精品解析：湖北省荆门市龙泉北校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

湖北省荆门市龙泉北校2022-2023学年 八年级下学期期中数学试卷 一．慧眼识珠，挑选唯一正确答案，你一定很棒（每小题3分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 2. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数能构成直角三角形的是（　　） A 3，4，6 B. 5，10，12 C. 4，6，8 D. 9，40，41 4. 如图，AD=1，点M表示的实数是（　　） A. B. C. 3 D. 5. 若，则等于（　　） A. 1 B. 7 C. D. 6. 如图，在平行四边形中，，与相交于点O，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形中，在上，且，，，矩形的周长为，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 8. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 9. 如图，中，，为的外角平分线，且于点D，E为的中点，若，则的长为（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 10. 如图，为等腰，，，，在一条直线上，且四边形为矩形，若，，，分别为，的中点，连接，则的长为（　　） A. B. C. D. 二．耐心填一填：你一定行！（每小题3分，共18分） 11. 若最简二次根式与能合并，则的值是__________． 12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 13. 如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为______． 14. 如图，在中，对角线与相交于点O，过B作于点E，已知，，，则______． 15. 如图中，，，分别在和延长线上， ，，，则的长是________． 16. 如图，在矩形中，，，，分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是______． 三、解答题（8+8+8+8+8+10+10+12＝72） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知： ，，求： （1）值； （2）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 19. 如图，在△ABC中，点E是边AC上一点，线段BE垂直于∠BAC的平分线于点D，点M为边BC的中点，连接DM． (1)求证: DM＝CE； (2)若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长． 20. 如图，在中，，垂足分别为E，F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若， ，，试求四边形的面积． 21. 如图，在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交射线和于点E，F，连接． （1）探究四边形形状，并证明你的结论； （2）若，试求四边形的面积． 22. 如图，在矩形中，E是上一点，垂直平分，分别交于点P、O、Q，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，F为中点，，求的长． 23. 如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB＝3，AD＝4． （1）如图1，当∠DAG＝30°时，求BE的长； （2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长； （3）如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长． 24. 平面直角坐标系中，矩形AOBC顶点C的坐标为（m，n），m、n满足m﹣8． （1）m＝______，n＝_______； （2）如图1，连接AB、OC交于点D，过点D作DM⊥DB交x轴于点M，求点M的坐标； （3）如图2，E、F分别为OB、BC上的动点，以AE、EF为边作矩形AEFQ，连接EQ、CQ，当EQ＝2CQ时，求点Q的纵坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省荆门市龙泉北校2022-2023学年 八年级下学期期中数学试卷 一．慧眼识珠，挑选唯一正确答案，你一定很棒（每小题3分，共30分） 1. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据P点坐标，直接利用勾股定理可求解点P到原点的距离． 【详解】解：∵点P的坐标是（4，3）， ∴点P到原点的距离是：． 故选C． 【点睛】本题考查的勾股定理的应用，掌握“已知两点坐标求解两点之间的距离”是解本题的关键． 2. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用二次根式性质对各选项中的二次根式进行化简，再根据同类二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】解：，， 与是同类二次根式，可以合并， 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式性质及同类二次根式定义，熟记同类二次根式的定义是解决问题的关键． 3. 下列各组数能构成直角三角形的是（　　） A. 3，4，6 B. 5，10，12 C. 4，6，8 D. 9，40，41 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理判断即可，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴不能构成直角三角形，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∴不能构成直角三角形，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∴不能构成直角三角形，故C不符合题意； D、∵， ∴， ∴能构成直角三角形，故D符合题意； 故选：D． 4. 如图，AD=1，点M表示的实数是（　　） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求出斜边AC，再由AM=AC从而得到M代表的实数． 【详解】解：如图所示：∵AD=1，AB=3，∠CBA=90°， ∴BC=1， 由勾股定理得：， ∴AM=AC=． 故选A 【点睛】此类题较为简单，但需要注意的是起点所代表的实数是否是零，这是常常被忽略的地方． 5. 若，则等于（　　） A. 1 B. 7 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式、有理数的乘方，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得，从而求得，进而解决此题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：D． 6. 如图，在平行四边形中，，与相交于点O，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，运用勾股定理得到，运用勾股定理求得即可． 【详解】∵平行四边形，， ∴，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和勾股定理是解题的关键． 7. 如图，矩形中，在上，且，，，矩形的周长为，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，矩形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出.设，根据矩形的性质得出，，，求出，证，推出，求出，得出方程，求出即可. 【详解】设， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 矩形的周长为， ， ， 即. 故选：A． 8. 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】连接EF交AC于点M，由四边形EGFH为菱形可得FM=EM，EF⊥AC；利用“AAS或ASA”易证△FMC≌△EMA，根据全等三角形的性质可得AM=MC；在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC=，且tan∠BAC=；在Rt△AME中，AM=AC= ，tan∠BAC=可得EM=；在Rt△AME中，由勾股定理求得AE=5．故答案选C． 【点睛】本题考查了菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数． 9. 如图，中，，为的外角平分线，且于点D，E为的中点，若，则的长为（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】延长，交于点F，根据题目条件判断，得出，，再根据三角形中位线的性质进行计算即可． 【详解】解：延长，交于点F ， 为的外角平分线，， ， 和中， ， ， ，， E为的中点， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形全等，三角形中位线的判定及性质，掌握三角形中位线的判定及性质是解题的关键． 10. 如图，为等腰，，，，在一条直线上，且四边形为矩形，若，，，分别为，的中点，连接，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长至，使，连接，根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半可得，，推得，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，推得，设，根据矩形的对边相等可得，求得，根据直角三角形两锐角互余得出，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半可得，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出的值，即可列出方程，解方程求出的值，即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 则, 解得：， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形中位线的定义和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解一元一次方程等解题的关键是添加辅助线，构建三角形的中位线． 二．耐心填一填：你一定行！（每小题3分，共18分） 11. 若最简二次根式与能合并，则的值是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义进行列式计算． 【详解】∵最简二次根式与能合并 ∴ ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题考查了最简二次根式及同类二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解． 【详解】解：根据二次根式的意义，得， 解得． 故答案为：． 13. 如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为______． 【答案】1.5 【解析】 【详解】解：∵∠AFB=90°，D为AB的中点， ∴DF=AB=25． ∵DE为△ABC的中位线， ∴DE=BC=4． ∴EF=DE-DF=1.5． 故答案为1.5． 【点睛】直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 14. 如图，在中，对角线与相交于点O，过B作于点E，已知，，，则______． 【答案】． 【解析】 【分析】利用勾股定理求AE的长，然后求得DE的长，再利用勾股定理求BD的长，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求解． 【详解】解：∵ ∴∠BEA=∠BED=90° 在Rt△ABE中， ∴DE=AD-AE=7-3=4 在Rt△BDE中， 又∵平行四边形ABCD中，O是BD中点 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理解直角三角形，平行四边形的性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，题目难度不大，正确推理计算是解题关键． 15. 如图中，，，分别在和的延长线上， ，，，则的长是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形性质，平行四边形的判定和性质；掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．由平行四边形得，可证四边形是平行四边形，于是．中，，所以，根据勾股定理求解． 【详解】解：平行四边形，． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴， ， ， ， 在中，， ∴． ∴． ∴ （负值舍去）． 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，，，分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，根据题意找到使所求线段的和最小时点的位置是解题的关键． 作点的对称点，作点关于的对称点，连接，，，过点作的垂线，交的延长线于点，推得当，，，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长，根据矩形的性质可得，求得，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， 则， ∴当，，，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长． 过点作的垂线，交的延长线于点， ∴， ∵为的中点，， ∴，， ∴， ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． 三、解答题（8+8+8+8+8+10+10+12＝72） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）+3； （2）3-2 【解析】 【分析】（1）先化简，再算加减即可； （2）先化简，再算乘法与除法，最后算加减即可． 【小问1详解】 解： =+3； 【小问2详解】 解： =3-2． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 18. 已知： ，，求： （1）值； （2）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算和实数的估算等知识，熟练掌握二次根式的运算法则和实数估算的方法是解题的关键． （1）把字母值代入后利用完全平方公式进行计算展开，再合并同类二次根式即可； （2）根据无理数的估算求出m、n的值，代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在△ABC中，点E是边AC上一点，线段BE垂直于∠BAC的平分线于点D，点M为边BC的中点，连接DM． (1)求证: DM＝CE； (2)若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长． 【答案】（1）见解析 （2）AC=14 【解析】 【分析】（1）证△BAD≌△EAD，推出AB=AE，BD=DE，根据三角形的中位线性质得出DM=CE即可； （2）根据勾股定理求出AB，求出AE，根据三角形的中位线求出CE，即可得出答案． 【详解】∵AD⊥BE， ∴∠ADB=∠ADE=90°， ∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠EAD， 在△BAD和△EAD中， ， ∴△BAD≌△EAD（SAS）， ∴AB=AE，BD=DE， ∵M为BC的中点， ∴DM=CE （2）∵在Rt△ADB中，∠ADB=90°，AD=6，BD=8， ∴由勾股定理得：AE=AB=， ∵DM=2，DM=CE， ∴CE=4， ∴AC=10+4=14． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的中位线，勾股定理的应用，解此题的关键是推出△BAD≌△EAD，题目比较好，难度适中． 20. 如图，在中，，垂足分别为E，F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若， ，，试求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）20 【解析】 【分析】本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理等知识点，掌握以上知识是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质，结合已知条件，证明，即可得到答案； （2）由（1）可知，，得到，设，则，在 和 中， 由勾股定理解得： ，，再根据即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形平行四边形； 小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， 在 和 中， 由勾股定理得：， ，即， 解得：， ， ∵四边形是平行四边形， ∴． 21. 如图，在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交射线和于点E，F，连接． （1）探究四边形的形状，并证明你的结论； （2）若，试求四边形的面积． 【答案】（1）四边形是菱形，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】该题主要考查了矩形的性质，菱形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据四边形是矩形，得出，即可得，证明，得出，证明四边形是平行四边形，结合，即可证明四边形是菱形； （2）根据四边形是菱形，得出，根据，即可解得，即可求出四边形的面积． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， 理由如下：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵的中点是O， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ， ， ， ， ∴四边形的面积． 22. 如图，在矩形中，E是上一点，垂直平分，分别交于点P、O、Q，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，F为的中点，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质证明，由证明 ，得出，证出四边形是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论； （2）由三角形中位线定理可得，可得，设，则，由勾股定理列出方程，解方程可得，即可求出，设，则，再由勾股定理列出关于的方程，解方程可得的值，最后根据勾股定理求出的值，即可可得出的长． 【小问1详解】 证明：∵垂直平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵O，F分别为的中点， ∴， ∴， 设，则， 在 中，， 解得， ∴， ， 设， 则， 在 中，， 解得， 在 中，， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点，本题综合性强，有一定难度． 23. 如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB＝3，AD＝4． （1）如图1，当∠DAG＝30°时，求BE的长； （2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长； （3）如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先确定出∠BAE＝30°，再利用含30°的直角三角形的性质即可得出结论； （2）连接GE，根据点E是BC的中点以及翻折的性质可以求出BE＝EF＝EC，然后利用“HL”证明△GFE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证FG＝CG，设GC＝x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式进行计算即可得解； （3）先判断出EF⊥AC时，△CEF的周长最小，最后用勾股定理即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠DAG＝30°， ∴∠BAG＝60° 由折叠知，∠BAE＝∠BAG＝30°， 在Rt△BAE中，∠BAE＝30°，AB＝3， ∴BE＝ 【小问2详解】 解：如图4，连接GE， ∵E是BC的中点， ∴BE＝EC， ∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE， ∴BE＝EF， ∴EF＝EC， ∵在矩形ABCD中， ∴∠C＝90°， ∴∠EFG＝90°， ∵在Rt△GFE和Rt△GCE中， ∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL）， ∴GF＝GC； 设GC＝x，则AG＝3+x，DG＝3﹣x， 在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2＝（3+x）2， 解得x＝． 【小问3详解】 解：如图1，由折叠知，∠AFE＝∠B＝90°，EF＝BE， ∴EF+CE＝BE+CE＝BC＝AD＝4， ∴当CF最小时，△CEF的周长最小， ∵CF≥AC-AF， ∴当点A，F，C在同一条直线上时，CF最小， 由折叠知，AF＝AB＝3， 在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝AD＝4， ∴AC＝5， ∴CF＝AC﹣AF＝2， 在Rt△CEF中，EF2+CF2＝CE2， ∴BE2+CF2＝（4﹣BE）2， ∴BE2+22＝（4﹣BE）2， ∴BE＝． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是求出∠BAE＝30°，解（2）和（3）的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题． 24. 平面直角坐标系中，矩形AOBC的顶点C的坐标为（m，n），m、n满足m﹣8． （1）m＝______，n＝_______； （2）如图1，连接AB、OC交于点D，过点D作DM⊥DB交x轴于点M，求点M的坐标； （3）如图2，E、F分别为OB、BC上的动点，以AE、EF为边作矩形AEFQ，连接EQ、CQ，当EQ＝2CQ时，求点Q的纵坐标． 【答案】（1）4；8； （2）M（3，0） （3） 【解析】 【分析】（1）根据由二次根式的性质可得n＝4，m＝8； （2）连接，首先利用勾股定理求出AB的长，根据垂直平分线的性质可得AM=BM，设，中勾股定理即可求解； （3）连接AF交EQ于点P，连接CP，过点Q作QH⊥y轴于点H，交BC的延长线于G，设CE交QF于N，利用矩形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，可得是等边三角形，进而根据三角形内角和定理以及三角形外角的性质，等边对等角得出，利用含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理，从而解决问题． 【小问1详解】 解：由有意义得：n﹣4≥0， ∴n≥4， 由有意义得：4﹣n≥0， ∴n≤4， ∴n＝4， 把n＝4代入m﹣8得：m＝8， 故答案为：4；8； 【小问2详解】 连接，如图， ∵m＝8，n＝4， ∴C（8，4）， ∵四边形AOBC是矩形， ∴AO＝4，BO＝8，AD＝BD， ∵DM⊥DB， ， 设，则 在中， 解得 【小问3详解】 如图，连接AF交EQ于点P，连接CP，过点Q作QH⊥y轴于点H， ∵四边形AEFQ是矩形， ∴AF＝EQ，PF＝PA，PE＝PQ，∠QAE＝∠AEF＝∠EFQ＝90°，AQ＝EF， ∴PF， ∵四边形AOBC是矩形， ∴∠ACB＝∠OBC＝∠AOB＝90°， 又∵PF＝PA， ∴PC＝PF， ∴PC， ∴PC＝PE＝PQ， ∵EQ＝2CQ， ∴ 是等边三角形， ， ， 设， 则， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在Rt△AOE中，∠OAE＝30°，AO＝4， ∴OE＝＝4， ∴BE＝BO﹣OE＝8， Rt△BEF中，∠BEF＝30°， ∴ ∴AQ＝EF， 在Rt△AQH中，∠QAH＝60°， ∴∠AQH＝30°， ∴AH， ∴OH＝AO+AH＝4， ∴点Q的纵坐标为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形性质，二次根式的非负性，含30°角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明∠OAE＝30°是解决问题（3）的关键． 第1页/共1页 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