精品解析：2024年浙江省中考数学模拟测试题

浙江省2024年中考数学模拟测试卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在，，，，这五个数中，负数共有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】先将各个数化简，再根据负数的定义即可解答． 【详解】解：，，，，， ∴，是负数，共2个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了负数的定义，解题的关键是掌握多重符号的化简，绝对值化简，以及负数的定义． 2. 如图，、在的对角线上，，，，则的大小为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设∠ADE=x，由直角三角形的性质得出DE=AF=AE=EF，从而∠DAE=∠ADE=x， DE=CD，证出∠DCE=∠DEC=2x，由AD//BC得∠ACB=∠DAE=x，然后根据∠BCD =54°，得出方程，解方程即可． 【详解】解：设∠ADE=x， ∵AE=EF，∠ADF=90°， ∴DE=AF=AE=EF， ∴∠DAE=∠ADE=x， ∵AE=EF=CD， ∴DE=CD， ∴∠DCE=∠DEC=2x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC， ∴∠ACB=∠DAE =x， ∵∠BCD =54°， ∴2x+x=54°， 解得：x=18°， 即∠ADE=18°． 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；根据角的关系得出方程是解题的关键． 3. 甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近10次训练成绩的平均数与方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 180 180 185 185 方差 8.2 3.9 7.5 3.9 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择的是( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加． 【详解】解：∵， ∴从丙和丁中选择一人参加比赛， ∵， ∴选择丁参赛， 故选D． 【点睛】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键． 4. 下列选项是无理数为（ ） A. B. C. 3.1415926 D. 【答案】D 【解析】 【分析】无理数是指无限不循环小数，据此分析即可． 【详解】A、是无限循环小数，是有理数，不符合题意； B、，是整数，是有理数，不符合题意； C、3.1415926是有限小数，是有理数，不符合题意； D、是无理数，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查无理数的识别，理解无理数的概念是解题关键． 5. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．若点的坐标为，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出前五个点的坐标可以发现规律，，，…，，…每四个坐标为一个循环，据此求解即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即， ∴点的坐标为，即， ∴点的坐标为，即 点的坐标为，即， ∴可知，，，…，，…每四个坐标为一个循环， ∵， ∴与的坐标相同，即， 故选A． 【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． 6. 如图，等边的边长为4，点P在BC上，连接AP．则的面积y与BP的长x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过A点作AD⊥BC于点D，根据等边三角形的性质可求解BD的长，由勾股定理可求得AD的长，由三角形的面积公式可列出y关于x的解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D， ∵△ABC是以4位边长的等边三角形， ∴BD=CD=2， ∴， ∴， ∴当x=4时，， ∴该函数图象为一次函数图象的一段，且y随x的增大而增大，且过点． 故选：C 【点睛】本题主要考查等边三角形性质，一次函数的图象，勾股定理，根据题意得到y关于x的解析式是解题的关键． 7. 如图，在边长为1的正方形网格中，是的外接圆，点，，在格点上，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，由圆周角定理可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由网格可知：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、三角函数及勾股定理，熟练掌握圆周角定理、三角函数及勾股定理是解题的关键． 8. 如图，在中，已知，，是的外心，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆，解直角三角形，勾股定理，圆周角定理，连接，，以点为圆心，以为半径作的外接圆，根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点可得，，结合等腰三角形底边上的中线与顶角的角平分线重合可得，根据锐角三角函数可求得，最后由勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，，以点为圆心，以为半径作的外接圆，如图所示： ∵是的外心，是的中点，， ∴，，， ∵， ∴， 故， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 即， 解得：（负值舍去）； 故答案为：． 9. 如图，已知E是正方形内一点，设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查正方形的性质，等边对等角，三角形内角和，熟练掌握正方形的性质是解题的关键： 根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角可得，根据等边对等角可得，根据三角形内角和是可得，逐项判断即可 【详解】∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， 在中，， 即， ∴， 故；A符合题意； ；B不符合题意； ；C不符合题意； ，D不符合题意； 故答案为：A 10. 若关于x的方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则另一个根为（　　） A. ﹣3 B. ﹣1 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设方程另一个根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+（-1）=2，解此方程即可． 【详解】解：设方程另一个根为x1， ∴x1+（﹣1）＝2， 解得x1＝3． 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=- ，x1•x2=． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：_______． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的乘法计算，直接利用二次根式的性质求出答案． 【详解】解：， 故答案为6． 12. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 有六张正面分别标有数字，0，1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，则抽取的卡片上的数字为不等式组的解的概率为__． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先解出不等式组，可得到不等式组的整数解为2，3，4，再由概率公式即可求解． 【详解】解：不等式组， 解不等式①，得： ， 解不等式②，得： ， ∴不等式组的解集为， 不等式组的整数解为2，3，4， 抽取的卡片上的数字为不等式组的解的概率． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了计算概率，解一元一次不等式组，求出不等式组的整数解是解题的关键． 14. 如图，在中，已知，D是AB上一点，连接．若，则的长为____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴可设， ∵， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）， ∴ 故答案为：． 15. 已知直线，当时必有，则k的值可以是________（写出满足条件的一个值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意得直线经过点时，必有，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，直线经过点时，必有， 此时， 解得． 故答案为：．（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，只要点的纵坐标小于0即可． 16. 如图，在正方形中，矩形过点A，G为上一点，，则__________；若，则的面积为_____． 【答案】 ①. ②. 3 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，相似三角形的性质与判定，四边形内角和定理，勾股定理： （1）由正方形和矩形的性质得到，即可求解； （2）设，则，根据，可得正方形的边长为4，再由勾股定理可得，连接，然后根据，可得，即可求解． 【详解】解：（1）根据已知可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， 可设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即正方形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知四边形是平行四边形，． （1）利用尺规作图作的角平分线交于点，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ① ， ∵平分， ∴ ∴ ② ， ∴ 又∵， ∴ ③ ， 又∵ ④ ， ∴四边形为平行四边形， 又∵ ⑤ ， ∴四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）；；；； 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作的平分线和作一条线段等于已知线段即可； （2）先证明，则利用，可判断四边形为平行四边形，然后加上邻边相等可判断四边形是菱形． 【小问1详解】 如图，为所作； 【小问2详解】 证明：∵四边形平行四边形， ∴， ∴ ① ， ∵平分， ∴ ∴ ② ， ∴ 又∵， ∴ ③ ， 又∵ ④ ， ∴四边形为平行四边形， 又∵ ⑤ ， ∴四边形是菱形． 故答案为：；；；； 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和菱形的判定． 18. 一个圆锥形沙堆，底面周长是米，高米，用这堆沙在米宽的路上铺厘米厚的路面，能铺多长？ 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥的体积；把一个圆锥形的沙堆铺到路面上，体积不变．用求出沙堆的体积(用周长求出底面的半径，再求底面积)；把沙子铺在路面上由圆锥变成长方体，这个长方体的横截面的面积为，把铺的长度看成高，据此可求铺的长度． 【详解】解：(立方米)，厘米米，(米) 答：能铺米． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于C，D两点，与x，y轴交于B，A两点，且，，，作轴于E点． 求一次函数的解析式和反比例函数的解析式； 求的面积； 根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围． 【答案】（1），；（2）8；（3）或． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出A、B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB和反比例函数的解析式； （2）联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解； （3）根据函数的图象和交点坐标即可求解． 【详解】解：（1）∵OB=4，OE=2，∴BE=2+4=6． ∵CE⊥x轴于点E，tan∠ABO==， ∴OA=2，CE=3， ∴点A的坐标为（0，2）、点B的坐标为C（4，0）、点C的坐标为（﹣2，3）． ∵一次函数y=ax+b的图象与x，y轴交于B，A两点， ∴，解得：． 故直线AB的解析式为． ∵反比例函数的图象过C， ∴3=，∴k=﹣6，∴该反比例函数的解析式为； （2）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得：，可得交点D的坐标为（6，﹣1）， 则△BOD的面积=4×1÷2=2，△BOC的面积=4×3÷2=6，故△OCD的面积为2+6=8； （3）由图象得，一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围：x＜﹣2或0＜x＜6． 点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 20. 某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是180，184，188，190，192，194，现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员身高的方差会变化吗？通过计算说明你的理由． 【答案】场上队员身高的方差会变小，见解析 【解析】 【分析】本题考查求方差：根据平均数公式先分别求出原数据和替换身高后新数据的平均身高，再利用方差计算公式分别求出原身高数据和新身高数据的方差，比较方差大小即可． 【详解】解：场上队员身高的方差会变小．理由如下： 原数据的平均数为 ， 则原数据的方差为 新数据的平均数为 ， 则新数据的方差为 所以，与换人前相比，场上队员身高的方差会变小． 21. 已知：如图，将矩形纸的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，求边的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由折叠可知，，，再由，可得，同理可得，即可证明四边形矩形； （2）由勾股定理可求的长，再证明，可得，由折叠的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 解：由折叠得：，， ， ， ， 同理，， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， 由折叠得： ，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理是解题的关键． 22. 如图，二次函数的图象经过点，，且与轴交于点． （1）试求此二次函数的解析式； （2）试证明：（其中是原点）； （3）若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图象及轴于、两点，试问：是否存在这样的点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）存在，P1与 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法把坐标代入抛物线解析式即可； （2）根据已知条件求出的正切值，根据正切值相等解答即可； （3）利用待定系数法得到直线的解析式，再根据两点之间的距离公式列方程解方程即可． 【小问1详解】 解：∵点与在二次函数图象上， ∴ 解得， ∴二次函数解析式为． 【小问2详解】 解：解：过作轴于点，由（1）得， ∵，， ∴点， ∴，，，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵点与， 设直线的解析式为, ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 则 ∵， ∴， ∴， 当时， 解得（舍去）， ∴， 当时 解得（舍去）， ∴， 综上所述，存在满足条件的点，它们是与． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，两点之间的距离公式，二次函数与锐角三角函数，二次函数与一次函数的解析式，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键． 23. 如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，作∠FAC=∠BAC，过点C作CF⊥AF于点F． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若sin∠CAB=，求=_______．（直接写出答案） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接OC，根据等腰三角形的性质可得∠CAB=∠ACO，即可得出∠FAC=∠ACO，可得AF//OC，根据平行线的性质可得∠AFC+∠OCF=180°，根据CF⊥AF可得∠OCF=90°，即可得出CF是⊙O的切线； （2）利用AAS可证明△AFC≌△AEC，可得S△AFC=S△AEC，根据垂径定理可得CE=DE，可得S△BCD=2S△BCE，根据AB是直径可得∠ACB=90°，根据角的和差关系可得∠BCE=∠CAB，根据正弦的定义可得，可得BE=，AB=，进而可得AE=，根据三角形面积公式即可得答案． 【小问1详解】 （1）如图，连接OC， ∵OA=OC， ∴∠CAB=∠ACO， ∵∠FAC=∠BAC， ∴∠FAC=∠ACO， ∴AF//OC， ∴∠AFC+∠OCF=180°， ∵CF⊥AF， ∴∠OCF=90°，即OC⊥CF， ∴CF是⊙O的切线． 【小问2详解】 在△AFC和△AEC中，， ∴△AFC≌△AEC， ∴S△AFC=S△AEC， ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴CE=DE， ∴S△BCD=2S△BCE， ∵∠BCE+∠CBA=90°，∠CAB+∠CBA=90°， ∴∠BCE=∠CBA， ∵sin∠CAB=， ∴sin∠CAB=sin∠BCE=， ∴BE=，AB=， ∴AE=， ∴====． 故答案为： 【点睛】本题考查切线的判定、圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质及三角函数的定义，经过半径的外端点，且垂直于这条半径的直线是圆的切线；直径所对的圆周角是90°；垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧；在直角三角形中，锐角的正弦是锐角的对边与斜边的比值；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 24. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴于点，已知点． （1）求直线解析式； （2）如图1，为直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，过作轴于点，为抛物线对称轴上的一动点，过作轴的垂线，垂足为点，连接、，求的最小值； （3）在（2）问的条件下，将得到的沿翻折得到，将沿直线平移，记平移中的为，在平移过程中，设直线与轴交于点，则是否存在这样的点，使得为等腰三角形？若存在，求此时的长． 【答案】（1）直线的表达式为；（2）的最小值为；（3）或或或． 【解析】 【分析】（1）求出两点坐标，利用待定系数法即可解决问题； 过点P作y轴的平行线交直线于点F，设点，则，表示出的长度，根据，构建出二次函数，根据二次函数的性质求出最值即可． （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1） 、、 设直线的表达式为，将、代入解析式： ，可得， 则直线的表达式为； （2）设直线的表达式为：，则 ， 直线的表达式为：①， 过点作轴的平行线交于点， 设点，则， ， ，故当，即点时，最大，则点，点， 过点作函数对称轴的垂线交于点，，过点作关于轴的对称点，，连接交轴于点， 故点作函数对称轴的垂线交于点，点、即为所求， ， 即最小值为； （3）点，则， ，则，则， 故点作轴于点，则，则点，， 表达式中的值为，设点的坐标为， 则直线的表达式为：②， 联立①②并解得：， 故点，，则点，， ①当时， ， 解得：， ②当时，同理可得：； ③当时，同理可得：； 故的长为：或或3或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积公式，二次函数的图象与性质等腰三角形的判定与性质等，综合性比较强，难度较大，对学生综合能力要求较高． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙江省2024年中考数学模拟测试卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在，，，，这五个数中，负数共有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 如图，、在的对角线上，，，，则的大小为（ ）． A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近10次训练成绩的平均数与方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 180 180 185 185 方差 8.2 3.9 7.5 3.9 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择的是( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 下列选项是无理数的为（ ） A. B. C. 3.1415926 D. 5. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．若点的坐标为，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，等边的边长为4，点P在BC上，连接AP．则的面积y与BP的长x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在边长为1的正方形网格中，是的外接圆，点，，在格点上，则的值（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，已知，，是的外心，是的中点，则（ ） A B. C. D. 9. 如图，已知E正方形内一点，设，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 若关于x的方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则另一个根为（　　） A. ﹣3 B. ﹣1 C. 1 D. 3 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 计算：_______． 12. 分解因式：__________． 13. 有六张正面分别标有数字，0，1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，则抽取的卡片上的数字为不等式组的解的概率为__． 14. 如图，在中，已知，D是AB上一点，连接．若，则的长为____________________． 15. 已知直线，当时必有，则k的值可以是________（写出满足条件的一个值即可）． 16. 如图，在正方形中，矩形过点A，G为上一点，，则__________；若，则的面积为_____． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知四边形是平行四边形，． （1）利用尺规作图作的角平分线交于点，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ① ， ∵平分， ∴ ∴ ② ， ∴ 又∵， ∴ ③ ， 又∵ ④ ， ∴四边形为平行四边形， 又∵ ⑤ ， ∴四边形菱形． 18. 一个圆锥形沙堆，底面周长是米，高米，用这堆沙在米宽的路上铺厘米厚的路面，能铺多长？ 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于C，D两点，与x，y轴交于B，A两点，且，，，作轴于E点． 求一次函数的解析式和反比例函数的解析式； 求的面积； 根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围． 20. 某排球队6名场上队员身高（单位：cm）是180，184，188，190，192，194，现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员身高的方差会变化吗？通过计算说明你的理由． 21. 已知：如图，将矩形纸的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，求边的长． 22. 如图，二次函数的图象经过点，，且与轴交于点． （1）试求此二次函数的解析式； （2）试证明：（其中是原点）； （3）若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图象及轴于、两点，试问：是否存在这样的点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，作∠FAC=∠BAC，过点C作CF⊥AF于点F． （1）求证：CF是⊙O切线； （2）若sin∠CAB=，求=_______．（直接写出答案） 24. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴于点，已知点． （1）求直线的解析式； （2）如图1，为直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，过作轴于点，为抛物线对称轴上的一动点，过作轴的垂线，垂足为点，连接、，求的最小值； （3）在（2）问的条件下，将得到的沿翻折得到，将沿直线平移，记平移中的为，在平移过程中，设直线与轴交于点，则是否存在这样的点，使得为等腰三角形？若存在，求此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$