3.1.1 椭圆的标准方程练习-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

3.1　椭　圆 3.1.1　椭圆的标准方程 一、知识梳理 1.平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于_______________的点的轨迹 叫作椭圆，_______________叫作椭圆的焦点，________________叫作椭圆的焦距． 2.椭圆的标准方程   焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 焦点坐标 a，b，c的关系   二、课前自测 1.焦点在x轴上，且a2＝13，b＝1的椭圆的标准方程为 (　　) A.＋ ＝1 B. ＋＝1或＋＝1 C.＋y2＝1或x2＋＝1 D.＋y2＝1 2.a＝6，c＝1的椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1 3.(多选题)已知直线l：2x＋by＋3＝0经过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个 焦点，则实数b的值可以是(　　) A.－1 B. C.1 D.－ 4.焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P(6，0)的椭圆的标准方程是_____________． 5. 写出符合下面条件的椭圆的标准方程． (1) 经过P1(，1)，P2(－，－)两点； (2) 以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)． 三、课后练习 6.已知椭圆＋＝1的一个焦点为F(－，0)，则这 个椭圆的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 7.“a＞0，b＞0”是“方程ax2＋by2＝1表示椭圆”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 8.“k＞5”是“方程＋＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆”的 (　　) A.充要条件 B.既不充分又不必要条件 C.必要不充分条件 D.充分不必要条件 9.(多选题)已知椭圆E：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，定点 A(1，4)，若P是椭圆E上的动点，则PA＋PF1的值可能为(　　) A.7 B.10 C.17 D.19 10.(多选题)关于方程mx2＋ny2＝1，下列说法正确的是(　　) A.若m＞n＞0，则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上 B.若m＝n＞0，则该方程表示圆，其半径为 C.若n＞m＞0，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上 D.若m＝0，n＞0，则该方程表示两条直线 11.已知椭圆的焦点在x轴上，且a＝4，c＝2，则该椭圆的方程为_____________． 12.若方程－＝1表示的曲线是椭圆，则实数k的 取值范围是_____________． 13.若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是_______________． 14.求符合下面条件的椭圆的标准方程． (1) 焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，且经过点； (2) a＋c＝10，a－c＝4. 15.求符合下面条件的椭圆的标准方程． (1) 与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，且经过点； (2) 经过A，B两点． 16.已知方程x2·sin α－y2·cos α＝1(0≤α≤2π)表示椭圆． (1) 若椭圆的焦点在x轴上，求α的取值范围； (2) 若椭圆的焦点在y轴上，求α的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1　椭　圆 3.1.1　椭圆的标准方程 一、知识梳理 1.平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于___常数(大于F1F2)_______的点的轨迹 叫作椭圆，___两个定点F1，F2______叫作椭圆的焦点，__两个焦点间的距离___叫作椭圆的焦距． 2.椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋ = 1 ＋ = 1 焦点坐标 (±c，0) (0，±c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 二、课前自测 1.焦点在x轴上，且a2＝13，b＝1的椭圆的标准方程为 (　D　) A.＋ ＝1 B. ＋＝1或＋＝1 C.＋y2＝1或x2＋＝1 D.＋y2＝1 解析：因为a2＝13，b2＝1，且焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1. 2. a＝6，c＝1的椭圆的标准方程为(　D　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1 解析：因为b2＝a2－c2＝35，且椭圆的焦点在x轴上或在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 3.(多选题)已知直线l：2x＋by＋3＝0经过椭圆C：10x2＋y2＝10的一个 焦点，则实数b的值可以是(　AC　) A.－1 B. C.1 D.－ 解析：将椭圆C的方程化为标准形式，易知椭圆x2＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，将焦点坐标代入直线l的方程中，解得b＝1或－1. 4.焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P(6，0)的椭圆的标准方程是__＋＝1________． 解析：由题意，可得2c＝4，a＝6，所以c＝2，则b2＝a2－c2＝36－4＝32.所以椭圆的标准方程为＋＝1. 5. 写出符合下面条件的椭圆的标准方程． (1) 经过P1(，1)，P2(－，－)两点； (2) 以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)． 解析：(1) 方法一：① 当焦点在x轴上时，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知，得解得所以所求椭圆的标准方程是＋＝1. ② 当焦点在y轴上时，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知，得解得与a＞b＞0矛盾，故此种情况不存在．综上所述，所求椭圆的标准方程是＋＝1.方法二：由题意，设椭圆的方程是Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0)，所以解得所以所求椭圆的标准方程是＋＝1. (2) 方程9x2＋5y2＝45可化为＋＝1，则焦点是F1(0，2)，F2(0，－2)．设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为点M(2，)在椭圆上，所以2a＝MF1＋MF2＝＋ ＝(2－)＋(2＋)＝4.所以a＝2.所以a2＝12.所以b2＝a2－c2＝12－4＝8.所以椭圆的标准方程为＋＝1. 三、课后练习 6.已知椭圆＋＝1的一个焦点为F(－，0)，则这 个椭圆的方程是(　C　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：因为椭圆＋的一个焦点为F(－，0)，所以b2＝2，c＝.所以a2＝b2＋c2＝2＋3＝5.所以这个椭圆的方程为＋＝1. 7.“a＞0，b＞0”是“方程ax2＋by2＝1表示椭圆”的(　C　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 解析：当a＞0，b＞0时，方程ax2＋by2＝1不一定表示椭圆，如a＝b＝1；反之，若方程ax2＋by2＝1表示椭圆，则a＞0，b＞0.所以“a＞0，b＞0”是“方程ax2＋by2＝1表示椭圆”的必要不充分条件． 8.“k＞5”是“方程＋＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆”的 (　C　) A.充要条件 B.既不充分又不必要条件 C.必要不充分条件 D.充分不必要条件 解析：根据题意，若k＞7，满足k＞5，而方程＋＝1不能表示焦点在x轴上的椭圆，则“k＞5”是“方程＋＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆”的不充分条件；反之，若方程＋(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆，则有k－3＞7－k＞0，解得5＜k＜7，则“k＞5”是“方程 ＋＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆”的必要条件．综上所述，“k＞5”是“方程＋＝1(k∈R)表示焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件． 9.(多选题)已知椭圆E：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，定点 A(1，4)，若P是椭圆E上的动点，则PA＋PF1的值可能为(　ABC　) A.7 B.10 C.17 D.19 解析：由题意，可得F2(4，0)，则AF2＝＝5，故|PA－PF2|≤AF2＝5.因为点P在椭圆E上，所以PF1＋PF2＝2a＝12.所以PF1＝12－PF2.故PA＋PF1＝12＋PA－PF2.因为－5≤PA－PF2≤5，所以7≤PA＋PF1≤17.故PA＋PF1的可能取值为7，10，17. 10.(多选题)关于方程mx2＋ny2＝1，下列说法正确的是(　ACD　) A.若m＞n＞0，则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上 B.若m＝n＞0，则该方程表示圆，其半径为 C.若n＞m＞0，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上 D.若m＝0，n＞0，则该方程表示两条直线 解析：对于A，若m＞n＞0，则mx2＋ny2＝1可化为＋＝1，因为m＞n＞0，所以＜，即该方程表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若m＝n＞0，则mx2＋ny2＝1可化为x2＋y2＝，此时该方程表示圆心在原点，半径为的圆，故B错误；对于C，同A，可知其正确；对于D，若m＝0，n＞0，则mx2＋ny2＝1可化为y2＝，即y＝±，此时该方程表示平行于x轴的两条直线，故D正确． 11.已知椭圆的焦点在x轴上，且a＝4，c＝2，则该椭圆的方程为___＋＝1_______． 解析：由题意，得a＝4，c＝2，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又因为椭圆的焦点在x轴上，所以该椭圆的方程为＋＝1. 12.若方程－＝1表示的曲线是椭圆，则实数k的 取值范围是__∪______． 解析：由题意，可得解得1＜k＜2且k≠，故实数k的取值范围是∪. 13.若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是___(－6，－2)∪(3，＋∞)____． 解析：由题意，得a2＞a＋6＞0，解得a＞3或－6＜a＜－2.故实数a的取值范围是(－6，2)∪(3，＋∞)． 14.求符合下面条件的椭圆的标准方程． (1) 焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，且经过点； (2) a＋c＝10，a－c＝4. 解析：(1) 由题意，得椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 ＋＝1(a＞b＞0)．由椭圆的定义，知c＝2，2a＝＋ ＝2，所以a＝，则b2＝a2－c2＝10－4＝6.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2) 因为a＋c＝10，a－c＝4，所以a＝7，c＝3.所以b2＝a2－c2＝72－32＝40.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或 ＋＝1. 15.求符合下面条件的椭圆的标准方程． (1) 与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，且经过点； (2) 经过A，B两点． 解析：(1) 由已知椭圆方程，可得焦点坐标为(±1，0)，则可设所求椭圆的标准方程为＋＝1(m＞1)，把代入，得＋＝1，解得m＝4或(不合题意，舍去)．所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2) 设所求椭圆的标准方程为＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，把A，B代入，可得解得故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1. 16.已知方程x2·sin α－y2·cos α＝1(0≤α≤2π)表示椭圆． (1) 若椭圆的焦点在x轴上，求α的取值范围； (2) 若椭圆的焦点在y轴上，求α的取值范围． 解：将椭圆方程x2·sin α－y2·cos α＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为＋＝1(0≤α≤2π)．(1) 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则＞－＞0，所以所以＜α＜π，即α的取值范围是. (2) 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则－＞ ＞0，所以所以＜α＜，即α的取值范围是. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$