章末检测卷5（第五章 三角函数）-2024-2025学年高一数学上学期同步测试卷（单元+周测+月考+专项+期中+期末）（人教A版2019必修第一册）

章末检测卷5（第五章三角函数） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.(    ) A. B. C. D. 2.函数的周期，振幅，初相分别是(    ) A. B. C. D. 3.函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 4.设，，则(    ) A. B. C. D. 5.已知，，则(    ) A. B. C. D. 6.若，则(    ) A. B. C. D. 7.关于函数，有下述四个结论： ①是偶函数                                                    ②在区间单调递增 ③在有4个零点                                   ④的最大值为2 其中所有正确结论的编号是(    ) A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③ 8.将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象，若在上的最大值为，则的取值个数为(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列结论正确的是(    ) A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C. 若角的终边过点，则 D. 若角为锐角，则角为钝角 10.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是(    ) A. B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象关于点成中心对称 D. 函数的一个单调递减区间为 11.由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个次多项式……，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为__________. 13.已知，且在区间有最小值无最大值，则__________. 14.已知，，且，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知 化简 若是第三象限角，且，求的值. 16.本小题15分 已知函数 Ⅰ求的最小正周期； Ⅱ若在区间上的最大值为，求m的最小值． 17.本小题15分 已知，，且 求的值； 求 18.本小题17分 已知 求的单调递减区间； 若，求的值； 将的图象向右平移个单位得到的图象，若函数在上有唯一零点，求实数k的取值范围． 19.本小题17分 已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数为偶函数. 求的解析式； 若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； 若函数的图像在区间且上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 第7页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 章末检测卷5（第五章三角函数） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.(    ) A. B. C. D. 2.函数的周期，振幅，初相分别是(    ) A. B. C. D. 3.函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 4.设，，则(    ) A. B. C. D. 5.已知，，则(    ) A. B. C. D. 6.若，则(    ) A. B. C. D. 7.关于函数，有下述四个结论： ①是偶函数                                                    ②在区间单调递增 ③在有4个零点                                   ④的最大值为2 其中所有正确结论的编号是(    ) A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③ 8.将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象，若在上的最大值为，则的取值个数为(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列结论正确的是(    ) A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C. 若角的终边过点，则 D. 若角为锐角，则角为钝角 10.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是(    ) A. B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象关于点成中心对称 D. 函数的一个单调递减区间为 11.由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个次多项式……，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为__________. 13.已知，且在区间有最小值无最大值，则__________. 14.已知，，且，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 已知 化简 若是第三象限角，且，求的值. 16.本小题15分 已知函数 Ⅰ求的最小正周期； Ⅱ若在区间上的最大值为，求m的最小值． 17.本小题15分 已知，，且 求的值； 求 18.本小题17分 已知 求的单调递减区间； 若，求的值； 将的图象向右平移个单位得到的图象，若函数在上有唯一零点，求实数k的取值范围． 19.本小题17分 已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象上每个点先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数为偶函数. 求的解析式； 若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； 若函数的图像在区间且上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了诱导公式以及任意角的三角函数，属于基础题. 直接利用诱导公式求解即可. 【解答】解： 故选： 2.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查中参数的物理意义，解题的关键是理解A，，的意义，属于基础题． 本题的函数解析式已知，由其形式观察出振幅，初相，再由公式求出函数的周期，对照四个选项得出正确选项. 【解答】 解：函数， 振幅是2，初相是， 又x的系数是， 故函数的周期是， 故选： 3.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查函数图象的识别，属于基础题． 直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果． 【解答】 解：根据函数的解析式， 由， 得到函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A和B； 当时，函数的值为0，故排除 故选： 4.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了集合之间的关系与应用问题，考查了终边相同的角． 讨论k为偶数和k为奇数时，结合N的表示，从而确定N与M的关系． 【解答】 解：， 当k为偶数，即时，， ， 当k为奇数，即时，， ， 又， 故选 5.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 由二倍角公式化简已知条件可得，结合角的范围可求得，，可得，根据同角三角函数基本关系式即可解得的值． 【解答】 解：， 由二倍角公式可得， ，，， ， 则有， 解得 故选 6.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，属于基础题． 由题意化简所给的三角函数式，然后利用齐次式的特征将其“弦化切”即可求得三角函数式的值． 【解答】 解：由题意可得： 故选 7.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查三角函数的图象和性质，属于拔高题. 根据题意，得出函数是偶函数，判断①；得出在区间为减函数，判断②； 研究函数在上的零点个数，来判断③；求出的最大值来判断④；即可得解. 【解答】 解：，且的定义域为R， 则函数是偶函数，故①正确； 当时，，， 则当时，，则在区间为减函数，故②错误； 画出函数的图象， 当时，， 由，得，即或， 由是偶函数，得在上还有一个零点，即函数在有3个零点，故③错误； 当且时，取得最大值2，故④正确， 故正确的是①④， 故选 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查型的函数图象的变换，考查分类讨论的数学思想方法与数形结合的解题思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属于较难题． 利用函数图象的平移与伸缩变换求得的解析式，再由x的范围求得的范围，结合在上的最大值为，分类求解得答案． 【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象． 再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象， ，， 当，即时，则，求得 当，即时，由题意可得， 作出函数与的图象如图： 由图可知，此时函数与的图象有唯一交点，则有唯一解． 综上，的取值个数为 故选： 9.【答案】BC  【解析】【分析】 本题主要考查三角函数概念有关的知识，属于基础题. 通过象限角，扇形面积，任意角的三角函数定义，判断选项的正误即可. 【解答】解：A、，所以与终边相同，是第二象限角，所以不正确； B、若圆心角为的扇形半径为r， 由弧长为，则半径， 所以该扇形面积为，正确； C、若角的终边过点， 则，，正确； D、若角为锐角，设，则角为锐角，所以不正确. 故选 10.【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查了三角函数图象平移变换以及函数的性质的应用，属于基础题. 先由三角函数的图象变换求出的值，即可判断A选项错误，求出的解析式，然后根据三角函数的性质逐项判断B，C，D即可. 【解答】 解：的图象向右平移个单位长度后得到 ， ， ，即，故A不正确； ， B.的最小正周期 ，故B正确； C.令，，得， 即的对称中心为，故C不正确； D.令，， 解得， 函数的递减区间为， 当时，函数的递减区间为，故D正确； 故选 11.【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查了三角恒等变换的应用，考查了转化思想与方程思想，难点在于化简运算，属于较难题． 由三倍角公式知选项A错误，连续用二倍角公式可证明选项B正确，化简由，可得，求出，，即可判断选项 【解答】 解：， ，故选项A错误; ， ，故选项B正确； ， ， 即， 解得或， ，舍去， ，， ，故选项C正确； 而，故选项D错误． 故选： 12.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查扇形的弧长和面积公式，属于基础题. 利用扇形的面积求出扇形的半径 r ，再带入弧长计算公式即可得出结果． 【解答】 解：由于扇形的圆心角为  ，扇形的面积为  ， 则扇形的面积  ，解得：  ， 此扇形所含的弧长  . 故答案为：  . 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的图象与性质，考查理解与运算能力，属于中档题． 由题意利用正弦函数的图象特征可得当时，取得最小值，即，，由此求得的值． 【解答】 解：由， ，可得的图象关于直线对称， 在区间有最小值无最大值，故当时，取得最小值， 故有，， ，， 又，且， ， 故答案为： 14.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式、两角和的正切公式以及利用基本不等式求最值，属于较难题. 利用同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式化简可得，由此得 ，利用基本不等式可得结果. 【解答】 解：， ， ，所以， ，，，， ， 当且仅当即时，取等号， 所以的最大值为 故答案为 15.【答案】解： ； 是第三象限角，且， ， ，   【解析】本题考查了三角函数的诱导公式与同角三角函数的基本关系． 利用三角函数的诱导公式化简即可； 根据诱导公式，利用同角的三角函数关系计算即可. 16.【答案】解：Ⅰ函数 ， 的最小正周期为； Ⅱ若在区间上的最大值为， 可得，且当时，取得最大值， 即有，解得， 则m的最小值为  【解析】本题考查三角函数的图象与性质，注意运用二倍角公式和三角函数的周期公式、最值，考查运算能力，属于基础题． Ⅰ运用二倍角公式的降幂公式和两角差的正弦公式化简函数为，利用周期公式即可得解； Ⅱ求得的范围，结合正弦函数的图象可得，即可得到所求最小值． 17.【答案】解：由，， 得 ， 由，得 ， 由， 得 ， 又，   【解析】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和与差的三角函数公式等知识，属于中档题. 先求，再求，用正切函数的二倍角公式可得结果； 先求，再根据求得，即得结果. 18.【答案】解：由于 ， 令， 整理得， 所以函数的单调递减区间为 由于，所以， 则，即， 解得， 则 函数的图象向右平移个单位得到的图象， 由于，所以， 所以函数在上有唯一零点， 即与函数在上只有一个交点， 所以当或时，直线与函数的图象只有一个交点， 当即时，； 当即时，， 所以时，数在上有唯一零点．  【解析】本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，函数的零点与方程的根之间的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于较难题． 首先把函数的关系式变形成正弦函数，进一步求出函数的单调区间． 利用函数的值求出的值，进一步求出结果． 利用函数图象的平移变换的应用和函数的零点和方程的根之间的关系式的应用求出结果． 19.【答案】解：由  ，得  ， 则  则  为偶函数，所以  ， 又  ，所以  ， 故   因为  ，所以  ，  故  ，  ， 而  恒成立， 即  ， 整理可得   令  ，  ， 设  ，  ， 设  且  ， 则  ， 由于  ，  ，则  ，所以  ， 即  区间  上单调递增，故  ， 故  ，即实数m的取值范围是  . 由题意知  ， 由  得  ， 故  或  ，  ， 解得  或  ，  ， 故  的零点为  或  ，  所以相邻两个零点之间的距离为  或    若  最小，则a和b都是零点，此时在区间  ，  ，…，  ，  分别恰有3，5，…，  个零点， 所以在区间  上恰有29个零点， 从而在区间  上至少有一个零点， 所以  ， 另一方面，在区间  上恰有30个零点， 所以  的最小值为  .   【解析】本题考查正弦函数图象变换，正弦函数周期，零点.属于拔高题. 第7页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$