精品解析：黑龙江省哈尔滨市工业大学附属中学2023-2024学年八年级下学期月考数学试题

哈工大附中2023-2024学年下学期6月月考数学试题 一．选择题 （共10小题，共30分） 1. 下列各图象中，表示y是x的函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义，对各选项中的每个的值对应几个值进行分析即可得到答案． 【详解】解：对于A，对于给定的的值，有两个值与它对应，所以不是函数； 对于B，对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是函数图象； 对于C，对给定的的值，有两个值与之对应，所以不是函数图象； 对于D，对给定的的值，有两个值与之对应，所以不是函数图象. 故选：B． 【点睛】本题考查了函数图象的判断，熟练掌握函数的定义是解决本题的关键． 2. 下列一元二次方程是一般形式的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的相关概念，理解一元二次方程的一般形式为（）是解题的关键． 【详解】解：由题意得 是一元二次方程的一般形式； 故选：B． 3. 若平行四边形中两个内角的度数比为 ，则其中较小的内角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，如图所示，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴较小的内角为，   故选： ． 4. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 40， 50， 60 B. ， 4， 5 C. 13， 14， 15 D. ， 2， 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，逐项验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，不是直角三角形，故此选项不符合题意； B、，是直角三角形，故此选项符合题意； C、，不是直角三角形，故此选项不符合题意； D、，不是直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：B． 5. 已知一次函数与一次函数在同一坐标系中的图象交于点， 则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握函数图像是解题的关键．根据两个一次函数组成的方程组的解就是两函数图像的交点． 【详解】解：一次函数与一次函数在同一坐标系中的图象交于点， 方程组的解， 故选A． 6. 已知点与点是一次函数上的两点， 则与的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据解析式判断出增减性即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x增大而减小， ∵点、点是一次函数图象上的两点，且， ∴， 故选：A 7. 如图，在正方形的外侧，作等边，连接、，线段与相交于点，则的大小为（ ） A. 55° B. 60° C. 67.5° D. 75° 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质得出是等腰三角形，进而得出的度数，利用三角形的外角解答即可． 【详解】解：正方形， ，， 等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和等边三角形的性质得出是等腰三角形，进而得出的度数． 8. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，AB= ，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（　　） A. B. 3 C. 2 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由三角函数易得BE，AE长，根据翻折和对边平行可得△AEC1和△CEC1为等边三角形，那么就得到EC长，相加即可． 解：连接CC1. 在Rt△ABE中,∠BAE=30°,AB=， ∴BE=AB×tan30°=1,AE=2,∠AEB1=∠AEB=60°， ∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC， ∴∠C1AE=∠AEB=60°， ∴△AEC1为等边三角形， 同理△CC1E也为等边三角形， ∴EC=EC1=AE=2， ∴BC=BE+EC=3， 故选B. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 有两条边相等的四边形是平行四边形 C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 四条边都相等的平行四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A错误； B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B错误； C.有三个角是直角的四边形是矩形，故C正确； D.四条边都相等的平行四边形是菱形，故D错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了特殊四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形）的判定定理，掌握理解各判定定理是解题关键． 10. 如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图像；下列说法： ①乙车前 4 秒行驶的路程为 48 米； ②在 0 到 8 秒内甲车的速度每秒增加 4 米； ③两车到第 3 秒时行驶的路程相等； ④在 4 到 8 秒内甲车的速度都大于乙车的速度. 其中正确的有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图像依次计算即可求解. 【详解】由图像可知：乙车前 4 秒行驶的路程为 4×12=48 米，①正确 ； 在 0 到 8 秒内甲车的速度每秒增加 32÷8=4 米，②正确； 甲车到第 3 秒时行驶的路程为，乙车到第 3 秒时行驶的路程为12×3=36， 故③错误； 在 4 到 8 秒内甲车的速度都大于乙车的速度，④正确； 故选C. 【点睛】此题主要考查函数图像的信息判断，解题的关键是根据题意函数图像得到相关条件进行求解. 二． 填空题（共 10 小题， 共 30分） 11. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入方程，即可求解；理解一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故答案：． 12. 函数中，自变量x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意知：x-2≠0，解得x≠2； 故答案为x≠2． 13. 将正比例函数的图象向下平移3个单位所得的直线不经过第_______象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移和一次函数的性质，由平移得，再由一次函数的性质即可求解；掌握一次函数平移规律及性质“对于一次函数：当时，图象一定经过第一、三象限，当时，图象一定经过第二、四象限．”是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象向下平移3个单位， ， ， ， 经过第一、三、四象限， 不经过第二象限， 故答案：二． 14. 关于x的一元二次方程无实数根，则m的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数，根据方程无实根可得，由一元二次方程的定义可得，再解不等式即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴，且， 解得， 故答案为：． 15. 如图，在中，相交于O，E是中点，连接的周长为10，则的周长为_____． 【答案】5 【解析】 【详解】此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的性质．注意求得的周长为的周长的一半是解题关键．利用三角形中位线定理得出进而求出的周长为的周长的一半，即可得出答案． 【解答】解：∵在中，相交于O， ∴E是的中点， ∵O为的中点， 则 ∴的周长为的周长的一半， ∵的周长为10， 则的周长为5． 故答案为：5． 16. 已知一次函数的图像如图所示，不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图像，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键．根据一次函数的图像可知，函数值随的增大而减小，从而得到答案． 【详解】解：由图像可知：函数值随的增大而减小， 当时，， 故当时，， 故答案为：． 17. 如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过A（1，2），B（0，1）两点，与x轴交于点C，则△AOC的面积为____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式，代入y＝0求出与之对应的x值，进而可得出点C的坐标及OC的长，再利用三角形的面积公式即可求出△AOC的面积． 【详解】解：将A（1，2），B（0，1）代入y＝kx＋b，得：， 解得：， ∴直线AB的解析式为y＝x＋1． 当y＝0时，x＋1＝0，解得：x＝−1， ∴点C的坐标为（−1，0），OC＝1， ∴S△AOC＝OC•yA＝×1×2＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，根据点A，B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式是解题的关键． 18. 如图，四边形ABCD是矩形，E是CD上一点，连接AE，取AE的中点G，连接DG并延长交CB延长线于点F，连接AF，∠AFC＝3∠EAD，若DG＝4，BF＝1，则AB的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先证出MG=DG，证明四边形AMED是矩形，得出AG=MG=DG=4，再证出∠AFG=∠AGF，得出AF=AG，在Rt△ABF中，根据勾股定理即可求出AB的长． 【详解】如图所示：连接EM， ∵G是AE的中点， ∴AG＝EG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠ABC＝∠ABF＝90°，AB∥DC，AD∥BC， ∴＝1， ∴MG＝DG， ∵AG＝EG， ∴四边形AMED是平行四边形， ∠DAB＝90°， ∴四边形AMED是矩形， ∴AG＝MG＝DG＝4， ∴∠GDA＝∠EAD， ∵AD∥BC， ∴∠GDA＝∠DFC， ∵∠AFC＝3∠EAD，∠AGF＝∠EAD+∠GDA， ∴∠AFG＝∠AGF， ∴AF＝AG＝4， 在Rt△ABF中，AB＝＝； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 19. 菱形中，，，点P是菱形内一点，，则的长为____ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理，注意掌握数形结合的思想与分类讨论思想的应用是解题的关键．根据菱形的性质，分别从当P与A在的同侧与异侧时，P与M重合时，进行讨论，即可求得结果． 【详解】解：连接； 当P与A在的异侧时，连接交于M， ，， （到线段两端距离相等的点在垂直平分线上）， 在直角中，， ，， ， ； 当P与A在的同侧时，连接并延长交于点M ． ； 当P与M重合时，，与矛盾，舍去． ∴的长为或或； 故答案为：或． 20. 如图，正方形的面积为12，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是正方形的性质、轴对称-最短路径问题，等边三角形的性质；连接．由正方形的对称性可知，则，依据两点之间线段最短可知当点在一条直线上时，有最小值，最小值为长，然后依据正方形和等边三角形的性质求解即可． 【详解】连接． ∵四边形是正方形 ∴点B与D关于对称， ∴， ∴． ∴由两点之间线段最短可知当点在一条直线上时，有最小值，最小值为长． ∵正方形的面积为12， ∴． 又∵是等边三角形， ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 三． 解答题（共7小题， 21、22各7分， 23、24各8分， 25、26、27各10分） 21. （1）用公式法解方程：； （2）用因式分解法解方程： 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了用公式法和因式分解法解一元二次方程； （1）可求，，，，由求根公式进行求解即可； （2）因式分解得的形式可得或，即可求解； 掌握解法是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意得 ，，， ， ， ，； （2） 或， ，． 22. 先化简，再求值：（）÷，其中x＝1+，y=1﹣． 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将与的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式， 当，时， 原式． 【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，以及分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则． 23. 图1，图2均为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上． （1）画一个直角三角形，且三边长为，，； （2）画一个边长为整数的等腰三角形，且面积等于． 【答案】（1） 画出图形如图； （2） 如图： 【解析】 【分析】本题主要考查了应用与设计作图，熟练掌握网格结构以及勾股定理，直角三角形，熟练掌握画图技巧是解题的关键． （1）根据勾股定理取值画图即可； （2）根据题意确定底边以及高，使其面积等于． 【小问1详解】 解：根据勾股定理找到，的边即可画出图形； 【小问2详解】 解：使底边为，高为，即可画出图形． 24. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边，如图，在四边形中，，，． （1）求的度数． （2）判断四边形是否是“勾股四边形”，并说明理由． 【答案】（1） （2） 四边形是“勾股四边形”， 理由：连接，以为边向下作等边三角形，连接，     则，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 四边形是“勾股四边形”． 【解析】 【分析】（1）在四边形中，由四边形内角和定理即可得出结果； （2）连接，以为边向下作等边三角形，由等边三角形的性质得出，，证出，证明，得出，，证出，再由勾股定理即可得出结论． 【小问1详解】 在四边形中， ，，， ； 【小问2详解】 略 【点睛】本题是四边形综合题，考查了四边形内角和定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理以及逆定理，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 25. 应用题：哈尔滨经纬手机卖场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示，手机卖场计划购进两种手机若干部，共需万元，预计全部售出后可获利润共万元． 甲 乙 进价（元/部） 4000 2500 售价（元/部） 4300 3000 （1）经纬手机卖场计划购进甲、乙两种手机各多少部？ （2）通过市场调研，手机卖场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，天耀手机卖场怎样进货，才能在手机全部售出后获得最大的利润？并求出最大利润． 【答案】（1）经纬手机卖场计划购进甲、乙两种手机各20，30部； （2）当经纬手机卖场购进甲种手机15部，乙种手机40部时，全部售出后获利最大，最大利润为万元； 【解析】 【分析】（1）设经纬手机卖场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，根据题意列方程即可求解； （2）设甲种手机减少a部，则乙种手机增加部，根据购进这两种手机的总资金不超过16万元，可求出a的取值范围，设手机全部售出后获得的利润为W万元，根据题意即可求解． 【小问1详解】 解：设经纬手机卖场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部， 根据题意，得，解得， 答：经纬手机卖场计划购进甲、乙两种手机各20，30部； 【小问2详解】 解：设甲种手机减少a部，则乙种手机增加部， 根据题意，得， 解得：； 设手机全部售出后获得的利润为W万元，根据题意，得 ， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∴当时，W有最大值，， 答：当经纬手机卖场购进甲种手机15部，乙种手机40部时，全部售出后获利最大，最大利润为万元； 【点睛】本题考查二元一次方程的应用和不等式的应用，正确理清题意是关键． 26. 如图：正方形，点E，F分别在，上，于H； （1）求证：； （2）连接，若 ，求出线段 与的数量关系； （3）在（2）的条件下，点K在上，若，连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：过点F作于点M， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 即， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点F作于点M，由题意可证，，从而可证，即可得证； （2）过点A作于点M， 过点C作于点N，由题意证得，可得，由等腰三角形的性质可得，再证得，可得，即可得证； （3）过点F作于点M，连接、，根据题意证得，可得，进而，，，从而证得，可得，，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，证明如下： 过点A作于点M， 过点C作于点N， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点F作于点M，连接、， ∵，， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定及平行线的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A坐标为，直线交y轴于点D，边交y轴于点E． （1）如图1，求直线解析式； （2）如图1，点F从点C出发沿射线运动，点F的横坐标为m，面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量取值范围； （3）如图2， 在（2） 条件下当F在线段上，时，求点F坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数点的坐标的求法和和三角形面积的求法以及方程的运用，熟练掌握一次函数点的坐标的求法是解题的关键． （1）过点作轴于，根据勾股定理求出的长，求出点的坐标，最后利用待定系数法求出即可； （2）分点在轴右侧和左侧两种情况讨论，由三角形面积公式求解即可； （3）根据题意得，构造双垂线，建立方程即可． 【小问1详解】 解：过点作轴于， ， ， 在中，， ， 四边形是菱形， ， ， 设直线的解析式为， 将代入， ，解得， ； 【小问2详解】 解：直线解析式为，与轴交于点， ， 当时，， 当时，， 故； 【小问3详解】 解：， ， 根据菱形的对称性可得，， ， 过点作轴的垂线交轴和分别于， ， ， ， 设， 则， ， 解得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈工大附中2023-2024学年下学期6月月考数学试题 一．选择题 （共10小题，共30分） 1. 下列各图象中，表示y是x的函数的是( ) A. B. C. D. 2. 下列一元二次方程是一般形式的为（ ） A. B. C. D. 3. 若平行四边形中两个内角的度数比为 ，则其中较小的内角是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 40， 50， 60 B. ， 4， 5 C. 13， 14， 15 D. ， 2， 3 5. 已知一次函数与一次函数在同一坐标系中的图象交于点， 则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点与点是一次函数上的两点， 则与的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形的外侧，作等边，连接、，线段与相交于点，则的大小为（ ） A. 55° B. 60° C. 67.5° D. 75° 8. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，AB= ，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（　　） A. B. 3 C. 2 D. 2 9. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 有两条边相等的四边形是平行四边形 C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 四条边都相等的平行四边形是正方形 10. 如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图像；下列说法： ①乙车前 4 秒行驶的路程为 48 米； ②在 0 到 8 秒内甲车的速度每秒增加 4 米； ③两车到第 3 秒时行驶的路程相等； ④在 4 到 8 秒内甲车的速度都大于乙车的速度. 其中正确的有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二． 填空题（共 10 小题， 共 30分） 11. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值为_________． 12. 函数中，自变量x的取值范围是____． 13. 将正比例函数的图象向下平移3个单位所得的直线不经过第_______象限． 14. 关于x的一元二次方程无实数根，则m的取值范围是________________． 15. 如图，在中，相交于O，E是中点，连接的周长为10，则的周长为_____． 16. 已知一次函数的图像如图所示，不等式的解集是__________． 17. 如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过A（1，2），B（0，1）两点，与x轴交于点C，则△AOC的面积为____． 18. 如图，四边形ABCD是矩形，E是CD上一点，连接AE，取AE的中点G，连接DG并延长交CB延长线于点F，连接AF，∠AFC＝3∠EAD，若DG＝4，BF＝1，则AB的长为_____． 19. 菱形中，，，点P是菱形内一点，，则的长为____ 20. 如图，正方形的面积为12，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为________． 三． 解答题（共7小题， 21、22各7分， 23、24各8分， 25、26、27各10分） 21. （1）用公式法解方程：； （2）用因式分解法解方程： 22. 先化简，再求值：（）÷，其中x＝1+，y=1﹣． 23. 图1，图2均为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上． （1）画一个直角三角形，且三边长为，，； （2）画一个边长为整数的等腰三角形，且面积等于． 24. 我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边，如图，在四边形中，，，． （1）求的度数． （2）判断四边形是否是“勾股四边形”，并说明理由． 25. 应用题：哈尔滨经纬手机卖场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示，手机卖场计划购进两种手机若干部，共需万元，预计全部售出后可获利润共万元． 甲 乙 进价（元/部） 4000 2500 售价（元/部） 4300 3000 （1）经纬手机卖场计划购进甲、乙两种手机各多少部？ （2）通过市场调研，手机卖场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，天耀手机卖场怎样进货，才能在手机全部售出后获得最大的利润？并求出最大利润． 26. 如图：正方形，点E，F分别在，上，于H； （1）求证：； （2）连接，若 ，求出线段 与的数量关系； （3）在（2）的条件下，点K在上，若，连接，若，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A坐标为，直线交y轴于点D，边交y轴于点E． （1）如图1，求直线解析式； （2）如图1，点F从点C出发沿射线运动，点F的横坐标为m，面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量取值范围； （3）如图2， 在（2） 条件下当F在线段上，时，求点F坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $