精品解析：广东省湛江市博雅学校2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷

湛江市博雅学校2021-2022学年高一第一学期期中试卷 高一数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义计算． 【详解】由已知． 故选：D． 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称命题的否定可得出结论. 【详解】命题“，”为全称命题，该命题否定为“，”. 故选：C. 3. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质计算可得选项. 【详解】解：因为，所以，又，所以， 故选：A. 4. 已知是奇函数，当时，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数为奇函数以及的解析式，代入即可求解. 【详解】因为是奇函数， 所以 故选：B 5. 下列选项中两个集合相等的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的含义、集合相等的定义逐一判断可得选项. 【详解】解：对于A选项，，，，故A不正确； 对于B选项，，，故B正确； 对于C选项，，，，故C不正确； 对于D选项，与中的元素不同，，故D不正确. 故选：B 6. 设表格表示的函数为，关于此函数下列说法正确的是（ ） A. 的定义域是 B. C. 的值域是 D. 的图象无对称轴 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格可判断各选项的正误. 【详解】函数的定义域是，A错误； ，B错误； 函数的值域是，C正确； 函数的图象关于直线对称，D错误. 故选：C. 7. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的解析式判断函数的奇偶性，由此排除部分错误选项，再计算当时，函数值的符号，排除余下的错误选项，即可得出正确选项. 【详解】因为，所以为奇函数，排除选项B，D，而，排除C, 故选：A. 8. 若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式（取）．一同学在体育课上练习排球垫球，某次垫球，排球离开手肾竖直上抛的瞬时速度，则排球能够在垫出点以上位置最多停留（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，从而可得，解之即可得解. 【详解】解：因为， ，所以， 由，得，所以最多停留的时间为． 故选：C. 二．多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分） 9. 不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】由，得，即， 故，，，. 故选：AB 10. 已知幂函数的图象经过点，若，则（ ） A. B. 的图象经过点 C. 是增函数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，根据幂函数的图象经过点，即可求得函数的解析式，再逐一分析判断各选项即可得出答案. 【详解】解：设，由，得，故，A错误； ，是增函数，B，C正确； ，得，D正确. 故选：BCD 11. 设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则（ ） A. 在上单调递减 B. C. 的图象与轴只有2个交点 D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件，可得在上单调递减，且，从而对各选项逐一分析即可求解. 【详解】解：对A：因为是定义在上的奇函数，且在上单调递减，由奇函数的性质有在上单调递减，故选项A正确； 对B：因为是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，所以，所以，故选项B正确； 对C：由题意，，又是定义在上的奇函数，所以，所以的图象与轴有3个交点，故选项C错误； 对D：由选项A、C可得的解集为，故选项D正确. 故选：ABD. 12. 已知正实数，满足，则（ ） A. 当有最小值时， B. 的最小值为9 C. D. 的最小值为16 【答案】AC 【解析】 【分析】AB选项，直接利用基本不等式，求解出答案；C选项配方后结合的最小值求解出答案；D选项则利用基本不等式“1”的妙用，进行求解. 【详解】由，得，当且仅当，时，等号成立，此时有最小值，且最小值为8，A正确，B错误； ，C正确； ，当且仅当，即，时，等号成立，此时有最小值，且最小值为25，D错误. 故选：AC 三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数定义域的定义，求出使得该函数有意义的自变量的取值范围即可. 【详解】由题意，自变量需满足，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 14. 当时，的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】将式子变，利用基本不等式即可求解. 【详解】， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值是. 故答案为： 15. 一个在上单调递减的偶函数______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数单调性和奇偶性找到一个满足条件的函数即可. 【详解】根据题意，要求函数的区间上单调递减的偶函数， 可以使开口向上对称轴为轴的二次函数， 故满足条件的一个单调递减的偶函数. 故答案为：（答案不唯一） 16. 设函数，则______，满足的的取值范围是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据函数的解析式可求得的值，由可求得，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】. 由题意可知，当时，；当时，；当时，. 因为，则，故， 所以，，解得. 故答案为：；. 四．解答题（共6小题，17题10分，18-22每小题12分，共70分） 17. 已知集合，或，. （1）求，； （2）求. 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）根据并集和交集定义即可求出； （2）根据补集交集定义可求. 【小问1详解】 因为，或， 所以或，； 【小问2详解】 或，， 所以. 18. 如图，某动物园要建造两间一样大小的长方形动物居室，可供建造围墙的材料总长为60m，设每间动物居室的宽为m，面积为m2 （1）若，求每间动物居室的面积的值； （2）求关于的函数关系式，并求函数的定义域； （3）当动物居室的宽为多少时，才能使所建的每间动物居室面积最大，并求最大面积. 【答案】（1）48 （2），. （3）当动物居室的宽为10m时，所建的每间动物居室面积最大，且最大面积为m2 【解析】 【分析】（1）由已知得每间动物居室的长，根据长方形的面积公式可求得答案. （2）由题意得，每间居室的长为，由此可求得函数的解析式和其定义域； （3）由（2）得出每间动物居室面积表达式，根据二次函数的性质可求得答案. 【小问1详解】 解：当时，每间动物居室的长为， 故. 【小问2详解】 解：由题意得，每间居室的长为，则， 由得，故函数的定义域为. 【小问3详解】 解：， 当时，有最大值，且最大值为75. 故当动物居室的宽为时，所建的每间动物居室面积最大，且最大面积为. 19. 已知函数，设在上单调递增，在上单调递减；． （1）若，求在上的值域； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的性质求解值域即可； （2）先求出的等价关系，然后将问题转化为，利用真子集的定义列式求解即可． 【小问1详解】 当时，， 故的值域为； 【小问2详解】 图象的对称轴为直线， 由题意得，即， 因为是的充分不必要条件， 所以， 则(等号不同时成立)，解得， 经检验，当或时，， 所以的取值范围为． 20. 已知函数. （1）判断的单调性，并用定义法证明； （2）记的最小值为，集合，判断是否属于集合，并说明理由. 【答案】（1）在上单调递增，证明见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性定义，由取值、作差、变形、定号、定论即可证明. （2）根据函数的单调性求出，令，解方程即可求解. 【小问1详解】 在上单调递增， 证明：，且， 则， 由，得，，，， 于是，即.所以在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，的最小值为，所以， 令，得，解得， 所以. 21. 在平面直角坐标系内，点的坐标分别为和，记位于直线左侧的图形面积为. （1）求的值； （2）求的解析式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意先确定所求图形为等腰直角三角形，再运用三角形的面积公式计算即可； （2）根据直线的运动过程中左侧图形的不同形状分类，再分别求解面积可得出结果. 【小问1详解】 当时，图形为直角边长为的等腰直角三角形， 所以； 【小问2详解】 当时，图形为直角边长为的等腰直角三角形，此时 当时，如图， 设直线与线段AB交于点C，与x轴交于点D，过点A作AE垂直x轴于点 E， 可知，得. 因为，所以， 则， 因此时， 综上所述， 22. 设函数. （1）求关于的不等式的解集； （2）若是偶函数，且，，，求的取值范围. 【答案】（1）当时，；当时，；当时， （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论，解含参一元二次不等式；（2）先根据是偶函数，得到，再，，转化为在上的最小值小于在上的最小值，进行求解. 【小问1详解】 ，令，解得或 当时，，的解集是； 当时，，的解集是； 当时，，的解集是. 【小问2详解】 因为是偶函数，所以，解得：. 设函数，因为在上单调递增，所以. 设函数. 当时，在上单调递增，则， 故，即，结合得：； 当时，在上单调递减，则， 故，即，结合得： 综上，的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湛江市博雅学校2021-2022学年高一第一学期期中试卷 高一数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C D. 4. 已知是奇函数，当时，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5. 下列选项中两个集合相等的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 设表格表示的函数为，关于此函数下列说法正确的是（ ） A. 的定义域是 B. C. 的值域是 D. 的图象无对称轴 7. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式（取）．一同学在体育课上练习排球垫球，某次垫球，排球离开手肾竖直上抛的瞬时速度，则排球能够在垫出点以上位置最多停留（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分） 9. 不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知幂函数图象经过点，若，则（ ） A. B. 的图象经过点 C. 是增函数 D. 11. 设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则（ ） A. 在上单调递减 B. C. 的图象与轴只有2个交点 D. 不等式的解集为 12. 已知正实数，满足，则（ ） A. 当有最小值时， B. 的最小值为9 C D. 的最小值为16 三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 函数的定义域为______. 14. 当时，的最小值是______. 15. 一个在上单调递减的偶函数______. 16. 设函数，则______，满足的取值范围是______. 四．解答题（共6小题，17题10分，18-22每小题12分，共70分） 17. 已知集合，或，. （1）求，； （2）求. 18. 如图，某动物园要建造两间一样大小的长方形动物居室，可供建造围墙的材料总长为60m，设每间动物居室的宽为m，面积为m2 （1）若，求每间动物居室的面积的值； （2）求关于的函数关系式，并求函数的定义域； （3）当动物居室的宽为多少时，才能使所建的每间动物居室面积最大，并求最大面积. 19. 已知函数，设上单调递增，在上单调递减；． （1）若，求在上的值域； （2）若是的充分不必要条件，求的取值范围． 20. 已知函数. （1）判断的单调性，并用定义法证明； （2）记的最小值为，集合，判断是否属于集合，并说明理由. 21. 在平面直角坐标系内，点的坐标分别为和，记位于直线左侧的图形面积为. （1）求的值； （2）求的解析式. 22. 设函数. （1）求关于的不等式的解集； （2）若是偶函数，且，，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$