精品解析：河北省唐山地区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

2023—2024学年度第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷（人教版） 亲爱的同学，你好！今天是展示你才能的时候了，只要你仔细审题、认真答题，把平常的水平发挥出来，你就会有出色的表现，放松一点，相信自己的实力！ 注意事项： 1、本试卷共八页，满分为120分，考试时间为120分钟． 2、请按要求在答题卡上作答． 一、选择题（本大题共16个小题，1-6每小题2分，7-16每小题3分，共42分．每小题后均给出了四个选项，请把最符合题意的选项序号填在题后的括号内） 1. “瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 下列说法中，正确的是（　　） A. 不可能事件发生的概率是0 B. 打开电视机正在播放动画片，是必然事件 C. 随机事件发生的概率是 D. 对“梦想的声音”节目收视率的调查，宜采用普查 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析A、不可能事件发生的概率是0，故A符合题意； B、打开电视机正在播放动画片，是随机事件，故B不符合题意； C、随机事件发生的概率是0＜P＜1，故C不符合题意； D、对“梦想的声音”节目收视率的调查，宜采用抽样调查，故D不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（　　） A. 1 B. ﹣3 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设方程的另一个解为x1，根据两根之和等于﹣，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设方程的另一个解为x1， 根据题意得：﹣1+x1=2， 解得：x1=3， 故选C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键． 4. 一个不透明的布袋中有分别标着数字1，2，3，4的四个乒乓球，现从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】列表得： 1 2 3 4 1 － 2＋1=3 3＋1=4 4＋1=5 2 1＋2=3 － 3＋2=5 4＋2=6 3 1＋3=4 2＋3=5 － 4＋3=7 4 1＋4=5 2＋4=6 3＋4=7 － ∵共有12种等可能的结果，这两个乒乓球上的数字之和大于5的有4种情况， ∴这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为：．故选B． 5. 在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，，以为位似中心，与位似，若B点的对应点的坐标为，则A点的对应点坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据坐标确定位似比，再运用位似比计算坐标． 【详解】解：∵与关于成位似图形，且的对应点的坐标为， ∴ ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标系中位似计算，熟练掌握位似计算的基本要领是解题的关键． 6. 如图为一次函数y＝ax﹣2a与反比例函数y＝﹣（a≠0）在同一坐标系中的大致图象，其中较准确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出方程组，根据一元二次方程解的情况判断.. 【详解】ax-2a=-， 则x-2=-， 整理得，x2-2x+1=0， △=0， ∴一次函数y=ax-2a与反比例函数y=-只有一个公共点， 故选B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的图象和性质，函数图象的交点的求法是解题的关键． 7. 某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】设共有x个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解． 【详解】设共有x个班级参赛，根据题意得： =15， 解得：x1=6，x2=﹣5（不合题意，舍去）， 则共有6个班级参赛， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据等量关系准确的列出方程． 8. 如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A、B两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y=的图象经过A、B两点，则菱形ABCD的面积是（　　） A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】作AH⊥BC交CB的延长线于H，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标，求出AH、BH，根据勾股定理求出AB，根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】如图，作AH⊥BC交CB的延长线于H， ∵反比例函数y=的图象经过A、B两点，A、B两点的横坐标分别为1和3， ∴A、B两点的纵坐标分别为3和1，即点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1）， ∴AH=3﹣1=2，BH=3﹣1=2， 由勾股定理得，AB=， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=AB=2， ∴菱形ABCD的面积=BC×AH=4， 故选A． 【点睛】本题考查的是反比例函数的系数k的几何意义、菱形的性质，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标是解题的关键． 9. 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中： ①abc＞0； ②b2﹣4ac＞0； ③9a﹣3b+c=0； ④若点（﹣0．5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2； ⑤5a﹣2b+c＜0． 其中正确的个数有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质一一判断即可． 【详解】∵抛物线对称轴x=-1，经过（1，0）， ∴-=-1，a+b+c=0， ∴b=2a，c=-3a， ∵a＞0， ∴b＞0，c＜0， ∴abc＜0，故①错误， ∵抛物线对称轴x=-1，经过（1，0）， 可知抛物线与x轴还有另外一个交点（-3，0） ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴b2-4ac＞0，故②正确， ∵抛物线与x轴交于（-3，0）， ∴9a-3b+c=0，故③正确， ∵点（-0．5，y1），（-2，y2）均在抛物线上， （-0．5，y1）关于对称轴的对称点为（-1．5，y1） （-1．5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，且在对称轴左侧， -1．5＞-2， 则y1＜y2；故④错误， ∵5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0，故⑤正确， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 10. 如图，中，弦与半径相交于点D，连接，OC．若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及三角形外角的性质．根据同弧所对圆周角是圆心角的一半， 直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出，再利用圆周角定理求出，再根据三角形外角的性质求出． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴， 故选D． 11. 如图，往竖直放置的在处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“”形装置中注入一定量的水，水面高度为，现将右边细管绕处顺时针方向旋转到位置，则中水柱的长度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】【分析】根据旋转后两侧液面的高度相等，而且软管中液体的总长度与原来是一样的，结合已知可知此时AB 中水柱的长度为左边水柱长度的2倍，据此即可得. 【详解】如图，旋转后AB中水柱的长度为AD，左侧软管中水柱的长度为EF， 过点D作DM⊥FA．由题意则有EF+AD=2×6=12cm， ∵∠DAM=90°-60°=30°，∠AMD=90°，∴AD=2DM， ∵EF=DM， ∴AD=8cm， 故选C. 【点睛】本题主要考查了30度角所对直角边是斜边的一半，旋转的性质等，解本题的关键是明确旋转前后软管中水柱的长度是不变的. 12. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠BAD=48°，则∠DCA的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：连接BD， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°， ∴∠ABD=90°−∠BAD=42°， ∴∠DCA=∠ABD=42° 故选B 13. 如图，王同学将一长为，宽为的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点位置变化为→→，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成角，则点A翻滚到位置时共走过的路径长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的定义得到点A以B为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到；是由以C为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到，由于，，，，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接、，由题意，点A以B为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到；是由以C为旋转中心，以为旋转角，顺时针旋转得到， ∵，，，， ∴点A翻滚到位置时共走过的路径长， 故选：D． 【点睛】本题考查了轨迹，旋转变换，解决本题的关键是掌握弧长公式和旋转的性质． 14. 如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是（　　） A. 当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m B. 小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势 C. 小球落地点距O点水平距离为7米 D. 斜坡的坡度为1：2 【答案】A 【解析】 【分析】求出当y=7.5时，x的值，判定选项A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断选项B；求出抛物线与直线的交点，判断选项C，根据直线解析式和坡度的定义判断选项D． 【详解】当y=7.5时，7.5=4x﹣x2， 整理得x2﹣8x+15=0， 解得，x1=3，x2=5， ∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5cm，选项A错误，符合题意； y=4x﹣x2 =﹣（x﹣4）2+8， 则抛物线的对称轴为x=4， ∴当x＞4时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，选项B正确，不符合题意； ， 解得，，， 则小球落地点距O点水平距离为7米，选项C正确，不符合题意； ∵斜坡可以用一次函数y=x刻画， ∴斜坡的坡度为1：2，选项D正确，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的——坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键． 15. 如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=a，宽BC=b，E,F分别是AB，CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，则a:b等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似多边形的性质解答即可 【详解】解：∵E，F分别是AB，CD的中点， ∴， ∵矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比， ∴， ∴， 即， ∴， ∴a：b=：1． 故选A． 【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边成比例． 16. 如图，在中，，E为边上的一点，，D为的中点，连接并延长交于F，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．过点A作交的延长线于点G，先证明，可得，从而得到，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作交的延长线于点G． ∵， ∴． 又∵D为的中点， ∴． 在和中， ∵，，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ， 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分， 请把正确答案填在题后的横线上） 17. 如图，这是一幅长为3m，宽为2m的长方形世界杯宣传画，为测量宣传画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为___________________m2． 【答案】2.4 【解析】 【分析】由概率估计图案在整副画中所占比例，再求出图案的面积. 【详解】估计宣传画上世界杯图案的面积约为3×2×0.4=2.4m2． 故答案为2.4 【点睛】本题考核知识点：几何概率. 解题关键点：由几何概率估计图案在整副画中所占比例. 18. 如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升______cm． 【答案】10或70 【解析】 【分析】分水位在圆心下以及圆心上两种情况，画出符合题意的图形进行求解即可得． 【详解】如图，作半径OD⊥AB于C，连接OB， 由垂径定理得：BC=AB=×60=30cm， 在Rt△OBC中， 当水位上升到圆心以下时 ，水面宽80cm时， 则， 水面上升的高度为：； 当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：， 综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm， 故答案为：10或70． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分类讨论的思想是解题的关键． 19. 将抛物线向左平移一个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 【答案】y=2x2+1 【解析】 【分析】先将抛物线的解析式改写成顶点式，然后根据平移的规律进行求解即可得. 【详解】解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1， ∴向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y=2（x+1﹣1）2+1=2x2+1， 故答案为y=2x2+1． 【点睛】本题考查了抛物线的平移，熟练掌握函数图象平移的方法是解题的关键，函数图象平移的规律：横坐标方向“左加右减”、纵坐标方向“上加下减”. 20. 如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而=45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示． 图2中的图案外轮廓周长是_____； 在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是_____． 【答案】 ①. 14 ②. 21 【解析】 【详解】【分析】根据图2将外围长相加可得图案外轮廓周长；设∠BPC=2x，先表示中间正多边形的边数：外角为180°﹣2x，根据外角和可得边数=，同理可得两边正多边形的外角为x，可得边数为，计算其周长可得结论． 【详解】图2中的图案外轮廓周长是：8﹣2+2+8﹣2=14； 设∠BPC=2x， ∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为：， 以∠APB为内角的正多边形的边数为：， ∴图案外轮廓周长是=﹣2+﹣2+﹣2=+﹣6， 根据题意可知：2x的值只能为60°，90°，120°，144°， 当x越小时，周长越大， ∴当x=30时，周长最大，此时图案定为会标， 则则会标的外轮廓周长是=﹣6=21， 故答案为14，21． 【点睛】本题考查了阅读理解问题和正多边形的边数与内角、外角的关系，明确正多边形的各内角相等，各外角相等，且外角和为360°是关键，并利用数形结合的思想解决问题． 三、解答题（本大题共6个小题，共66分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 小美周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏.游戏设计者提供了一只兔子和一个有，，，，五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的.规定：①玩家只能将小兔从A，B两个出入口放入；②如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开，则可获得一只价值4元的小兔玩具，否则应付费3元. （1）请用画树状图的方法，列举出该游戏的所有可能情况； （2）小美得到小兔玩具的机会有多大? （3）假设有125人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元. 【答案】 （1）根据题意，画树状图如下： （2）； （3）200元 【解析】 【分析】（1）画树状图展示所有10种等可能的结果数； （2）找出从开始进入的出入口离开的结果数，然后根据概率公式求解； （2）利用125×3×0.8减去125×0.2×4可估计游戏设计者可赚的钱． 【详解】（1）略 （2）由（1）中的树状图知，共有10种等可能的结果，其中从开始进入的出入口离开的结果有2种，即AA，BB. 所以小美玩一次“守株待兔”游戏能得到小兔玩具的概率为. （3）由（1）中的树状图，可知玩此游戏者获得一只价值4元的小兔玩具的概率为0.2，此游戏设计者能得到3元的概率为0.8. （元）， 所以估计游戏设计者可赚200元. 【点睛】本题考查了用树状图法求概率及概率在游戏中的应用.利用树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 22. 探究函数y=x+（x＞0）与y=x+（x＞0，a＞0）的相关性质． （1）小聪同学对函数y=x+（x＞0）进行了如下列表、描点，请你帮他完成连线的步骤；观察图象可得它的最小值为　 　，它的另一条性质为　 　； x … 1 2 3 … y … 2 … （2）请用配方法求函数y=x+（x＞0）的最小值； （3）猜想函数y=x+（x＞0，a＞0）的最小值为　 　． 【答案】（1）2；当x＞1时，y随x的增大而增大；（2）最小值是2；（3）2 【解析】 【分析】（1）根据函数图象可以得到函数y=x+（x＞0）的最小值，然后根据函数图象，可以写出该函数的一条性质，注意函数的性质不唯一，写的只要复合函数即可； （2）根据配方法可以求得函数y=x+（x＞0）的最小值； （3）根据配方法可以求得函数y=x+（x＞0，a＞0）的最小值． 【详解】解：（1）由图象可得， 函数y=x+（x＞0）的最小值是2，它的另一条性质是：当x＞1时，y随x的增大而增大， 故答案为2，当x＞1时，y随x的增大而增大； （2）∵y=x+（x＞0）， ∴y=+2， ∴当时，y取得最小值，此时x=1，y=2， 即函数y=x+（x＞0）的最小值是2； （3）∵y=x+（x＞0，a＞0） ∴y=+2， ∴当时，y取得最小值，此时y=2， 故答案为2． 【点睛】本题考查正比例函数与反比例函数组合成的复合函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23. 如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）求证：ED平分∠BEP. 【答案】 证明：(1)连接 OE ，如图， ∵CD为直径， ∴∠CED=90°, 即 ∠CEO+∠OED=90°， ∵OC=OE,  ∴∠C=∠CEO ， ∴∠C+∠OED=90°， ∵∠PED=∠C. ∴∠PED+∠OED=90°, 即 ∠OEP=90°， ∴OE⊥PE， ∴PE 是 O 的切线； (2)∵AB 为直径， ∴∠AEB=90°， 而 AE ∥ CD ， ∴∠EFD=90°， ∴∠FED+∠EDF=90°， 而 ∠C+∠EDC=90°， ∴∠FED=∠C ， ∴∠PED=∠FED ， ∴ED 平分 ∠BEP. 【解析】 【详解】分析：（1）连接OE，如图，利用圆周角定理得到∠CED=90°，即∠CEO+∠OED=90°，加上∠C=∠CEO，∠PED=∠C．则∠PED+∠OED=90°，即∠OEP=90°，然后根据切线的性质定理可判定PE是 O的切线； （2）利用圆周角定理得到∠AEB=90°，再利用AE∥CD得到∠EFD=90°，接着利用等角的余角相等可判断∠FED=∠C，所以∠PED=∠FED． 详解： 略 点睛：本题考查了切线的性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线. 24. 阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解． （1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长． 【答案】(1)-2，1；（2）x=3；（3）4m. 【解析】 【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论； （2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根； （3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解， 【详解】解：（1）， ， 所以或或 ，，； 故答案为，1； （2）， 方程的两边平方，得 即 或 ，， 当时，， 所以不是原方程的解． 所以方程的解是； （3）因为四边形是矩形， 所以， 设，则 因为， ， 两边平方，得 整理，得 两边平方并整理，得 即 所以． 经检验，是方程的解． 答：的长为． 【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程时注意验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键． 25. 如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动： 第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1； 第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2； 第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D． （1）请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径； （2）所画图形是什么对称图形； （3）求所画图形的周长（结果保留π）． 【答案】 （1）点D→D1→D2→D经过的路径如图所示： （2）轴对称；（3）周长为8π． 【解析】 【分析】(1)利用旋转变换的性质画出图象即可； (2)根据轴对称图形的定义即可判断； (3)利用弧长公式计算即可. 【详解】解：(1)略 (2)观察图象可知图象是轴对称图形， (3)周长=4×=8π． 故答案为(1)点D→D1→D2→D经过的路径如图所示见解析；(2)轴对称；(3)8π． 【点睛】本题考查作图——旋转变换、轴对称图形等知识，解题的关键是理解题意，正确画出图形. 26. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD，点H为BD的中点．请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）在y轴上找一点P，使PD+PH的值最小，则PD+PH的最小值为　 　． （注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣，顶点坐标为（﹣，） 【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，D（1，4）（2） 【解析】 【分析】(1)直接将A、B两点坐标代入抛物线解析式，用待定系数法可求得抛物线解析式； (2)求得点H关于y轴的对称点H′，连接H′D与y轴交于点P，此时PD+PH最小. 【详解】（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0） ∴ 解得 ∴所求函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3 y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4 ∴顶点D（1，4） （2）∵B（3，0），D（1，4） ∴中点H的坐标为（2，2）其关于y轴的对称点H′坐标为（﹣2，2） 连接H′D与y轴交于点P，则PD+PH最小 且最小值为： = ∴答案： 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是用待定系数法求出函数解析式后灵活找出点H关于y轴的对称点H′求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第一学期期末教学质量检测九年级数学试卷（人教版） 亲爱的同学，你好！今天是展示你才能的时候了，只要你仔细审题、认真答题，把平常的水平发挥出来，你就会有出色的表现，放松一点，相信自己的实力！ 注意事项： 1、本试卷共八页，满分为120分，考试时间为120分钟． 2、请按要求在答题卡上作答． 一、选择题（本大题共16个小题，1-6每小题2分，7-16每小题3分，共42分．每小题后均给出了四个选项，请把最符合题意的选项序号填在题后的括号内） 1. “瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的是（　　） A. 不可能事件发生的概率是0 B. 打开电视机正在播放动画片，是必然事件 C. 随机事件发生的概率是 D. 对“梦想的声音”节目收视率的调查，宜采用普查 3. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（　　） A. 1 B. ﹣3 C. 3 D. 4 4. 一个不透明的布袋中有分别标着数字1，2，3，4的四个乒乓球，现从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为（　　） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，，以为位似中心，与位似，若B点的对应点的坐标为，则A点的对应点坐标为（　　） A. B. C. D. 6. 如图为一次函数y＝ax﹣2a与反比例函数y＝﹣（a≠0）在同一坐标系中的大致图象，其中较准确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A、B两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y=的图象经过A、B两点，则菱形ABCD的面积是（　　） A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 9. 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中： ①abc＞0； ②b2﹣4ac＞0； ③9a﹣3b+c=0； ④若点（﹣0．5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2； ⑤5a﹣2b+c＜0． 其中正确的个数有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，中，弦与半径相交于点D，连接，OC．若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 11. 如图，往竖直放置的在处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“”形装置中注入一定量的水，水面高度为，现将右边细管绕处顺时针方向旋转到位置，则中水柱的长度约为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠BAD=48°，则∠DCA的大小为（　　） A. B. C. D. 13. 如图，王同学将一长为，宽为的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点位置变化为→→，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成角，则点A翻滚到位置时共走过的路径长为（　　） A. B. C. D. 14. 如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣x2刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画，下列结论错误的是（　　） A. 当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m B. 小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势 C. 小球落地点距O点水平距离为7米 D. 斜坡的坡度为1：2 15. 如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=a，宽BC=b，E,F分别是AB，CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，则a:b等于（ ） A. B. C. D. 16. 如图，在中，，E为边上的一点，，D为的中点，连接并延长交于F，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分， 请把正确答案填在题后的横线上） 17. 如图，这是一幅长为3m，宽为2m的长方形世界杯宣传画，为测量宣传画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为___________________m2． 18. 如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升______cm． 19. 将抛物线向左平移一个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 20. 如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而=45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示． 图2中的图案外轮廓周长是_____； 在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是_____． 三、解答题（本大题共6个小题，共66分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 小美周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏.游戏设计者提供了一只兔子和一个有，，，，五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的.规定：①玩家只能将小兔从A，B两个出入口放入；②如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开，则可获得一只价值4元的小兔玩具，否则应付费3元. （1）请用画树状图的方法，列举出该游戏的所有可能情况； （2）小美得到小兔玩具的机会有多大? （3）假设有125人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元. 22. 探究函数y=x+（x＞0）与y=x+（x＞0，a＞0）的相关性质． （1）小聪同学对函数y=x+（x＞0）进行了如下列表、描点，请你帮他完成连线的步骤；观察图象可得它的最小值为　 　，它的另一条性质为　 　； x … 1 2 3 … y … 2 … （2）请用配方法求函数y=x+（x＞0）的最小值； （3）猜想函数y=x+（x＞0，a＞0）的最小值为　 　． 23. 如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）求证：ED平分∠BEP. 24. 阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解． （1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长． 25. 如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动： 第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1； 第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2； 第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D． （1）请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径； （2）所画图形是什么对称图形； （3）求所画图形的周长（结果保留π）． 26. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD，点H为BD的中点．请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）在y轴上找一点P，使PD+PH的值最小，则PD+PH的最小值为　 　． （注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣，顶点坐标为（﹣，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $