2024-2025学年苏教版高一数学（必修1）《1.1集合的概念与表示》提优训练原卷+解析卷

2024-2025学年苏教版高一数学（必修1）《1.1集合的概念与表示》提优训练 （时间：100分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.有下列各组对象：①高一（2）班个子比较高的同学；②接近于0的实数；③倒数等于它本身的实数；④函数的图象上的所有点；其中能构成集合的有几组？ （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列各组集合中，表示同一集合的是 （ ） A. B. C. D. 3.已知A={x|-1<x<k,x∈N},若集合A中恰有3个元素,则实数k的取值范围是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.{k|2<k<3} B.{k|2≤k<3} C.{k|2<k≤3} D.{k|2≤k≤3} 4..已知a∈R,b∈R,若集合={a2,a+b,0},则a2 024+b2 025的值为(　　) A.-2 B.1 C.-1 D.2 5.若集合A={x|ax≥1}是包含-2的无限集,则a的取值范围是(　　) A.a>- B.a≥- C.a<- D.a≤- 6.已知集合A中元素满足2x+a>0,a∈R,若1∉A,2∈A,则(　　) A.a>-4 B.a≤-2 C.-4<a<-2 D.-4<a≤-2 7.下列说法中正确的个数是（ ） ①；②；③单词book中所有字母组成的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示. A.0 B.1 C.2 D.3 8.已知为非零实数，集合，则集合 （ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列选项中的两个集合相等的有(　　) A.P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n+1),n∈Z} B.P={x|x=2n-1,n∈N*},Q={x|x=2n+1,n∈N*} C.P={x|x2-x=0},Q= D.P={x|y=x+1},Q={(x,y)|y=x+1} 10.已知集合，若，则的可能值为（ ） A. B.0 C.1 D.-2 11.已知x,y,z为非零实数,代数式的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是(　　) A.0∉M B.2∈M C.-4∈M D.4∈M 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设为两个非空实数集合，定义集合，若，则中元素有 个。 13.集合A中的元素x满足∈N,x∈N,则集合A中的元素为　　　　.  14.已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,则2 025a的值为　　　　.  四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（12分）集合大的表示 （1）.分别用列举法表示下列集合： ①　　　　　； ② . （2）.用描述法表示下列集合： ①直角坐标平面内第三象限内的点的坐标所组成的集合　　　　　　　　； ②被3除余1的正整数的集合是　　　　　　　　. 16.（13分）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 17.（15分）已知集合A中的元素x满足x=m2-n2(m,n∈Z),求证: （1）3∈A; （2）偶数4k-2(k∈Z)不属于集合A. 18.（15分）已知集合 （1）若=，求的取值范围； （2）若中只有一个元素，求的值并写出这个集合的元素； （3）若中至多有一个元素，求的取值范围； （4）若中有两个元素，求的取值范围。 19.（17分）定义1:对于一个数集，定义一种运算，对任意都有，则称集合关于运算是封闭的（例如:自然数集对于加法运算是封闭的）. 定义2:对于一个数集，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的单位元（例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元）. 定义3:对于一个数集，如果满足下列关系: ①有零元和单位元； ②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； ③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律；则称这个数集是一个数域. (1)指出常用数集中，那些数集可以构成数域（不需要证明）； (2)已知集合，证明:集合关于乘法运算是封闭的； (3)已知集合，证明:集合是一个数域. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏教版高一数学（必修1）《1.1集合的概念与表示》提优训练 （时间：100分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.有下列各组对象：①高一（2）班个子比较高的同学；②接近于0的实数；③倒数等于它本身的实数；④函数的图象上的所有点；其中能构成集合的有几组？ （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】①因为未规定高个子的标准，所以①中的对象不能组成一个集合； ②因为未规定接近于0的标准，所以②中的对象不能组成一个集合； ③倒数等于它本身的实数只有，是确定的，所以③中的对象能组成一个集合； ④因为函数的图象上的所有点具备确定性，所以④中的对象能组成一个集合. 所以有2组能构成集合，故选B. 2.下列各组集合中，表示同一集合的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A选项集合中元素为点的坐标，所以不是同一个集合； B选项由元素的无序性知，为同一个集合； C选项集合M的元素为点，集合N的元素是一个方程，所以不是同一个集合； D选项集合M是非空集合，所以不是同一个集合.故选B. 3.已知A={x|-1<x<k,x∈N},若集合A中恰有3个元素,则实数k的取值范围是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.{k|2<k<3} B.{k|2≤k<3} C.{k|2<k≤3} D.{k|2≤k≤3} 【答案】C　 【解析】因为A={x|-1<x<k,x∈N},且集合A中恰有3个元素,所以集合A={0,1,2},所以2<k≤3.故选C. 4..已知a∈R,b∈R,若集合={a2,a+b,0},则a2 024+b2 025的值为(　　) A.-2 B.1 C.-1 D.2 【答案】B　 【解析】易知a≠0,∵={a2,a+b,0},∴=0,即b=0,∴{a,0,1}={a2,a,0}.∴a2=1,解得a=-1或a=1.当a=1时,集合为{1,0,1},不符合集合中元素的互异性,故舍去;当a=-1时,集合为{-1,0,1}.综上,a=-1,b=0. ∴a2 024+b2 025=(-1)2 024+02 025=1. 5.若集合A={x|ax≥1}是包含-2的无限集,则a的取值范围是(　　) A.a>- B.a≥- C.a<- D.a≤- 【答案】D　 【解析】因为集合A={x|ax≥1}是包含-2的无限集,所以-2∈A,所以-2a≥1,所以a≤-,经检验满足题意. 6.已知集合A中元素满足2x+a>0,a∈R,若1∉A,2∈A,则(　　) A.a>-4 B.a≤-2 C.-4<a<-2 D.-4<a≤-2 【答案】D　 【解析】∵1∉A,∴2×1+a≤0,∴a≤-2.又∵2∈A,∴2×2+a>0,∴a>-4,∴-4<a≤-2. 7.下列说法中正确的个数是（ ） ①；②；③单词book中所有字母组成的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示. A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】A 【解析】因为不是空集，所以①不对；②中不是元素与集合的关系，所以不对； ③中集合不满足元素的互异性，所以不对；④中集合是无限集，不能用列举法表示，所以不对.故选A. 8.已知为非零实数，集合，则集合 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】当时，，当时，；当时，； 当时，.故 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列选项中的两个集合相等的有(　　) A.P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n+1),n∈Z} B.P={x|x=2n-1,n∈N*},Q={x|x=2n+1,n∈N*} C.P={x|x2-x=0},Q= D.P={x|y=x+1},Q={(x,y)|y=x+1} 【答案】AC　 【解析】选项A中,集合P,Q都表示所有偶数组成的集合,所以P=Q;选项B中,P是由所有正奇数组成的集合,Q是由所有大于1的正奇数组成的集合,1∉Q,所以P≠Q; 选项C中,P={0,1},对于Q,当n为奇数时,x==0,当n为偶数时,x==1,所以Q={0,1},P=Q; 选项D中,集合P是由直线y=x+1上点的横坐标构成的集合,而集合Q是由直线y=x+1上点的坐标构成的集合,所以P≠Q. 10.已知集合，若，则的可能值为（ ） A. B.0 C.1 D.-2 【答案】BC 【解析】因为，所以由解得， 代入检验，由互异性可得不符合.故选BC. 11.已知x,y,z为非零实数,代数式的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是(　　) A.0∉M B.2∈M C.-4∈M D.4∈M 【答案】CD　 【解析】根据题意,分4种情况讨论:①x,y,z全部为负数时,xyz为负数,则=-4;②x,y,z中有一个为负数时,xyz为负数,则=0; ③x,y,z中有两个为负数时,xyz为正数,则=0; ④x,y,z全部为正数时,xyz也为正数,则=4,则M={-4,0,4}.故选CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设为两个非空实数集合，定义集合，若，则中元素有 个。 【答案】8 【解析】由题意可得：，所以中元素有8个 13.集合A中的元素x满足∈N,x∈N,则集合A中的元素为　　　　.  【答案】0,1,2 【解析】∵x∈N,∈N,∴0≤x≤2且x∈N.当x=0时,=2∈N;当x=1时,=3∈N;当x=2时,=6∈N. ∴集合A中的元素为0,1,2. 14.已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,则2 025a的值为　　　　.  【答案】1 【解析】①若a+2=1,即a=-1,则(a+1)2=0,a2+3a+3=1,不满足集合中元素的互异性;②若(a+1)2=1,则a=-2或a=0,当a=-2时,a+2=0,a2+3a+3=1,不满足集合中元素的互异性,当a=0时,a+2=2,a2+3a+3=3,满足题意;③若a2+3a+3=1,则a=-1或a=-2,由①②可知均不满足集合中元素的互异性.综上,实数a的值为0,故2 025a的值为1. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（12分）集合大的表示 （1）.分别用列举法表示下列集合： ①　　　　　； ② . 【答案】①；② （2）.用描述法表示下列集合： ①直角坐标平面内第三象限内的点的坐标所组成的集合　　　　　　　　； ②被3除余1的正整数的集合是　　　　　　　　. 【答案】①；② 16.（13分）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 解：（1）时，解得符合题意；时令解得，此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素.由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意.即解得且.综上. 17.（15分）已知集合A中的元素x满足x=m2-n2(m,n∈Z),求证: （1）3∈A; （2）偶数4k-2(k∈Z)不属于集合A. 解：⑴证明　(1)令m=2∈Z,n=1∈Z,得x=m2-n2=4-1=3,所以3∈A. (2)假设4k-2∈A(k∈Z),则存在m,n∈Z,使4k-2=m2-n2=(m+n)(m-n)(k∈Z)成立. ①当m,n同奇或同偶时,m+n,m-n均为偶数,所以(m+n)(m-n)为4的倍数,与4k-2(k∈Z)不是4的倍数矛盾. ②当m,n一奇一偶时,m+n,m-n均为奇数,所以(m+n)(m-n)为奇数,与4k-2(k∈Z)是偶数矛盾.所以假设不成立.综上所述,4k-2∉A(k∈Z). 18.（15分）已知集合 （1）若=，求的取值范围； （2）若中只有一个元素，求的值并写出这个集合的元素； （3）若中至多有一个元素，求的取值范围； （4）若中有两个元素，求的取值范围。 解：⑴因为，所以，解得； ⑵因为中只有一个元素所以当时，方程为：，解得； 当时，由，解得，此时方程为：，解得； 综上：当时，集合中的元素为；当时，集合中的元素为； ⑶因为中至多有一个元素，所以或中只有一个元素所以由⑴⑵可得：； ⑷因为中有两个元素，所以由，解得。 19.（17分）定义1:对于一个数集，定义一种运算，对任意都有，则称集合关于运算是封闭的（例如:自然数集对于加法运算是封闭的）. 定义2:对于一个数集，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称为集合中的单位元（例如:0和1分别为自然数集中的零元和单位元）. 定义3:对于一个数集，如果满足下列关系: ①有零元和单位元； ②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； ③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律；则称这个数集是一个数域. (1)指出常用数集中，那些数集可以构成数域（不需要证明）； (2)已知集合，证明:集合关于乘法运算是封闭的； (3)已知集合，证明:集合是一个数域. 解：（1）由于，而，因此不是数域； 由于，而，因此不是数域； 中，都有零元：0和单位元：1； 关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； 对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律， 所以可以是数域. （2）设(都为整数)，显然,且， 则 显然，因此， 所以集合A关于乘法运算是封闭的. （3）①显然,当时，；当时，， 显然对任意，都有，所以集合中有零元0和单位元1； ②设，则， 因为都为有理数，则也都为有理数， 因此；又由（2）同理可得，都为有理数时，也都为有理数，于是；当时，令， 显然都是有理数，则，于是， 因此集合A关于加、减、乘、除运算都是封闭的； ③显然任意，都有，由中加法、乘法运算都满足交换律、结合律，还满足乘法对加法的分配律，因此集合A中加法、乘法运算都满足交换律、结合律，还满足乘法对加法的分配律，所以集合A是一个数域. 学科网（北京）股份有限公司 $$