精品解析：2024届陕西省榆林市高三三模文数试题

2024届高三年级4月份大联考 文科试题 本试卷共4页，23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 5.考试结束后'，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第I卷 一､选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意解得，，即可求出 . 【详解】由，知，解得：， 所以； 由，即， 所以. 故选:B. 2. 已知，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先计算出，再由共轭复数及复数的模计算. 【详解】由，得， 所以， 所以. 故选：D. 3. 在中，在边上，且是边上任意一点，与交于点，若，则（ ） A. B. C. 3 D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，得，再利用平面向量基本定理，可得，然后就可得到结果. 【详解】三点共线，设， 则， 又，所以，即. 故选：C. 4. 设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下面为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 对于空间中的直线，若，则 C. 若直线上存在两点到平面的距离相等，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线和平面的位置关系的判定定理和性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断. 【详解】对于A：在长方体中， 令平面是平面，平面为平面，直线为直线， 直线为直线，显然， 此时直线是异面直线，不平行，故A错误； 对于B：当，时，只有相交时才有， 比如A选项的长方体中 平面， 平面， ， ， 但是与平面不垂直，故B错误； 对于C：若直线上存在两点到平面的距离相等，则或与相交，故C错误； 对于D：如图： 因为，过作平面和平面交于，则，而，故， 又，故，故D正确. 故选：D. 5. 在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.若，点为双纽线上任意一点，则下列结论正确的个数是（ ） ①关于轴不对称 ②关于轴对称 ③直线与只有一个交点 ④上存在点，使得 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】用定义法把动点的轨迹方程求出来，利用代换，方程没有变化，可知双纽线关于轴，轴，原点对称，再利用它与联立方程组，解得只有一组解，可知③正确，再利用原点到的距离正好是 ,可知满足题意，所以④正确，从而可以做出所有选项的判断. 【详解】①设到定点的距离之积为4， 可得.，整理得， 即曲线的方程为， 由用 代换，方程没变，可知曲线关于轴对称， 由用代换，方程没变，可知曲线关于轴对称， 由用 代换，用同时代换，方程没变，可知曲线关于原点对称， 图象如图所示： 所以①不正确，②正确； ③联立方程组，可得，即 ，所以， 所以直线与曲线只有一个交点，所以③正确. ④原点满足曲线的方程，即原点在曲线上，则， 即曲线上存在点与原点重合时，满足，所以④正确. 故选:C. 6. 现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始依次进行，当甲报出1，乙报出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字，则第2024个被报出的数应该为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】列举出部分数字观察其周期即可得解. 【详解】报出的数字依次是，除了首项以外是个周期为6的周期数列. 去掉首项后的新数列第一项为2， 因为，所以原数列第2024个被报出的数应该为2. 故选：A. 7. 已知正三棱锥的侧棱与底面边长的比值为，则三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正棱锥的性质，先过顶点作底面的垂线，由线面角的定义和题干数据进行求解. 【详解】如图，为等边三角形， 为中点，作面垂足为， 设，则，根据正棱锥性质，则， 根据线面角的定义，三棱锥的侧棱与底面所成角为， 则. 故选：B 8. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于对称，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平移变换的原则求出变化后的函数解析式，再根据余弦函数的对称性即可得解. 【详解】由函数， 将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到函数， 又由图象关于对称， 所以，解得， 因为，所以当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 9. 在一次数学模考中，从甲､乙两个班各自抽出10个人的成绩，甲班的十个人成绩分别为，乙班的十个人成绩分别为.假设这两组数据中位数相同､方差也相同，则把这20个数据合并后（ ） A. 中位数一定不变，方差可能变大 B. 中位数可能改变，方差可能变大 C. 中位数一定不变，方差可能变小 D. 中位数可能改变，方差可能变小 【答案】A 【解析】 【分析】不妨设，表达出两组数据的中位数，根据中位数相同得到或，则合并后的数据中位数是或者，中位数不变，再设第一组数据的方差为，平均数为，第二组数据的方差为，平均数为，根据公式得到合并后平均数为，方差为，，得到结论. 【详解】不妨设， 则的中位数为，的中位数为， 因为，所以或， 则合并后的数据中位数是或者，所以中位数不变. 设第一组数据的方差为，平均数为，第二组数据的方差为，平均数为， 合并后总数为20，平均数为，方差为， 如果均值相同则方差不变，如果均值不同则方差变大. 故选：A. 10. 已知，若当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，易得的对称轴为，则，进而可得出答案. 【详解】令， 由题意可得，则， 又因为，所以， 函数的对称轴为， 则， 即， 即，结合，解得. 故选：A. 11. 设为双曲线的上､下焦点，点为的上顶点，以为直径的圆交的一条渐近线于两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立双曲线的渐近线与圆的方程可得、点坐标，结合点坐标借助向量夹角计算公式可得、的关系，即可得离心率. 【详解】由题意知以为直径的圆的方程为， 根据对称性，不妨设一条渐近线方程为，在第二象限， 联立，解得或， 则，又， 所以， 则，即， 所以离心率. 故选：C. 12. 某兴趣小组的几位同学在研究不等式时给出一道题：已知函数.函数，当时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求导得到的单调性，从而得到当 时， ，当 时， ，令，为增函数，求出，或，当成立时，有，求出不等式解集. 【详解】，定义域为， ， 令，则由，可得， ，则，在恒成立， 在上单调递减，，故当 时， ， 当 时， ， 令，易证为增函数， ， ， 或， 当成立时，有， 故 与 取交集，或 与或取交集， 所以或. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：求导后，利用换元思想得到的单调性，结合特殊点的函数值，得到当 时， ，当 时， ，再结合同构思想求出和的解集. 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答. 二､填空题：本题共4小题，每小题5分. 13. 已知函数为奇函数，且最大值为1，则函数的最大值和最小值的和为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】奇函数如果存在最值，则最大值和最小值之和为0， 所以函数最大值和最小值之和为0， 则函数的最大值和最小值之和为2. 故答案为：2. 14. 若直线与抛物线和圆从左到右依次交于点，则__________. 【答案】22 【解析】 【分析】根据抛物线的焦半径公式和圆的直径可求的值. 【详解】抛物线的焦点即为，圆的半径为1， 设，由得， 所以，， 故. 故答案为：22. 三､解答题：解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足，前项和为是关于的二次函数且最高次项系数为1. （1）求的通项公式； （2）已知，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解； （2）利用裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 设的首项为，公差为， ， ， ，结合题设，， ， ； 【小问2详解】 ， ， . 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：. 【答案】（1） 当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2） 当时，证原不等式等价于证， 由（1）知时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 所以，得到，当且仅当时等号成立， 所以欲证，只需证，即证， 令，则，由，得到，由，得到， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，得到 所以，所以当时，. 【解析】 【分析】（1）对求导，得到，利用导数与函数单调性间的关系，对进行分类讨论，即可求出结果； （2）将问题转化成求证，由（1）将问题转化成，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最大值，即可证明结果. 【小问1详解】 易知的定义域为，又， 当时，在区间上恒成立，此时，在区间上单调递减， 当时，当时，， 时，，此时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 【小问2详解】 略 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. （选修4-4，坐标系与参数方程） 17. 在直角坐标系中，曲线C的参数方程是（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）已知点的坐标为，直线交曲线的同支于两点，求的取值范围. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）将 分别平方后相减即可得曲线的普通方程，由可得直线的直角坐标方程； （2）根据题意设设直线的参数方程为（其中为参数），代入曲线的普通方程，结合韦达定理以及t的几何意义即可求得答案. 【小问1详解】 ，① ，② ①-②，得，所以曲线的普通方程为. 由，可将，化为. 故直线的直角坐标方程为. 【小问2详解】 由（1）知，直线恒过点，故可设直线的参数方程为（其中为参数）， 设两点对应的参数分别是. 将直线的参数方程代入，得. 因为直线交曲线的同支于两点，曲线的渐近线方程为， 所以，所以， 由韦达定理，可得与异号. 所以 . 由于，从而， 所以所求式的取值范围为. （选修4-5，不等式选讲） 18. 已知函数. （1）当 时，解不等式 ； （2）若 ，且函数 的最小值为5，证明：. 【答案】（1） （2）证明如下： 因为 ， 当且仅当 时取等号， 所以 ， 因为 ，所以由柯西不等式， 可知 ， 当且仅当时等号成立， 所以. 【解析】 【分析】（1）分类讨论去绝对值，即可求解， （2）根据绝对值三角不等式关系可得 ，即可利用柯西不等式求解. 【小问1详解】 当 时 ， 当 时， ，（舍）. 当 时， ， ，又 ， . 当时， ， ，又， . 综上，所求不等式解集为 . 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届高三年级4月份大联考 文科试题 本试卷共4页，23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 5.考试结束后'，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第I卷 一､选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 3. 在中，在边上，且是边上任意一点，与交于点，若，则（ ） A. B. C. 3 D. -3 4. 设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下面为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 对于空间中的直线，若，则 C. 若直线上存在两点到平面的距离相等，则 D. 若，则 5. 在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.若，点为双纽线 上任意一点，则下列结论正确的个数是（ ） ① 关于轴不对称 ② 关于轴对称 ③直线与 只有一个交点 ④ 上存在点，使得 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始依次进行，当甲报出1，乙报出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字，则第2024个被报出的数应该为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知正三棱锥的侧棱与底面边长的比值为，则三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于对称，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 在一次数学模考中，从甲､乙两个班各自抽出10个人的成绩，甲班的十个人成绩分别为，乙班的十个人成绩分别为.假设这两组数据中位数相同､方差也相同，则把这20个数据合并后（ ） A. 中位数一定不变，方差可能变大 B. 中位数可能改变，方差可能变大 C. 中位数一定不变，方差可能变小 D. 中位数可能改变，方差可能变小 10. 已知，若当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 11. 设为双曲线的上､下焦点，点 为的上顶点，以为直径的圆交的一条渐近线于两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 12. 某兴趣小组的几位同学在研究不等式时给出一道题：已知函数.函数，当时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答. 二､填空题：本题共4小题，每小题5分. 13. 已知函数为奇函数，且最大值为1，则函数的最大值和最小值的和为__________. 14. 若直线与抛物线和圆从左到右依次交于点，则__________. 三､解答题：解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列满足，前项和为是关于的二次函数且最高次项系数为1. （1）求的通项公式； （2）已知，求的前项和. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：. 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. （选修4-4，坐标系与参数方程） 17. 在直角坐标系中，曲线C的参数方程是（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （1）求曲线 的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）已知点的坐标为，直线交曲线 的同支于两点，求的取值范围. （选修4-5，不等式选讲） 18. 已知函数. （1）当 时，解不等式 ； （2）若 ，且函数 的最小值为5，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $