精品解析：江苏省南京市玄武高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

2023-2024年玄高高二10月月考试卷 一､选择题（共8小题） 1. 若复数满足，则（ ） A. 5 B. 10 C. 25 D. 100 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 4. 已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知为椭圆的左焦点，都在此椭圆上，是菱形，则此椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点是圆上的动点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值是（    ） A. B. C. D. 二､多选题（共4小题） 9. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为偶数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为奇数”，则以下选项正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与互为对立事件 C. D. 10. 已知是坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点点在第一象限，且直线与的准线交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 为钝角 11. 已知圆，则（ ） A. 圆与直线必有两个交点 B. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C. 圆与圆恰有三条公切线，则 D. 动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，则四边形面积最小值为2 12. 如图，在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（ ） A. 存在点，使得直线与直线所成的角为 B. 存在点，使得直线与直线所成的角为 C. 存在点，使得三棱锥的体积为 D. 存在点，使得平面 三､填空题（共4小题） 13. 在平面直角坐标系xOy中，点，若直线上有且只有1个点P满足，则实数b的值是______. 14. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品的概率是，乙机床加工的零件是一等品的概率为，若每台机床各自加工1个零件，恰好有2个零件是一等品的概率是.则丙机床加工的零件是一等品的概率是______. 15. 已知，，，，则________． 16. 已知是坐标原点，是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于两点（异于原点），若，则双曲线离心率是__________. 四､解答题（共6小题） 17. 某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）估计该中学学生个性化作业评分的第70百分位数．（结果保留一位小数）； （3）从评分在的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率． 18. 在四棱锥中，底面是正方形，若为上一点，平面交于. （1）求证：平面平面； （2）证明：； （3）求二面角的平面角的余弦值. 19. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，． （1）求角A的大小； （2）若是锐角三角形，，求面积的取值范围． 20. 已知圆E经过点，，从下列3个条件选取一个： ①过点；②圆E恒被直线平分；③与轴相切． （1）求圆E的方程； （2）过点的直线l与圆E相交于G、H两点，求GH中点M的轨迹方程． 21. 如图在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆，直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆交于两点. （1）当直线倾斜角为时，求直线的方程； （2）求证：的面积为定值. 22. 如图在平面直角坐标系中，分别是双曲线的左右顶点，动点在双曲线的右支上且位于第一象限，直线和分别与轴交于点，当点坐标为时，直线刚好与双曲线的一条渐近线垂直. （1）求双曲线的标准方程； （2）是否存在定点，使得以为直径的圆过点，若存在求出定点坐标，若不存在请说明理由； （3）求四边形的面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024年玄高高二10月月考试卷 一､选择题（共8小题） 1. 若复数满足，则（ ） A. 5 B. 10 C. 25 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】先由复数的运算化简，再计算模长. 【详解】由， 得， 所以. 故选：B. 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出、的值，即可求得双曲线的渐近线方程. 【详解】在双曲线中，，，因此，该双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 3. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：，,故选D. 考点：点线面的位置关系. 4. 已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线过定点P ，画出图形，再求出，的斜率，然后利用数形结合求解. 【详解】如图所示： 若直线与线段相交， 则或 ， 因为，， 所以直线的斜率取值范围是. 故选：A. 【点睛】本题主要考查直线斜率的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 5. 已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答. 【详解】在中，，而，取中点，连接，有，如图， ，，由的面积为，得， 解得，于是， 所以圆锥的体积. 故选：B 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正切二倍角公式展开，再切化弦，化简得到，进而求解. 【详解】显然， 因为， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 即， 化简得，， 因为，所以， 所以. 故选：A 7. 已知为椭圆的左焦点，都在此椭圆上，是菱形，则此椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设右焦点为，因为四边形是菱形，可得，，根据，，又，推得，计算得答案； 【详解】 设右焦点为，连接，因为四边形是菱形，则关于轴对称， 所以， 因为和是等边三角形， 所以，在中，， 所以，又， 所以，所以 故选：B. 8. 已知点是圆上的动点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图象，过点作，垂足为，连接，则有，从而得点D的轨迹方程为²，由向量的加法法则可得，根据圆与圆的位置关系求出即可得答案. 【详解】解：圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为2， 如图，过点作，垂足为，连接， 为中点，即， 又， ， 点D的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆， 点D的轨迹方程为²， 是AB中点， ， ， 所以的最大值为 故选： 二､多选题（共4小题） 9. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为偶数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为奇数”，则以下选项正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与互为对立事件 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义及古典概型公式，逐项判断得解. 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子一次，样本空间， 则，，，， 对于A，，与互斥，A正确； 对于B，，与互为对立事件，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：ABD 10. 已知是坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点点在第一象限，且直线与的准线交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 为钝角 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线过抛物线的焦点求出可判断A；设直线，与抛物线方程联立，利用可判断B；过作，由抛物线的定义可知，根据得直线的倾斜角可判断C；直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理代入的坐标表示，再利用向量的夹角公式可判断D. 【详解】对于A，由抛物线可得准线方程为， 又直线过抛物线的焦点， 则，所以，解得，故A正确； 对于B，由A选项可得，且焦点，当时，设直线， 设，，则，整理得，所以， 所以，故B错误； 对于C，过作，垂足为，由抛物线的定义可知， 若，则，则， 则直线的倾斜角为，则，故C错误； 对于D，由A选项可得，且焦点，因为直线 ，则，整理得 ，所以， 因为，所以 ， 所以，所以为钝角，故D正确. 故选：AD. 11. 已知圆，则（ ） A. 圆与直线必有两个交点 B. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C. 圆与圆恰有三条公切线，则 D. 动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，则四边形面积最小值为2 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线切过定点切该定点在圆内可判断A；求出圆的圆心到直线的距离可判断B；将圆化成标准形式为，转化为两圆外切可判断C；由，且当最小时最小时可判断D. 【详解】对于A，将直线整理得，由， 知，所以直线过定点，因为， 所以该定点在圆内，故A正确； 对于B，圆的圆心到直线的距离为， 所以过圆心且与直线平行的直线与圆相交有两个点到直线的距离为1， 与直线平行且与圆相切，并且与直线在圆心同侧的直线到的距离为1， 所以只有三个点满足题意，故B错误； 对于C，将圆化成标准形式为， 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以， 解得，故C正确； 对于D，连接，因为为切点，所以， 所以，且当最小时，最小， 所以当与直线垂直时，，又因为半径为2， 所以， 所以，故D错误. 故选：AC. 12. 如图，在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（ ） A. 存在点，使得直线与直线所成的角为 B. 存在点，使得直线与直线所成的角为 C. 存在点，使得三棱锥的体积为 D. 存在点，使得平面 【答案】CD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用向量的坐标运算判断AB；求出三棱锥的体积判断C；利用空间位置关系的向量证明判断D. 【详解】在棱长为1的正方体中，建立以为坐标原点， 以所在直线分别为轴的空间直角坐标系，如图： 则，， 设，即点，且， 对于AB，，则，即， 因此不存在点，使得直线与直线所成的角为或，AB错误； 对于C，假设存在点，使得三棱锥的体积为，而， 且点到平面的距离为，则， 解得，当点为线段的靠近的三等分点，即时，三棱锥的体积为，C正确； 对于D，假设存在点，使得平面，而， 则，解得，当点为线段的中点，即时，使得平面，D正确. 故选：CD 三､填空题（共4小题） 13. 在平面直角坐标系xOy中，点，若直线上有且只有1个点P满足，则实数b的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】先用直接法求得点P的轨迹方程，再根据题意转化为直线与圆相切，利用点到直线的距离建立方程求解即可. 【详解】设，由，得， 整理得，即，即点P的轨迹为圆，圆心为，半径为， 因为直线上有且只有1个点P满足，即直线与圆C相切， 所以，解得. 故答案为：. 14. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品的概率是，乙机床加工的零件是一等品的概率为，若每台机床各自加工1个零件，恰好有2个零件是一等品的概率是.则丙机床加工的零件是一等品的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】每台机床各自加工1个零件，恰好有2个零件是一等品，该事件包含3个互斥事件，再由概率的加法公式，相互独立事件的乘法公式，可得丙机床加工的零件是一等品的概率. 【详解】设事件A表示甲机床加工的零件是一等品， 事件B表示乙机床加工的零件是一等品， 事件C表示丙机床加工的零件是一等品， 事件D表示每台机床各自加工1个零件，恰好有2个零件是一等品， 则，，. 由概率的加法公式， ，由概率的乘法公式可得， 即，解得. 故答案为：. 15. 已知，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】通过构角，再利用正弦的两角差的公式得，利用已知条件，通过进一步缩小和的范围，再利用同角三角函数关系和二倍角公式求出，，的值，进而可求出 【详解】因为，由正弦的两角差的公式得． 又因为，，又，所以， 又因为，，， 所以，． 又，，又，所以， ， 故答案为：． 16. 已知是坐标原点，是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于两点（异于原点），若，则双曲线离心率是__________. 【答案】或 【解析】 【分析】分、在焦点左侧、在焦点右侧讨论，过作交轴于点，结合抛物线定义、，可得答案. 【详解】当、在焦点左侧时， 因为渐近线关于轴对称，所以， 过作交轴于点， 设，则，， 由抛物线定义得， 因为，所以， 所以，因为， 所以， 当，在焦点右侧时， 过作交轴于点， 所以，设， 则，， 由抛物线定义得， 因为，所以， 所以，因为， 所以， 所以或. 故答案为：或. 【点睛】方法点晴：求解抛物线与其他圆锥曲线综合问题时，解答要根据所涉及的抛物线与其他圆锥曲线的相应知识，利用曲线的定义、标准方程、几何性质，并借助于图形的直观性，构建出关于待求量的方程(组)或不等式(组)，然后逐步求解即可得到所求结果. 四､解答题（共6小题） 17. 某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）估计该中学学生个性化作业评分的第70百分位数．（结果保留一位小数）； （3）从评分在的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率之和等于1求解； （2）根据百分位数的概念求解； （3）利用古典概率模型求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，， 解得. 【小问2详解】 由于的评率之和为， 所以作业评分的第70百分位数在区间内，并设为， 则有，解得. 【小问3详解】 受访学生评分在的人有人，编号为， 受访学生评分在的人有人，编号为， 随机抽取2人的样本空间为共包含10个样本点， 此2人评分都在的概率为. 18. 在四棱锥中，底面是正方形，若为上一点，平面交于. （1）求证：平面平面； （2）证明：； （3）求二面角的平面角的余弦值. 【答案】（1）证明:中，，所以， 所以； 又平面平面，所以平面； 又平面，所以平面平面. （2）证明:因为为上一点，平面交于，底面是正方形，所以， 又平面平面平面， 又平面平面，，. （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）由线线平行的性质定理可以得到线线平行； （3）建立空间直角坐标系求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 取的中点，在平面内作， 以所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 由，得，即， 令，得，所以； 所以， 且由图可知二面角为锐角，所以二面角的平面角的余弦值为. 19. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，． （1）求角A的大小； （2）若是锐角三角形，，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和差化积公式转化条件得，进而求得解； （2）由题意，由正弦定理结合得，根据为锐角三角形求得，即可求得，即可得解. 【小问1详解】 由正弦定理得 即 又 所以 即 又，， 即，即 又，，即 【小问2详解】 由题意得：， 由正弦定理得：， 又 为锐角三角形，∴， 故，∴，∴， 从而. 所以面积的取值范围是 20. 已知圆E经过点，，从下列3个条件选取一个： ①过点；②圆E恒被直线平分；③与轴相切． （1）求圆E的方程； （2）过点的直线l与圆E相交于G、H两点，求GH中点M的轨迹方程． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）结合已知条件利用待定系数法或圆的几何性质即可求解； （2）结合已知条件，利用垂径定理可知M的轨迹为以EP为直径的圆落在圆E内的一段弧，进而得到答案. 【小问1详解】 若选①：不妨设圆E的方程为：， 因为圆E经过点，，， 所以， 故圆E的方程为：，即； 若选②：由直线方程可知，， 故直线恒过点， 因为圆E恒被直线平分， 所以圆E的圆心为， 因为在圆上，故圆的半径， 从而圆E的方程为：； 若选③：不妨设圆E的圆心为，半径为， 此时， 故圆E的方程为：， 分别将，代入上式可得，， 故圆E的方程为：. 【小问2详解】 因为M为GH中点，E为圆心，根据垂径定理，得， 所以点M落在以EP为直径的圆上，且点M在圆E的内部， 即点M的轨迹为以EP为直径的圆落在圆E内的一段弧． 因为，， 所以以EP为直径的圆的方程为：， 由， 所以M的轨迹方程为：，. 21. 如图在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆，直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆交于两点. （1）当直线倾斜角为时，求直线的方程； （2）求证：的面积为定值. 【答案】（1）或 （2） 因为直线与椭圆只有一个公共点， 当直线的斜率不存在时，或，此时，； 当直线的斜率存在时，设直线为由，得 ， 又因为直线与椭圆交于两点，得， 所以，因为直线与轴交于点，所以， 所以 . 综上，的面积为定值. 【解析】 【分析】（1）根据直线倾斜角得到直线的斜率，进而设直线方程，根据直线与曲线有一个交点联立方程组解得答案； （2）设直线为，直线与椭圆只有一个公共点联立方程组消元得，直线与椭圆交于两点，连立方程组结合韦达定理得，结合三角形面积公式得答案. 【小问1详解】 因为直线倾斜角为，直线为，因为椭圆， 直线与椭圆只有一个公共点，联立方程，得， ， 所以直线为或. 【小问2详解】 略 22. 如图在平面直角坐标系中，分别是双曲线的左右顶点，动点在双曲线的右支上且位于第一象限，直线和分别与轴交于点，当点坐标为时，直线刚好与双曲线的一条渐近线垂直. （1）求双曲线的标准方程； （2）是否存在定点，使得以为直径的圆过点，若存在求出定点坐标，若不存在请说明理由； （3）求四边形的面积的取值范围. 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】(1)直线刚好与双曲线的一条渐近线垂直，可得到与的关系，又因为当点坐标为在双曲线上，代入可解得； (2)设出点坐标，假设存在定点定点且坐标为，算出直线方程，直线方程，解出点坐标，根据为直径的圆过点，所以，代入化简即可求解； (3) 四边形的面积等于三角形与面积之和，且两个三角形全等，化为求两个三角形面积和，代入化简，根据动点在双曲线得右支上且位于第一象限，即可求得. 【小问1详解】 因为当点坐标为时， 直线刚好与双曲线的一条渐近线垂直， ，又因为渐近线斜率为， 所以 又因为在双曲线上，代入解之可得， 所以双曲线为； 【小问2详解】 因为双曲线为，所以，设, 所以，因为点在双曲线的右支上且位于第一象限， 直线和分别与轴交于点， 直线方程为，直线方程为， 令可得点坐标，所以， 假设存在定点，使得以为直径的圆过点，所以， 即， 所以存在定点满足题意. 【小问3详解】 ， 根据动点在双曲线得右支上且位于第一象限， 所以，则，， 所以 . 所以四边形的面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $