精品解析：广东省新南方联盟2024届高三下学期4月联考数学试题

广东省新南方联盟2024届高三4月联考 数 学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号和座位号填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在问卷、草稿纸上则答案无效． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁． 一、单选题（共40分）：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的． 1. 如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义及乘法运算判定即可. 【详解】由图象可知， 所以， 其对应的点为，显然位于第二象限. 故选：B 2. 已知集合，则A的真子集数量是（ ） A. 8 B. 7 C. 32 D. 31 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性及集合的基本关系计算即可. 【详解】易知，所以或或，即， 则其真子集有个. 故选：D 3. 已知向量与能作为平面向量的一组基底，若与共线（），则k的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】引入参数，由平面向量基本定理建立方程组即可求解. 【详解】若与共线，则设， 因为向量与能作为平面向量的一组基底， 所以，所以，解得. 故选：B. 4. 8名同学以2人为一组分为学习小组完成学习任务，每个小组内成员地位等价，则所有可能的分组方案数量是（ ） A. 28 B. 2520 C. 105 D. 128 【答案】C 【解析】 【分析】直接由排列组合知识求解即可. 【详解】由题意8名同学以2人为一组分为学习小组完成学习任务，每个小组内成员地位等价， 则所有可能的分组方案数量是. 故选：C. 5. 设函数，若将的图象向左平移个单位长度后在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平移变换法则得，由题意在上有且仅有两个零点，由此可列出关于的不等式组，解出不等式组即可得解. 【详解】将的图象向左平移个单位长度后的图象所对应的函数表达式为 ， 注意到，则当时，， 由题意在上有且仅有两个零点， 这意味着，且显然， 也就是说，解得. 故选：A. 6. 以下什么物体能被放进底面半径为，高为的圆柱中（ ） A. 底面半径为，母线长为的圆锥 B. 底面半径为，高为的圆柱 C. 边长为的立方体 D. 底面积为，高为的直三棱柱 【答案】B 【解析】 【分析】A选项，根据得到A错误；B选项，画出立体图形，设出未知数，得到，推出B正确；C选项，推导出能放入底面半径为，高为的圆柱中；D选项，根据体积大小，得到D错误. 【详解】由于，故该圆锥无法放入圆柱中，A错误； B选项，如图所示，将底面半径为，高为的圆柱放入半径为，高为的圆柱中，如图所示， 则，因为，由勾股定理得， 设，则，则，， 由勾股定理得， 因为，则，， ， 故能被放进底面半径为，高为的圆柱中，B正确； C选项，边长为的立方体，面对角线长为，体对角线长为， 要想放进高为的圆柱内，需要如图所示放入， 其外接球的直径为，故要想放入圆柱中，只能放入以球为内切球的圆柱中， 如图，过点的母线交上底面于点，交下底面于点， 设，，由勾股定理得， 连接，则，由勾股定理得， 解得， 即边长为的立方体可放入底面半径为，高为的圆柱中， 因为，故C错误； D选项，底面积为，高为的直三棱柱体积为， 由于底面半径为，高为的圆柱体积为， 故无法放进放进底面半径为，高为的圆柱中，D错误. 故选：B 7. 设数列的通项公式为，其前n项和为，则使的最小n是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先利用二项式定理化简数列的通项公式，利用等比求和公式可得答案. 【详解】， ， 结合指数函数单调性该数列为单调递增数列， 且 所以使的最小n是7. 故选：C. 8. 已知，，，则a，b的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过分析法可知只需比较的大小关系，从而构造函数，利用的单调性以及对数函数的单调性即可求解. 【详解】因为，所以， 所以要比较与0的大小关系，只需比较的大小关系， 同理要比较的大小关系只需比较的大小关系， 我们构造函数， 则， 这意味着在是减函数， 从而， 所以，即. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是通过适当分析，构造出恰当的函数，利用该函数单调性即可顺利比较大小. 二、多选题（共18分）：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则下列不等式中成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，直接利用基本不等式判断；对于B，利用三角函数解出最值；对于CD，由函数的单调性判断； 【详解】对于A，因为，所以，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，因为，， 令，， 令 令令， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 又，， 时，取最小值，所以B正确； 对于C，，因为，所以在上最小值为，，C正确； 对于D，，D错误； 故选：ABC. 10. 抛物线：焦点为F，且过点，斜率互为相反数的直线，分别交于另一点C和D，则下列说法正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 在C，D两点处的切线斜率和为 C. 上存在无穷多个点到点F和直线的距离和为6 D. 当C，D都在A点左侧时，面积的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，代入已知点求得抛物线：，不妨设，，，联立抛物线方程结合韦达定理可用表示出各个点的坐标，从而表示出直线方程即可判断，对于B，求导并代入的值（用表示）即可判断；对于C，结合抛物线定义只需判断关于的方程的解的个数即可；对于D，求出三角形面积表达式，进一步构造函数，利用导数求出最值即可得解. 【详解】对于A，因为抛物线：过点，所以，解得， 所以抛物线：，设点关于抛物线对称轴即轴的对称点为点，则， 因为斜率互为相反数，不妨设， 则， 联立与抛物线：，化简并整理得， ， 设， 则， 所以，同理， 直线的方程为：， 整理得 ， 即直线的方程为：，这条直线的斜率是定值， 随着变化，这条可能直线会平行移动， 不妨取，此时的方程依次是， 显然这两条直线是平行的，它们不会有交点，这就说明直线过定点是错误的，故A错误； 对于B，对求导，可得，从而在C，D两点处切线斜率和为，故B正确； 对于C，设上存在点到点F和直线的距离和为6， 由抛物线定义可知，，其中为点到直线的距离， 注意到当时，恒有成立， 这意味着上存在无穷多个点到点F和直线的距离和为6，故C正确； 对于D，设与交与点，联立直线的方程：与直线的方程：， 解得，即点的坐标为， 设面积为， 则, 注意到C，D都在A点左侧时，意味着，且，从而的取值范围为， 从而， 设，则， 所以当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以面积的最大值为. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：判断CD选项的关键在于利用A选项中的一些结论，并适当利用导数这一有利的工具，从而即可顺利得解. 11. 已知函数，的定义域为，的导函数为，且，，若为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若存在使在上单调递增，在上单调递减，则的极小值点为 D. 若为偶函数，则满足题意的唯一，满足题意的不唯一 【答案】ABD 【解析】 【分析】代入求得判断A；利用函数的周期判断B；利用已知条件和函数的周期性判断C；根据函数的奇偶性结合已知条件求出，判断D. 【详解】对A，因为为偶函数，所以是奇函数，所以，又，所以，故A对； 对B，由，，得， 所以，所以，， 又，所以是周期为4的函数，也是周期为4的函数， 所以，故B对； 对C，在上单调递增，在上单调递减， 由，的图象关于对称且， 由A可得，故在上单调递增，在上单调递减， 可知在单调递减，在单调递增， 又的周期为4， 所以在单调递增， 所以在单调递减，在单调递减， 又，所以0是的极大值点，是周期为4的函数， 所以则的极大值点为，故C错； 对D，若为偶函数，由于是奇函数，，则， 即，所以，，所以唯一，不唯一，故D对. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分利用导数与函数单调性和极值的关系，并结合函数的奇偶性和周期性分析. 三、填空题（共15分）：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，则的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】依次由正弦定理、余弦定理边角互换得条件等式，代入所求式子即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故答案为：3. 13. 已知在平面直角坐标系中，一双曲线的图象可以通过旋转和平移变换为（为关于的函数）的图象，则双曲线的离心率的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设焦点在轴上时，由题意可得，进而可求双曲线的离心率的范围. 【详解】以焦点在轴上的双曲线为例，双曲线的渐近线为， 由题得双曲线的图象通过旋转和平移变换后的图象为函数的图象， 故其一条渐近线必然为轴，则另一条渐近线斜率， 从而在旋转变换前斜率为正的渐近线的斜率小于等于1，即， 所以离心率，故离心率为. 故答案为：. 14. 设函数的零点为，则当a的取值为______时，的最大值为______． 【答案】 ①. e ②. 【解析】 【分析】首先参变分离得到，进一步构造函数，利用导数求出函数的最大值以及取最大值时的值即可. 【详解】由题意，所以，即， 所以，即， 令，则， 因为当时，，当时，， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，有最大值. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：关键在于得出，从而构造函数即可顺利得解. 