精品解析：2024年上海市崇明区四校联考中考模拟数学试题

2024学年崇明区四校联考3月自适应性练习数学卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 考生注意： 1.带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具 2.不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外． 3.考试开始15分钟后禁止入场，不得提前交卷，考试期间严格遵守考试纪律，诚信应考，杜绝作弊． 4.答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负． 5.本卷为回忆版，如有题目不同请联系，答案在本卷最后 一、选择题（共6题，每题4分，满分24分） 1. 2022年4月27日，世卫组织公布，全球累计新冠确诊病例接近例．将用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 2. 甲、乙两个工厂生产同一种类型口罩，每个小时甲厂比乙厂多生产1000个这种类型的口罩，甲厂生产30000个这种类型的口罩所用的时间与乙厂生产25000个这种类型的口罩的时间相同．设甲厂每小时生产这种类型的口罩x个，依据题意列方程为（ ） A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 3. 下列判断正确的是（　　） A. 一组数据6，5，8，7，9的中位数是8 B. “三角形内角和为180°”是必然事件 C. 甲、乙两组学生身高的方差分别为s甲2＝1.6，s乙2＝0.8，则甲组学生的身高较整齐 D. 神舟十三号卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查 4. 若二次函数的解析式为．若函数过点和点，则q的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 下图中，图是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果，图是一个菱形，将图截去一个边长为原来一半的菱形得到图，用图镶嵌得到图，将图着色后，再次镶嵌便得到图，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 函数、在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7 因式分解：___________． 8. 函数的定义域为_________． 9. 已知为锐角，若，则的度数为______ ． 10. 杭州市将在2022年举办亚运会，为加强学校体育工作，某学校决定购买一批篮球和足球共100个．已知篮球和足球的单价分别为120元和90元．根据需求，篮球购买的数量不少于40个．学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10260元，则有______种购买方案． 11. 某学校举行学生会成员的竞选活动，对竞选者从平时表现、民主测评、和讲演三个方面分别按百分制打分，然后以3：2：5的比例计算最终成绩，若一名同学的平时表现、民主测评、和讲演成绩分别为90分、80分和94分，则这名同学的最终成绩为_____分． 12. 从1~20的偶数中随机挑选一个，是素数的概率为_________． 13. 半径为的正六边形最长对角线长为__________． 14. 如图，已知梯形，，点在底边上，．如果设，，那么__________．（用向量，的式于表示） 15. 定义一种新运算：对于任意非零实数a，b，．若，则x的值为___________． 16. 将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则的值是________． 17. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，则图像经过点D的反比例函数的解析式是______． 18. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD交于点O，点E是BC边上一动点．将△OCE沿OE翻折得到△O E，OC'交BC于点F，且点在BC下方，连接B．当△BEC'是直角三角形时，△BEC'的周长为 __________________． 三.解答题（满分78分） 19. 计算：． 20. 解方程： 21. 有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，分别被分成4等份、3等份，并在每份内均标有数字，如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘A与B；②两个转盘停止后，将两个指针所指份内数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）． ③如果和为0，王扬获胜；否则刘非获胜． （1）用列表法（或树状图）求王扬获胜的概率； （2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 22. 为响应教育部立德树人和“五育”并举的号召，学校举行班级篮球循环赛，比赛计分规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分． （1）小明班级篮球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么他们胜了几场，平了几场？ （2）第二轮从第一轮球队中选拔8个得分高的球队，仍然采取单循环赛，但每一场必须决出胜负．如果一个球队获胜x场，得分是y分，求y与x的函数关系式； （3）为了文明比赛，学校规定，给无犯规的球队加4分；如果有犯规，按每3次扣1分计入该队的总分，循环赛结束得分在9分（含9分）以上的球队进入复赛．小明班级篮球队预计犯规次数是获胜次数的2倍，按这个计划实施，他们想进入复赛最少要胜多少场？ 23. 如图1，在平行四边形中，点E，F分别在线段，上，且，连接，交于点O． （1）求证：； （2）连接，（如图2），若，求证：四边形是菱形． 24. 如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过A（3，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点M是线段AB上方抛物线上一动点，以AB为边作平行四边形ABMD，连接OM，若OM将平行四边形ABMD的面积分成为1∶7的两部分，求点M的横坐标； （3）如图2，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A匀速运动，同时点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→O→B匀速运动，当点P到达点A时，P、Q同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，点G在坐标平面内，使以B、P、Q、G为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的t值． 25. 如图，是的外接圆，于，交于点， （1）求证：； （2）连结并延长交于点，延长交于，连结交于点，若平分， ①若，，求的长． ②连结，若，，求：关于的函数关系式及其定义域 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年崇明区四校联考3月自适应性练习数学卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 考生注意： 1.带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具 2.不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外． 3.考试开始15分钟后禁止入场，不得提前交卷，考试期间严格遵守考试纪律，诚信应考，杜绝作弊． 4.答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负． 5.本卷为回忆版，如有题目不同请联系，答案在本卷最后 一、选择题（共6题，每题4分，满分24分） 1. 2022年4月27日，世卫组织公布，全球累计新冠确诊病例接近例．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为正整数． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 2. 甲、乙两个工厂生产同一种类型口罩，每个小时甲厂比乙厂多生产1000个这种类型的口罩，甲厂生产30000个这种类型的口罩所用的时间与乙厂生产25000个这种类型的口罩的时间相同．设甲厂每小时生产这种类型的口罩x个，依据题意列方程为（ ） A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用甲厂生产30000个和乙厂生产25000个口罩的时间相同得出等式即可． 【详解】解：设甲厂每小时生产这种类型的口罩个，依据题意列方程为： ． 故选：C． 【点睛】本题考查了根据实际问题列分式方程，找到等量关系是解题的关键． 3. 下列判断正确的是（　　） A. 一组数据6，5，8，7，9的中位数是8 B. “三角形的内角和为180°”是必然事件 C. 甲、乙两组学生身高的方差分别为s甲2＝1.6，s乙2＝0.8，则甲组学生的身高较整齐 D. 神舟十三号卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数，必然事件，方差的意义，抽样调查与普查逐项分析判断即可． 【详解】A. 一组数据6，5，8，7，9，重新排列为5，6，7，8，9，则中位数是7，故该选项不正确，不符合题意； B. “三角形的内角和为180°”是必然事件，故该选项正确，符合题意； C. 甲、乙两组学生身高的方差分别为s甲2＝1.6，s乙2＝0.8，则乙组学生的身高较整齐，故该选项不正确，不符合题意； D. 神舟十三号卫星发射前的零件检查，这个调查很重要不可漏掉任何零件，应选择全面调查，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了中位数，必然事件，方差的意义，抽样调查与普查，三角形内角和为180°，掌握以上知识是解题的关键． 4. 若二次函数的解析式为．若函数过点和点，则q的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式为，可以得到该函数的对称轴，再根据函数过点和点，可以得到，然后即可用含m的代数式表示出p，然后根据在该函数图象上，代入函数解析式，即可得到关于m的二次函数，再根据m的取值范围，即可得到q的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴该函数的对称轴为直线， ∵函数过点和点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，q随m的增大而减小， ∵， ∴当时，q取得最大值；当时，q取得最小值， ∴q的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，得到q和m的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． 5. 下图中，图是艺术家埃舍尔作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果，图是一个菱形，将图截去一个边长为原来一半的菱形得到图，用图镶嵌得到图，将图着色后，再次镶嵌便得到图，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定的度数，再利用菱形的对边平行，平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图所示： ， 又∵， ， ∵， ∴， ，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与学生读题审题的能力，理解题意，准确识图，求出的度数是解题的关键． 6. 函数、在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的开口大小、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧， 所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项C错误； 又函数的图像的开口比函数、的开口都小，故选项B 错误； 函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值， 所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项D错误 ， 只有选项A正确， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键． 二、填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7. 因式分解：___________． 【答案】## 【解析】 【分析】先确定公因式，然后提取分解． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题考查的知识点是提公因式法分解因式，关键是确定公因式． 8. 函数的定义域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围．解题的关键是掌握：分式的分母不为．据此解答即可． 详解】解：∵， ∴函数的定义域为． 故答案为：． 9. 已知为锐角，若，则的度数为______ ． 【答案】或 【解析】 【分析】因数分解，即可求解． 【详解】解：原式化为， ∴或，为锐角， 由特殊角的三角函数值得，或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值，解特殊角的三角函数的方程是解题的关键． 10. 杭州市将在2022年举办亚运会，为加强学校体育工作，某学校决定购买一批篮球和足球共100个．已知篮球和足球的单价分别为120元和90元．根据需求，篮球购买的数量不少于40个．学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10260元，则有______种购买方案． 【答案】3 【解析】 【分析】设购买篮球个，足球个，根据“篮球购买的数量不少于40个， 学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为 10260元”，列出不等式组，求出的取值范围，由为正整数，即可解答； 【详解】解：设篮球购买个，则足球购买个，由题意得： ， 解得：， 为正整数， 取 40，41，42． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是根据已知条件，列出一元一次不等式组，解出的取值范围，再利用为整数进行排除． 11. 某学校举行学生会成员的竞选活动，对竞选者从平时表现、民主测评、和讲演三个方面分别按百分制打分，然后以3：2：5的比例计算最终成绩，若一名同学的平时表现、民主测评、和讲演成绩分别为90分、80分和94分，则这名同学的最终成绩为_____分． 【答案】90 【解析】 【分析】根据题意和加权平均数的计算方法，可以计算出这名同学的最终成绩． 【详解】解：这名同学的最终成绩为：（分）， 故答案为：90． 【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法． 12. 从1~20的偶数中随机挑选一个，是素数的概率为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了简单概率计算，熟练掌握简单概率公式是解题关键．结合偶数和素数的定义，根据简单概率计算公式求解即可． 【详解】解：从1~20的偶数共计10个，其中是素数的是2，共计1个， 所以，从1~20的偶数中随机挑选一个，是素数的概率为． 故答案为：． 13. 半径为的正六边形最长对角线长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，解题的关键是掌握正多边形和圆的相关概念和性质．据此解答即可． 【详解】解：如图，六边形为正六边形，点是正六边形外接圆的圆心，半径为 ∵正六边形为中心对称图形， ∴它的一条最长对角线过点， ∴， ∴半径为的正六边形最长对角线长为． 故答案为：． 14. 如图，已知梯形，，点在底边上，．如果设，，那么__________．（用向量，的式于表示） 【答案】## 【解析】 【分析】由，，可推出四边形是平行四边形，则，再由可得，根据，即可得到答案． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，平行四边形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 15. 定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据新定义可得，由此建立方程解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵即， ∴， 解得， 经检验是方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的方程是解题的关键． 16. 将抛物线向上平移3个单位长度后，经过点，则的值是________． 【答案】-5 【解析】 【分析】根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点代入，得到，最后将变形求值即可. 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度后， 表达式为：， ∵经过点，代入， 得：， 则==2×3-11=-5. 故答案为：-5. 【点睛】本题考查了二次函数的平移，代数式求值，解题的关键是得出平移后的表达式. 17. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，则图像经过点D的反比例函数的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设，，结合正方形性质，全等三角形的判定和性质，得到≌≌，然后表示出点C和点D的坐标，求出，即可求出答案． 【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图： ∵， 设，， ∴点A为（，0），点B为（0，）； ∵四边形ABCD是正方形， ∴，， ∴， ∴， 同理可证：， ∵， ∴≌≌， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为（，），点D的坐标为（，）， ∵点C在函数的函数图像上， ∴，即； ∴， ∴经过点D的反比例函数解析式为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数的性质，三角函数，余角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的表示出点C和点D的坐标，从而进行解题． 18. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD交于点O，点E是BC边上一动点．将△OCE沿OE翻折得到△O E，OC'交BC于点F，且点在BC下方，连接B．当△BEC'是直角三角形时，△BEC'的周长为 __________________． 【答案】或 【解析】 【分析】由矩形的性质可得∠OBC＝∠OCB，再根据翻折性质得∠BCO＝∠BEO，然后分两种情况：①当∠BE＝90°时；②当∠B E＝90°时，根据勾股定理可得答案． 【详解】在矩形ABCD中，BD＝AC＝＝2． ∴OB＝OC＝． ∴∠OBC＝∠OCB． ∵△OCE没OE翻折得到△OE， ∴∠OCE＝∠OE＝∠OBC，∠COE＝∠OE，O＝OC＝OB，E＝CE． ∴∠OB＝∠OB，BE+E＝BC＝4． ∵∠BO+2∠OCE+2∠COE＝180°， ∴∠BO+2（∠OCE+∠COE）＝180°， ∵∠BO+2∠OB＝180°， ∴∠OB＝∠BO＝∠BEO． ∴∠BF＝∠OE， 分再种情况： ①如图1，当∠BE＝90°时，∠BO＝180°﹣（∠OBC+∠BE+∠BO）＝180°﹣（∠OE+∠BE+∠BO）＝180°﹣（∠BE+∠BE）＝90°． ∴B＝＝． ∴△BE的周长为B+BE+E＝+4． ②如图2，当∠BE＝90°时，∠BF+∠EF＝90°． ∴∠BEO+∠OBC＝90°， ∴∠BOE＝90°． ∵cos∠OBE＝，即， ∴BE＝ ， ∴E＝CE＝4﹣＝， ∴B＝＝2． ∴△BE的周长为B+BE+E＝6． 综上所述，△BEC的周长为+4或6． 故答案为：+4或6． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理，利用分类讨论的思想进行讨论是解决本题的关键． 三.解答题（满分78分） 19. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边同乘以，得： ， 解得：， 把代入，得：， ∴是原分式方程的解． 21. 有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，分别被分成4等份、3等份，并在每份内均标有数字，如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘A与B；②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）． ③如果和为0，王扬获胜；否则刘非获胜． （1）用列表法（或树状图）求王扬获胜的概率； （2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）不公平；理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了游戏的公平性，求概率： （1）根据题意，列出表格，可得一共有12种等可能结果，其中王扬获胜的有3种，再根据概率公式计算，即可； （2）求出刘非获胜的概率，即可． 【小问1详解】 解：根据题意，列出表格如下： 0 1 2 3 0 一共有12种等可能结果，其中王扬获胜的有3种， 所以P(王杨胜)， 【小问2详解】 解：由（1）得刘非获胜的有9种， 所以P(刘非胜)， 即两人获胜的概率不相同， 所以这个游戏对双方不公平． 22. 为响应教育部立德树人和“五育”并举的号召，学校举行班级篮球循环赛，比赛计分规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分． （1）小明班级篮球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么他们胜了几场，平了几场？ （2）第二轮从第一轮球队中选拔8个得分高的球队，仍然采取单循环赛，但每一场必须决出胜负．如果一个球队获胜x场，得分是y分，求y与x的函数关系式； （3）为了文明比赛，学校规定，给无犯规的球队加4分；如果有犯规，按每3次扣1分计入该队的总分，循环赛结束得分在9分（含9分）以上的球队进入复赛．小明班级篮球队预计犯规次数是获胜次数的2倍，按这个计划实施，他们想进入复赛最少要胜多少场？ 【答案】（1）胜了6场，平了1场 （2） （3）5场 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次方不等式的应用， （1）设他们胜了x场，则平了场，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）首先得到每个球队要比赛7场，然后根据比赛计分规则表示出得分y即可； （3）设他们想进入复赛最少要胜a场，则负了场，小明班级篮球队预计犯规次数是，根据题意列出一元一次方不等式求解即可． 【小问1详解】 设他们胜了x场，则平了场， 根据题意得， 解得 ∴ ∴他们胜了6场，平了1场； 【小问2详解】 ∵第二轮从第一轮球队中选拔8个得分高的球队，仍然采取单循环赛， ∴每个球队要比赛7场 ∵一个球队获胜x场，得分是y分， ∴； 【小问3详解】 设他们想进入复赛最少要胜a场，则负了场，小明班级篮球队预计犯规次数是 ∴ 解得 ∴他们想进入复赛最少要胜5场． 23. 如图1，在平行四边形中，点E，F分别在线段，上，且，连接，交于点O． （1）求证：； （2）连接，（如图2），若，求证：四边形菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，然后利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，然后可证得四边形是平行四边形，结合已知进而可得结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵，， ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）知， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形判定和性质，全等三角形的判定和性质以及菱形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 24. 如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过A（3，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点M是线段AB上方抛物线上一动点，以AB为边作平行四边形ABMD，连接OM，若OM将平行四边形ABMD的面积分成为1∶7的两部分，求点M的横坐标； （3）如图2，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A匀速运动，同时点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→O→B匀速运动，当点P到达点A时，P、Q同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，点G在坐标平面内，使以B、P、Q、G为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的t值． 【答案】（1） （2） （3）t的值为：或或 【解析】 【分析】（1）由抛物线与x轴的两个交点分别为A（3，0），C（﹣1，0），直接可得抛物线为，从而可得答案； （2）如图，记OM与AB的交点为N，过N作于F，连接AM，由平行四边形ABMD的性质可得： OM将平行四边形ABMD的面积分成为1∶7的两部分，可得；再证明，利用相似三角形的性质求解的坐标，求解直线OM为， 再联立函数解析式解方程组即可； （3）分两种情况讨论：当Q在AO上，当Q在BO上，再利用以B、P、Q、G为顶点的四边形是菱形，则为等腰三角形，再分三种情况考虑等腰三角形，从而可得答案． 【小问1详解】 解： 抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过A（3，0），C（﹣1，0）两点， 抛物线为：． 【小问2详解】 解：如图，记OM与AB的交点为N，过N作于F，连接AM， 由平行四边形ABMD的性质可得：， OM将平行四边形ABMD的面积分成为1∶7的两部分， ， ， ∴， ， ∴， ， ， 由可得， ， ， ， ， 设直线OM为，则， ∴， 所以直线， ， 解得：或， 结合题意可得：． 【小问3详解】 解：①当Q在AO上时，即， 如图，过P作于K， 由题意得：， ， ， 同理可得：， ， ， 解得：， ， 则， 而 四边形BPQG是菱形，则满足为等腰三角形， 当， ， 整理得：， 解得：或（不合题意，舍去） 当时，则， 解得：不合题意舍去， 同理：当时，则， 解得：或，经检验都不符合题意，舍去， ②当Q在OB上时，即， 如图，此时，， 当时，则， 解得：， 当时，则， 解得：或，经检验都不合题意舍去， 当时，则， 整理得：， 解得：或（不合题意舍去）． 综上：t的值为：或或． 【点睛】本题是二次函数与四边形的综合，考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 25. 如图，是的外接圆，于，交于点， （1）求证：； （2）连结并延长交于点，延长交于，连结交于点，若平分， ①若，，求的长． ②连结，若，，求：关于的函数关系式及其定义域 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）延长交于点，连接，可得，由得，再根据等角的余角相等即可证明结论； （2）①连接，结合（1）的结论先证明，进而可得，，得出是等腰三角形，由等腰三角形三线合一性质得，继而得到垂直平分，证明，，再利用，解三角形即可； ②利用角平分线性质和面积比得出，由，得出，继而求出，再根据比例性质即可得出函数解析式． 【小问1详解】 证明：如图，延长交于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即点为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点到、的距离相等， 设点到、的距离为，点到的距离为， ∴， ∴， ∴， ∵是的外接圆，， ∴在中，， ∴， ∴关于的函数关系式为． 【点睛】本题考查直角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，角平分线的性质，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点．利用相似三角形的性质和平行线进行等面积变换是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$