精品解析：2024年广西南宁市中考模拟数学试卷（三）

2024年广西南宁市中考模拟数学试卷（三） (考试时间：120分钟，满分：120分) 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 4. 如图是某工厂要设计生产的零件的主视图，这个零件可能是（ ） A. B. C. D. 5. 数据2370000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 若点P（m﹣1，5）与点Q （3，2﹣n）关于y轴对称，则m+n的值是（　　） A ﹣5 B. 1 C. 5 D. 11 7. 在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx与一次函数y＝－kx－k（k≠0）的大致图象是（ ） A B. C. D. 8. 在平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，现从以下四个关系：①AB＝BC，②AC＝BD，③AC⊥BD，④AB⊥BC中任取一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为(　 　) A. B. C. D. 1 9. 《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程（组）后，我们可以非常顺捷地解决这个问题．如果设鸡有x只，兔有y只，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 10. 《九章算术》中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深1寸(寸)，锯道长1尺尺寸），问这块圆形木材的直径是多少．”如图，请根据所学知识计算：圆形木材的直径是（） A. 13寸 B. 20寸 C. 26寸 D. 28寸 11. 定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（ ） A. B. 5 C. D. 12. 如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，延长交轴于点．将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点落在上时，的延长线恰好经过点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分) 13. 满足式子2≤3x﹣7＜8成立的所有整数解的和为___． 14. 分解因式：______． 15. 学校要从王静，李玉两同学中选拔一人参加运动会志愿者工作，选拔项目为普通话，体育知识和旅游知识．并将成绩依次按4∶3∶3计分． 两人的各项选拔成绩如下表所示，则最终胜出的同学是____． 　 普通话 体育知识 旅游知识 王静 80 90 70 李玉 90 80 70 16. 如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为__．（参考数据：，， ） 17. 如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为cm，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是__________度． 18. 如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为_____． 三、解答题(本大题共8小题，满分72分) 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，已知是平行四边形对角线上的点，连接． （1）过点在平行四边形内部作射线交于点，且使（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明） （2）连接，，判断四边形的形状并证明． 22. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级 86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级 88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 90 八年级 84 87 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______，________． 同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由． 23. 某县贡桔成本为10元/斤，售价不低于15元/斤，不高于30元/斤． （1）每日贡桔销售量y(斤)与售价x(元/斤)之间的函数关系如图所示，求y与x之间的函数关系式； （2）若每天销售利润率不低于，且不高于，求每日销售的最大利润． 24. 如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D． （1）求证：是的切线； （2）延长交于点G，连接交于点F，若，求长． 25. 如图，在矩形中，，．动点，分别从点，出发，同时以速度沿折线和分别向终点，运动．设运动时间为，直线，，，所围成的图形的面积为． （1）当点与点重合时，的长为 　　　　； （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）当为直角三角形时，直接写出x的值． 26. 综合与实践 问题背景 数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究． 探究发现 如图1，在中，，． （1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）； （2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：； 拓展应用： 当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年广西南宁市中考模拟数学试卷（三） (考试时间：120分钟，满分：120分) 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据“只有符号相反的两个数互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断． 【详解】解：选项A、C、D的图形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项法则解出答案． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故本题选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项法则，对运算法则的熟练掌握并运用是解题的关键． 4. 如图是某工厂要设计生产的零件的主视图，这个零件可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图是分别从物体正面，所得到的图形，依此分析即可求解． 【详解】解：A、主视图为：，不合题意； B、主视图为：，符合题意； C、主视图为：，不合题意； D、主视图为：，不合题意 故选：B． 【点睛】本题考查三视图的有关知识，本题只要清楚了解各个几何体的主视图即可求解． 5. 数据2370000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：2370000用科学记数法表示为． 故选：A． 6. 若点P（m﹣1，5）与点Q （3，2﹣n）关于y轴对称，则m+n的值是（　　） A. ﹣5 B. 1 C. 5 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，求出m、n，问题得解． 【详解】解：由题意得：m﹣1＝﹣3，2﹣n＝5， 解得：m＝﹣2，n＝﹣3， 则m+n＝﹣2﹣3＝﹣5， 故选：A 【点睛】本题考查了关于y轴的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 7. 在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx与一次函数y＝－kx－k（k≠0）的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象分别确定k的取值范围，若有公共部分，则有可能；否则不可能． 【详解】解：根据图象知： A、正比例函数y＝kx中k＜0，一次函数y＝－kx－k（k≠0）中－k＜0，－k＞0，解集没有公共部分，所以不可能； B、正比例函数y＝kx中k＜0，一次函数y＝－kx－k（k≠0）中－k＞0，－k＜0，解集没有公共部分，所以不可能； C、正比例函数y＝kx中k＞0，一次函数y＝－kx－k（k≠0）中－k＜0，－k＜0，解集有公共部分，所以可能； D、正比例函数y＝kx中k＞0，一次函数y＝－kx－k（k≠0）中－k＜0，－k＞0，解集没有公共部分，所以不可能， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象．一次函数y＝kx＋b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第二、三、四象限． 8. 在平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，现从以下四个关系：①AB＝BC，②AC＝BD，③AC⊥BD，④AB⊥BC中任取一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为(　 　) A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的判定，要证平行四边形ABCD是菱形，可证一组邻边相等或对角线互相垂直即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴①AB=BC，四边形ABCD是菱形； ②AC=BD，四边形ABCD是矩形； ③AC⊥BD，四边形ABCD是菱形； ④AB⊥BC，四边形ABCD是矩形． 只有①③可判定，所以可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为＝ ． 故选：B． 【点睛】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法： ①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 9. 《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程（组）后，我们可以非常顺捷地解决这个问题．如果设鸡有x只，兔有y只，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出相应的方程组，即可得到答案． 【详解】解：设鸡有x只，兔有y只，可列方程组为： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是明确题意，列出相应的方程组． 10. 《九章算术》中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深1寸(寸)，锯道长1尺尺寸），问这块圆形木材的直径是多少．”如图，请根据所学知识计算：圆形木材的直径是（） A. 13寸 B. 20寸 C. 26寸 D. 28寸 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设圆的半径为寸，利用勾股定理列出方程是解题的关键．利用垂径定理和勾股定理求得圆的半径即可得出结论． 【详解】解：， （寸）． 设圆的半径为寸，则寸， 寸， ， ， 解得：． 圆柱形木材的直径是（寸）． 故选：C 11. 定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出算式，求解即可 【详解】 ． 故选B． 【点睛】本题考查了新定义运算、负指数幂的运算，绝对值的计算，解决本题的关键是牢记公式与定义，本题虽属于基础题，但其计算中容易出现符号错误，因此应加强符号运算意识，提高运算能力与技巧等． 12. 如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，延长交轴于点．将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点落在上时，的延长线恰好经过点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接,由题意可证明，利用相似三角形线段成比例即可求得OC的长，即得点的坐标． 【详解】如图，连接，因为轴， 绕点顺时针旋转得到， 所以， , 故答案为B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，找到是解题的关键． 二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分) 13. 满足式子2≤3x﹣7＜8成立的所有整数解的和为___． 【答案】7 【解析】 【分析】原不等式组可变形为：，解不等式组，得到关于x的解集，再找出符合x取值范围的整数解即可. 【详解】解：解不等式3x﹣7≥2，得：x≥3， 解不等式3x﹣7＜8，得：x＜5， ∴不等式的解集为：3≤x＜5， ∴满足式子2≤3x﹣7＜8成立的所有整数解的和为3+4＝7， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了求不等式组的整数解，解题的关键在于能够准确地解出不等式组的解集． 14. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于要进行二次因式分解．先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【详解】解： ． 故答案为： 15. 学校要从王静，李玉两同学中选拔一人参加运动会志愿者工作，选拔项目为普通话，体育知识和旅游知识．并将成绩依次按4∶3∶3计分． 两人的各项选拔成绩如下表所示，则最终胜出的同学是____． 　 普通话 体育知识 旅游知识 王静 80 90 70 李玉 90 80 70 【答案】李玉 【解析】 【分析】根据加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则叫做这n个数的加权平均数进行计算即可． 【详解】解：王静得分：=80（分） 李玉得分：=81（分） ∵81分＞80分， ∴最终胜出的同学是李玉． 故答案为：李玉． 【点睛】此题考查了加权平均数，解题的关键是明确加权平均数的计算方法． 16. 如图，无人机于空中处测得某建筑顶部处的仰角为，测得该建筑底部处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为__．（参考数据：，， ） 【答案】262. 【解析】 【分析】作于，根据正切的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出，结合图形计算即可． 【详解】作于， 则四边形为矩形， ， 在中，， 则， 在中，， ， ， 则该建筑的高度为， 故答案为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 17. 如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为cm，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是__________度． 【答案】150 【解析】 【分析】根据圆锥底面周长与展开后所得的扇形的弧长相等，圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等，利用扇形面积公式与弧长公式计算即可． 【详解】设圆锥的母线长为l cm，扇形的圆心角为n°， ∵圆锥的底面圆周长为20πcm， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为20πcm， 由题意得：×20π×l=240π， 解得：l=24， 则=20π. 解得n=150，即扇形的圆心角为150°， 故答案为:150． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与圆锥之间的关系是解决本题的关键. 18. 如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为_____． 【答案】 + 【解析】 【分析】根据抛物线解析式求得点D（1，4）、点E（2，3），作点D关于y轴的对称点D′（-1，4）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-3），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案． 【详解】解：如图， 在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，即点C（0，3）， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴对称轴为x＝1，顶点D（1，4）， 则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，3）， 作点D关于y轴的对称点D′（﹣1，4），作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3）， 连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点， 四边形EDFG的周长＝DE+DF+FG+GE ＝DE+D′F+FG+GE′ ＝DE+D′E′ ＝. ∴四边形EDFG的周长的最小值为： +． 故答案是： +． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键． 三、解答题(本大题共8小题，满分72分) 19. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了实数运算，解决本题的关键是熟练掌握实数的运算法则，先计算乘方及算术平方根，再计算除法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再将x的值代入，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，二次根式的性质，正确化简是解题的关键． 21. 如图，已知是平行四边形对角线上的点，连接． （1）过点在平行四边形内部作射线交于点，且使（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明） （2）连接，，判断四边形的形状并证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了角的作图，平行四边形的性质和全等三角形的判定的知识． （1）作，其中交于即可； （2）四边形的形状是平行四边形，连、，由于，根据全等三角形的性质得到，，根据等角的补角相等可得，则，根据平行四边形的判定即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：四边形的形状是平行四边形， 理由如下： 平行四边形中，，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 22. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级 86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级 88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 90 八年级 84 87 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______，________． 同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由． 【答案】（1）85，87，七； （2）220 （3）八年级，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可； （3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【小问1详解】 解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94， 根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为， 八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数， A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生； 故答案为：85，87，七； 【小问2详解】 （人）， 答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人； 【小问3详解】 我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好， 理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好． 【点睛】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． 23. 某县贡桔成本为10元/斤，售价不低于15元/斤，不高于30元/斤． （1）每日贡桔销售量y(斤)与售价x(元/斤)之间的函数关系如图所示，求y与x之间的函数关系式； （2）若每天销售利润率不低于，且不高于，求每日销售的最大利润． 【答案】（1） （2）每日销售的最大利润为1408元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数及二次函数的应用，利用函数解决实际问题时，要注意自变量的取值范围，这也是解决实际问题的难点和关键． （1）由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为，把和代入即可求出结果； （2）由每天销售利润率不低于，且不高于可求出的取值范围，设每日销售利润为元，利用二次函数模型即可求出最大利润． 【小问1详解】 由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为， 由题意得：当时，；当时，； ， 解得：，． ， 答：与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：， 设每日销售利润为元， ， ， 开口向下， 对称轴为直线，， 随的增大而增大， 当时，利润最大为（元， 答：每日销售的最大利润为1408元； 24. 如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D． （1）求证：是的切线； （2）延长交于点G，连接交于点F，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，过点O作于点P，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的性质求出，的长，勾股定理求出，连接，过O作于点H，利用面积法求出，勾股定理求出，即可根据等腰三角形的性质求出的长． 【小问1详解】 证明：连接，过点O作于点P， ∵与相切于点D． ∴， ∵是等腰直角三角形，，点O为的中点， ∴， ∴，即是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ∵点O为的中点， ∴， ∵ ∴， 在中， 连接，过O作于点H， ∴， ∴ ∵， ∴． 【点睛】此题考查了判定直线是圆的切线，切线的性质定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握各知识点是解题的关键． 25. 如图，在矩形中，，．动点，分别从点，出发，同时以的速度沿折线和分别向终点，运动．设运动时间为，直线，，，所围成的图形的面积为． （1）当点与点重合时，的长为 　　　　； （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）当为直角三角形时，直接写出x的值． 【答案】（1）2 （2） （3）x的值为4或6 【解析】 【分析】本题考查了四边形的综合题，矩形的性质，三角形的面积的计算，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． （1）根据题意列方程即可得到结论； （2）根据矩形和三角形的面积公式即可得到函数解析式； （3）①，②，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 在矩形中，，， ，，， 由题意：， ， 当点与点重合时，， ， 故答案2； 【小问2详解】 由题意得， ； 【小问3详解】 当为直角三角形时， ，如图1，则四边形是矩形， ， ， ， ； ②如图2，时， 则， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当为直角三角形时，的值为4或6． 26. 综合与实践 问题背景 数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究． 探究发现 如图1，中，，． （1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）； （2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：； 拓展应用： 当等腰三角形底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长． 【答案】（1）（2）证明见解析，拓展应用： 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角求出的长，翻折得到，，利用三角形内角和定理求出，，，表示出即可； （2）证明，利用相似比进行求解即可得出； 拓展应用：连接，延长至点，使，连接，得到为黄金三角形，进而得到，求出的长即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵将折叠，使边落在边上， ∴，， ∴，； 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理，得：， 解得：（负值已舍掉）； 经检验是原分式方程的解． ∴； 拓展应用： 如图，连接，延长至点，使，连接， ∵在菱形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为黄金三角形， ∴， ∴．即菱形的较长的对角线的长为． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是理解并掌握黄金三角形的定义，利用相似三角形的判定和性质，得到黄金三角形的底边与腰长的比为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$