四、解答题（共77分）：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用累加法结合等差数列求和公式即可得解； （2）直接用裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 又 因此是以为首项，1为公差的等差数列， 设的前n项和为，则， 又由， 得，， 当时，经检验也满足， ∴． 【小问2详解】 ．因此 ． 16. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PD的中点，PA＝2，AB＝1，AD＝2． （1）求证：PB∥平面ACE； （2）求直线CP与平面ACE所成角的正弦值； 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判断，转化为证明线线平行，即可证明； （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用线面角的向量公式，即可求线面角的正弦值. 【小问1详解】 连结，交于点，连结， 因为点分别是的中点， 所以，平面，平面， 所以平面； 小问2详解】 如图，以点为原点，以分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的法向量为， 设直线CP与平面ACE所成角为， 所以. 17. 某厂有3组生产用设备，由于设备使用时间过长，每组设备在一个月内均有的故障率．现该厂制定设备翻新计划，每个月月初有的概率在剩余未改造设备中随机抽取一组并在月底翻新，但月内若有设备发生故障，则无论本月有无翻新计划及是否抽到该设备，故障的设备都将立即翻新，且该月内不再因为故障翻新其它设备（但若发生故障的不是已经在送修计划内的设备，则计划翻新仍将正常进行），若再有设备发生故障则将会维修（但暂不翻新）后重新投入生产． （1）求第一个月恰好翻新一组设备的概率； （2）设第一个月结束后，已翻新的设备数量为随机变量X，求X的均值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题列举所求事件包含的事件情况，结合分类分步计数原理求得概率； （2）先列出随机变量的所有可能取值，结合概率公式求得每个值所对应的概率，最后利用均值的公式计算的答案； 【小问1详解】 由题，“翻新一组设备”包含“计划翻新一组且没有发生故障”，“没有计划翻新但出现故障”及“有计划翻新且出现了故障，但故障设备恰好为计划翻新的设备”三种事件． 设“翻新一组设备”为事件A，“计划翻新”为事件B，“出现故障”为事件C，“抽到故障设备”为事件D 则，，， ， 因此第一个月恰好翻新一组设备的概率为． 【小问2详解】 的可能取值为0，1，2， 当且仅当没有出现故障且没有计划改造， 故， 由（1），， ， 故． 18. 设函数，． （1）当时，比较和的大小关系； （2）证明：的图象与的图象关于直线对称； （3）在平面直角坐标系中，若以为圆心的圆交的图象于A，B两点，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）作差法比较大小，设函数，结合导数判断函数单调性，从而比较大小． （2）在函数取点，结合关于直线对称找到对称点，代入函数成立，则得证对称． （3）根据题意设，，其中，通过对称得到对称点，，且在圆上，根据在圆中角的关系推得． 【小问1详解】 设函数，则， ，的符号为符号， ，， 故在上单调递增，， 故，在上单调递增，时，， 故时． 【小问2详解】 证明：设的图象上一点， 则其关于对称的点坐标为， 而，故在的图象上， 故与的图象关于直线对称． 【小问3详解】 证明：不妨设，，其中， 作A关于x轴的对称点，再作关于的对称点， 由对称性，A，，都在圆M上． 设与圆M的交点为P，设x轴与圆M在M右侧的交点为Q，， 则，则，， 由对称，，且， 又，故， 又在图象上，B在图象上，故B在上方，因此． 19. 在平面直角坐标系中，若A，B两点在一曲线C上，曲线C在A，B均存在不垂直于x轴的切线，且两条切线的斜率的平均值等于直线AB的斜率，则称AB是曲线C的一条“切线相依割线”． （1）证明：准线平行于x轴的抛物线上任意一条割线均为“切线相依割线”； （2）试探究双曲线在第一象限内是否存在“切线相依割线”，若存在，请求出所有的“切线相依割线”，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用过两点的直线的斜率计算公式即可求割线的斜率，再利用导数求解曲线在点处的切线方程的斜率，最后根据切线相依割线定义进行验证证明； （2）在椭圆中，利用过两点的直线的斜率计算公式即可求割线的斜率，再利用导数求解曲线在点处的切线方程的斜率，最后根据切线相依割线定义进行计算看是否存在． 【小问1详解】 证明：由准线平行于x轴，故抛物线图象开口向上，为二次函数， 设，，则AB斜率为， ，故A，B处均存在不垂直于x轴的切线，且两条切线的斜率的平均值为，等于直线AB的斜率，故AB为切线相依割线，由于AB可以任取，故准线平行于x轴的抛物线上任意一条割线均为“切线相依割线”． 【小问2详解】 设，，其中，，，则AB斜率为， 设双曲线在A点处切线方程为l：，则将其代入双曲线方程，消去y有， 令，得，故， 同理，双曲线在B点处切线斜率为，故其均值为， 由A，B在双曲线上，故，，两式相减得，故， 假设存在“切线相依割线”，则，即， 化简得，设AB：， 则，即， 当时，即，得，不合题意， 当时，与双曲线在第一象限内至多有一个焦点，不合题意， 故双曲线在第一象限内不存在“切线相依割线”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省新南方联盟2024届高三4月联考 数 学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号和座位号填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在问卷、草稿纸上则答案无效． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁． 一、单选题（共40分）：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的． 1. 如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则A的真子集数量是（ ） A 8 B. 7 C. 32 D. 31 3. 已知向量与能作为平面向量一组基底，若与共线（），则k的值是（ ） A. B. C. D. 4. 8名同学以2人为一组分为学习小组完成学习任务，每个小组内成员地位等价，则所有可能分组方案数量是（ ） A. 28 B. 2520 C. 105 D. 128 5. 设函数，若将的图象向左平移个单位长度后在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 以下什么物体能被放进底面半径为，高为的圆柱中（ ） A. 底面半径为，母线长为的圆锥 B. 底面半径为，高为的圆柱 C. 边长为的立方体 D. 底面积为，高为的直三棱柱 7. 设数列的通项公式为，其前n项和为，则使的最小n是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知，，，则a，b的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分）：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，则下列不等式中成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线：焦点为F，且过点，斜率互为相反数直线，分别交于另一点C和D，则下列说法正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 在C，D两点处的切线斜率和为 C. 上存在无穷多个点到点F和直线的距离和为6 D. 当C，D都在A点左侧时，面积的最大值为 11. 已知函数，的定义域为，的导函数为，且，，若为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若存在使在上单调递增，在上单调递减，则的极小值点为 D. 若为偶函数，则满足题意的唯一，满足题意的不唯一 三、填空题（共15分）：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，则的值是______． 13. 已知在平面直角坐标系中，一双曲线的图象可以通过旋转和平移变换为（为关于的函数）的图象，则双曲线的离心率的取值范围是______． 14. 设函数的零点为，则当a的取值为______时，的最大值为______． 四、解答题（共77分）：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和． 16. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PD的中点，PA＝2，AB＝1，AD＝2． （1）求证：PB∥平面ACE； （2）求直线CP与平面ACE所成角的正弦值； 17. 某厂有3组生产用设备，由于设备使用时间过长，每组设备在一个月内均有的故障率．现该厂制定设备翻新计划，每个月月初有的概率在剩余未改造设备中随机抽取一组并在月底翻新，但月内若有设备发生故障，则无论本月有无翻新计划及是否抽到该设备，故障的设备都将立即翻新，且该月内不再因为故障翻新其它设备（但若发生故障的不是已经在送修计划内的设备，则计划翻新仍将正常进行），若再有设备发生故障则将会维修（但暂不翻新）后重新投入生产． （1）求第一个月恰好翻新一组设备的概率； （2）设第一个月结束后，已翻新设备数量为随机变量X，求X的均值． 18. 设函数，． （1）当时，比较和的大小关系； （2）证明：的图象与的图象关于直线对称； （3）在平面直角坐标系中，若以为圆心的圆交的图象于A，B两点，证明：． 19. 在平面直角坐标系中，若A，B两点在一曲线C上，曲线C在A，B均存在不垂直于x轴的切线，且两条切线的斜率的平均值等于直线AB的斜率，则称AB是曲线C的一条“切线相依割线”． （1）证明：准线平行于x轴的抛物线上任意一条割线均为“切线相依割线”； （2）试探究双曲线在第一象限内是否存在“切线相依割线”，若存在，请求出所有的“切线相依割线”，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$