第15讲 利用导数研究函数的单调性（5类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（北京专用）

第15讲 利用导数研究函数的单调性 （5类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年北京卷，第20题，15分 利用导数求函数的单调区间（不含参） 2023年北京卷，第20题，15分 利用导数求函数的单调区间（不含参） 2022年北京卷，第20题，15分 用导数判断或证明已知函数的单调性 2021年北京卷，第19题，15分 用导数判断或证明已知函数的单调性 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是高考的必考内容，重点考查函数单调性与单调区间求解，难度中等． 【备考策略】 1.借助几何直观了解函数的单调性与导数关系； 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）； 3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用． 【命题预测】利用导数研究函数的单调性将继续作为一个重点内容进行考查，以检验学生对导数概念的理解和应用能力． 知识讲解 知识点1 导数与函数的单调性 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增； 如果，那么函数在这个区间内单调递减． 【注意】 （1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 知识点2 利用导数研究单调性的方法 1、导数法求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2、含参函数单调性讨论依据 （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论。 3、已知函数的单调性求参数 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点 4、常见的导函数与原函数混合构造类型 关系式为“加”型构造： （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意的符号） （5） 构造 关系式为“减”型构造： （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9）构造（注意的符号） （10） 构造 考点一、导数法研究不含参函数的单调性 【典例1】（23-24高三上·北京西城·阶段练习）函数在上的单调递减区间为 . 【典例2】（22-23高三上·北京·模拟预测）已知函数，则函数的单调增区间为 . 1．（23-24高三下·湖南怀化·二模）已知，则的单调增区间为 ． 2．（23-24高三上·北京·阶段练习）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求a，b的值； (2)求的单调区间． 考点二、导数法研究含参函数的单调性 【典例1】（23-24高三上·北京·阶段练习）已知函数，. (1)证明：； (2)求函数的单调区间. 【典例2】（23-24高三上·北京丰台·期末）已知函数． (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 1．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若存在两条直线都是曲线的切线，求实数a的取值范围； 2．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知函数 其中． (1)若，求函数的单调区间和极值; (2)当时，讨论函数的单调区间． 考点三、已知函数的单调性求参数 【典例1】（22-23高三上·北京·阶段练习）函数在单调递增的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（21-22高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是 ． 1．（22-23高三上·北京·开学考试）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．不存在这样的实数k 2．（22-23高三上·北京·阶段练习）已知函数（且）在区间上是增函数，在区间上是减函数. (1)求的值； (2)求的取值范围. 考点四、导函数与原函数的图象问题 【典例1】（23-24高二下·北京·期中）是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（    ） A． B． C．   D． 【典例2】（23-24高三下·北京海淀·一模）函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高二下·北京·期中）若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·山东泰安·阶段练习）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（    ） A． B． C． D． 考点五、构造函数解不等式 【典例1】（23-24高三上·北京·期中）设，分别是定义域为的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集为 . 【典例2】（23-24高三上·北京·期中）设，分别是定义域为的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集为 . 1．（23-24高三上·贵州黔东南·阶段练习）函数的定义域为，对任意，则的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ． 1．（23-24高三上·湖北孝感·阶段练习）已知函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·云南昆明·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ） A． B． C．e D． 4．（23-24高三下·山东潍坊·三模）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 5．（22-23高三上·北京·期中）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ． 6．（23-24高三上·天津·期中）函数的单调递减区间是 . 7．（23-24高三下·河北·模拟预测）已知函数在处的切线为轴． (1)求的值； (2)求的单调区间． 1．（23-24高三上·湖北孝感·阶段练习）已知函数，若在R上单调递增，则实数a的最大值为（    ） A． B． C．1 D．e 2．（23-24高三下·吉林·二模）已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·陕西安康·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，有，若，则不等式的解集是 ． 5．（23-24高三下·河南·三模）已知函数的定义域为，为其导函数，若，，则不等式的解集是 ． 6．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 7．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知函数. (1)若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围; (2)讨论函数的单调性. 1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 2．（2022·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 5．（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a= ；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 ． 6．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 7．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 8．（2021·北京·高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 利用导数研究函数的单调性 （5类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年北京卷，第20题，15分 利用导数求函数的单调区间（不含参） 2023年北京卷，第20题，15分 利用导数求函数的单调区间（不含参） 2022年北京卷，第20题，15分 用导数判断或证明已知函数的单调性 2021年北京卷，第19题，15分 用导数判断或证明已知函数的单调性 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是高考的必考内容，重点考查函数单调性与单调区间求解，难度中等． 【备考策略】 1.借助几何直观了解函数的单调性与导数关系； 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）； 3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用． 【命题预测】利用导数研究函数的单调性将继续作为一个重点内容进行考查，以检验学生对导数概念的理解和应用能力． 知识讲解 知识点1 导数与函数的单调性 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增； 如果，那么函数在这个区间内单调递减． 【注意】 （1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 知识点2 利用导数研究单调性的方法 1、导数法求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2、含参函数单调性讨论依据 （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论。 3、已知函数的单调性求参数 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点 4、常见的导函数与原函数混合构造类型 关系式为“加”型构造： （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意的符号） （5） 构造 关系式为“减”型构造： （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9）构造（注意的符号） （10） 构造 考点一、导数法研究不含参函数的单调性 【典例1】（23-24高三上·北京西城·阶段练习）函数在上的单调递减区间为 . 【答案】 【解析】由题意知，. 即，，因为，所以， 所以在中，， 所以在上的单调递减区间为. 【典例2】（22-23高三上·北京·模拟预测）已知函数，则函数的单调增区间为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为R，，令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 1．（23-24高三下·湖南怀化·二模）已知，则的单调增区间为 ． 【答案】/ 【解析】函数的定义域为，求导得， 由，得，所以的单调增区间为. 2．（23-24高三上·北京·阶段练习）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求a，b的值； (2)求的单调区间． 【答案】(1)；(2)函数在上单调递增. 【解析】（1）因为，则， 由题意可得，，即，解得. （2）由（1）可知，，， 令，令，所以， 当时，，则函数单调递减； 当时，，则函数单调递增； 当时，函数有极小值，即最小值，最小值为， 则，则函数在上单调递增. 考点二、导数法研究含参函数的单调性 【典例1】（23-24高三上·北京·阶段练习）已知函数，. (1)证明：； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析 【解析】（1）证明：已知，函数定义域为， 要证，即证， 不妨设，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值，则； （2）已知，函数定义域为， 可得， 令，解得或， 若， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 若， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 若，，单调递增； 若， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上，当时，的减区间为，增区间为； 若时，的增区间为，减区间为； 当时，的增区间为,无减区间； 当时，的增区间为，，减区间为. 【典例2】（23-24高三上·北京丰台·期末）已知函数． (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）由题可得， 因为在点处的切线平行于轴，所以， 即，解得，经检验符合题意． （2）因为， 令，得或． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 当时，因为，当且仅当时，， 所以在区间上单调递增． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 1．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若存在两条直线都是曲线的切线，求实数a的取值范围； 【答案】(1)答案见解析；(2) 【解析】（1）由题意得定义域为, ， 当时，，此时的单调递减区间为，无增区间； 当时，令；令； 故的单调递减区间为，单调递增区间为； 故当时，的单调递减区间为，无增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）因为存在两条直线都是曲线的切线， 故至少有2个不等正根， 令，即，设其两个根为， 则，解得， 当时，曲线在点处的切线方程分别为： ； 设， 由于， 当时，，故在上单调递增，即， 故不重合， 即是曲线的两条不同的切线，故. 2．（23-24高三上·北京·阶段练习）已知函数 其中． (1)若，求函数的单调区间和极值; (2)当时，讨论函数的单调区间． 【答案】(1)的单调减区间为， 单调增区间为；极小值 (2)分类讨论，答案见解析. 【解析】（1）函数的定义域为． 则， 令，可得， 当变化时，和的变化情况如下： 单调递减 单调递减 单调递增 故函数的单调减区间为; 单调增区间为． 当时，函数有极小值. （2）因为 ，所以， 所以函数的定义域为， 求导可得 令，可得， 当时，， 因为(当且仅当时，) 所以函数在单调递增． 当时，， 当变化时， 和的变化情况如下： 单调递增 单调递减 单调递增 故函数的单调减区间为单调增区间为 当 时，， 当变化时，和的变化情况如下： 单调递增 单调递减 单调递增 故函数的单调减区间为单调增区间为， 综上，当时，函数在单调递增； 当时，函数的单调减区间为单调增区间为； 当时，函数的单调减区间为单调增区间为， 考点三、已知函数的单调性求参数 【典例1】（22-23高三上·北京·阶段练习）函数在单调递增的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题得， 函数在区间单调递增， 在区间上恒成立，， 而在区间上单调递减，． 选项中只有是的必要不充分条件. 选项AC是的充分不必要条件，选项B是充要条件.故选：D 【典例2】（21-22高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为在上存在单调递增区间， 所以在有解， 令，则，，得 1．（22-23高三上·北京·开学考试）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．不存在这样的实数k 【答案】B 【解析】由题意得，在区间上至少有一个实数根， 又的根为，且在或两侧异号， 而区间的区间长度为2，故只有2或-2在区间内， ∴或， ∴或，故A，C，D错误.故选：B. 2．（22-23高三上·北京·阶段练习）已知函数（且）在区间上是增函数，在区间上是减函数. (1)求的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， 又在区间上是增函数，在区间上是减函数， ，． （2），得， 由，得． 在区间上是增函数，在区间上是减函数， 则有，且，． 考点四、导函数与原函数的图象问题 【典例1】（23-24高二下·北京·期中）是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（    ） A． B． C．   D． 【答案】C 【解析】由导函数的图象可知：当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，只有选项C符合，故选：C 【典例2】（23-24高三下·北京海淀·一模）函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，且为偶函数，故， 由导数性质结合图象可得当时，， 当时，，当时，即， 则由，有，解得， 亦可得，或，或，或， 由可得或，即， 由可得，即， 由，可得，即或（舍去，不在定义域内）， 由，可得， 综上所述，关于x的不等式的解集为.故选：D. 1．（22-23高二下·北京·期中）若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设导函数图像与的交点横坐标分别为和，，， 根据图像： 和时，； 和时，； 则函数在和上单调递减，在和上单调递增. 对比图像知C满足.故选：C. 2．（23-24高三上·山东泰安·阶段练习）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由的图象知，当时，，故，单调递增； 当时，，故，当，，故， 等号仅有可能在x＝0处取得， 所以时，单调递减； 当时，，故，单调递增，结合选项只有C符合.故选：C. 考点五、构造函数解不等式 【典例1】（23-24高三上·北京·期中）设，分别是定义域为的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】设，， 因为是定义域为的奇函数， 所以， 即当时，，单调递增， 由已知得为奇函数，且在，上均为增函数， 因为，所以的解集为. 【典例2】（23-24高三上·北京·期中）设，分别是定义域为的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】设，， 因为是定义域为的奇函数， 所以， 即当时，，单调递增， 由已知得为奇函数，且在，上均为增函数， 因为，所以的解集为. 1．（23-24高三上·贵州黔东南·阶段练习）函数的定义域为，对任意，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则在上恒成立， 所以在定义域上递减，而， 所以原不等式即为，可得， 故原不等式解集为.故选：C 2．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】令，则， 当时，， 所以当时，， 即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数， 所以，又， 所以是偶函数，所以在上递减， 所以， 即不等式等价为， 所以，所以． 1．（23-24高三上·湖北孝感·阶段练习）已知函数，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的定义域为，， 令，解得， 所以的单调递减区间为，故选：A. 2．（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，，变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以.故选：A． 3．（23-24高三下·云南昆明·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ） A． B． C．e D． 【答案】A 【解析】由题意得在上恒成立， ，故， 即， 令，， 则在上恒成立， 故在上单调递减， 故，故，故a的最小值为.故选：A 4．（23-24高三下·山东潍坊·三模）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式等价于，即， 构造函数，所以， 因为时，，所以对恒成立， 所以在单调递减， 又因为， 所以不等式等价于，所以， 即的解集为.故选：A. 5．（22-23高三上·北京·期中）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】， 因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 又在上递减，所以， 所以的取值范围是. 6．（23-24高三上·天津·期中）函数的单调递减区间是 . 【答案】 【解析】易知的定义域为， 则，令，解得； 即可知函数在区间上是单调递减的， 所以函数的单调递减区间是. 7．（23-24高三下·河北·模拟预测）已知函数在处的切线为轴． (1)求的值； (2)求的单调区间． 【答案】(1)，；(2)单调递减区间为，单调递增区间为 【解析】（1）因为，所以， 依题意且， 所以，解得. （2）由（1）可得函数的定义域为， 又， 令，则，所以（）在定义域上单调递增， 又，所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 1．（23-24高三上·湖北孝感·阶段练习）已知函数，若在R上单调递增，则实数a的最大值为（    ） A． B． C．1 D．e 【答案】C 【解析】因为在R上单调递增，所以在R上恒成立， 等价于在R上恒成立， 令，易得在R上单调递增， 又 所以当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 所以实数a的最大值为1．故选：C． 2．（23-24高三下·吉林·二模）已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，当时，， 令，则， 所以在上单调递减， 不等式等价于， 即为，所以，解得.故选：A. 3．（23-24高三下·陕西安康·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得， 构造函数，则， 所以在上单调递减，所以， 所以，即，所以. 构造函数，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，即，所以. 综上，.故选:B. 4．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，有，若，则不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】因为定义在上的函数满足 所以函数关于直线对称，即 因为当时,有即 故令则，在上单调递增, 因为， 所以关于点对称， 所以在上单调递增，因为， 所以所以当时, , 所以，当时,， 所以且,即无解.所以不等式的解集是. 5．（23-24高三下·河南·三模）已知函数的定义域为，为其导函数，若，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】令，则， 所以在上单调递增． 由于当，当， 而， 故在上，不等式与同解， 即，又，得，即， 所以原不等式的解集为． 6．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）当时，， ，所以， 曲线在处的切线方程为. （2）， ①当时，，所以函数在上单调递增； ②当时，令，则(舍)或， ，当时，函数单调递减； ，当时，函数单调递增. ③当时，令，则或(舍)， ，当时，函数单调递减； ，当时，函数单调递增. 综上所述：当时，函数在(0,+∞)上单调递增； 当时，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增； 当时，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增 7．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知函数. (1)若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围; (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）在恒成立，即； 设，则，所以. （2）且定义域为， ， 令，解得，， 若， 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增. 若， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增，   若，在定义域内恒成立，函数在单调递增，   若， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 综上所述： 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 当时，函数在上单调递增,在上单调递减，在上单调递增. 当时，函数在单调递增. 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为．故选：C． 2．（2022·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】[方法一]：构造函数 因为当 故，故，所以； 设， ，所以在单调递增， 故，所以， 所以，所以，故选A [方法二]：不等式放缩 因为当， 取得：，故 ，其中，且 当时，，及 此时， 故，故 所以，所以，故选A [方法三]：泰勒展开 设，则，， ，计算得，故选A. [方法四]：构造函数 因为，因为当，所以,即，所以； 设，，所以在单调递增， 则,所以，所以,所以，故选：A． [方法五]：【最优解】不等式放缩 因为，因为当，所以,即，所以； 因为当，取得，故，所以． 故选：A． 3．（2022·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以故选：C. 方法二：比较法 ， ， ， ①， 令 则， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以在上单调递增，可得，即， 所以在上单调递增，可得，即 ，所以 故 4．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 5．（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a= ；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 ． 【答案】 -1; . 【解析】若函数为奇函数,则， 对任意的恒成立. 若函数是上的增函数,则恒成立,. 即实数的取值范围是 6．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)3个 【解析】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 7．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 【答案】(1)；(2)在上单调递增；(3)证明见解析 【解析】（1）因为，所以，即切点坐标为， 又， ∴切线斜率，∴切线方程为： （2）因为， 所以， 令，则， ∴在上单调递增，∴ ∴在上恒成立，∴在上单调递增. （3）原不等式等价于， 令，，即证， ∵， ， 由（2）知在上单调递增， ∴，∴，∴在上单调递增， 又因为，∴，所以命题得证. 8．（2021·北京·高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为， 最大值为，最小值为. 【解析】（1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，则， 由题意可得，解得， 故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为. 当时，；当时，. 所以，，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$