精品解析：陕西省西安八十八中2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题

2023-2024学年陕西省西安八十八中八年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中是一元一次不等式的是（    ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列各式中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 3. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与轴交于点，直线与轴交于点．据此推断不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，的垂直平分线交、于点M、N，若，，则的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法：①真命题的逆命题一定是真命题；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③如果a，b，c是一组勾股数，那么也是一组勾股数；④用反证法证明命题“在中，，则”．应先假设“”．其中，正确的说法有（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分（4），其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若不等式两边同时除以，得，则m的取值范围是________． 12. 若点在第二象限，且为正整数，则的值为_______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以为边在x轴上方作等边三角形，作点A关于直线的对称点C，则点C的坐标为______． 14. 如图，在中，，，为顶角平分线，则________． 15. 如图，已知为等边三角形，为中线，延长至点，使，连接，则_______． 三、解答题：本题共11小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解不等式：4+x≥1+3(x−1)并写出它的正整数解． 17. 解不等式： ． 18. 解关于x的不等式组 19. 解不等式组，把解集在数轴上表示出来． 20. 在如图所示的平面直角坐标系内画一次函数y1＝－x＋4和y2＝2x－5的图象，根据图象写出： (1)方程－x＋4＝2x－5的解； (2)当x取何值时，y1>y2？当x取何值时，y1>0且y2<0? 21. 如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米，求种植草皮的面积是多少？ 22. 已知:在中, ,为的中点, , ,垂足分别为点,且.求证:是等边三角形. 23. 如图，A，B，C为三个住宅小区，为方便这三个小区居民购买日常生活用品，计划建一个超市D，使D到A，B，C三个小区的距离相等，请你用尺规作图在图中作出点D． 24. 为保护环境，我市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元． （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？ 25. 如图：在中，，点是斜边的中点，． （1）试判断与的大小关系？并说明理由． （2）与全等吗？为什么？ （3）若，求四边形的面积． 26. 2023年4月23日是世界第28个读书日，为培养学生的阅读兴趣，某校准备购进甲、乙两种图书．经调查，甲种图书费用y（元）与购进本数x（本）之间的函数关系如图所示，乙种图书每本25元． （1）当时，求y与x之间的函数关系式； （2）①若只购买80本甲种图书，则需费用______元； ②学校准备购进400本图书，且两种图书均不少于100本，如何购买，才能使总费用最少？最少总费用多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年陕西省西安八十八中八年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中是一元一次不等式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题比较简单，考查的是一元一次不等式的定义，只要熟练掌握一元一次不等式的定义即可轻松解答．根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以得到答案． 【详解】解：A、不含有未知数，不是一元一次不等式，故本选项错误； B、未知数次数是2，属于一元二次不等式，故本选项错误； C、含有2个未知数，属于二元二次不等式，故本选项错误； D、符合一元一次不等式的定义，故本选项正确； 故选：D 2. 已知，则下列各式中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质依次判断即可． 本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】A、∵， ∴， 故A选项错误； B、当时，， 故B选项是错误； C、∵ ， ∴， 故C选项错误； D、∵， ∴， 故D选项正确； 故选：D． 3. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数列出不等式进行计算即可即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选：C． 4. 已知直线与轴交于点，直线与轴交于点．据此推断不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了利用一次函数图象解不等式，数形结合是解题的关键，分别根据图象求出的解集是，的解集是，即可得到答案． 【详解】解：∵直线与轴交于点，直线与轴交于点． 由图象可知，的解集是，的解集是， ∴的解解集是， 故选：D 5. 如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角性质，平行线的性质．根据等边三角形的三个角都是可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和求出，根据两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】解：如图：，分别交直线于点，， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 6. 如图，在中，，的垂直平分线交、于点M、N，若，，则的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线性质，以及勾股定理，连接，根据垂直平分线性质得到，设，则，在中，利用勾股定理建立等式求解，即可解题． 【详解】解：连接， 的垂直平分线交、于点M、N， ， ，， 设，则， ， ， ，解得， 故选：B． 7. 若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的整数解，解不等式组应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组有3个整数解，即可确定整数解，然后得到关于的不等式求解即可． 【详解】解：解不等式组 得：， ∵恰好有3个整数解， ∴整数解是3，2，1， 故选：D． 8. 下列说法：①真命题的逆命题一定是真命题；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③如果a，b，c是一组勾股数，那么也是一组勾股数；④用反证法证明命题“在中，，则”．应先假设“”．其中，正确的说法有（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是命题的真假判断、反证法的应用，掌握逆命题的概念、等边三角形的判定、勾股数、反证法的应用是解题的关键．①根据逆命题的概念、真假命题的概念进行分析判断；②根据等边三角形的判定进行分析判断；③根据勾股数的定义进行分析判断；④根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立进行分析判断． 【详解】解：①真命题的逆命题不一定是真命题，原说法错误，不符合题意； ②三个角都相等的三角形是等边三角形，原说法正确，符合题意； ③如果a，b，c是一组勾股数，那么也是一组勾股数，原说法正确，符合题意； ④用反证法证明命题“中，，则”．应先假设“”，原说法错误，不符合题意． 综上所述，正确的说法有2个． 故选：B 9. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：连接CD，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=8． ∵作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，∴CD是斜边AB的中线，∴BD=AD=4，∴BF=DF=2，∴AF=AD+DF=4+2=6．故选B． 考点：作图—基本作图；含30度角的直角三角形． 10. 如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分（4），其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由等边三角形的性质可得，，，进而可证得然后利用全等三角形的性质即可判断结论①；利用全等三角形的性质可得，由对顶角相等可得，然后根据三角形的内角和定理即可判断结论②；过点作于，于，利用可证得，于是可得，根据角平分线的判定定理即可判断结论③；在上截取，连接，设，交于点，利用可证得，于是可得，进而可证得为等边三角形，则，然后利用及等量代换即可判断结论④． 【详解】解：①和是等边三角形， ，，， 在和中， ， ∴， ， 故结论①正确； ②∵， ， ， 则， 故结论②正确； ③如图1，过点作于，于， 则， ∵， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， 故结论③正确； ④如图2，在上截取，连接，设，交于点， 由②可知：， ， 由③可知：平分， ， 又， ， 在和中， ， ∴， ， 为等边三角形， ， ， ， 故结论④正确； 综上所述，正确的结论有：，共个． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角平分线的判定定理等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若不等式两边同时除以，得，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质．根据两边同除以，得，不等号的方向发生改变，得到，求解即可．掌握不等式的两边同时除以一个负数，不等式的方向发生改变，是解题的关键． 【详解】解：∵不等式两边同时除以，得， 由题意，得：， ∴； 故答案为：． 12. 若点在第二象限，且为正整数，则的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握坐标系中各象限内点的坐标符号及解一元一次不等式组的能力． 先根据点P在第二象限列出关于a的不等式组，解之求得a的范围，继而结合a为正整数得出答案． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴ ， 解得， ∵为正整数， ∴， 故答案为：1． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以为边在x轴上方作等边三角形，作点A关于直线的对称点C，则点C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化——轴对称及等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练运用轴对称的性质及等边三角形的性质是正确解决本题的关键． 连接，作于D，根据轴对称及直角三角形的性质即可求出的长，进而得点C的坐标． 【详解】 解：连接，作于D， ， 是等边三角形，点A的坐标为， ， ， ， ， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，为顶角平分线，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由等腰三角形三线合一的性质可得答案． 【详解】解：∵，为顶角平分线， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 15. 如图，已知为等边三角形，为中线，延长至点，使，连接，则_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，根据等边三角形的性质求出，再根据等边三角形的性质得出，从而求出即可． 【详解】解：∵为等边三角形，为中线， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 三、解答题：本题共11小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解不等式：4+x≥1+3(x−1)并写出它的正整数解． 【答案】x≤3；正整数解为1，2，3 【解析】 【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解，然后找出对应的正整数解即可． 【详解】解：去括号得：4+x≥1+3x-3， 移项得：x-3x≥1-3-4， 合并同类项得：-2x≥-6， 系数化为1得：x≤3． 故正整数解为1，2，3． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，解题关键是熟知解一元一次不等式的步骤． 17. 解不等式： ． 【答案】 【解析】 【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得． 化系数为1，得． 【点睛】此题考查了一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 18. 解关于x的不等式组 【答案】 【解析】 【分析】分别解不等式组的两个不等式，再取两个不等式的解集的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， 原不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的解集，取两个不等式的解集的公共部分的口诀为：“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小则无解”，熟知上述口诀是解题的关键． 19. 解不等式组，把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 解集在数轴上表示如下； 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．熟练掌握解一元一次不等式组，在数轴上表示解集是解题的关键． 先分别求两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，然后在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， 由， 解得，， 由， 解得，， ∴不等式组的解集为； 20. 在如图所示的平面直角坐标系内画一次函数y1＝－x＋4和y2＝2x－5的图象，根据图象写出： (1)方程－x＋4＝2x－5的解； (2)当x取何值时，y1>y2？当x取何值时，y1>0且y2<0? 【答案】（1）x＝3.（2）当x＜3时，y1＞y2.当x＜2.5时，y1＞0且y2＜0. 【解析】 【详解】分析：（1）根据题意画出一次函数和的图象，根据两图象的交点即可得出x的值； （2）根据函数图象可直接得出结论． 详解：（1）∵一次函数和的图象相交于点（3，1）， ∴方程的解为x=3； （2）由图象可知， 当时， 当时，且 点睛：考查一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，注意数形结合思想在解题中的应用. 21. 如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米，求种植草皮的面积是多少？ 【答案】96平方米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证是直角三角形，，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ， ∵， ∴， 在中，， 而， ∴， ∴是直角三角形，， ∴种植草皮的面积为（平方米）． 22. 已知:在中, ,为的中点, , ,垂足分别为点,且.求证:是等边三角形. 【答案】 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∵DE⊥AB， DF⊥BC， ∴∠DEA=∠DFC=90°． ∵D为的AC中点， ∴DA=DC． 又∵DE=DF， ∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)， ∴∠A=∠C， ∴∠A=∠B=∠C， ∴ΔABC是等边三角形． 【解析】 【详解】分析：由等腰三角形的性质得到∠B=∠C．再用HL证明Rt△ADE≌Rt△CDF，得到∠A=∠C，从而得到∠A=∠B=∠C，即可得到结论． 详解：略 点睛：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是证明∠A=∠C． 23. 如图，A，B，C为三个住宅小区，为方便这三个小区居民购买日常生活用品，计划建一个超市D，使D到A，B，C三个小区的距离相等，请你用尺规作图在图中作出点D． 【答案】 如图，点D即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，掌握作线段的垂直平分线是解题的关键． 连接、、AC，构造三角形，作、的垂直平分线，两线交点即为所求作的点． 【详解】解：由作图可知，点D是线段、的垂直平分线的交点， ∴． 24. 为保护环境，我市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元． （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？ 【答案】（1）购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元 （2）三种方案：①购买A型公交车6辆，B型公交车4辆；②购买A型公交车7辆，B型公交车3辆；③购买A型公交车8辆，B型公交车2辆． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用； （1）等量关系式：购买A型公交车1辆的费用购买B型公交车2辆的费用400万元，购买A型公交车2辆的费用B型公交车1辆的费用共需350万元；据此列出方程组，即可求解； （2）不等关系式：购买A型公交车的费用购买B型公交车的费用1200万元，A型公交车的载客量B型公交车的载客量680万人次；据此列出不等式组，即可求解； 找出等量关系式和不等关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元， 由题意得， 解得， 答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元． 【小问2详解】 解：设购买A型公交车a辆，则购买B型公交车辆， 由题意得， 解得：， 因为a是整数， 所以取、、； 则取、、． 三种方案：①购买A型公交车6辆，B型公交车4辆；②购买A型公交车7辆，B型公交车3辆；③购买A型公交车8辆，B型公交车2辆． 25. 如图：在中，，点是斜边的中点，． （1）试判断与的大小关系？并说明理由． （2）与全等吗？为什么？ （3）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 解：，理由如下： ，点是斜边的中点， ， ． 又， ， ． （2） 解：与全等，理由如下： ， ． 又点是斜边的中点， ， ， ． 在和中，， ． （3） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，再根据即可得； （2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，根据等腰三角形的判定可得，然后根据三角形全等的判定即可得； （3）先求出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ， 点是斜边的中点， ， 又， ， 则四边形的面积为 ， 所以四边形的面积为． 26. 2023年4月23日是世界第28个读书日，为培养学生的阅读兴趣，某校准备购进甲、乙两种图书．经调查，甲种图书费用y（元）与购进本数x（本）之间的函数关系如图所示，乙种图书每本25元． （1）当时，求y与x之间的函数关系式； （2）①若只购买80本甲种图书，则需费用______元； ②学校准备购进400本图书，且两种图书均不少于100本，如何购买，才能使总费用最少？最少总费用多少元？ 【答案】（1） （2）①；②当购进甲种图书本，乙种图书本图书时，总费用最少，最少费用为元． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用． （1）根据函数图象利用待定系数法求解当时对应的函数解析式． （2）设总费用为元，求出关于的关系式，再利用一次函数的性质求出最少的费用即可． 【小问1详解】 解： 当时，设与之间的函数关系式是， ，解得， 即当时，与之间的函数关系式是， 与之间的函数关系式是：． 【小问2详解】 解：①当时，设与之间的函数关系式是， ， 解得，， 即当时，与之间的函数关系式是， 当时，元 故答案为：； ②设总费用为元，设购买x本甲种图书，则购买本乙种图书， 两种图书均不少于本， 则， ， ， ，随的增大而减小， 当时，最少为， 应购买甲种图书300本，乙种图书100本，才能使总费用最少，最少是8500元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $