，所以符合要求； ②当时，题意等价于，即，解得， 综上可知. 3．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期中）若不等式对恒成立，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】解不等式得， 不等式对恒成立， ，可得，解得， 根据选项可得只有C选项符合. 故选：C. 4．（23-24高一上·湖南郴州·期末），不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】，不等式恒成立，即， 由于函数，当且仅当，即时等号成立， 故，即，则，故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$