精品解析：江苏省苏州市苏州工业园区唯亭学校2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题

2023-2024 学年 第二学期 八年级 数学学科 3月 综合评价练习 一、单选题（共8小题，每小题2分，总分16分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：“含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，”进行判断即可． 【详解】解：A、含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，是一元一次方程，故不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； C、含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：C． 2. 将方程改写成的形式，则，，的值分别为（　　） A. 2，4，7 B. 2，4， C. 2，，7 D. 2，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握“任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式（）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项”是解题的关键． 【详解】解：∵可化为， ∴它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，，7， 故选：C． 3. 用配方法解一元二次方程：，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，利用完全平方公式进行配方即可求解． 【详解】解：， 移项得，， 配方得，， 即， 故选：B． 4. 已知a是方程 的一个解，则的值为（ ） A. 10 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义及代数式求值，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程求得，然后根据即可求解． 【详解】解：把代入方程得：， 则， 则． 故选：A 5. 如图，两张相同的长方形纸片如图叠放，关于新的组合图形的对称性（ ） A. 既是轴对称，也是中心对称 B. 是轴对称，不是中心对称 C. 不是轴对称，是中心对称 D. 既不是轴对称，也不是中心对称 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形，根据沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的平面图形叫做轴对称图形；绕某一点旋转，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形进行判断即可． 【详解】解：如图可得，新的组合图形是轴对称，也是中心对称， 故选：A． 6. 下列性质中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】正方形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分且相等； 菱形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分； 因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等． 故选C． 7. 菱形的周长为8，两邻角的度数之比为，则较长的对角线长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，根据菱形的性质和题意求得，，，从而可得，再根据直角三角形的性质可得，利用勾股定理求得，再根据菱形的性质求解即可． 【详解】解：如图，∵菱形的周长为8， ∴，即， ∵两邻角的度数之比为，， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， 则较长的对角线长为， 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 8. 如图，在中，，，，D是斜边上一动点，，，垂足分别为E、F．连接，则点 D在运动过程中，的最小值为（ ） A. 2 B. 2.4 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短，连接，根据矩形的判定与性质可得，即当最小时，最小，此时，利用勾股定理求得，再利用的面积公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，最小，此时， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为2.4， 故选：B． 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 正方形绕其中心至少旋转______度能与原图完全重合 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转设计图案，旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解答关键． 根据对于正n边形，绕其中心旋转的最小重合角度为，从而能计算出正方形绕其中心旋转与原图完全重合的最小角度． 【详解】解：正方形每个顶点移动到相邻顶点的位置，图形完全重合， 故绕其中心旋转的最小重合角度为， 故答案为：． 10. 若代数式：是完全平方公式，则m 的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式的结构可得，再求解即可． 【详解】解：∵是完全平方公式， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义： 只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程可得，再解即可 ． 【详解】解： 由题意得：， 解得：， 故答案为： 12. 关于x的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，理解平方的非负性是解题关键．根据直接开平方法可得关于m的不等式，进而求解可得． 【详解】解：可以用直接开平方法求解， ， ． 故答案为． 13. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，E为中点，，，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、三角形中位线定理，由菱形的性质可得，，，，利用勾股定理求得，由三角形中位线定理可得，计算求解即可． 【详解】解：由菱形的性质可得，，，， ∴， ∵O是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，点D、E分别为的中点，点F为中点，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质得到，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：，点是的中点， ， 点、分别是、的中点， ， 故答案为： 15. 如图，正方形，E是对角线上一点，，交于F．若，则___________． 【答案】或 【解析】 【分析】连接，根据正方形的性质可得，，，根据等腰三角形的判定可得，利用勾股定理求得，证得，可得，再利用求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形证明是解题的关键． 16. 如图，在矩形中，，平分交交于 P，则 _________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质和角平分线的定义推出，，进而得出，，解直角三角形求得，，则，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分交， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的性质与判定、解直角三角形、角平分线的定义、等腰三角形的判定，熟练掌握相关性质是解题的关键． 三、解答题 17. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2）， （3）或 （4）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，（1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用直接开平方法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 两边除以3得，， 直接开平方得，； 【小问2详解】 解：， 开平方得，， ∴，； 【小问3详解】 解：， 因式分解得，， ∴或， ∴或； 【小问4详解】 ， ∵， ∴， ∴，． 18. （1）用刻度尺画出关于点O的中心对称图形； （2）用无刻度的直尺画一条直线，将所给图形分成面积相等的两部分（保留画图痕迹）． 【答案】 （1）如图，即为所求； （2）如图，直线即为所求； 【解析】 【分析】本题考查中心对称作图、矩形的性质，（1）连接并延长至点，使得，连接并延长至点，使得，连接并延长至点，使得，再顺次连接点、、，则就是以点O为对称中心，与成中心对称的图形； （2）先把图形分成两个矩形，再分别作出两个矩形的中心，进行两个中心作直线即可． 【详解】（1）略 （2）略 19. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥AC．求证：BE＝CF. 【答案】 证明∵DE∥BC，EF∥AC， ∴四边形CDEF是平行四边形， ∴DE=CF， ∵DE∥BC， ∴∠CBD=∠BDE， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBE=∠CBD， ∴∠BDE=∠DBE， ∴BE=DE， 故CF=BE. 【解析】 【分析】根据AF∥CE可得∠AFD=∠CED，然后再证明△ADF≌△CDE可得DF=DE，然后再证明△FDC≌△EDA，根据全等三角形的性质可得∠CFD=∠DEA．再根据内错角相等两直线平行可得FC∥AE． 【详解】略 【点睛】本题主要考查平行线的性质、平行四边的判定和平行四边形对边相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 20. 如图，在中，．将绕点按逆时针方向旋转后得，连接．当时，求的度数． 【答案】． 【解析】 【分析】由旋转的性质得出△ADE≌△ABC，则∠C=∠E=40°，由平行线的性质有∠E=∠EAC，得出∠ABD=∠ADB，则可求出答案． 【详解】∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得△ADE， ∴△ADE≌△ABC， ∴∠C=∠E=40°， ∵DE∥AC， ∴∠E=∠EAC， 又∵∠BAD=∠EAC， ∴∠BAD=∠C=40°， ∵AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴∠ABD=(180°-∠BAD)=70°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 21. 如图，E是正方形边 延长线上的一点，且，连接交于 F． （1）求 的度数： （2）若，求正方形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质求得，再根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的内角和定理求解即可； （2）过点F作于点G，由（1）可得，平分，根据角平分线的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，利用勾股定理求得，进而求得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：过点F作于点G， ∵四边形是正方形， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴平分， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的周长为． 【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 22. 如图，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点处，交AD于E，AD＝8，AB＝4，求 的面积． 【答案】10 【解析】 【分析】由矩形的性质和折叠的性质得出∠1=∠2=∠3，可得DE=BE，设DE=BE =x，则AE=8-x．根据勾股定理求BE及DE的长，即可求出△BDE的面积． 【详解】解：由题意易知AD∥BC，∴∠2＝∠3 ∵△BC′D与△BCD关于直线BD对称，∴∠1＝∠2 ∴∠1＝∠3.∴EB＝ED 设EB＝x，则ED＝x，AE＝AD－ED＝8－x 在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2， ∴42＋(8－x)2＝x2 ∴x＝5 ∴DE＝5 ∴S△BED＝DE·AB＝×5×4＝10 【点睛】此题考查了折叠变换的性质、矩形的性质、勾股定理、平行线的判定、等腰三角形的判定；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，证明DE=BE是解决问题的关键． 23. 如图，菱形对角线、交于点O，过点D作，且． （1）证明：； （2）若菱形边长为4，，求． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，由菱形的判定即可得证； （2）根据菱形的性质可得，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：在菱形中，， ∴， 在矩形中，， ∴在中，． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定、勾股定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 24. 如图，在中，，，，动点P 在射线 上，将线段 绕点 C逆时针旋转得到线段，连接、． （1）证明：； （2）面积的最小值为 ； （3）当为等腰三角形时，求的长． 【答案】（1） 证明：由旋转的性质得，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）2 （3）4或8 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得，再利用“”证明即可； （2）根据，可得当的值最小时，最小，此时，根据等腰三角形的性质与判定可得，即可求解； （3）以A为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，连接，如图，设，则，，由（1）可得，，可求，，，再分三种情况：若，若，若，列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将线段 绕点 C逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 当的值最小时，最小，此时， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：2； 【小问3详解】 解：以A为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，连接，如图， 设，则，， 由（1）可得，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ①若，则， 解得， ∴， ②若，则， 方程无解，这种情况不存在， ③若，则， 解得（此时点P与点A重合，舍去）或， ∴， 综上所述，的长为4或8． 【点睛】本题考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、旋转的性质、等边三角形的性质、解一元一次方程和一元二次方程，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024 学年 第二学期 八年级 数学学科 3月 综合评价练习 一、单选题（共8小题，每小题2分，总分16分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程改写成的形式，则，，的值分别为（　　） A. 2，4，7 B. 2，4， C. 2，，7 D. 2，， 3. 用配方法解一元二次方程：，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知a是方程 的一个解，则的值为（ ） A. 10 B. C. 2 D. 5. 如图，两张相同的长方形纸片如图叠放，关于新的组合图形的对称性（ ） A. 既是轴对称，也是中心对称 B. 是轴对称，不是中心对称 C. 不是轴对称，是中心对称 D. 既不是轴对称，也不是中心对称 6. 下列性质中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 7. 菱形的周长为8，两邻角的度数之比为，则较长的对角线长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 如图，在中，，，，D是斜边上一动点，，，垂足分别为E、F．连接，则点 D在运动过程中，的最小值为（ ） A. 2 B. 2.4 C. 2.5 D. 3 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 正方形绕其中心至少旋转______度能与原图完全重合 10. 若代数式：是完全平方公式，则m 的值是_________． 11. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是__________ 12. 关于x的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是__________． 13. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，E为中点，，，则线段的长为___________． 14. 如图，在中，，点D、E分别为的中点，点F为中点，则的长为__________． 15. 如图，正方形，E是对角线上一点，，交于F．若，则___________． 16. 如图，在矩形中，，平分交交于 P，则 _________________． 三、解答题 17. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 18. （1）用刻度尺画出关于点O的中心对称图形； （2）用无刻度的直尺画一条直线，将所给图形分成面积相等的两部分（保留画图痕迹）． 19. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥AC．求证：BE＝CF. 20. 如图，在中，．将绕点按逆时针方向旋转后得，连接．当时，求的度数． 21. 如图，E是正方形边 延长线上的一点，且，连接交于 F． （1）求 的度数： （2）若，求正方形的周长． 22. 如图，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点处，交AD于E，AD＝8，AB＝4，求 的面积． 23. 如图，菱形对角线、交于点O，过点D作，且． （1）证明：； （2）若菱形边长为4，，求． 24. 如图，在中，，，，动点P 在射线 上，将线段 绕点 C逆时针旋转得到线段，连接、． （1）证明：； （2）面积的最小值为 ； （3）当为等腰三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $