精品解析：2024年1月新疆维吾尔自治区普通高中学业水平考试数学试题

2024年1月新疆维吾尔自治区普通高中学业水平考试试题卷 数学 注意事项： 1. 本试题卷共4页，总分100分，考试时间120分钟. 2. 答题前，考生先在答题卡上将自己的座位号、姓名、准考证号填写清楚，待监考员粘贴条形码后，认真核对条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号与自己的准考证上的信息是否一致. 3. 考生必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题（本大题共16小题，每小题3分，共48分）在下列各小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的含义即可. 【详解】由题意得. 故选：D. 2. 已知复数，则 （ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数模的计算公式即可得到结果. 【详解】， . 故选：B. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接由可得定义域. 【详解】要使函数有意义，则：， 解得，所有的定义域为：， 故选：A 4. 若球的表面积，则它的半径（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据球的表面积公式即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：C. 5. 一组数据1，2，2，4，5，6的极差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用极差的定义即可得解. 【详解】因为数据1，2，2，4，5，6的最小数为，最大数为， 所以其极差为. 故选：D. 6. 已知角的终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数的定义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：B. 7. 复数 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数除法运算法则，即可求解. 【详解】. 故选:C. 【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题. 8. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】举反例排除ABD，利用不等式的性质判断C，从而得解. 【详解】对于A，若，取，则，故A错误； 对于B，若，取，则，故B错误； 对于C，若，则由不等式的性质可知，故C正确. 对于D，若，取，此时无意义，故D错误. 故选：C. 9. 一支运动队有男运动员32人，女运动员24人，按性别进行分层，用分层随机抽样的办法从全体运动员中抽出一个容量为21的样本.如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取（ ） A. 9人 B. 12人 C. 15人 D. 18人 【答案】B 【解析】 【分析】利用分层抽样的等比例列式即可得解. 【详解】依题意，设男运动员应抽取人， 则，解得， 所以男运动员应抽取12人. 故选：B. 10. 在△ABC中，角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】根据余弦定理得，，则. 故选：A. 11. 已知两条直线和平面，若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间直观想象与线面平行的判定定理，结合充分必要条件的判定方法即可得解. 【详解】因为， 当时，与可能异面，即充分性不成立； 当时，由线面平行的判定定理可知，即必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 12. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数单调性和零点存在性定理即可. 【详解】根据对数函数单调性知为上的单调递增函数， 又因为，，且函数图象连续不间断， 则根据零点存在性质定理知的零点所在的区间是. 故选：C. 13. 袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用列举法，结合古典概型求解即可. 【详解】2个红球，设为；2个白球，设为．从中不放回地依次随机摸出2个球， 有共12种． 两次都摸到红球的情况为共2种．则概率. 故选：B. 14. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用模长公式结合垂直结论可解. 【详解】,由于，则，代入计算得， ． 故选：A. 15. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系求出,再根据两角差的正弦公式求解即可. 【详解】因为,, 所以, 则. 故选：A. 16. 已知函数，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数单调性即可得到不等式，解出即可. 【详解】根据指数函数单调性知为单调减函数， 因为，则，解得， 则的取值范围是. 故选：D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 17. 已知，计算_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据诱导公式即可得到答案. 【详解】. 故答案为：. 18. 函数的图象所过定点的坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数函数的性质求解， 【详解】由题意得，的图象过定点， 故答案为： 19. 在长方体中，若，则它的体对角线_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用长方体体对角线的定义即可得解. 【详解】因为在长方体中，是共顶点的三条棱， 又， 所以它的体对角线. 故答案为：. 20. 数据的平均数为8，数据的平均数为.如果满足，，…，，则_________. 【答案】26 【解析】 【分析】根据平均数性质即可得到答案. 【详解】根据平均数性质知. 故答案为：26. 三、解答题（本大题共6小题，每小题6分，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）注意：在答题卡上，作答有小题号的题时，需依次写明小题号. 21. 甲、乙两名同学进行投篮比赛，若甲投中的概率为0.6，乙投中的概率为0.7，求下列事件的概率. （1）两人都投中； （2）恰好有一人投中. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由相互独立事件概率的乘法公式即可得解； （2）由相互独立事件概率的乘法公式、互斥事件概率的加法公式，分“甲中乙不中”和“甲不中乙中”两种情况运算即可得解. 【小问1详解】 设“甲投中”，“乙投中”，则“甲没投中”，“乙没投中”， 由于两个人投篮的结果互不影响， 所以与相互独立，与，与，与都相互独立， 由已知可得，，则，； “两人都投中”，则. 【小问2详解】 “恰好有一人投中”，且与互斥， 则 . 22. 设函数，其中. （1）若，求的最小值； （2）若，判断的奇偶性，并说明理由. 【答案】（1）0 （2）偶函数，理由见解析 【解析】 【分析】（1）代入后根据函数单调性即可得到最小值； （2）计算出和的关系即可判断. 【小问1详解】 当时，， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增， 所以. 【小问2详解】 当时，，其定义域为， 关于原点对称，且， 则为偶函数. 23. 已知函数. （1）求的值； （2）设，求的单调递增区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用余弦的倍角公式化简，再直接代入自变量即可得解； （2）利用辅助角公式化简，再利用整体代入法，结合正弦函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 因为， 令，得， 所以的单调递增区间为. 24. 如图，在四棱锥中，，，. （1）证明：； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定与性质定理即可得证； （2）利用三棱锥的体积公式与三角形面积公式即可得解. 【小问1详解】 因为， 又平面， 所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 因为平面，所以是三棱锥的高， 又，， 所以， 所以. 25. 已知向量. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示和相等向量的定义得到关于的方程组，解之即可得解； （2）用向量线性运算的坐标表示求得与，再利用向量垂直的坐标表示即可得解. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以，解得， 所以 【小问2详解】 因为，则， 又，， 所以，解得， 故实数k的值为. 26. 设函数 （1）若，求不等式的解集； （2）若时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入，解出一元二次不等式即可； （2）分离参数，再利用基本不等式求出右边最小值即可. 【小问1详解】 当时，即为， 解得或， 则该不等式解集为. 【小问2详解】 对恒成立， 即对恒成立， 分离参数得对恒成立， 因为当时，，当且仅当，即时等号成立， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年1月新疆维吾尔自治区普通高中学业水平考试试题卷 数学 注意事项： 1. 本试题卷共4页，总分100分，考试时间120分钟. 2. 答题前，考生先在答题卡上将自己的座位号、姓名、准考证号填写清楚，待监考员粘贴条形码后，认真核对条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号与自己的准考证上的信息是否一致. 3. 考生必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题（本大题共16小题，每小题3分，共48分）在下列各小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则 （ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 若球的表面积，则它的半径（ ） A. B. C. D. 5. 一组数据1，2，2，4，5，6的极差为（ ） A. B. C. D. 6. 已知角的终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 7. 复数 A. B. C. D. 8. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 一支运动队有男运动员32人，女运动员24人，按性别进行分层，用分层随机抽样的办法从全体运动员中抽出一个容量为21的样本.如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取（ ） A. 9人 B. 12人 C. 15人 D. 18人 10. 在△ABC中，角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知两条直线和平面，若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 13. 袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率（ ） A. B. C. D. 14. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 15. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 17. 已知，计算_________. 18. 函数的图象所过定点的坐标为___________. 19. 在长方体中，若，则它的体对角线_________. 20. 数据的平均数为8，数据的平均数为.如果满足，，…，，则_________. 三、解答题（本大题共6小题，每小题6分，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）注意：在答题卡上，作答有小题号的题时，需依次写明小题号. 21. 甲、乙两名同学进行投篮比赛，若甲投中的概率为0.6，乙投中的概率为0.7，求下列事件的概率. （1）两人都投中； （2）恰好有一人投中. 22. 设函数，其中. （1）若，求的最小值； （2）若，判断的奇偶性，并说明理由. 23. 已知函数. （1）求的值； （2）设，求的单调递增区间. 24. 如图，在四棱锥中，，，. （1）证明：； （2）求三棱锥的体积. 25. 已知向量. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 26. 设函数 （1）若，求不等式的解集； （2）若时，不等式恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $