精品解析：湖南省衡阳市第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

衡阳市一中2023级2023-2024学年下学期期末考试 高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 考生你好，本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为. 故选：B. 2. 定义在上的函数为偶函数，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由偶函数的性质求出的值，即可得的解析式，分析可得在[0，+∞）上单调递减，据此分析可得答案． 【详解】由题意，函数为偶函数，则有，即， 变形可得，必有，所以， 可得函数在上单调递减， 又由， 因为，所以，即. 故选：C． 3. 下表是某服装销售公司2021年度各类服装营业收入占比和净利润占比统计表： 衣服裤子类 鞋类 帽子围巾类 其他类 营业收入占比 净利润占比 下列判断中不正确的是（ ） A. 该公司2021年度鞋类销售亏损 B. 该公司2021年度净利润主要由衣服裤子类销售提供 C. 该公司2021年度帽子围巾类营业收入和净利润相同 D. 清除鞋类销售数据后，该公司2021年度衣服裤子类销售净利润占比将会降低 【答案】C 【解析】 【分析】依次判断每个选项，其中营业收入和净利润占比相同，不是金额相同，错误，得到答案. 【详解】对选项A：鞋类净利润占比为负数，表示亏损，正确； 对选项B：该公司2021年度净利润主要由衣服裤子类销售提供，正确； 对选项C：帽子围巾类营业收入和净利润占比相同，不是金额相同，错误； 对选项D：清除鞋类销售数据后，净利润增加，服裤子类销售净利润占比将会降低，正确. 故选：C 4. 已知甲袋中有4个白球､个红球，乙袋中有2个白球､4个红球，各个球的大小与质地相同.现从甲､乙两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6或2 D. 8或4 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式列式计算可得解. 【详解】设事件为“从甲袋中取出的2个球的颜色不相同”，事件为“从乙袋中取出的2个球的颜色不相同”， 则， 所以，解得或. 故选：C. 5. 已知函数的图象经过点和.若函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像过点和，可得，解得，，根据的范围，解得，根据过点以及的范围，解得，由题意在区间上有唯一零点，即与的图像在只有一个交点，结合正弦函数图像可得或，即可解得答案. 【详解】由题意得，解得，故， 因为，所以当时，. 由，解得，即 因为，所以， 所以. 因为在区间上有唯一零点， 所以在区间有一个根， 即与的图像在只有一个交点， 当时，， 故由正弦函数图像可得或， 解得或， 故选：D. 【点睛】本题考查根据条件求解析式，正弦型函数图像与性质，难点在于求和的值，计算难度偏大，属中档题. 6. 平面内有向量满足，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用几何图形表示向量和向量的线性运算，构造相似三角形，表示出，利用三点共线求最小值. 【详解】，则有，如图，， ， 延长至，使得， ，，则有，得， . 当三点共线且在线段上时，的最小值是. 故选：B 7. 在四棱锥中，AD＝2，，，且，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取AD中点O，可得平面PCO，设PO=t，过O作交PF于H，说明A到平面PBD的距离；设直线PA与平面PBD所成角的大小为，可得 ，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】取AD中点O，连接PO、BO、CO，设CO与BD交于F，连接PF， 在等腰梯形ABCD中，由且BO=BC=CD=OD， 故四边形DOCB为菱形，所以，又PB=PD，且F为BD的中点， 所以，又，所以平面PCO，, 连接AC交BO于G,连接PG，同理可得平面PBO，所以， 因为相交，所以平面ABCD, 过O作交PF于H，由平面PCO， 故，又，所以平面PBD， 设PO=t，，故，又AD=2OD， 故点A到平面PBD的距离， 设直线PA与平面PBD所成角的大小为，则 当且仅当即时取等号， 故直线PA与平面PBD所成角的正弦值的最大值为， 故选：C 8. 函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可. 【详解】由题意知：或 ∴或 ∴或 ∵在上单调递减，∴ ∴ ①当时，取知 此时，当时， 满足在上单调递减，∴符合 取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合 当时，，舍去，当时，也舍去 ②当时，取知 此时，当时， ，此时在上单调递增，舍去 当时，，舍去，当时，也舍去 综上：或2，. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，真命题是（ ） A. ，使得 B. C. 幂函数在上为减函数，则m的值为 D. ，是的充分不必要条件 【答案】CD 【解析】 【分析】由指数函数值域可知A是假命题；利用赋值法可知B是假命题，由幂函数性质可得满足题意，C为真命题；取特殊值验证可知D是真命题. 【详解】对于A，由指数函数值域可知，对于恒成立，所以A是假命题； 对于B，取特殊值，则，所以B是假命题； 对于C，由幂函数性质可得，解得或； 又在上为减函数，所以，即可得，即C为真命题； 对于D，显然，能推出；而时，可使，此时推不出，， 所以，是的充分不必要条件，即D是真命题； 故选：CD 10. 设正数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：先分析的范围，然后将平方再开方并结合基本不等式可求解出最大值；B：先分析出的取值范围，结合对数函数的单调性可知的最小值；C：将式中化为，然后化简并结合基本不等式求解出最小值，D：将原式乘以，然后化简并结合基本不等式求解出最小值. 【详解】对于A：因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，故A错误； 对于B：因为，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 由对数函数单调性可知， 所以的最小值为，故B正确； 对于C：因为， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D：因为 ， 当且仅当，即时等号，故D正确； 故选：BCD. 11. 已知棱长为2的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，则下列说法正确的是（ ） A. 球的体积为 B. 球内接圆柱的侧面积的最大值为 C. 球在正方体外部的体积小于 D. 球在正方体外部的面积大于 【答案】BCD 【解析】 【分析】由棱切球的半径为,再依次判断即可. 【详解】A.依题意，得棱切球的半径为，则球的体积为，错误 B.记球的内接圆柱的底面半径为，则内接圆柱的高为：， 则内接圆柱的侧面积为：， 等号成立时，故球的内接圆柱的侧面积最大值为：，正确 C.球在正方体外部的体积小于球体积与正方体内切球体积之差，即，正确 D.球在正方体外部的面积等于正方体外6个球冠的表面积. 每一个球冠的表面积大于这个球冠中内接圆锥的侧面积， 则内接圆锥的底面半径为，高为，得圆锥的母线长为：， 得内接圆锥的侧面积为：， 所以6个球冠的表面积大于，正确 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：D项中球在正方体外部的面积等于正方体外6个球冠的表面积.每一个球冠的表面积大于这个球冠中内接圆锥的侧面积. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】分别利用两角和的正弦公式和同角三角函数的基本关系将条件式展开，可求出，进而将展开，可求出答案. 【详解】由，可得， 又，所以，即， 则，解得， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算，属于基础题. 13. 已知某圆台的体积为，其上底面和下底面的面积分别为，，且该圆台两个底面的圆周都在球的球面上，则球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由圆台的体积公式求出圆台的高，再由圆的面积公式求出圆台上、下底面半径，讨论当圆台的上、下底面在球心的同侧时不满足题意，当圆台的上、下底面在球心的两侧时，设球心到下底面的距离为，球的半径为，由，解方程求出，即可求出，再由球的表面积公式求解即可. 【详解】设该圆台的高为，则，解得. 设圆台上、下底面半径为，所以，，解得：， 当圆台的上、下底面在球心的两侧时， 设球心到下底面的距离为，球的半径为， 则，所以，解得， 则，故球的表面积为. 当圆台的上、下底面在球心的同侧时， 设球心到下底面的距离为，球的半径为， 则，所以，解得：，不符合题意. 故答案为：. 14. 已知函数若在区间D上的最大值存在，记该最大值为，则满足等式的实数a的取值集合是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定在区间上有最大值，且，因此在区间上的最大值为. 然后按在处或处取最大值分类讨论，数形结合，进而可得结果. 【详解】依题意可知，在区间上有最大值必然为，且，所以在区间上的最大值为. （1）若在处取最大值，即，解得，此时，所以适合题意； （2）若在处取最大值，即，解得，此时，所以适合题意. 综上可知，的取值集合是. 故答案为：. 【点睛】 关键点点睛：本题的关键点在于确定在区间上有最大值，且，进而可得在区间上的最大值为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】(1)本题首先可以根据求得，然后利用同角三角函数关系将化简为，最后通过计算即可得出结果； (2)本题首先可根据求得，然后与联立解得以及，最后通过两角和的正弦公式即可得出结果。 【详解】(1)因为，，， 所以，即，， 所以 ，故。 (2)因为，，所以， 因为，所以， 化简得，即， 因为，， 所以联立，解得，， 所以。 【点睛】本题是综合题，考查了向量垂直、向量的模以及三角函数的相关性质，主要考查对同角三角函数关系的相关公式的灵活应用，考查了计算能力，考查了化归与转化思想，体现了综合性，是难题。 16. 如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=， （1）求证：直线AC⊥平面BDB1； （2）求直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值. 【答案】 （1）连接交于， 因为，，， 所以，故， 又因为为菱形对角线交点，即是线段的中点，所以， 又四边形为菱形，故， 而，所以平面. 方法二：因为， 所以点在平面内的射影在为的平分线， 又四边形为菱形，故为的平分线，则直线， 故平面平面，而平面平面， 又四边形为菱形，故， 所以平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）由边角边证得，即，在等腰三角形中由三线合一证得，在菱形中由菱形的对角线垂直证得，由线面垂直的判定定理说明即得证； （2）延长交于点，平面即为平面，平面即平面，由（1）得平面平面，平面平面，所以过做，由面面垂直的性质则平面，故即为直线与平面所成角（若研究直线与平面所成角的正弦值则线段等比例扩大2倍结果不变），在菱形ABCD中求出BD，作，由和勾股定理可求得，由余弦定理和同角三角函数关系求得，，进而求得，最后由正弦函数定义可求得答案；也可以利用建立空间直角坐标系的方式运算求解. 【详解】（1）略 （2）延长交于点，平面即为平面，平面即平面, 由（1）得平面平面，平面平面， 所以过做，则平面，故即为直线与平面所成角（若研究直线与平面所成角的正弦值则线段等比例扩大2倍结果不变） 因为四棱台中，所以，， 由菱形有，且∠ABC=，所以， 作，因为，则，， 所以， 则，，， 故. 法二：延长交于点， 平面即为平面，平面即平面， 设直线与平面所成角为， 过作，垂足为，因为，所以， 建系，以为轴，作轴， ， ， 设平面的法向量为，则 ， 所以， ， 所以. 【点睛】本题考查空间中线面垂直的证明，还考查了空间线面角正弦值的运算，属于难题. 17. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本成绩的； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】（1）； （2）84； （3）总平均数是62，总方差是37． 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1列式即可得解. （2）根据频率分布直方图先明确样本成绩的所在的范围，再结合已知数据即可求解. （3）先分别求出成绩落在和内的人数，再根据平均数定义和分层随机抽样的方差公式即可求解. 【小问1详解】 由频率之和为1得， 解得． 【小问2详解】 因为成绩落在内的频率为 落在内的频率为 所以样本成绩的落在范围内， 设为m，则，解得， 故为84. 【小问3详解】 由图可知，成绩在内的市民人数为， 成绩在内的市民人数为， 故． ， 所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37． 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，为线段上的动点. （1）若为的中点，求三棱锥的体积； （2）若，问上是否存在点，使得平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由； （3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1） （2）存在，AB的中点 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由条件可得点与点到平面的距离之比为，再由锥体的体积公式，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由线面平行的判定定理，即可证明； （3）根据题意，由二面角的定义可得是面与面所成锐二面角的平面角，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 因为为的中点，所以点与点到平面的距离之比为， 故. 【小问2详解】 存在，取AB的中点，连接DM交AC于点，连接EG， 则EG为面AEC与面PMD的交线. 易得， 在三角形中，，所以，所以平面EAC， 即存在点，且当为AB中点时，平面. 【小问3详解】 过点P作，因为， 所以，面面， 因为面，所以，又，， 所以面， 又因为，所以面，，， 所以是面与面所成锐二面角的平面角， 因为是等腰直角三角形，所以. 19. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸： 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得，，，其中为抽取的第个零件的尺寸，. （1）求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. （i）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ （ii）请利用已经学过的方差公式：来证明方差第二公式. （iii）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，并利用（ii）中公式估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.（精确到0.01） 附：样本的相关系数，. 【答案】（1）；可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小 （2）（i）从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查；（ii）证明见解析；（iii）均值；标准差 【解析】 【分析】（1）根据数据和公式即可计算的值，根据的规则进行判断即可； （2）（i）计算的值，根据13个零件的尺寸与区间的关系进行判断；（ii）根据已学公式进行变形即可证明；（iii）代入公式计算即可. 【小问1详解】 由题可得， ， 所以， 则，所以可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小 【小问2详解】 （i）由题可得，， 因为第13个零件的尺寸为，， 所以从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查； （ii）由于 ，证毕. （iii）剔除离群值后，剩下的数据平均值为， 所以剔除离群值后，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为， 剔除离群值后，， 所以剔除离群值后，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差， 所以剔除离群值后，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为， 【点睛】易错点点睛：解答此类统计类的题目需要细心，特别是计算，涉及到的数较多，一不小心，就很容易出现计算错误. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市一中2023级2023-2024学年下学期期末考试 高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 考生你好，本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（ ） A. B. C. D. 2. 定义在上的函数为偶函数，，，则（　　） A. B. C. D. 3. 下表是某服装销售公司2021年度各类服装营业收入占比和净利润占比统计表： 衣服裤子类 鞋类 帽子围巾类 其他类 营业收入占比 净利润占比 下列判断中不正确的是（ ） A. 该公司2021年度鞋类销售亏损 B. 该公司2021年度净利润主要由衣服裤子类销售提供 C. 该公司2021年度帽子围巾类营业收入和净利润相同 D. 清除鞋类销售数据后，该公司2021年度衣服裤子类销售净利润占比将会降低 4. 已知甲袋中有4个白球､个红球，乙袋中有2个白球､4个红球，各个球的大小与质地相同.现从甲､乙两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6或2 D. 8或4 5. 已知函数的图象经过点和.若函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 6. 平面内有向量满足，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 在四棱锥中，AD＝2，，，且，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，真命题是（ ） A. ，使得 B. C. 幂函数在上为减函数，则m的值为 D. ，是的充分不必要条件 10. 设正数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知棱长为2的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，则下列说法正确的是（ ） A. 球的体积为 B. 球内接圆柱的侧面积的最大值为 C. 球在正方体外部的体积小于 D. 球在正方体外部的面积大于 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________． 13. 已知某圆台的体积为，其上底面和下底面的面积分别为，，且该圆台两个底面的圆周都在球的球面上，则球的表面积为______. 14. 已知函数若在区间D上的最大值存在，记该最大值为，则满足等式的实数a的取值集合是___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，，求的值. 16. 如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=， （1）求证：直线AC⊥平面BDB1； （2）求直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值. 17. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本成绩的； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，为线段上的动点. （1）若为的中点，求三棱锥的体积； （2）若，问上是否存在点，使得平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由； （3）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 19. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸： 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得，，，其中为抽取的第个零件的尺寸，. （1）求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. （i）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ （ii）请利用已经学过的方差公式：来证明方差第二公式. （iii）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，并利用（ii）中公式估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.（精确到0.01） 附：样本的相关系数，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $