3.1.2 椭圆的几何性质 同步练习-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

3.1.2　椭圆的几何性质 第1课时　椭圆的几何性质 一、知识梳理 1.椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图　形 标准方程 范　围     对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶　点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴　长 短轴长B1B2＝________，长轴长A1A2＝______  焦　点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦　距 2.椭圆的焦距与长轴长的比c/a叫作椭圆的________． 二、课前自测 1.已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝1，则此椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 2.已知椭圆C的中心在坐标原点，一个焦点为F(1，0)，长轴长为4，则椭圆C的方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋ ＝1 C.＋y2＝1 D.＋ ＝1 3.(多选题)关于椭圆＋＝1，下列说法正确的是 (　　) A.长轴长为2 B.焦距为2 C.离心率为 D.左顶点的坐标为(－，0) 4.已知焦点在x轴上的椭圆经过点P(3，0)，焦距为2，则该椭圆的离心率为________． 5.求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 三、课后练习 6.椭圆＋＝1的离心率为(　　) A. B. C. D. 7.已知椭圆＋＝1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，则m等于(　　) A.1 B. C. D.2 8.已知椭圆M：＋＝1，椭圆N：＋ ＝1，椭圆P：＋＝1，则(　　) A.M与N的离心率相等，M与P的焦距相等 B.M与N的离心率相等，N与P的焦距相等 C.M与N的焦距相等，M与P的短轴长相等 D.M与N的焦距相等，M与P的离心率相等 9.(多选题)已知M是椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2是其左、右焦点，则下列选项正确的是(　　) A.椭圆C的焦距为2 B.椭圆C的离心率e＝ C.MF1＋MF2＝2 D.△MF1F2的面积的最大值是4 10.(多选题)“嫦娥五号”顺利进 入环月轨道，其轨道是以月球的球心F为一个焦点的椭圆(如图)．已知它的近月点A(离月球表面最近的点)距离月球表面m千米，远月点B(离月球表面最远的点)距离月球表面n千米，AB为椭圆的长轴，月球的半径为R千米．设该椭圆的长轴长，焦距分别为2a，2c，则下列 结论正确的有(　　) A.a＝ B.a＝ ＋R C.c＝ D.c＝ ＋R 11.长轴长为6，焦距为2，且焦点在x轴上的椭圆的标准方程为_____________． 12.椭圆＋＝1的焦距为________，离心率为________． 13.已知椭圆C的离心率为，短半轴长为，则椭圆C的焦距为 ________． 14.已知椭圆C经过点Q(2，3)，对称轴为坐标轴，且F(2，0)为其右焦点．求： (1) 椭圆C的标准方程； (2) 椭圆C的离心率． 15.(1) ① 若A1，A2是椭圆＋＝1长轴的两个 端点，点P(0，2)，求·的值； ② 若A1，A2是椭圆＋＝1长轴的两个端点，点P，求 ·的值； ③ 若A1，A2是椭圆＋＝1长轴的两个端点，点P，求 ·的值． (2) 观察①②③，由此可得到：若A1，A2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)长轴的两个端点，P为椭圆上任意一点，则·＝________. 请证明你的结论． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.2　椭圆的几何性质 第1课时　椭圆的几何性质 一、知识梳理 1.椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图　形 标准方程 ＋ = 1 ＋ = 1 范　围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶　点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴　长 短轴长B1B2＝____2b____，长轴长A1A2＝___2a___  焦　点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦　距 2c 2.椭圆的焦距与长轴长的比c/a叫作椭圆的___离心率____． 二、课前自测 1.已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝1，则此椭圆的离心率为(　B　) A. B. C. D. 解析：将椭圆的方程化为＋＝1，所以a2＝，b2＝.所以c2＝a2－b2＝－＝.所以此椭圆的离心率为e＝＝＝. 2.已知椭圆C的中心在坐标原点，一个焦点为F(1，0)，长轴长为4，则椭圆C的方程为(　B　) A.＋y2＝1 B.＋ ＝1 C.＋y2＝1 D.＋ ＝1 解析：由题意，知c＝1，2a＝4，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.所以椭圆C的方程为＋＝1. 3.(多选题)关于椭圆＋＝1，下列说法正确的是 (　BCD　) A.长轴长为2 B.焦距为2 C.离心率为 D.左顶点的坐标为(－，0) 解析：椭圆＋的焦点在y轴上，a＝2，b＝，c＝，所以长轴长为2a＝4，故A错误；焦距为2c＝2，故B正确；离心率e＝＝，故C正确；左顶点坐标为(－b，0)，即(－，0)，故D正确． 4.已知焦点在x轴上的椭圆经过点P(3，0)，焦距为2，则该椭圆的离心率为________． 解析：设椭圆的方程为＋(a＞b＞0)，由题意，可得a＝3.因为焦距为2，所以c＝1.所以离心率e＝＝. 5.求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解析：由已知，得＋＝1(m＞0)，因为0＜m2＜4m2，所以＞.所以椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝，短半轴长b＝，半焦距c＝.所以该椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，焦点坐标为，，顶点坐标为， ，， ，离心率e＝＝＝. 三、课后练习 6.椭圆＋＝1的离心率为(　A　) A. B. C. D. 解析：由椭圆＋＝1，可得a＝3，b＝2，所以c＝1.所以该椭圆的离心率e＝＝. 7.已知椭圆＋＝1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，则m等于(　C　) A.1 B. C. D.2 解析：由题意，可得c＝＝1，b＝m.因为∠F1AF2＝，所以∠F1AO＝.所以tan ∠F1AO＝＝，解得m＝. 8.已知椭圆M：＋＝1，椭圆N：＋ ＝1，椭圆P：＋＝1，则(　D　) A.M与N的离心率相等，M与P的焦距相等 B.M与N的离心率相等，N与P的焦距相等 C.M与N的焦距相等，M与P的短轴长相等 D.M与N的焦距相等，M与P的离心率相等 解析：椭圆M的离心率为e＝＝，焦距为2c＝2＝2，短轴长为2b＝6；椭圆N的离心率为e＝，焦距为2c＝2＝2，短轴长为2b＝2；椭圆P的离心率为e＝＝，焦距为2c＝2＝2，短轴长为2b＝2＝6.综上所述，M与N的焦距相等，M与P的离心率相等． 9.(多选题)已知M是椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2是其左、右焦点，则下列选项正确的是(　BD　) A.椭圆C的焦距为2 B.椭圆C的离心率e＝ C.MF1＋MF2＝2 D.△MF1F2的面积的最大值是4 解析：由椭圆的方程，可得a＝2，b＝2，c＝2，所以椭圆的焦距为2c＝4，故A错误；离心率为e＝＝＝，故B正确；由椭圆的定义，可得MF1＋MF2＝2a＝4，故C错误；设点M(m，n)，则△MF1F2的面积 S＝F1F2·n＝×4×|n|＝2|n|，当|n|＝b＝2时，△MF1F2的面积取得最大值，为4，故D正确． 10.(多选题)“嫦娥五号”顺利进 入环月轨道，其轨道是以月球的球心F为一个焦点的椭圆(如图)．已知它的近月点A(离月球表面最近的点)距离月球表面m千米，远月点B(离月球表面最远的点)距离月球表面n千米，AB为椭圆的长轴，月球的半径为R千米．设该椭圆的长轴长，焦距分别为2a，2c，则下列 结论正确的有(　BC　) A.a＝ B.a＝ ＋R C.c＝ D.c＝ ＋R 解析：由题意，可得AB＝2a＝m＋n＋2R，所以a＝＋R，故B正确，A错误；又因为AF＝m＋R＝a－c，所以c＝a－m－R＝＋R－m－R＝ ，故C正确，D错误． 11.长轴长为6，焦距为2，且焦点在x轴上的椭圆的标准方程为___＋＝1_______． 解析：由长轴长为6，焦距为2，可知a＝3，c＝，则b＝.所以焦点在x轴上的椭圆的标准方程为＋＝1. 12.椭圆＋＝1的焦距为___6_____，离心率为______． 解析：由椭圆＋＝1，可知a＝5，b＝4，则c＝3，所以该椭圆的焦距为6，离心率为. 13.已知椭圆C的离心率为，短半轴长为，则椭圆C的焦距为___4_____． 解析：设椭圆C的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则由题意，可得解得所以椭圆C的焦距为4. 14.已知椭圆C经过点Q(2，3)，对称轴为坐标轴，且F(2，0)为其右焦点．求： (1) 椭圆C的标准方程； (2) 椭圆C的离心率． 解析：(1) 由已知点F(2，0)，可得椭圆C的焦点在x轴上，且c＝2，设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，将Q(2，3)代入，可得 ＋＝1.又a2－b2＝c2＝4，所以a2＝16，b2＝12.所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2) 由(1)，可得a＝4，c＝2，所以椭圆C的离心率为e＝＝＝. 15.(1) ① 若A1，A2是椭圆＋＝1长轴的两个 端点，点P(0，2)，求·的值； ② 若A1，A2是椭圆＋＝1长轴的两个端点，点P，求 ·的值； ③ 若A1，A2是椭圆＋＝1长轴的两个端点，点P，求 ·的值． (2) 观察①②③，由此可得到：若A1，A2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)长轴的两个端点，P为椭圆上任意一点，则·＝________. 请证明你的结论． 解析：(1) ① 由椭圆方程，可得A1(－3，0)，A2(3，0)，又P(0，2)，所以·＝×＝－.② 由椭圆方程，可得A1(－3，0)，A2(3，0)，又P，所以·＝×＝－.③ 由椭圆方程，可得A1(－3，0)，A2(3，0)，又P，所以·＝×＝－. (2) －.证明：设点P的坐标为(x0，y0)．由题意，得＝，＝ ，则·＝ · ＝.又P为椭圆上任意一点，满足＋＝1，则＝b2，将其代入，可得·＝＝－. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$