精品解析：2024年辽宁省初中学业水平考试数学模拟试题（二)

2024年辽宁省初中学业水平考试数学模拟卷（二) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 某种零件标准长度为，若比多记作，则比少记作（ ） A. B. C. D. 2. 某几何体如下图所示，则下列选项的四个图形中是其展开图的是（ ） A. B. C. D. 3. 图中的风车图案绕点O 旋转，若旋转后的图案与原来的图案重合，则旋转的角度至少为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 汽车前照灯的反射镜具有抛物线的形状，它们是抛物面(如图)，明亮的光束是由位于抛物线反射镜焦点 F 上的光源产生的，此时光线沿着与抛物线的对称轴平行的方向射出，若，则光线与形成的的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 分式方程 的解是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，若把其图象向下平移2个单位长度，则图象经过第一、三、四象限，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了这样一个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何.”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94 只脚，问笼中各有多少只鸡和兔.设鸡有x 只，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 （ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 如图是一款抛物线形落地灯示意图，灯柱为，抛物线最高点到地面的距离是，点距灯柱的水平距离为，灯罩与地面的距离是，则灯罩到灯柱的水平距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如下表所示，则这些被调查学生睡眠时间数据的众数和中位数分别是_______. 时间/h 7 8 9 10 人数 3 7 6 4 12. 如图，在平面直角坐标系中，点，点在的边上，将平移得到，若点P的对应点为点，则平移后点 A 的对应点 D 的坐标为_______ 13. 在一个不透明的口袋里，装有4个红球和若干个白球，这些球除颜色不同外，其余均相同，若从口袋里随机摸出一个白球的概率为 ，则白球的个数为_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过点 C，坐标原点 O 在 边上，点 E 在边上，且，交 y 轴于点 F，若的面积为 10，则 k 的值为_______. 15. 如图，在矩形中，，点在边上，，为 边上一动点，将线段绕点逆时针旋转，交边于点，连接 ，则 的面积的最小值为_______． 三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. 计算： （1） （2） 17. 某中学为了广泛开展体育活动，需要准备排球、篮球两种球类，学校计划前往某体育用品商店购买.通过调查，将获取的相关数据整理成下表： 购买数量/个 总费用/元 排球 篮球 5 6 900 4 8 1040 （1）求排球和篮球的单价； （2）该中学决定购买排球、篮球共20个，且总费用不超过1460元，那么该中学最多可以购买多少个篮球? 18. 中国教育学会“第四届课堂教学研讨会”在北京举行，为了深入探讨新时代基础教育高质量发展的实践创新与研究成果，本次活动共分为六个论坛，论坛一：学校高质量发展的路径与策略；论坛二：集团化办学育人模式的创新实践；论坛三：基础教育阶段创新人才培养的路径与策略；论坛四：教育数字化转型下的课堂教学变革；论坛五：思政教育一体化视域下高质量育人的策略与方法；论坛六：教研助推科学教育质量提升. 为了解参会者意向，随机抽取了部分参会报名人员并下发了调查问卷，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成如下两幅不完整的统计图. 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）求本次调查所抽取的人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“论坛一”对应扇形的圆心角度数； （3）根据报名情况有 800人参加本次活动，地点安排在两个多功能厅，每场报告时间为90．由下面的活动日程表可知，论坛五、六两场报告时间与场地已经确定．通过会前了解到参加论坛四的人员中有48人临时改为去参加论坛一，在确保听取报告的每个参会者都有座位的情况下，请你合理安排论坛一、二、三、四这四场报告，补全此次活动日程表（写出一种方案即可），并说明理由． “第四届课堂教学研讨会”活动日程表 地点（座位数） 时间 1号多功能厅（200 座） 2号多功能厅（150 座） 8:00—9:30 10:00—11:30 论坛五 13:00—14:30 论坛六 19. 大樱桃是大连的特色水果，一直受到顾客的青睐.今年“美早”樱桃上市时，老李考察了市场行情，发现“美早”樱桃的销售金额y(单位：元)与销售量x(单位：)之间的关系如图所示. （1）当时，求 y 关于x 的函数解析式； （2）老李在销售时，采用了如下两种销售模式： 模式一：采用市场销售模式； 模式二：实行自主采摘，自主采摘以下(含 )，价格为元/，超过的部分按七折出售且抹零(即取小于售价的最大整数). 小颖一家准备购买，则如何购买更合算? 20. 一天晚辅导结束后，小星和小明从教学楼回宿舍，途径校园内的路灯下时，小星发现此时自己的影子正好在脚下 A 处，小星又向前走了5步到B 处，发现自己的影子落在路灯杆标识为高的C 处，此时小明马上从书包文具盒里拿出量角器，测得光线与路灯杆形成的角度 ，小星又继续向前走了2步，到达路灯杆底部 D 处，已知小星的身高为. （1）求小星一步大约多少厘米； （2）求路灯与地面距离. (结果精确到参考数据： 21. 《义务教育数学课程标准(2022年版)》实施以来，切线长定理的探索与证明由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外一点作圆的切线”.在学习完《切线的性质与判定》后，九年级的李老师布置了一道题：“如图，已知：如图所示，及外一点M．求作：直线，使与相切于点N．” 小星同学经过探索，给出了如下的一种作图方法： ①连接，分别以点O，M为圆心，以 的长为半径作弧，两弧分别相交于A，B 两点(点A，B 分别位于直线的上下两侧)； ②作直线 ，交于点C； ③以点C为圆心， 长为半径作， 交于点N(点 N位于直线的上侧)； ④连接，交于点D，则直线即所求； （1）请按照步骤完成填空、作图(尺规作图，保留作图痕迹，准确标注字母)，并结合图形，说明直线是切线的理由； （2）李老师夸奖了小星的作图方法，同时在(1)的图形中延长交于点E，过点E作交的延长线于点F，连接，并增加条件：，，，让小星求的长，请你帮助小星解答． 22. 在正方形中，E 是边上一点(点 E 不与点 B 重合)，将 沿折叠，得到再将绕点C旋转得到，直线 与直线相交于点M． （1）如图1，求证：； （2）如图2，直线与相交于点N，直线与相交于点P，点G 在上，若 求的长； （3）若直线与相交于点N，点 N 在直线上，当时，请画出图形并求出的长． 23. 【发现问题】 在一次数学活动课上，学生用围棋子摆出“金字塔”数阵，图案如下： 【提出问题】 在摆出的数阵中，所需围棋子颗数y 与数阵层数x之间具有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小明同学结合实际操作和计算得到的数据如下表： 数阵 1 2 3 4 棋子颗数 3 8 15 24 小明从数形结合的角度出发，从图中观察第一层有3颗棋子，以后每层都比上一层多2颗棋子，则第x层有颗棋子． ∴①或②． 就可以得到y与x之间函数关系． 【解决问题】 （1）直接写出y与x之间的函数关系；(不需要写出自变量x的取值范围) （2）一副围棋共有361颗棋子，摆出上面的数阵，若使剩余棋子最少，则最少剩几颗棋子？ （3）若每颗圆形棋子的周长为，要想摆下(2)中最大的数阵，需要一张长、宽至少为多少厘米的矩形桌子？(结果精确到．参考数据： 棋子间缝隙忽略不计) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年辽宁省初中学业水平考试数学模拟卷（二) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 某种零件标准长度为，若比多记作，则比少记作（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数是表示具有相反意义的两种量进行求解即可． 【详解】解：由题意得，比少记， 故选：D． 2. 某几何体如下图所示，则下列选项的四个图形中是其展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用棱锥及其表面展开图的特点解题． 【详解】该体图形三棱锥，其展开图为， B是三棱柱的展开图；C是三棱柱的展开图；D是四棱锥的展开图. 故选A 【点睛】本题考查的是几何体的展开图，熟记各种几何体展开图的特点是关键. 3. 图中的风车图案绕点O 旋转，若旋转后的图案与原来的图案重合，则旋转的角度至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该图形被平分成四部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合．本题考查了旋转对称图形的概念，熟练掌握旋转对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知该图形被平分成四部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故旋转角最少为． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查整式的计算，根据合并同类项法则，同底数幂乘法法则，完全平方公式，积的乘方法则计算并判断，正确掌握计算公式是解题的关键 【详解】解：A.，故错误； B.，故错误； C.，故错误； D.，故正确； 故选：D 5. 汽车前照灯的反射镜具有抛物线的形状，它们是抛物面(如图)，明亮的光束是由位于抛物线反射镜焦点 F 上的光源产生的，此时光线沿着与抛物线的对称轴平行的方向射出，若，则光线与形成的的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行内错角相等得到，即可得到的度数. 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴ 故选：C 6. 分式方程 的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可得出结果． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：； 经检验是原方程的解， 故选C． 7. 已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，若把其图象向下平移2个单位长度，则图象经过第一、三、四象限，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与几何变换，一次函数的性质，熟知“上加下减，左加右减”是解题的关键．根据一次函数图象平移规律即可得到，根据一次函数性质判断即可． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ， 把其图象向下平移2个单位长度，则图象经过第一、三、四象限， ，解得， ． 故选：B． 8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了这样一个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何.”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94 只脚，问笼中各有多少只鸡和兔.设鸡有x 只，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握每只鸡脚数与每只兔脚数列出方程，是解题的关键． 本题可设鸡有x只，则兔有只，根据“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．”即可得出等量关系，根据等量关系列出方程即可， 【详解】设有x只鸡，则有只兔子， 可列方程为：． 故选：A． 9. 若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 （ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出解集即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， 故选：C． 10. 如图是一款抛物线形落地灯示意图，灯柱为，抛物线的最高点到地面的距离是，点距灯柱的水平距离为，灯罩与地面的距离是，则灯罩到灯柱的水平距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确解得抛物线解析式是解题关键．根据题意建立坐标系，设抛物线的解析式为，将点代入，求得抛物线解析式，再将代入，计算并确定满足要求的解即可． 【详解】解：建立坐标系如下图， 根据题意，可设抛物线的解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴该抛物线解析式为， 将代入，得， 解得，或（舍去）， 故选：B． 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如下表所示，则这些被调查学生睡眠时间数据的众数和中位数分别是_______. 时间/h 7 8 9 10 人数 3 7 6 4 【答案】8、8.5 【解析】 【分析】本题考查求众数和中位数．根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数为排序后位于中间一个或两个的平均数，进行求解即可． 【详解】由表格可知：出现次数最多的数据为8， ∴众数为8； ∵位于中间两个的数据为8，9， ∴中位数为． 故答案为：8、8.5． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点，点在的边上，将平移得到，若点P的对应点为点，则平移后点 A 的对应点 D 的坐标为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，根据已知点的对应点，确定平移规则，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵点P的对应点为点， ∴平移规则为：先向右平移6个单位，再向上平移2个单位， ∴点的对应点 D 的坐标为，即：； 故答案为：． 13. 在一个不透明的口袋里，装有4个红球和若干个白球，这些球除颜色不同外，其余均相同，若从口袋里随机摸出一个白球的概率为 ，则白球的个数为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算，分式方程的应用．熟练掌握简单的概率计算，分式方程的应用是解题的关键． 设白球的个数为个，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设白球的个数为个， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合要求； 故答案为：6． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过点 C，坐标原点 O 在 边上，点 E 在边上，且，交 y 轴于点 F，若的面积为 10，则 k 的值为_______. 【答案】30 【解析】 【分析】本题为反比例函数与几何综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形等知识，根据相似三角形的性质得到是解题关键．先根据的面积为10，求出，再证明，得到，根据，得到，即可求出． 【详解】解：∵的面积为 10，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数图象经过点C， ∴． 故答案为：30． 15. 如图，在矩形中，，点在边上，，为 边上一动点，将线段绕点逆时针旋转，交边于点，连接 ，则 的面积的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定及等边三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键．延长交的延长线于点，以点为顶点构造等边，使点在直线上，在上截取，连接，可证明，进而得，再证明，所以，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，以点为顶点构造等边，使点在直线上，在上截取，连接． 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形，， ， 由题意得，， ， 又， ， 又， ， ， ， ，当点重合时，有最小值， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，平方差公式，三角函数特殊角的值求解，分式的混合运算，掌握负整数指数幂，平方差公式，三角函数特殊角的值求解，分式的混合运算是解题的关键． （1）利用，，求解即可． （2）利用分式的混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 原式 ． 17. 某中学为了广泛开展体育活动，需要准备排球、篮球两种球类，学校计划前往某体育用品商店购买.通过调查，将获取的相关数据整理成下表： 购买数量/个 总费用/元 排球 篮球 5 6 900 4 8 1040 （1）求排球和篮球的单价； （2）该中学决定购买排球、篮球共20个，且总费用不超过1460元，那么该中学最多可以购买多少个篮球? 【答案】（1）排球的单价为元，篮球的单价为元， （2）个 【解析】 【分析】（1）设排球的单价是元，篮球的单价是元，根据“买5个排球和6个篮球共需900元；买4个排球和8个篮球共需1040元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设最多购买个篮球，则购买个排球，根据“总费用不超过1460元”，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出答案． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【小问1详解】 解：设排球的单价是元，篮球的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：排球单价是60元，篮球单价是100元． 【小问2详解】 解：设最多购买个篮球，则购买个排球， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为， 故最多可以买6个． 18. 中国教育学会“第四届课堂教学研讨会”在北京举行，为了深入探讨新时代基础教育高质量发展的实践创新与研究成果，本次活动共分为六个论坛，论坛一：学校高质量发展的路径与策略；论坛二：集团化办学育人模式的创新实践；论坛三：基础教育阶段创新人才培养的路径与策略；论坛四：教育数字化转型下的课堂教学变革；论坛五：思政教育一体化视域下高质量育人的策略与方法；论坛六：教研助推科学教育质量提升. 为了解参会者意向，随机抽取了部分参会报名人员并下发了调查问卷，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成如下两幅不完整的统计图. 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）求本次调查所抽取的人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“论坛一”对应扇形的圆心角度数； （3）根据报名情况有 800人参加本次活动，地点安排在两个多功能厅，每场报告时间为90．由下面的活动日程表可知，论坛五、六两场报告时间与场地已经确定．通过会前了解到参加论坛四的人员中有48人临时改为去参加论坛一，在确保听取报告的每个参会者都有座位的情况下，请你合理安排论坛一、二、三、四这四场报告，补全此次活动日程表（写出一种方案即可），并说明理由． “第四届课堂教学研讨会”活动日程表 地点（座位数） 时间 1号多功能厅（200 座） 2号多功能厅（150 座） 8:00—9:30 10:00—11:30 论坛五 13:00—14:30 论坛六 【答案】（1）人，补全条形统计图见解析 （2） （3）方案见解析，答案不唯一 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体等知识，理解题意，通过条形统计图和扇形统计图获得所需信息是解题关键． （1）利用“调查中参加论坛五人员人数其占比”，即可计算本次调查所抽取的人数；计算调查中参加论坛四人员人数，即可补全条形统计图； （2）利用“调查中参加论坛一人员占比”即可获得答案； （3）根据本次调查情况，并结合题意确定各论坛参加人数，然后补全此次活动日程表即可． 【小问1详解】 解： 人， 即本次调查所抽取的人数为100人； 报名论坛四的人数为人， 故可补全条形统计图如下： 【小问2详解】 即扇形统计图中“论坛一”对应扇形的圆心角度数为； 【小问3详解】 根据本次调查情况，并结合题意， 可知参加论坛一的人员有人， 参加论坛二的人员有人， 参加论坛三的人员有人， 参加论坛四的人员有人， 参加论坛五的人员有人， 参加论坛六的人员有人， 为确保听取报告的每个参会者都有座位，可补全此次活动日程表如下： “第四届课堂教学研讨会”活动日程表 地点(座位数) 时间 1号多功能厅（200 座） 2号多功能厅（150 座） 8:00—9:30 论坛一 论坛二 10:00—11:30 论坛五 论坛三 13:00—14:30 论坛六 论坛四 19. 大樱桃是大连的特色水果，一直受到顾客的青睐.今年“美早”樱桃上市时，老李考察了市场行情，发现“美早”樱桃的销售金额y(单位：元)与销售量x(单位：)之间的关系如图所示. （1）当时，求 y 关于x 的函数解析式； （2）老李在销售时，采用了如下两种销售模式： 模式一：采用市场销售模式； 模式二：实行自主采摘，自主采摘以下(含 )，价格为元/，超过的部分按七折出售且抹零(即取小于售价的最大整数). 小颖一家准备购买，则如何购买更合算? 【答案】（1） （2）按模式二购买更合算 【解析】 【分析】此题考查了一次函数应用，根据题意利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键. （1）当时，设y关于x 的函数解析式为，根据图象过点和利用待定系数法求出答案即可； （2）分别按照两种模式计算出所需钱数，比较后即可得到答案. 【小问1详解】 解：当时，设y关于x 的函数解析式为，将点和代入得到， ， 解得 ∴y关于x 的函数解析式为； 【小问2详解】 按模式一购买：当时，， 按模式二购买：（元）， 即需付款元， ∵， ∴按模式二购买更合算. 20. 一天晚辅导结束后，小星和小明从教学楼回宿舍，途径校园内的路灯下时，小星发现此时自己的影子正好在脚下 A 处，小星又向前走了5步到B 处，发现自己的影子落在路灯杆标识为高的C 处，此时小明马上从书包文具盒里拿出量角器，测得光线与路灯杆形成的角度 ，小星又继续向前走了2步，到达路灯杆底部 D 处，已知小星的身高为. （1）求小星一步大约多少厘米； （2）求路灯与地面的距离. (结果精确到.参考数据： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，（1）过点C作于点G，由题意得，，，根据矩形的判定和性质可得，，在中，利用锐角三角函数求得，即可求解； （2）由（1）可得，，，过点C作于点M，则四边形是矩形，可得，，，在中，利用锐角三角函数求得，即可求解． 【小问1详解】 解：过点C作于点G， 由题意得，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 答：小星一步大约； 【小问2详解】 解：由（1）可得，，， 过点C作于点M，则四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 21. 《义务教育数学课程标准(2022年版)》实施以来，切线长定理的探索与证明由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外一点作圆的切线”.在学习完《切线的性质与判定》后，九年级的李老师布置了一道题：“如图，已知：如图所示，及外一点M．求作：直线，使与相切于点N．” 小星同学经过探索，给出了如下的一种作图方法： ①连接，分别以点O，M为圆心，以 的长为半径作弧，两弧分别相交于A，B 两点(点A，B 分别位于直线的上下两侧)； ②作直线 ，交于点C； ③以点C为圆心， 长为半径作， 交于点N(点 N位于直线的上侧)； ④连接，交于点D，则直线即为所求； （1）请按照步骤完成填空、作图(尺规作图，保留作图痕迹，准确标注字母)，并结合图形，说明直线是切线的理由； （2）李老师夸奖了小星作图方法，同时在(1)的图形中延长交于点E，过点E作交的延长线于点F，连接，并增加条件：，，，让小星求的长，请你帮助小星解答． 【答案】（1）大于；；；；尺规作图及理由见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；先根据圆周角定理的推论得到，然后根据切线的判定定理得到直线为切线； （2）连接，由勾股定理求出的长，在和中，利用正切函数的定义先后求得，，由作图可知直线是线段的垂直平分线，设，则，在中，由勾股定理列式计算可得出答案． 【小问1详解】 解：①连接，分别以点O，M为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于A，B两点(点A，B分别位于直线的上下两侧)； ②作直线，交于点C； ③以点C为圆心，长为半径作，交于点N(点 N位于直线的上侧)； ④连接，交于点D，则直线即为所求； 按照步骤完成作图如下． 由题意得：为的直径， ∴(直径所对的圆周角为)， ∴， ∵为的半径， ∴直线为的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由作图知直线是线段的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，圆周角定理和切线的判定与性质，正切函数．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 22. 在正方形中，E 是边上一点(点 E 不与点 B 重合)，将 沿折叠，得到再将绕点C旋转得到，直线 与直线相交于点M． （1）如图1，求证：； （2）如图2，直线与相交于点N，直线与相交于点P，点G 在上，若 求的长； （3）若直线与相交于点N，点 N 在直线上，当时，请画出图形并求出的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由四边形是正方形，得，将沿折叠，得到，再将绕点C旋转得到，得到，，，进而可证，即可得证． （2）由（1）知，，根据条件证出，得到，，再根据勾股定理，即可求解． （3）设，则，由折叠的性质，得，，，根据勾股定理可得，分两种情况，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 22. 解：（1）证明：如图1，连接， 四边形是正方形， ， 将沿折叠，得到，再将绕点C旋转得到， ， ， ， 在和中， ， ． 【小问2详解】 由（1）知，， ， ，， 四边形是正方形， ， ， 又， 又， ， 又， ， ， ， 在中，根据勾股定理， 得， 在中，根据勾股定理， ， ， 解得：， ， ． 【小问3详解】 四边形是正方形， ， 设，则， 由折叠的性质，得， ， ， 在中，根据勾股定理， ， ， 解得：． 当时，如下图， ， 在中，根据勾股定理， 得， 在中，根据勾股定理， 得， 由旋转的性质，得， ． 当时，如图3， ， 在中，根据勾股定理， 得， 在中，根据勾股定理， 得， ， 综上所述，的长为． 【点睛】本题主要考查有关折叠以及全等三角形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理的应用等知识点，掌握有关折叠以及全等三角形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理的应用是解题的关键． 23. 发现问题】 在一次数学活动课上，学生用围棋子摆出“金字塔”数阵，图案如下： 【提出问题】 在摆出的数阵中，所需围棋子颗数y 与数阵层数x之间具有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小明同学结合实际操作和计算得到的数据如下表： 数阵 1 2 3 4 棋子颗数 3 8 15 24 小明从数形结合的角度出发，从图中观察第一层有3颗棋子，以后每层都比上一层多2颗棋子，则第x层有颗棋子． ∴①或②． 就可以得到y与x之间的函数关系． 【解决问题】 （1）直接写出y与x之间的函数关系；(不需要写出自变量x的取值范围) （2）一副围棋共有361颗棋子，摆出上面的数阵，若使剩余棋子最少，则最少剩几颗棋子？ （3）若每颗圆形棋子的周长为，要想摆下(2)中最大的数阵，需要一张长、宽至少为多少厘米的矩形桌子？(结果精确到．参考数据： 棋子间缝隙忽略不计) 【答案】（1） （2）颗 （3）需要一张长至少为，宽至少为的矩形桌子 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用， 求二次函数的解析式，求二次函数的最值，无理数的估算，以及勾股定理等知识． （1）根据题意：得化简即可． （2）由（1）得根据已知条件，利用无理数的估算得出，最后根据二次函数的性质可得出抛物线当时，y随x的增大而增大，即可求出当时，，进一步即可得出结论． （3）由(2)可知，最大数阵有18层棋子，棋子最多的一层有(颗)． 求出每颗圆形棋子的直径为，即可得出需要的桌子长度，画图图形，再利用勾股定理求出，进一步求出桌子的宽度． 小问1详解】 解：根据题意：得： ∴ ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 由（1）得 ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵ ∴， ∵x为正整数， ∴， 在中，当时，y随x的增大而增大， 当时，， ∴， ∴最少剩1颗棋子． 【小问3详解】 由(2)可知，最大数阵有18层棋子，棋子最多的一层有(颗)．， ∵每颗圆形棋子的周长为， ∴． 解得： ∴每颗圆形棋子的直径为 如图， ，，，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴， ∴需要一张长至少为，宽至少为的矩形桌子． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$