精品解析：湖北省黄冈市麻城市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023~2024学年度第二学期期中教学质量监测 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了最简二次根式的识别，最简二次根式：被开方数中不含有开方开的尽的数，分母中不含有二次根式，根式中不含有分母．根据最简二次根式的概念，直接化简二次根式即可． 【详解】解：因为，，，都不是最简二次根式． 是最简二次根式； 故选：C． 2. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是( ) A. x≥3 B. x≤9 C. x≥﹣3 D. x≤﹣9 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围． 【详解】∵9﹣x≥0 ∴x≤9 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 3. 由下列线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（　　） A. a＝7，b＝24，c＝25 B. a＝1.5，b＝2，c＝2.5 C. D. a＝40，b＝50，c＝60 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵72+242＝625＝252，∴能构成直角三角形，故本选项错误； B、∵1.52+22＝6.25＝2.52，∴能构成直角三角形，故本选项错误； C、∵（）2+12＝＝（）2，∴能构成直角三角形，故本选项错误； D、∵402+502＝4100≠602，∴不能构成直角三角形，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 4. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. =1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法对A、B、C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【详解】A、与不能合并，所以A选项错误； B、2与不能合并，所以B选项错误； C、原式＝2，所以C选项错误； D、原式＝＝1，所以D选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 5. 如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，FD，则图中平行四边形的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由已知点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，根据三角形中位线定理，可以推出EF∥AB且EF＝AD，EF＝DB，DF∥BC且DF＝CE，所以得到3个平行四边形． 【详解】已知点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点， ∴EF∥AB且EF＝AB＝AD，EF＝AB＝DB， DF∥BC且DF＝CE， ∴四边形ADEF、四边形BDFE和四边形CEDF为平行四边形， 故选C． 【点睛】此题考查的是平行四边形的判定及三角形中位线定理，关键是有三角形中位线定理得出四边形的对边平行且相等而判定为平行四边形． 6. 如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO=1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（　　） A. ﹣0.4 B. ﹣ C. 1﹣ D. ﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AB的长，可得AB=AC=，推出OC=﹣1即可解决问题. 【详解】在Rt△AOB中，AB=， ∴AB=AC=， ∴OC=AC﹣OA=﹣1， ∴点C表示的数为1﹣． 故选C． 【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 7. 已知是整数，正整数n的最小值为( ) A. 0 B. 1 C. 6 D. 36 【答案】C 【解析】 【详解】∵，且是整数， ∴是整数，即6n是完全平方数； ∴n的最小正整数值为6． 故选C． 8. 已知点，点，点为轴上任意一点，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则，可得，可知此时的值最小，最小值即为的长，利用两点间距离公式求出即可求解，利用轴对称的性质找出点的位置是解题的关键． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则， ∴， 根据两点之间，线段最短，可得此时的值最小，最小值即为的长， ∵， ∴, ∴， ∴的最小值为， 故选：． 9. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为勾股定理问题成为解题的关键． 如图：设芦苇的长度是尺，即，再表示出水深，然后根据勾股定理建立方程即可解答． 【详解】解：依题意画出图形： 如图：设芦苇的长度是尺，即，则水深尺， ∵尺， ∴尺， 在中，， ∴． 故选B． 10. 如图，等边内一点，，，时，则长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查旋转变换、等边三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的判定与性质和旋转变换的定义和性质及勾股定理是解题的关键． 由为等边三角形可将绕点顺时针旋转得到，连接，从而得为等边三角形且，据此知、，继而根据勾股定理可得． 【详解】解：∵为等边三角形， 、， 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， 、、、， 为等边三角形， 、， ， 在中，、， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 化简的结果为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，进行求解即可. 【详解】解：∵＜2， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，关键是判断中a的符号，由符号判断得到答案． 12. 命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是_____． 【答案】如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等 【解析】 【分析】把原命题的题设和结论交换即可得到其逆命题． 【详解】解：因为“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”它的逆命题是“如果两个实数平方相等，那么这两个实数相等”． 故答案为：如果两个实数平方相等，那么这两个实数相等； 【点睛】要根据逆命题的定义，和平方的有关知识来填空，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题． 13. 如图，矩形的对角线相交于点O，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形的性质的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等．先证明是等边三角形，得出，再由矩形的性质得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线相交于点O，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：6． 14. 一个直角三角形的三边为6，8，a，则_______ 【答案】10或##或10 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是根据两种情况展开讨论． 分别根据8是直角边和8是斜边两种情况进行计算，根据勾股定理即可求得答案． 【详解】解：设第三边为a， 若8是直角边，则第三边a是斜边， 由勾股定理得：， 解得； 若8是斜边，则第三边a为直角边， 由勾股定理得：， 解得； ∴第三边的长为10或． 故答案为：10或． 15. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____ 【答案】3或 【解析】 【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形． 【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况： ①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示． 连结AC， 在Rt△ABC中，AB=3，BC=4， ∴AC==5， ∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处， ∴∠AB′E=∠B=90°， 当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°， ∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处， ∴EB=EB′，AB=AB′=3， ∴CB′=5-3=2， 设BE=x，则EB′=x，CE=4-x， 在Rt△CEB′中， ∵EB′2+CB′2=CE2， ∴x2+22=（4-x）2，解得， ∴BE=； ②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形， ∴BE=AB=3． 综上所述，BE的长为或3． 故答案为：或3． 【点睛】此题考查了折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理的运用，正方形的判定和性质． 三、解答题（本大题共9小题，共75分．） 16. 计算： (1) (2). 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和最简二次根式的概念，先化简二次根式，然后合并同类二次根式即可. 【详解】（1）原式= = （2）解：原式= =. 【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，关键是利用二次根式的性质，先把各二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式. 17. 已知=，=，求的值． 【答案】12 【解析】 【分析】根据分式的加法法则、完全平方公式把原式变形，代入计算即可． 【详解】解：∵=，=， ∴，， ∴====12． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则是解题的关键． 18. 如图，中，为上的两点，，求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，进而得，最后利用可证明，即可求证． 【详解】略 19. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）求△ABC的周长； （2）求证：∠ABC＝90°； （3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为　 　．（直接填写结果） 【答案】（1）；（2）见详解；（3）2． 【解析】 【分析】（1）运用勾股定理求得AB，BC及AC的长，即可求出△ABC的周长． （2）运用勾股定理的逆定理求得AC2=AB2+BC2，得出∠ABC=90°． （3）过B作BP⊥AC，然后利用三角形的面积公式，即可求出面积． 【详解】解：（1）AB=，BC=，AC=， △ABC的周长=， （2）∵AC2=25，AB2=20，BC2=5， ∴AC2=AB2+BC2， ∴∠ABC=90°． （3）过B作BP⊥AC，如图： ∵△ABC的面积=AB•BC＝AC•BP， 即， 解得BP=2， 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟记勾股定理是解题的关键． 20. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1. (1) 判断△BEC的形状，并说明理由; (2) 求证：四边形EFPH是矩形. 【答案】（1）△BEC是直角三角形.证明见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】(1)根据矩形性质得出CD=2，根据勾股定理求出CE和BE，求出CE2+BE2的值，求出BC2，根据勾股定理的逆定理求出即可； (2)根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出平行四边形DEBP和AECP，推出EH∥FP，EF∥HP，推出平行四边形EFPH，根据矩形的判定推出即可． 【详解】(1)△BEC是直角三角形，理由如下： ∵矩形ABCD， ∴∠ADC=∠ABP=90°， ∵AD=BC=5，AB=CD=2， ∴CE==， 同理BE=2， ∴CE2+BE2=5+20=25， ∵BC2=52=25， ∴BE2+CE2=BC2， ∴∠BEC=90°， ∴△BEC是直角三角形； (2)∵矩形ABCD， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵DE=BP， ∴四边形DEBP是平行四边形， ∴BE∥DP， ∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP， ∴AE=CP， ∴四边形AECP是平行四边形， ∴AP∥CE， ∴四边形EFPH是平行四边形， ∵∠BEC=90°， ∴平行四边形EFPH是矩形． 【点睛】本题综合考查了勾股定理及逆定理，矩形、平行四边形的性质和判定，熟练掌握和灵活运用相关的定理与性质是解题的关键. 21. 在中，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，根据，得，根据勾股定理和得出，再根据，得出，从而得出即可． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练应用三角函数的定义是解题的关键． 22. 为将我们的城市装扮的更美丽，园林绿化工人要将公园一角的一块四边形的空地ABCD种植上花草．经测量，∠B=90°，AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米．若每平方米空地需要购买150元的花草．将这块空地全部绿化需要购买多少元的这种花草？ 【答案】这块空地全部绿化需要购买5400元的这种花草 【解析】 【分析】连接AC，在直角三角形ABC中可求得AC的长，由AC、CD、AD的长度关系可得三角形DAC为直角三角形，DA为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABC和Rt△DAC构成，则容易求解． 【详解】连接AC， ​ 在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42=52， 在△CAD中，AD2=132，DC2=122， 而122+52=132， 即AC2+CD2=AD2， ∴∠DCA=90°， S四边形ABCD=S△BAC+S△DAC=•BC•AB+DC•AC， =×4×3+×12×5=36， 所以需费用36×150=5400(元)， 答：这块空地全部绿化需要购买5400元的这种花草． 【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果． 23. 如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F （1）求证：EO=FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论． 【答案】(1)见解析；(2) 当O运动到OA=OC处，四边形AECF是矩形.理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由于CE平分∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1=∠3，等量代换有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF； （2）OA=OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形． 【详解】解：（1）如图所示， ∵CE平分∠BCA， ∴∠1=∠2， 又∵MN∥BC， ∴∠1=∠3， ∴∠3=∠2， ∴EO=CO， 同理，FO=CO， ∴EO=FO； （2）当O运动到OA=OC处，四边形AECF是矩形，理由如下： ∵OA=OC，EO=FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵CF是∠BCA的外角平分线， ∴∠4=∠5， 又∵∠1=∠2， ∴∠1+∠5=∠2+∠4， 又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°， ∴∠2+∠4=90°， ∴平行四边形AECF是矩形． 【点睛】本题考查平行线的性质、矩形的判定和角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质、矩形的判定和角平分线的定义． 24. 如图，矩形OABC的边OA，OC分别与坐标轴重合，并且点B的坐标为．将该矩形沿OB折叠，使得点A落在点E处，OE与BC的交点为D． （1）求证：为等腰三角形； （2）求点E的坐标； （3）坐标平面内是否存在一点F，使得以点B，E，F，O为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析；(2) E点坐标为；(3)存在三点，，， 【解析】 【分析】（1）分析题目，证明OD=BD即可证明为等腰三角形，根据折叠的性质即可得到； （2）根据矩形的性质先把OD的长度计算出来，再证明DE=CD，根据面积公式即可得到答案； （3）分情况讨论点F所在的象限，根据平行四边形的性质计算即可得到． 【详解】解：（1）∵是由折叠所得， ∴≌， ∴∠DOB=∠AOB， 又∵四边形OABC是矩形， ∴OA∥BC， ∴∠AOB=∠OBC， ∴∠DOB=∠OBC， ∴OD=BD， ∴为等腰三角形； （2）过点E作EF⊥轴于F交BC于G，设CD的长为，则BD=BC-CD=8-，由（1）知OD=BD=8-， ∵四边形ABCO是矩形，, ∴∠OCD=∠OAB=90°，CO=AB， ∴在中，， 即， 解得，即CD=3，OD=BD=8-=5， 由(1)知，≌， ∴∠OEB=∠OAB=90°， ∴∠OCD=∠BED=90°， 在和中， ， ∴≌（AAS）， ∴DE=CD=3 ，BE=OC=4， ∵EF⊥轴， ∴∠OFE=90°， ∵OA∥BC， ∴∠CGE=∠OFE=90°， ∴EG⊥BD， ∴， 即， ∴在中，， ∵∠OCG=∠OFE=∠CGF =90°， ∴四边形OFGC是矩形， ∴OF=CG=CD+DG=3+=， ∴EF=GE+GF=+4=， 故E点坐标为； (3) 存在三点，，． 可分三种情况： ①点F在第二象限，如图1： ∵，，， ∴，即； ②点F在第四象限，如图2： ∵，，， ∴，即； ③点F在第一象限，如图3： ∵，，， ∴，即； 故存在三点，，，使得以点B，E，F，O为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质和点的坐标的综合应用，重点考查了对性质的联合应用，要特别注意的是点E的位置的确定，要根据平行四边形的性质考虑全面一些． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年度第二学期期中教学质量监测 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是( ) A. x≥3 B. x≤9 C. x≥﹣3 D. x≤﹣9 3. 由下列线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（　　） A. a＝7，b＝24，c＝25 B. a＝1.5，b＝2，c＝2.5 C. D. a＝40，b＝50，c＝60 4. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. =1 5. 如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，FD，则图中平行四边形的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO=1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（　　） A. ﹣0.4 B. ﹣ C. 1﹣ D. ﹣1 7. 已知是整数，正整数n的最小值为( ) A. 0 B. 1 C. 6 D. 36 8. 已知点，点，点为轴上任意一点，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 9. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边内一点，，，时，则长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 化简的结果为__________． 12. 命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是_____． 13. 如图，矩形的对角线相交于点O，，，则的长为______． 14. 一个直角三角形的三边为6，8，a，则_______ 15. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当为直角三角形时，BE的长为____ 三、解答题（本大题共9小题，共75分．） 16. 计算： (1) (2). 17. 已知=，=，求的值． 18. 如图，中，为上的两点，，求证：． 19. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）求△ABC的周长； （2）求证：∠ABC＝90°； （3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为　 　．（直接填写结果） 20. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1. (1) 判断△BEC的形状，并说明理由; (2) 求证：四边形EFPH是矩形. 21. 在中，，，，求的长． 22. 为将我们的城市装扮的更美丽，园林绿化工人要将公园一角的一块四边形的空地ABCD种植上花草．经测量，∠B=90°，AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米．若每平方米空地需要购买150元的花草．将这块空地全部绿化需要购买多少元的这种花草？ 23. 如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F （1）求证：EO=FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论． 24. 如图，矩形OABC的边OA，OC分别与坐标轴重合，并且点B的坐标为．将该矩形沿OB折叠，使得点A落在点E处，OE与BC的交点为D． （1）求证：为等腰三角形； （2）求点E的坐标； （3）坐标平面内是否存在一点F，使得以点B，E，F，O为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $