精品解析：2024年陕西省西安市高新第二初级中学中考二模数学试题

2024年陕西省西安市高新第二初级中学中考数学二模试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的值是（　　） A. 2 B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，AB∥CD，BC为∠ACD的角平分线，∠1＝155°，则∠2为（ ） A. 155° B. 130° C. 150° D. 135° 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知直线l1：y=﹣2x+4与直线l2：y=kx+b（k≠0）在第一象限交于点M．若直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），则k的取值范围是（　　） A. ﹣2＜k＜2 B. ﹣2＜k＜0 C. 0＜k＜4 D. 0＜k＜2 6. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若．，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数，其中，那么这个函数图象的顶点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 比较大小： ______ （填 、或） 10. 如图所示，是工人师傅用边长均为a的一块正六边形和一块正方形地砖绕着点B进行的铺设，若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是_______． 11. 如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时的度数等于______． 12. 如图，以原点为对称中心的菱形，已知，，它的四个顶点分别位于两个反比例函数与的图象的四个分支上，则实数n的值为 ________． 13. 如图，正方形的边长为2，E、F分别是对角线和边上的动点，满足．当时，线段的长度为____． 三．解答题（共13小题，计81分，解答要写出过程） 14. 计算：． 15. 解不等式：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 图，已知在中，，是边上的高，请用尺规作图法，求作的重心．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 已知：如图，点E、F在上，与交于点G，．求证：． 19. 《孙子算经》中有一则故事：一位农妇在河边洗碗．官吏问：“你今天为什么洗这么多碗？”农妇回答：“家里来了客人．”官吏又问：“来了多少客人？”农妇回答：“客人每两位合用一个饭碗，每三位合用一个汤碗，每四位合用一个菜碗，共用了65个碗．”阿农妇家一共来了多少位客人？ 20. 月日上午，创投大会在西安高新区隆重开幕，本届大会以“向实、向新、向强”为主题，呈现了一场思想盛宴，高新区迎来了新的发展机遇．在一个不透明的口袋里，装有分别标着汉字“高”、“新”、“新”、“机”、“遇”的五个小球，将其搅匀，这些小球除汉字不同外其它都相同． （1）若从袋中任取一个小球，则取到的小球上的汉字恰好是“新”的概率为 ； （2）从袋中任取一个小球，不放回，搅匀后再从剩下的四个小球中任取一个，请用画树状图或列表法，求取到的两个小球上的汉字恰能组成“高新”或“机遇”的概率（汉字不分先后顺序）． 21. 某中学依山而建，校门A处有一坡度i＝5：12的斜坡AB，长度为26米，在坡顶B处有一个平台BF，BF∥AD，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，在离B点6米远的E处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CEF＝60°，已知CD⊥AD，垂足为D，求教学楼CF的楼顶C到地面AD的高度CD．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73） 22. 3月27日，是“全国中小学生安全教育日”．学生安全，关系到千千万万家庭的幸福与社会的稳定．某校为调查本校学生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取了150名学生进行测试，测试后发现所有测试的学生成绩均不低于50分．将全部测试成绩x（单位：分）进行整理后分为五组（，，，，），并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图． 组别 分数段（成绩为x分） 频数 组内学生成绩总分（分） A 3 165 B 12 780 C 45 3420 D m 5100 E 30 2850 请根据所给信息，解答下列问题： （1）频数分布表中 ，这150名学生的测试成绩的中位数落在 组； （2）求这150名学生的平均测试成绩； （3）若该校有3000名学生，规定成绩80分以上（含80分）的学生成为“安全明星”，估计该校学生能成为“安全明星”的共有多少人？ 23. “世界读书日”是在每年的4月23日，设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权某批发商在“世界读书日”前夕，订购A、B两种具有纪念意义的书签进行销售，若订购A种书签100张，B种书签200张，共花费5000元；订购A种书签120张，B种书签400张，共花费8400元． （1）求A、B两种书签的进价分别为多少元： （2）该批发商准备在进价的基础上将A、B两种书签提高售出，若该批发商购进A、B两种书签共计500张，并且A种书签不超过230张，则该批发商所获最大利润为多少元． 24. 如图，四边形内接于，，点E在的延长线，且是的切线． （1）求证：； （2）若，当，的半径为，求的长． 25. 如图，抛物线L：经过，两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线L的表达式； （2）抛物线与抛物线L关于直线对称，P是抛物线L的x轴上方且在对称轴左侧的一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，点P、Q关于抛物线L的对称轴对称的点分别为M、N．试探究是否存在一点P，使得四边形为长宽之比是的矩形？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 26. 问题探究 （1）如图1，与的半径分别为1和2，均与直线相切，切点分别为、，，、分别为两圆上的动点，求线段的最小值． 问题解决 （2）春意盎然，万物复苏，到了种植的季节，学校里的校园农场热闹起来，同学们积极参与到校园农场建设中．已知校园农场为矩形区域，如图2所示，记作矩形，经过测量，米，米，为方便耕作，需要在农场上设计两条小路．已知点、分别是线段、上的动点，且满足．在线段上任取一点，始终满足为直角，把满足条件的所有点设计成第一条弯弯的小路，这条小路成了校园农场一道亮丽的风景线．为了方便休息，在这条弯弯的小路上建造凉亭．在农场西南角如图顶点位置搭建一个弓形阳光房，米，曲线是圆心角为的圆弧．在弧上取一点作为阳光房的门，在门和凉亭之间建造第二条小路即线段． ①试画出第一条弯弯小路的位置（不要求尺规作图），并求这条小路的长度； ②当小路最短时，求三角形区域的面积．（注：小路和门的宽度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年陕西省西安市高新第二初级中学中考数学二模试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的值是（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，计算算术平方根后再计算减法即可． 【详解】解： 故选：B． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形的定义逐项识别即可． 【详解】解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 3. 如图，AB∥CD，BC为∠ACD的角平分线，∠1＝155°，则∠2为（ ） A. 155° B. 130° C. 150° D. 135° 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质可求出∠DCB＝25°，再根据角平分线的定义可求出∠ACD＝2∠DCB=50°，从而即可求出∠2的大小． 【详解】∵AB∥CD，∠1＝155°， ∴∠DCB＝180°-∠1＝25°． ∵BC为∠ACD的角平分线， ∴∠ACD＝2∠DCB=50°， ∴∠2＝180°-∠ACD=130°． 故选B． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义以及邻补角．利用数形结合的思想是解题关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则分别计算，即可得出答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故该选项计算错误； B、，故该选项计算错误； C、，故该选项计算正确； D、，故该选项计算错误； 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5. 如图，已知直线l1：y=﹣2x+4与直线l2：y=kx+b（k≠0）在第一象限交于点M．若直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），则k的取值范围是（　　） A. ﹣2＜k＜2 B. ﹣2＜k＜0 C. 0＜k＜4 D. 0＜k＜2 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0）， ∴﹣2k+b=0，∴，解得：． ∵直线l1：y=﹣2x+4与直线l2：y=kx+b（k≠0）的交点在第一象限， ∴， 解得0＜k＜2． 故选D． 【点睛】两条直线相交或平行问题；一次函数图象上点的坐标特征． 6. 图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若．，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理和三角函数求解． 【详解】∵在中，， ∴ 在中，， 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理和三角函数．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 7. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R， ， 是半径，且， ， 在中，， ， 解得：， 故选B 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键． 8. 已知二次函数，其中，那么这个函数图象的顶点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．表示出顶点坐标，判断横纵坐标的符号即可解答． 【详解】解：抛物线的顶点为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴二次函数的顶点在第三象限． 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 比较大小： ______ （填 、或） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，通过比较它们的平方值来判断即可 【详解】解：，，且 ， 故答案为： 10. 如图所示，是工人师傅用边长均为a的一块正六边形和一块正方形地砖绕着点B进行的铺设，若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质，正多边形的每一个内角都相等，根据题意得到的大小，结合多边形内角和列式求解即可得到答案； 【详解】解：∵一块正六边形和一块正方形地砖绕着点B进行的铺设， ∴， ∴这块正多边形地砖的边数是：， 解得：， 故答案为：． 11. 如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时的度数等于______． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转可得，然后利用等边对等角和三角形内角和定理得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵将逆时针旋转，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，以原点为对称中心的菱形，已知，，它的四个顶点分别位于两个反比例函数与的图象的四个分支上，则实数n的值为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键．连接，设则，得到，勾股定理求出，则，过点A作轴于点F，过点D作轴于点E，则，证明，得到，求出，，则，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴设则， ∴， 在中，， ∴， ∴， 过点A作轴于点F，过点D作轴于点E，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 13. 如图，正方形的边长为2，E、F分别是对角线和边上的动点，满足．当时，线段的长度为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考点是正方形的性质，难点是构建三角形全等转化线段和最小值的计算，特别需要注意的知识点是两点之间直线最短，同时需要熟练运用相似比求线段的长度．连接，作，且，连接，，与交于点，作交于点，首先证明得到，再计算出的长度，推导出当，，三点共线时满足，然后证明，利用相似比计算出的长度最后计算出和的长度． 【详解】解：连接，作，且，连接，，与交于点，作交于点，如图： 正方形的边长为2， ，， ， ， ， ， ； 在与中， ， ， ， ， ， 又，即，且， 当，，三点共线时最短，即，重合时满足， 设， ， ，， ， ， ， ， ， ，即， ， 故答案为：． 三．解答题（共13小题，计81分，解答要写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】计算乘方、化简绝对值、计算零指数幂，再进行加减运算即可得到答案． 【详解】解：原式 . 【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 15. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】首先解每一个不等式，再求它们的解集的公共部分，即可解得． 【详解】解：， 由①得，，解得， 由②得，，解得， 所以，原不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握和运用一元一次不等式组的解法是解决本题的关键． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先将括号内式子通分，变分式除法为乘法，约分化简，再将代入求值． 【详解】解： ， 将代入，得： 原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是掌握分式的运算法则． 17. 图，已知在中，，是边上的高，请用尺规作图法，求作的重心．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点O即为所求的的重心， 【解析】 【分析】先作AC边的垂直平分线交AC于点E，然后连接BE，BE交AD于点O，则点O即为所求． 【详解】：如图，点O即为所求的的重心， 理由：∵，是边上的高， ∴AD为BC的中线， 根据作法得：BE是AC的中线， ∴点O即为的重心． 【点睛】本题主要考查了尺规作图——作三角形的重心，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解题的关键． 18. 已知：如图，点E、F在上，与交于点G，．求证：． 【答案】 证明：∵ ∴为等腰三角形， ∴ ∵在和中， ∴ 在和中， ， ∴， ∴ 又∵ ∴ 即． 【解析】 【分析】由得出为等腰三角形，即再判定，根据，即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是能判定出． 19. 《孙子算经》中有一则故事：一位农妇在河边洗碗．官吏问：“你今天为什么洗这么多碗？”农妇回答：“家里来了客人．”官吏又问：“来了多少客人？”农妇回答：“客人每两位合用一个饭碗，每三位合用一个汤碗，每四位合用一个菜碗，共用了65个碗．”阿农妇家一共来了多少位客人？ 【答案】农妇家一共来了60位客人． 【解析】 【分析】设来了x位客人，则共使用个饭碗，个汤碗，个菜碗，根据共用了65个碗，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设来了x位客人， 依题意得：， 解得：x＝60． 答：农妇家一共来了60位客人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 20. 月日上午，创投大会在西安高新区隆重开幕，本届大会以“向实、向新、向强”为主题，呈现了一场思想盛宴，高新区迎来了新的发展机遇．在一个不透明的口袋里，装有分别标着汉字“高”、“新”、“新”、“机”、“遇”的五个小球，将其搅匀，这些小球除汉字不同外其它都相同． （1）若从袋中任取一个小球，则取到的小球上的汉字恰好是“新”的概率为 ； （2）从袋中任取一个小球，不放回，搅匀后再从剩下的四个小球中任取一个，请用画树状图或列表法，求取到的两个小球上的汉字恰能组成“高新”或“机遇”的概率（汉字不分先后顺序）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查树状图法与列表法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式即可得出答案； （2）列表得出所有可能的结果数以及取得两个小球上的汉字恰能组成“高新”或“机遇”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 由题意得，从袋中任取一个小球，取到的小球上的汉字恰好是“新”的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： 高 新 新 机 遇 高 （高，新） （高，新） （高，机） （高，遇） 新 （新，高） （新，新） （新，机） （新，遇） 新 （新，高） （新，新） （新，机） （新，遇） 机 （机，高） （机，新） （机，新） （机，遇） 遇 （遇，高） （遇，新） （遇，新） （遇，机） 共有种等可能的结果，其中取到的两个小球上的汉字恰能组成“高新”或“机遇”的结果有：（高，新），（高，新），（新，高），（新，高），（机，遇），（遇，机），共种， ∴． 故答案为：． 21. 某中学依山而建，校门A处有一坡度i＝5：12的斜坡AB，长度为26米，在坡顶B处有一个平台BF，BF∥AD，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，在离B点6米远的E处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CEF＝60°，已知CD⊥AD，垂足为D，求教学楼CF的楼顶C到地面AD的高度CD．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73） 【答案】DC的长度为米． 【解析】 【分析】过点B作BM⊥AD，先由AB的坡度和长即可求BM，再由BF=EF+BE，根据∠CBF=45°、∠CEF=60°、BE=6米解三角形求出CF，即可解答． 【详解】解：过点B作BM⊥AD于M，如图所示： ∵i=5：12， ∴， ∵AB=26米， ∴BM=10米，AM=24米， ∴DF=BM=10米， 设EF为x米，则BF=（6+x）米， ∵∠CBF=45°， ∴BF=CF=（6+x）米， ∵∠CEF=60°， ∴， 即， 解得：， ∴CF=（9+）米， ∴CD=CF+DF=9++10=19+（米）， 答：DC的长度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 22. 3月27日，是“全国中小学生安全教育日”．学生安全，关系到千千万万家庭的幸福与社会的稳定．某校为调查本校学生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取了150名学生进行测试，测试后发现所有测试的学生成绩均不低于50分．将全部测试成绩x（单位：分）进行整理后分为五组（，，，，），并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图． 组别 分数段（成绩为x分） 频数 组内学生成绩总分（分） A 3 165 B 12 780 C 45 3420 D m 5100 E 30 2850 请根据所给信息，解答下列问题： （1）频数分布表中 ，这150名学生的测试成绩的中位数落在 组； （2）求这150名学生的平均测试成绩； （3）若该校有3000名学生，规定成绩80分以上（含80分）的学生成为“安全明星”，估计该校学生能成为“安全明星”的共有多少人？ 【答案】（1）60；D （2）82.1分 （3）1800人 【解析】 【分析】本题考查数据统计和分析，解题关键是求出未知频数，熟练掌握中位数、平均数的计算方法，用样本频率估计总体数量． （1）用总数减去组别中已知的频数求出的值，即可补全直方图，确定中位数所在位置； （2）求和各组总成绩再除以学生数即可； （3）用样本数频率估计总体数量． 【小问1详解】 解：由题意得：， 补全频数分布图如图所示： 学生测试成绩的中位数落在D组（或）． 故答案为：60，D； 【小问2详解】 （分）． 答：这150名学生的平均测试成绩为82.1分． 【小问3详解】 （人）． 答：估计该校学生能成为“安全明星”的共有1800人． 23. “世界读书日”是在每年的4月23日，设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权某批发商在“世界读书日”前夕，订购A、B两种具有纪念意义的书签进行销售，若订购A种书签100张，B种书签200张，共花费5000元；订购A种书签120张，B种书签400张，共花费8400元． （1）求A、B两种书签的进价分别为多少元： （2）该批发商准备在进价的基础上将A、B两种书签提高售出，若该批发商购进A、B两种书签共计500张，并且A种书签不超过230张，则该批发商所获最大利润为多少元． 【答案】（1）A、B两种书签的进价分别为20元，15元 （2）该批发商所获最大利润为3460元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用： （1）设A、B两种书签的进价分别为x元，y元，根据订购A种书签100张，B种书签200张，共花费5000元；订购A种书签120张，B种书签400张，共花费8400元列出方程组求解即可； （2）设购买A种书签m张，利润为W元，则购买B种书签张，根据总利润单张A种书签利润A种书签的数量单张B种书签利润B种书签的数量列出W关于m的一次函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A、B两种书签的进价分别为x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：A、B两种书签的进价分别为20元，15元； 【小问2详解】 解：设购买A种书签m张，利润为W元，则购买B种书签张， 由题意得， ， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，W最大，最大值为， ∴该批发商所获最大利润为3460元． 24. 如图，四边形内接于，，点E在的延长线，且是的切线． （1）求证：； （2）若，当，的半径为，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的切线． ∴， ∴． ∵为直径， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由切线的性质和圆周角定理的推论可证明出，，从而即可证明．再由同弧所对圆周角相等，即可推出，即证明． （2）由平行的性质可证明，即根据垂径定理可推出．在中，利用勾股定理可求出的长．又易证，即得，代入数据，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设与交于点F． ∵， ∴， ∴ ∵是直径， ∴垂直平分， ∴， ∵半径为， ∴． ∴在中，． 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题为圆的综合题．考查切线的性质，圆周角定理的推论，平行线的性质，垂径定理，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，综合性强．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 25. 如图，抛物线L：经过，两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线L的表达式； （2）抛物线与抛物线L关于直线对称，P是抛物线L的x轴上方且在对称轴左侧的一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，点P、Q关于抛物线L的对称轴对称的点分别为M、N．试探究是否存在一点P，使得四边形为长宽之比是的矩形？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在；或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）求出直线为，再求出抛物线与抛物线L关于直线对称的解析式，设，则，，，由题意得到关于m的方程，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线L：经过点，， ∴， 解得， ∴抛物线L的表达式为； 【小问2详解】 解：存在一点P，使得四边形为长宽之比是的矩形，理由如下： ∵，， ∴直线为， ∵点 ∴点A关于直线的对称点为， ∵抛物线与抛物线L关于直线对称， ∴点、在抛物线的图象上， 设抛物线的解析式为， 把点代入得，， 解得， ∴抛物线与抛物线L关于直线对称的解析式， 设，则， ∵点P、Q关于抛物线L的对称轴对称点分别为M、N． ∴，， ∵四边形为长宽之比是的矩形， ∴或， 整理得或， 解得，或，， ∵P是抛物线L的x轴上方且在对称轴左侧的一点， ∴， ∴或， 即点P的横坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换、用待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特性、轴对称的性质、正方形的性质，根据题意得到关于m的方程是解题的关键． 26. 问题探究 （1）如图1，与的半径分别为1和2，均与直线相切，切点分别为、，，、分别为两圆上的动点，求线段的最小值． 问题解决 （2）春意盎然，万物复苏，到了种植的季节，学校里的校园农场热闹起来，同学们积极参与到校园农场建设中．已知校园农场为矩形区域，如图2所示，记作矩形，经过测量，米，米，为方便耕作，需要在农场上设计两条小路．已知点、分别是线段、上的动点，且满足．在线段上任取一点，始终满足为直角，把满足条件的所有点设计成第一条弯弯的小路，这条小路成了校园农场一道亮丽的风景线．为了方便休息，在这条弯弯的小路上建造凉亭．在农场西南角如图顶点位置搭建一个弓形阳光房，米，曲线是圆心角为的圆弧．在弧上取一点作为阳光房的门，在门和凉亭之间建造第二条小路即线段． ①试画出第一条弯弯小路的位置（不要求尺规作图），并求这条小路的长度； ②当小路最短时，求三角形区域的面积．（注：小路和门的宽度忽略不计） 【答案】（1）； （2）①为第一条弯弯小路的位置， 米； ② 【解析】 【分析】此题属于圆的综合题，涉及了三角形的面积，三角函数，最短路线，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． （1）连接，过点作，设交与分别为，则此时线段的最小，进而即可得出答案； （2）①如图，延长至点，使得，连接交于点T，过点D作，连接，作出中点O，连接，以为O为圆心，为半径，作出，则为第一条弯弯小路的位置，再利用弧长公式求解即可； ②如图，以为底作等腰三角形，且使，则是以点为圆心，为半径的圆的一部分，连接交于点R，分别交、于点，此时最短，连接，过点N作，连接，过点Q作交于点Y，垂足为点Z，可得，进而即可求解． 【详解】解：（1）连接，过点作，设交与分别为，则此时线段的最小， ∵与的半径分别为1和2，均与直线相切，切点分别为、，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴线段的最小值=； （2）①如图，延长至点，使得，连接交于点T，过点D作，连接，作出中点O，连接，以为O为圆心，为半径，作出，则为第一条弯弯小路的位置， 四边形是矩形， 米，米，， ， ， 米， ， ， ， 米， ， 的长为：米， 这条小路的长度米； ②如图，以为底作等腰三角形，且使，则是以点为圆心，为半径的圆的一部分，连接交于点R，分别交、于点，此时最短， 连接，过点N作，连接，过点Q作交于点Y，垂足为点Z， ， 米， 由题意可得：在中，米， 米，米， 米， 米，米， ， ， 米， （米）， ， ， ， （米）， （平方米）， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $