精品解析：九师联盟2024届高三下学期3月质量检测文科数学试题

高三文科数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数z，根据复数模的计算公式，即可求得答案. 【详解】由题意得，则 故. 故选：A 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分别求出集合、，再求其交集即可. 【详解】由，得， 所以， 由，得， 故， 所以. 故选：D. 3. 已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的运算求解即可. 【详解】由，得， 因为，所以， 设，的夹角为， 则， 所以， 又， 所以. 故选：C. 4. 已知双曲线的离心率，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由离心率得到，即可求出渐近线方程. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 又离心率，所以，则， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 故选：C 5. 对成对数据、、…、用最小二乘法求回归方程是为了使（ ） A. B. C. 最小 D. 最小 【答案】D 【解析】 【分析】由最小二乘法的求解即可知. 【详解】根据最小二乘法的求解可知：回归方程是为了使得每个数据与估计值之间的差的平方和最小， 故选：D 6. 执行如图的程序框图，如果输出i的值是5，那么在空白矩形框中可以填入的语句为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将逐一代入验证即可. 【详解】当时，，满足； 当时，对于选项D，，不满足，此时输出i值为3，不满足题意，其他选项均满足； 当时，，满足； 当时，选项A、C中的均满足，继续循环，选项B中，，不满足，退出循环，输出. 故选：B. 7. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】通过举例的方法，以及基本不等式，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】若，满足，但， 若，，则，即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 8. 已知圆柱的体积为，且圆柱的底面直径和高都等于球O的直径，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先应用圆柱体积计算半径，再根据球的表面积公式计算即可. 【详解】设球O的直径为，则圆柱的底面直径和高均为， 又圆柱的体积为，则，即，解得， 所以球的表面积为. 故选：D. 9. 已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合勾股定理以及点到直线的距离公式求解即可. 【详解】连接，则， 而的最小值为点C到直线l的距离， 所以. 故选：A. 10. 将正整数n分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为12的最优分解，当，是n的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，对分奇数和偶数进行讨论，进而可以得到的表达式，再利用等比数列的求和公式求解即可. 【详解】当时，， 所以， 当时，， 则， 故数列的前2024项的和为. 故选：C. 11. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在区间上有5个实数根，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移求得的解析式，画出和的大致图象，由对称性求得，，，，，之间的关系，进而得解. 【详解】由题意知， 画出的图象以及的图象（如图所示）， 与的图象在上有5个交点， 这5个交点的横坐标即为方程在上的5个实数根，，，，， 易知，，关于对称，，关于对称， ，关于对称，，关于对称， 所以，，，， 所以，故D正确. 故选：D. 12. 已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由题意根据函数满足的条件等式，推出函数的一个周期，再利用赋值法求出以及，结合函数周期，即可求得答案. 【详解】由题意知定为域为R的函数满足：为偶函数， 即，即，结合， 得，即， 故，即， 则，故8为函数的一个周期， 由于，，故令，则， 结合，令，得， 对于，令，则， 故， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查了抽象函数的求值问题，解答的关键是根据函数满足的条件，推出函数周期，进而结合赋值法求值，即可求解答案. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在等差数列中，，，则其公差______. 【答案】2 【解析】 【分析】依题意列出等式，即可求解公差. 【详解】由，得，故， 所以. 故答案为：2 14. 在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线也是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中安全抛物线达到的最大高度为30米，碎片距离爆炸中的最远水平距离为60米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为______米． 【答案】60 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，确定抛物线方程形式，确定点的坐标，代入方程求解，即得答案. 【详解】如图，以安全抛物线达到的最大高度点为坐标原点，平行于底面的直线为x轴， 和地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则抛物线方程为，由题意可知， 代入可得， 即安全抛物线的焦点到其准线的距离为60米， 故答案为：60 15. 已知平行四边形的四个顶点均在平面的同一侧，若A，B，C三点到平面的距离分别为1、2、3，则点D到平面的距离为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据空间位置关系求得点到平面的距离. 【详解】如图，连接，相交于点E，则点E为和的中点， 分别作平面，平面，平面，垂足分别为，，， 则四边形为直角梯形，为梯形的中位线， 因为A，C两点到平面的距离分别为1、3，则， 点B到平面的距离也为2，直线在平面的同侧， 所以上有两个点到平面的距离都为2，则直线平面， 故点D到平面的距离为2. 故答案为：2. 16. 若，对，，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】依据题意，先将原题转化为，求出的最大最小值，再将问题转化为与的有解问题，求解不等式可得结果. 【详解】由题意可知：对恒成立，且对恒成立，即， 令，则，令，解得：，因为，所以当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，，，则， 则原题等价于，使得成立，则，解得：. 故答案为：. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 交通拥堵指数是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI表示，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级： TPI 不低于4 拥堵等级 畅通 缓行 拥堵 严重拥堵 某市2024年元旦及其前后共7天与2023年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如下图： （1）从2024年元旦及其前后共7天中任取1天，求这天交通高峰期城市道路TPI为“拥堵”的概率； （2）从2024年元旦及其前后共7天中任取2天，求这2天中交通高峰期城市道路TPI都比2023年同日TPI低的概率. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）应用古典概型计算即可； （2）应用列举法及古典概型计算即可. 【小问1详解】 根据统计数据可得2024年元旦及其前后7天中，共有3天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”， 若7天中任取1天，则这天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为. 【小问2详解】 根据统计数据得2024年元旦及其前后7天中，交通高峰期城市道路TPI比2023年同日TPI高的天数共有3天，记作A，B，C，其余4天记作a，b，c，d， 从7天中任取2天含有的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个； 其中都比2023年同日TPI低包含的基本事件有，，，，，，共6个， 故所求概率为. 18. 如图，在四棱锥中，，且，. （1）证明：平面平面； （2）若，，求与平面所成角的大小. 【答案】（1）在四棱锥中，， 又，所以， 因为，，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）30° 【解析】 【分析】（1）应用面面垂直判定定理证明即可； （2）先根据定义得出线面角，再计算正弦值求角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取棱的中点O，连接，，由，得， 由（1）知，平面， 因为平面，所以， 因为，平面，，所以平面， 所以是在平面内的射影，所以与平面所成的角为. 设，因为，则， 因为，所以， 所以在中，， 所以与平面所成的角为30° 【点睛】 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）若，，求b； （2）若，求的面积S的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，由得到，进而求得，再由，求得角B，A，得到，再由正弦定理求得b； （2）根据正弦定理角化边得到，用余弦定理求得A，再根据基本不等式求得，然后利用三角形面积公式，即可求得S的最大值. 【小问1详解】 ∵，由正弦定理得， 又，所以，所以， 又，所以，所以B为锐角，所以， ，所以， 故， 又，所以. 【小问2详解】 因为， 由正弦定理得，即， 所以， 又，所以. 因为，所以， 即，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时取等号， 所以S的最大值是. 20. 设椭圆，，分别是C的左、右焦点，C上的点到的最小距离为1，P是C上一点，且的周长为6． （1）求C的方程； （2）过点且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，过原点且与l平行的直线与C交于A，B两点，求证：为定值． 【答案】（1） （2）证明：由题意知，故直线l的方程为， 设，联立， 得，由于直线l过椭圆焦点，必有， 故， 故， 由题意知直线的方程为，联立，得， 设，则不妨取， 故， 故，即为定值. 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程吗，求出它们的值，即可得答案； （2）设出直线方程，联立椭圆方程，利用弦长公式求出的表达式，即可证明为定值. 【小问1详解】 由题意知椭圆，C上的点到的最小距离为1， P是C上一点，且的周长为6， 设椭圆的焦距为2c，则，解得， 故C的方程为； 【小问2详解】 略 【点睛】易错点点睛：本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆位置关系中的定值问题，解答时容易出错的地方在于计算过程较为复杂，特别是求解弦长时，基本都是字母参数的运算，需要特别小心. 21. 已知函数，. （1）当时，求曲线过原点的切线方程； （2）若的最小值与的最小值相等，求实数a. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）设切点，利用导数的几何意义求得切线斜率，写出切线方程，代入原点坐标，求出切点斜率，即得. （2）分别对两函数求导，分析单调区间求得和，由题意得，设，证明在上单调递减，且，得唯一的零点为1，即得. 【小问1详解】 当时，，， 设切点为，则曲线在A处的切线斜率， 又， 则所求的切线方程为， 又切线过原点，所以，即， 因，故得，所以，， 故所求切线方程为. 【小问2详解】 由题意得，， 因为当时，，在上是增函数，无最小值，不合题意， 所以， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有唯一的极小值也是最小值为. 令，得，令，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有唯一的极小值也是最小值为. 由题意，即， 令，则， 令，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以在上单调递减， 又，故为的唯一零点， 所以由可得. 即当的最小值与的最小值相等时，实数a的值为1. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数求解函数的切线方程和最值问题，属于难题. 对于（2），在分别求得函数的最值后，对方程的根的判断，需另设函数，利用导数讨论的零点情况即得. （二）选考题：共10分.请考生在第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 选修4-4：坐标系与参数方程 22. 在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． （1）若l过C的圆心，求实数m的值； （2）当时，求C上的点到l距离的最小值． 【答案】（1）1 （2）1 【解析】 【分析】（1）将圆C的参数方程化为普通方程，将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，结合直线过圆心，即可求得答案. （2）求出圆心到直线的距离，减去半径，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知圆C的参数方程为（为参数）， 化为普通方程为，圆心为,半径为； 直线l的极坐标方程为即， 化为直角坐标方程为， 而l过C的圆心，故； 【小问2详解】 当时，l的方程为， 到直线l的距离为， 故C上的点到l距离的最小值为. 选修4-5：不等式选讲 23. 已知函数，m为的最小值． （1）求m的植， （2）已知实数n，p，q满足，，且，证明：． 【答案】（1） （2）设， 则，即， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 故原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）根据题意，分类讨论去掉绝对值符号，即可得到结果； （2）根据题意，设，由题意可得，再由柯西不等式即可证明. 【小问1详解】 因为函数， 当时，， 此时； 当时，， 此时； 当时，， 此时； 综上所述，，即. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三文科数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的离心率，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 对成对数据、、…、用最小二乘法求回归方程是为了使（ ） A. B. C. 最小 D. 最小 6. 执行如图的程序框图，如果输出i的值是5，那么在空白矩形框中可以填入的语句为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知圆柱的体积为，且圆柱的底面直径和高都等于球O的直径，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 10. 将正整数n分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为12的最优分解，当，是n的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在区间上有5个实数根，，，，，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在等差数列中，，，则其公差______. 14. 在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线也是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中安全抛物线达到的最大高度为30米，碎片距离爆炸中的最远水平距离为60米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为______米． 15. 已知平行四边形的四个顶点均在平面的同一侧，若A，B，C三点到平面的距离分别为1、2、3，则点D到平面的距离为______. 16. 若，对，，则实数m的取值范围是______． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 交通拥堵指数是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI表示，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级： TPI 不低于4 拥堵等级 畅通 缓行 拥堵 严重拥堵 某市2024年元旦及其前后共7天与2023年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如下图： （1）从2024年元旦及其前后共7天中任取1天，求这天交通高峰期城市道路TPI为“拥堵”的概率； （2）从2024年元旦及其前后共7天中任取2天，求这2天中交通高峰期城市道路TPI都比2023年同日TPI低的概率. 18. 如图，在四棱锥中，，且，. （1）证明：平面平面； （2）若，，求与平面所成角的大小. 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）若，，求b； （2）若，求的面积S的最大值. 20. 设椭圆，，分别是C的左、右焦点，C上的点到的最小距离为1，P是C上一点，且的周长为6． （1）求C的方程； （2）过点且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，过原点且与l平行的直线与C交于A，B两点，求证：为定值． 21. 已知函数，. （1）当时，求曲线过原点的切线方程； （2）若的最小值与的最小值相等，求实数a. （二）选考题：共10分.请考生在第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 选修4-4：坐标系与参数方程 22. 在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． （1）若l过C的圆心，求实数m的值； （2）当时，求C上的点到l距离的最小值． 选修4-5：不等式选讲 23. 已知函数，m为的最小值． （1）求m的植， （2）已知实数n，p，q满足，，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $