精品解析：江苏省苏州市苏州工业园区唯亭学校2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题

2023−2024学年第二学期九年级数学3月综合评价练习 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的乘方，有理数的大小比较．根据负数小于正数，负数绝对值大的反而小进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∴，即， 最小的数是， 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法运算法则、合并同类项以及幂的乘方运算法则进行判断即可． 【详解】A. 与不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B. ，故本选项错误，不符合题意； C. ，故本选项正确，符合题意； D. ，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查幂的混合运算，合并同类项，解此题的关键在于熟练掌握其知识点． 3. 下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，是的直径，弦交于点，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，证明，利用直角三角形的两锐角互余求出，然后由同弧所对的圆周角相等即可求解，解题的关键是熟练掌握圆周角定理得应用． 【详解】解：如图，连接，    ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：． 5. 如图，点D、E分别是上、边上的中点，为阴影部分．现有一小孩向其投一小石子且已投中，则石子落在阴影部分的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得出，，根据相似三角形的判定定理和性质定理，得出，即可求解． 【详解】解：∵点D、E分别是、边上的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴石子落在阴影部分的概率是，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．也考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据相似三角形的形状求出． 6. 上海与北京之间的铁路距离约为1400km，乘坐高铁列车比乘坐普通列车能提前4h到达．已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的2倍，设普通快车的平均行驶速度为xkm/h，根据题意所列出的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可直接列出方程． 【详解】解：由题意可列出方程为； 故选D． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意． 7. 如图，等腰直角三角形中，将绕点B顺时针旋转），得到，连接，过点A作交的延长线于点H，连接AP，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，进而得到，，即可判断A项；根据，可得四点共圆，即有，结合，可得，故可判定B；若，即有，则是等边三角形，显然，在旋转时，无法不总是等边三角形，故C错误；结合，，可得，故可判定D． 【详解】解：根据旋转的性质，结合有， ，，故A项正确； ，， ， 四点共圆， ， ，， ，故B正确； 若，即有，则是等边三角形， 显然，在旋转时，无法总是等边三角形，故C错误； ， ， ， ，故D正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题关键． 8. 如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2）是图象的最低点，那么a的值为（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由A、C关于BD对称，推出NA=NC，推出AN+MN=NC+MN，推出当M、N、C共线时，y的值最小，连接MC，由图象可知MC=2，就可以求出正方形的边长，再求a的值即可． 【详解】解：如图，连接AC交BD于点O，连接NC，连接MC交BD于点N′． ∵四边形ABCD是正方形， ∴O是BD的中点， ∵点M是AB的中点， ∴N′是△ABC的重心， ∴N′O=BO， ∴N′D=BD， ∵A、C关于BD对称， ∴NA=NC， ∴AN+MN=NC+MN， ∵当M、N、C共线时，y的值最小， ∴y的值最小就是MC的长， ∴MC=2， 设正方形的边长为m，则BM=m， 在Rt△BCM中，由勾股定理得：MC2=BC2+MB2， ∴20=m2+（m）2， ∴m=4(负值已舍)， ∴BD=4， ∴a=N′D=BD=×4＝， 故选：A． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到正方形的性质，重心的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上． 9. 古人云：“盛年不再来，一日难再晨，及时当勉励，岁月不待人．”我们应珍惜每一天，活在当下，一个人一生大约天，数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴用科学记数法表示为， 故答案为：． 10. 分解因式：a2﹣4b2=_____． 【答案】（a+2b）（a﹣2b） 【解析】 【详解】首先把4b2写成（2b）2，再直接利用平方差公式进行分解即可． 解：a2－4b2=a2-（2b）2=（a+2b）（a－2b）， 故答案为（a+2b）（a－2b）． 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．根据被开方数大于等于零建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：要代数式有意义， 则即， x的取值范围是， 故答案为：． 12. 如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为5cm，则这个扇形的半径是__________cm． 【答案】12 【解析】 【分析】根据底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可．掌握圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长，是解题的关键． 【详解】解：设扇形的半径为， 由题意，得：， 解得：， 故答案为：12． 13. 已知一次函数与反比例函数的图象有交点，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由于一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象有交点，则说明有解． 【详解】解：令，变形得：， ∵图象有交点， ∴有解， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题运用了方程组的知识和一元二次方程根的判别式的有关内容，注意函数图像的交点问题和对应一元二次方程的根的关系． 14. 如图，是等腰三角形，O是底边上任意一点，过O作于E，作于F，若的面积为12，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，连接，根据三角形的面积可得，根据等腰三角形的面积可得，即可求解，作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∵ ， ， ∵是等腰三角形， ∴， 又∵的面积为12， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在边长相同的小正方形网格中，点都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求余弦，连接，，根据勾股定理和勾股定理逆定理，推出，则，再证明四边形是平行四边形，则，根据性质可得，即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，连接，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，已知的一边AB平行于x轴，且反比例函数经过顶点B和OA上的一点C，若OC＝2AC且的面积为，则k的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】作BD⊥x轴，CE⊥x轴，AF⊥x轴，可得AF//CE，根据平行线分线段成比例可得，设点，则，再根据，即可求得k的值． 【详解】解：如图，作BD⊥x轴，CE⊥x轴，AF⊥x轴， ∴AF//CE， ∴， ∵， ∴， 设点， ∵AB//x轴， ∴A点的纵坐标为n， ∴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴， ∵， ∴， 解得：k=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握这两个知识点的应用，由图行推比例线段及C点的表示方法是解题关键． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】根据二次根式的性质、负整数指数幂、特殊角的三角函数值分别计算各项，即可求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握二次根式的性质、负整数指数幂、特殊角的三角函数值是解题的关键． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 已知，如图所示，，，点E、F在上．，连接． 求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴； ∵，， ∴； （2） 证明：∵， ∴，， ∴， ∴； ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）由即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，，从而可得，即可证明四边形为平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，证明两个三角形全等是问题的关键． 21. 为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A．宜兴竹海，B．宜兴善卷洞，C．阖闾城遗址博物馆，D．锡惠公园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票． （1）小明获得一次抽奖机会，他恰好抽到景区A门票的概率是_________． （2）小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）画出树状图，得出总的结果数和恰好抽到景区A和景区B门票的情况，即可求解. 【小问1详解】 解：∵共有4张相同的卡片且任意抽取一张卡片，记录后放回， ∴每张卡片抽到的概率都是， 设小明恰好抽到景区A门票为事件，则, 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： ∴一共有16种等可能的情况，恰好抽到景区A和景区B门票的情况有2种， ∴他恰好抽到景区A和景区B门票的概率为； 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比. 22. 某校为了解本校七年级学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查中样本容量为_______；在扇形统计图中，“非常重视”所占的圆心角的度数为_______； （2）补全条形统计图； （3）该校七年级共有学生400人，请估计该校七年级学生对视力保护“比较重视”的学生人数． 【答案】（1）80；． （2） 如图 （3）七年级学生对视力保护“比较重视”的学生人数约为180人． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图有关知识，以及用样本估计总体，从图表得到数据和数据之间的数量关系是解决问题的关键． （1）根据“不重视”扇形统计图所占的百分比，结合条形统计图中“不重视”的人数可求出此次调查中样本容量．根据“非常重视”的人数占比与对应的圆心角占圆周角的占比相等，即可求出圆心角． （2）根据“重视”的扇形统计图所占的百分比，依据（1）的样本容量，算出“重视”人数，然后补全条形统计图即可解题． （3）根据条形统计图中“比较重视”的人数占比与七年级总体学生“比较重视”的人数占比相同，即可解题． 【小问1详解】 解：由题知，（人），， 故答案为：80，． 【小问2详解】 解：（人）， 【小问3详解】 解：（人）， 答：七年级学生对视力保护“比较重视”的学生人数约为180人． 23. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作轴于点B，，点C在线段上，且． （1）求k的值及线段的长； （2）点P为B点上方y轴上一点，当与的面积相等时，请求出点P的坐标． 【答案】（1），的长为3；（2）（0，10）． 【解析】 【分析】（1）根据，求出A点坐标，用待定系数法求出k的值，设BC为a，勾股定理列出方程，即可求解； （2）设P点坐标，根据面积相等列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴A点纵坐标为4，代入，得，解得， 则A点坐标为（8,4），代入，得，解得， 设BC为a，则， ， 解得，，则的长为3； （2）设P点坐标为（0，m）， 的面积=，的面积=， 由题意得，， 解得，， P点坐标为（0，10）． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，设点的坐标，建立方程． 24. 如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到） 【答案】堤坝高为6米，山高为46米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角，解直角三角形的应用-坡角坡度，正确地作出辅助线是解题的关键．过B作于H，设，，根据勾股定理得到，求得，过B作于F，则，设，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过B作于H， ∵坡度i为， ∴设，， ∴， ∴， ∴， 过B作于F， 则， 设， ∵． ∴， ∴， ∵坡度i为， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 答：堤坝高为6米，山高为46米． 25. 如图，已知中，，以为直径的圆交于，交于． （1）若，求证：为的切线． （2）若为的切线，，，求的长． 【答案】（1） 连接，， ∵为圆直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，解直角三角形得到，根据三角形的中位线定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 26. 某商场销售两种商品，每件进价均为元．调查发现，如果售出种件，种件，销售总额为元；如果售出种件，种件，销售总额为元． （1）求两种商品的销售单价． （2）经市场调研，种商品按原售价销售，可售出件，原售价每降价元，销售量可增加件；B种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）的销售单价为元、的销售单价为元； （2）当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】（1）设的销售单价为元、的销售单价为元，根据题意列方程组求解即可得到答案； （2）设利润为，根据题意，得到，结合二次函数性质及题中限制条件分析求解即可得到答案； 本题考查了二元一次方程组及二次函数解实际应用题，读懂题意，根据等量关系列出方程组，根据函数关系找到函数关系式分析是解题的关键． 【小问1详解】 解：设的销售单价为元、的销售单价为元，则 ，解得， 答：的销售单价为元、的销售单价为元； 【小问2详解】 解：∵种商品售价不低于种商品售价， ∴，解得，即， 设利润为，则 ， ∵， ∴在时能取到最大值，最大值为， ∴当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元． 27. 在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． （1）如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上． ①________； ②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； ③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． （2）已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式． 【答案】（1）①1；②；③是，值为1 （2）或 【解析】 【分析】（1）①当，，可知不在二次函数图象上，将代入，求解值即可；②由①知，二次函数解析式为，设菱形的边长为，则，，由菱形的性质得，，，则轴，，根据，即，计算求出满足要求的解即可；③如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于，由正方形的性质可知，为、的中点，，，则，证明，则，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，计算求解即可1； （2）由题意知，分①当在轴右侧时，②当在轴左侧时，③当在轴左侧，在轴右侧时，三种情况求解；①当在轴右侧时，，同理（1）③，，，由题意知，，，，则，，设，则，，，，，，则，，即，解得；②当在轴左侧时，求解过程同（2）①；③当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时，同理可求，当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时，由正方形、二次函数的性质可得，． 【小问1详解】 ①解：当，， ∴不在二次函数图象上， 将代入，解得， 故答案为：1； ②解：由①知，二次函数解析式为， 设菱形的边长为，则，， 由菱形的性质得，，， ∴轴， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去），（舍去），， ∴菱形的边长为； ③解：如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于， 由正方形的性质可知，为、的中点，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 由题意知，，，，则，， 设，则，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧， ∴， ∴， ∴是定值，值为1； 【小问2详解】 解：由题意知，分①当在轴右侧时，②当在轴左侧时，③当在轴左侧，在轴右侧时，三种情况求解； ①当在轴右侧时， ∵， 同理（1）③，，， 由题意知，，，，则，， 设，则，， ∴，，，， ∴，， ∴， 化简得， ∵ ∴； ②当在轴左侧时， 同理可求； ③当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时， 同理可求， 当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时， 由正方形、二次函数的性质可得，； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，正方形、菱形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023−2024学年第二学期九年级数学3月综合评价练习 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，弦交于点，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点D、E分别是上、边上的中点，为阴影部分．现有一小孩向其投一小石子且已投中，则石子落在阴影部分的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 上海与北京之间的铁路距离约为1400km，乘坐高铁列车比乘坐普通列车能提前4h到达．已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的2倍，设普通快车的平均行驶速度为xkm/h，根据题意所列出的方程为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，等腰直角三角形中，将绕点B顺时针旋转），得到，连接，过点A作交的延长线于点H，连接AP，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2）是图象的最低点，那么a的值为（　　） A. B. 2 C. D. 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上． 9. 古人云：“盛年不再来，一日难再晨，及时当勉励，岁月不待人．”我们应珍惜每一天，活在当下，一个人一生大约天，数据用科学记数法表示为______． 10. 分解因式：a2﹣4b2=_____． 11. 若代数式有意义，则x的取值范围是____________． 12. 如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为5cm，则这个扇形的半径是__________cm． 13. 已知一次函数与反比例函数的图象有交点，则的取值范围是________. 14. 如图，是等腰三角形，O是底边上任意一点，过O作于E，作于F，若的面积为12，则_____． 15. 如图，在边长相同的小正方形网格中，点都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为_____． 16. 如图，已知的一边AB平行于x轴，且反比例函数经过顶点B和OA上的一点C，若OC＝2AC且的面积为，则k的值为______． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算： 18. 解不等式组： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知，如图所示，，，点E、F在上．，连接． 求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 21. 为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A．宜兴竹海，B．宜兴善卷洞，C．阖闾城遗址博物馆，D．锡惠公园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票． （1）小明获得一次抽奖机会，他恰好抽到景区A门票的概率是_________． （2）小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率． 22. 某校为了解本校七年级学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查中样本容量为_______；在扇形统计图中，“非常重视”所占的圆心角的度数为_______； （2）补全条形统计图； （3）该校七年级共有学生400人，请估计该校七年级学生对视力保护“比较重视”的学生人数． 23. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作轴于点B，，点C在线段上，且． （1）求k的值及线段的长； （2）点P为B点上方y轴上一点，当与的面积相等时，请求出点P的坐标． 24. 如图，堤坝长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到） 25. 如图，已知中，，以为直径的圆交于，交于． （1）若，求证：为的切线． （2）若为的切线，，，求的长． 26. 某商场销售两种商品，每件进价均为元．调查发现，如果售出种件，种件，销售总额为元；如果售出种件，种件，销售总额为元． （1）求两种商品的销售单价． （2）经市场调研，种商品按原售价销售，可售出件，原售价每降价元，销售量可增加件；B种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？ 27. 在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． （1）如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图象上． ①________； ②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； ③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． （2）已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $