精品解析：广东省惠州市博罗县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023-2024春季学期期末教学质量诊断 七年级数学试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. C. 0.9 D. 3.14159265 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数概念，无理数就是无限不循环小数，由此即可判定选择项． 【详解】解：A. 是分数，不是无理数； B. 是无理数； C. 0.9，是有限小数，不是无理数； D. 3.14159265是有限小数，不是无理数； 故选：B． 2. 如果，则下列变形中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握这三个基本性质是关键，特别是第三个基本性质，注意不等号要改变方向；根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、如果，则，故变形错误； B、如果，则，故变形错误； C、如果，则的大小无法确定，故变形错误； D、如果，则，故变形正确； 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用算术平方根的定义、立方根的定义以及绝对值的性质、合并同类项法则分别化简得出答案． 【详解】A、＝3，故此选项错误； B、，故此选项正确； C、|a|﹣a＝0(a≥0)，故此选项错误； D、4a﹣a＝3a，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义、立方根的定义以及绝对值的性质、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4. 如图，三条直线交于点O，且，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了余角及对顶角；由互余可求得的度数，再由对顶角相等即可求解． 【详解】解：，， ， ； 故选：C． 5. 以下调查中，适宜采用抽样调查的是（　　） A. 调查某批次汽车的抗撞击能力 B. 了解七（2）班学生的视力情况 C. 学校招聘，对应聘人员进行面试 D. 机场对乘客的安检 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：A、调查某批次汽车的抗撞击能力，适合使用抽样调查方式，符合题意； B、了解七（2）班学生的视力情况，适合使用全面调查方式，不符合题意； C、学校招聘，对应聘人员进行面试，适合使用全面调查方式，不符合题意； D、机场对乘客的安检，适合使用全面调查方式，不符合题意； 故选：A． 6. 若，，且点在第三象限，则点M的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据绝对值的性质可得，再根据点在第三象限可得，由此即可得． 【详解】解：，， ， 点在第三象限， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值的性质、点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中，第三象限内的点的横、纵坐标均小于0是解题关键． 7. 如图所示，点在的延长线上，下列条件中，能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定．根据平行线的判定方法逐一排除即可． 【详解】解：A、∵， ∴，不能判断，本选项不符合题意； B、∵， ∴，本选项符合题意； C、∵， ∴，不能判断，本选项不符合题意； D、∵， ∴，不能判断，本选项不符合题意； 故选：B． 8. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解： ， ∵解不等式①得：x≥1， 解不等式②得：x<2， ∴不等式组的解集为：,1≤x＜2， 在数轴上表示不等式组的解集为：． 故选D． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，关键是正确确定不等式组的解集． 9. 下列语句中，是真命题的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 有理数和无理数统称实数 C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D. 同旁内角相等，两直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题，正确的命题为真命题，根据平行公理以及实数概念、平行线的判定等性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该选项是假命题； B、有理数和无理数统称实数，故该选项是真命题； C、同一平面，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故该选项是假命题； D、同旁内角互补，两直线平行，故该选项是假命题； 故选：B 10. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，，，…，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可得移动次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标． 【详解】解：， 则的坐标是， 即的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化平移，掌握平移中点的变化规律是：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加是解题的关键． 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根和立方根的性质，即可求解． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解题的关键． 12. 如图，某工程队计划把河水引到水池A中，他们先过点A作，垂足为B，为河岸，然后沿开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是______________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短的应用，根据“从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短”进行解答即可． 【详解】解：由垂线段最短可得，点A到上任意一点的连线段中，线段的长度最短， 故答案为：垂线段最短． 13. 若点在轴上，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】在轴上点的坐标，横坐标为，可知，进而得到的值． 【详解】解：在轴上 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标轴上点坐标的特征．解题的关键在于理解轴上点坐标的形式．在轴上点的坐标，横坐标为；在轴上点的坐标，纵坐标为． 14. 将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为____________度． 【答案】75 【解析】 【分析】首先计算的度数，再根据平行线的性质可得，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：75． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质并能灵活应用是解题关键． 15. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为_______． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，掌握全等形的面积相等是解题的关键． 根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由平移的性质知，，， ， ， ， ， 故答案为48 三、解答题（一）：（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．） 16. （1）计算： （2）解方程组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组等知识，掌握运算法则及解方程组的步骤是关键； （1）依次计算乘方、算术平方根与绝对值，最后相加减即可； （2）根据同一未知数系数的特点，利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ①+②，得， 解得：． 将代入②，得， 解得． ∴方程组的解是． 17. 完成下面的证明： 如图，已知：，垂足分别为D、G，且，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（等量代换）， ∴（____________________）， ∴______（____________________）． 又∵（已知）， ∴______（____________________）， ∴（____________________）， ∴（____________________）． 【答案】同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【解析】 【分析】由题意可得出，即可证，得出，结合题意可得出，即可证，进而可证． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【点睛】本题考查垂线的定义，平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题关键． 18. 为更好的开展劳动教育，某校想了解学生现阶段每月的劳动时间．学校随机抽取一部分学生，对学生每月的劳动时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题： A： B： C： D： E： （1）调查学生的人数为 ，扇形统计图中A组对应的圆心角为 度； （2）补全频数分布直方图： （3）请估计该校2000名学生中每月的劳动时间不少于6小时的人数． 【答案】（1）100， （2）见解析 （3）580人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体的量、求扇形统计图中扇形圆心角等知识，善于从两个统计图中获取信息是解题的关键． （1）根据A组的频数及占比，即可求得调查的学生人数；与A组的百分比的积即可求解； （2）根据调查的学生人数及D组的占比，可求得D组的频数，补充完整统计图即可； （3）2000与每月的劳动时间不少于6小时的人数所占的百分比的积，即可作出估计． 【小问1详解】 解：调查学生的人数为：， 扇形统计图中A组对应的圆心角为：， 故答案为：100，； 【小问2详解】 解：D组的频数为：， 补全的频数分布直方图如图所示； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校2000名学生中每月的劳动时间不少于6小时有580人． 四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形． （1）求大正方形的边长； （2）若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）不能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，能根据题意列出算式是解此题的关键． （1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可． 【小问1详解】 解：由题意得，大正方形的面积， 大正方形的边长； 【小问2详解】 设长方形纸片的长为，宽为． 由题意，得，即． 此时． 不能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 20. 书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买40支毛笔和100张宣纸需要280元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元． （1）求毛笔和宣纸的单价； （2）计划用不多于360元的资金购买毛笔，宣纸的数量共计200，则学校最多可以购买多少支毛笔？ 【答案】（1）毛笔单价6元，宣纸单价0.4元 （2）50支 【解析】 【分析】（1）设毛笔单价x元，宣纸单价y元，根据购买40支毛笔和100张宣纸需要280元，购买30支毛笔和200张宣纸需要260元，即可得出关于x， y 的二元一次方程组，解之即可求出 笔和宣纸的单价； （2）设可以购进毛笔m支，则购进宣纸张，根据用不多于360元的资金购买毛笔，宣纸的数量共计200，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得答案． 【小问1详解】 解：设毛笔单价x元，宣纸单价y元，根据题意，得 ， 解得 ， ∴毛笔单价6元，宣纸单价0.4元； 【小问2详解】 设可以购进毛笔m支，则购进宣纸张，依题意，得 解得：， ∴学校最多可以购买50支毛笔． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、 解题的关键是，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式． 21. 如图，在中，平分交于点F，D，E分别在的延长线上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理， （1）先根据平行线的性质得，结合平分线的定义可得，再结合已知条件可得，即可得出答案； （2）根据平分线的定义得，结合（1）得，再根据已知条件求出，根据三角形内角和定理求得，进而求出，最后根据平行线的性质得出答案． 【小问1详解】 ∵ ∴． ∵平分， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵平分， ∴． 由（1）得， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 五、解答题（三）：（本大题共2小题，每小题12分，共24分．） 22. 我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，如果两个不等式的解集相同，则称不等式A与B为同解不等式． （1）若关于x的不等式A：，不等式B：是同解不等式，求a的值； （2）若关于x的不等式C：，不等式D：是同解不等式，其中m，n是整数，试求m，n的值． 【答案】（1） （2），或，或，或，． 【解析】 【分析】（1）将A、B两个不等式解出，根据同解不等式的定义，即可列方程解答； （2）将C、D两个不等式解出，根据同解不等式的定义，可列方程，求出，再根据m，n是整数求解即可． 【小问1详解】 解：解不等式A，得：， 解不等式B，得：． ∵不等式A与不等式B是同解不等式， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：解不等式C，得：， 解不等式D，得：． ∵不等式C与不等式D是同解不等式， ∴， ∴． ∵m，n是整数， ∴，或，或，或，． 【点睛】本题考查不等式的性质，解不等式，理解同解不等式的定义是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则我们称点N为“健康点”；若点的坐标满足，则我们称Q为“快乐点”． （1）若点既是“健康点”又是“快乐点”，则点A的坐标为________． （2）在（1）的条件下，若点B是x轴上的“健康点”，点C是y轴上的“快乐点”，如果P为x轴上一点，且三角形与三角形面积相等，求点P的坐标． （3）在上述条件下，直线与x轴所夹的锐角为，直线与y轴所夹的锐角为，试探究与和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，涉及了二元一次方程组的求解、图形的面积表示、角度之间的和差关系等知识点，熟记相关结论即可． （1）由题意得，即可求解； （2）由题意可得B，C，设点P，分别表示出三角形与三角形的面积即可求解； （3）过A作轴交于M，过C作轴，即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， ∴点A的坐标为， 故答案为： 【小问2详解】 解：∵B是x轴上的“健康点”， 在中，令得， ∴B， ∵C是y轴上的“快乐点”， 在中，令得， ∴C， 设点P， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为：或； 【小问3详解】 解：过A作轴交于M，过C作轴， 则 ∵轴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024春季学期期末教学质量诊断 七年级数学试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. C. 0.9 D. 3.14159265 2. 如果，则下列变形中正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，三条直线交于点O，且，若，则（　　） A. B. C. D. 5. 以下调查中，适宜采用抽样调查的是（　　） A. 调查某批次汽车的抗撞击能力 B. 了解七（2）班学生的视力情况 C. 学校招聘，对应聘人员进行面试 D. 机场对乘客的安检 6. 若，，且点在第三象限，则点M的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，点在的延长线上，下列条件中，能判断的是（ ） A. B. C. D. 8. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 9. 下列语句中，是真命题的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 有理数和无理数统称实数 C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D. 同旁内角相等，两直线平行 10. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，，，…，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 计算：______． 12. 如图，某工程队计划把河水引到水池A中，他们先过点A作，垂足为B，为河岸，然后沿开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是______________． 13. 若点在轴上，则___________． 14. 将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为____________度． 15. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为_______． 三、解答题（一）：（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．） 16. （1）计算： （2）解方程组：． 17. 完成下面的证明： 如图，已知：，垂足分别为D、G，且，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（等量代换）， ∴（____________________）， ∴______（____________________）． 又∵（已知）， ∴______（____________________）， ∴（____________________）， ∴（____________________）． 18. 为更好的开展劳动教育，某校想了解学生现阶段每月的劳动时间．学校随机抽取一部分学生，对学生每月的劳动时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题： A： B： C： D： E： （1）调查学生的人数为 ，扇形统计图中A组对应的圆心角为 度； （2）补全频数分布直方图： （3）请估计该校2000名学生中每月的劳动时间不少于6小时的人数． 四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形． （1）求大正方形的边长； （2）若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 20. 书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买40支毛笔和100张宣纸需要280元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元． （1）求毛笔和宣纸的单价； （2）计划用不多于360元的资金购买毛笔，宣纸的数量共计200，则学校最多可以购买多少支毛笔？ 21. 如图，在中，平分交于点F，D，E分别在的延长线上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 五、解答题（三）：（本大题共2小题，每小题12分，共24分．） 22. 我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，如果两个不等式的解集相同，则称不等式A与B为同解不等式． （1）若关于x的不等式A：，不等式B：是同解不等式，求a的值； （2）若关于x的不等式C：，不等式D：是同解不等式，其中m，n是整数，试求m，n的值． 23. 在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则我们称点N为“健康点”；若点的坐标满足，则我们称Q为“快乐点”． （1）若点既是“健康点”又是“快乐点”，则点A的坐标为________． （2）在（1）的条件下，若点B是x轴上的“健康点”，点C是y轴上的“快乐点”，如果P为x轴上一点，且三角形与三角形面积相等，求点P的坐标． （3）在上述条件下，直线与x轴所夹的锐角为，直线与y轴所夹的锐角为，试探究与和之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $