精品解析：湖南省益阳市大通湖区北洲子镇中学等校2021-2022学年九年级上学期期末联考数学试题

九年级数学（问卷） 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有1个选项符合题意．请将符合题意的选项用2B铅笔填涂在答题卡相应位置） 1. 下列关系式中， 是 的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当 时， 3. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 根据李飞与刘亮射击训练的成绩绘制了如图所示的折线统计图． 根据图所提供的信息，若要推荐一位成绩较稳定的选手去参赛，应推荐（　　） A. 李飞或刘亮 B. 李飞 C. 刘亮 D. 无法确定 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图， 与是位似图形， 是位似中心，位似比为，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系 中，有三点，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，用长为的栅栏围成一个面积为的矩形花圃 ，为方便进出，在边 上留有一个宽的小门 ，设 的长为，根据题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB、AC相交于点D，且，，反比例函数的图象经过点E，若，，则 值是（ 　 ） A. B. 15 C. D. 12 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 函数中自变量 的取值范围是______． 12. 已知关于 的方程的一个根是，则_______． 13. 如图，已知，若，．则 的长为___________． 14. 根据《山西省教育厅关于组织参加第五届中华经典诵写讲大赛的通知》，某校组织了“笔墨中国”的汉字书写征文大赛，现从中随机抽取部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，并根据结果绘制了如下两副不完整的统计图．若该校共征集到400份作品，请估计等级为 的作品约有______份． 15. 如图，在楼顶点 处观察旗杆测得旗杆顶部 的仰角为30°，旗杆底部 的俯角为45°.已知楼高m，则旗杆的高度为___．（结果保留根号） 16. 如图，在矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连接EF．已知AB＝6，BC＝8，则EF的长为__________________． 三、解答题（本大题共6小题，共56分。） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 某商场将每件进价为160元的某种商品原来按每件200元出售，一天可售出100件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加5件． （1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ （2）若商场经营该商品一天要获利润4320元，则每件商品应降价多少元？ 19. 为落实“双减”政策．优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组．“”，B组．“”，C组．“”，D组．“”，E组“”，将收集的数据整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的总人数是_______人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是________度； （3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 20. 新元学校科技社团赵翔同学借助无人机，测量坡角为的滑行跑道斜坡部分 的长度．如图所示，水平飞行的无人机在点处测得跑道斜坡的顶端 处的俯角，底端点B处的俯角，点C，B，F在同一条水平直线上，米．（所有计算结果精确到1米．参考数据：，，..，，，） （1）求无人机的飞行高度 ． （2）求滑行跑道 的长度． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点，一次函数图象分别与x轴，y轴交于E，D两点．过A作轴，垂足为C，连接． （1）求一次函数解析式和反比例函数解析式； （2）点P为反比例函数图象上一点，若，求点P的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 22. 【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（问卷） 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有1个选项符合题意．请将符合题意的选项用2B铅笔填涂在答题卡相应位置） 1. 下列关系式中， 是 的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，形如的函数叫做反比例函数，据此即可求解 【详解】解：． 是 的一次函数，故该选项不符合题意； ． 是 的反比例函数，故该选项符合题意； ． 是 的一次函数，故该选项不符合题意； ． 不是 的反次函数，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当 时， 【答案】B 【解析】 【分析】结合一次函数与反比例函数的图象，逐项判断即可得． 【详解】解：A、当时，，则此项错误，不符合题意； B、当时，，则此项正确，符合题意； C、当时，，则此项错误，不符合题意； D、当 时，，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象，熟练掌握函数图象法是解题关键． 3. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算的值． 【详解】解：根据题意得， 所以． 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，． 4. 根据李飞与刘亮射击训练的成绩绘制了如图所示的折线统计图． 根据图所提供的信息，若要推荐一位成绩较稳定的选手去参赛，应推荐（　　） A. 李飞或刘亮 B. 李飞 C. 刘亮 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【详解】【分析】根据折线统计图得出两人射击成绩，再计算出两人成绩的方差，据此即可作出判断． 【详解】李飞的成绩为5、8、9、7、8、9、10、8、9、7， 则李飞成绩的平均数为=8， 所以李飞成绩的方差为×[（5﹣8）2+2×（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+3×（9﹣8）2+（10﹣8）2]=1.8； 刘亮的成绩为7、8、8、9、7、8、8、9、7、9， 则刘亮成绩的平均数为=8， ∴刘亮成绩的方差为×[3×（7﹣8）2+4×（8﹣8）2+3×（9﹣8）2]=0.6， ∵0.6＜1.8， ∴应推荐刘亮， 故选C． 【点睛】本题主要考查折线统计图与方差，根据折线统计图得出解题所需数据、熟练应用平均数及方差的计算公式进行求解是解题的关键． 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D. 6. 如图， 与是位似图形， 是位似中心，位似比为，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查位似变换．解题的关键是掌握位似图形就是特殊的相似图形，位似比等于相似比，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵ 与是位似图形，位似比为，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由cosA=，知道∠A=60°，得到∠B的度数即可求得答案． 【详解】解：∵∠C=90°，cosA=， ∴∠A=60°，得∠B=30°，所以tanB=tan30°=​． 故选：C． 【点睛】考查了特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是正确识记30°角的正切值． 8. 如图，在平面直角坐标系 中，有三点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，取格点D，连接 ， ，则B在 上，由，，，证明，可得． 【详解】解：如图，取格点D，连接 ， ，则B在 上， ∵，，， ∴，， ， ∴， ∴； 故选C 【点睛】本题考查的是坐标与图形，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 9. 如图，用长为的栅栏围成一个面积为的矩形花圃 ，为方便进出，在边 上留有一个宽的小门 ，设 的长为，根据题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中等量关系，列出方程．设 的长为，则，根据面积为列出方程即可． 【详解】解：设 的长为，则， 根据题意得：， 故选：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB、AC相交于点D，且，，反比例函数的图象经过点E，若，，则 值是（ 　 ） A. B. 15 C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】连接DE，交AB于F，先证明四边形AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出DA=DB，证出四边形AEBD是菱形，由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分，求出EF、AF，得出点E的坐标；把点E坐标代入(x＞0)，求出k的值即可． 【详解】解：∵BE∥AC，AE∥OB， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵四边形OABC是矩形，OA=5，OC=3， ∴DA=AC，DB=OB，AC=OB，AB=OC=3， ∴DA=DB， ∴四边形AEBD是菱形； 连接DE，交AB于F，如图所示： ∵四边形AEBD是菱形， ∴AB与DE互相垂直平分， ∵OA=5，OC=3， ∴EF=DF=OA=，AF=AB=，5+=， ∴点E坐标为：（，）． ∵反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点E， ∴k=， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 函数中自变量 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数自变量取值范围计算即可； 【详解】函数中，自变量x的取值范围是． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数自变量取值范围，准确计算是解题的关键． 12. 已知关于 的方程的一个根是，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】将 代入，方程，解关于 一元一次方程，即可求解， 本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是：掌握方程的解的定义． 【详解】解：将 ，代入，得：，解得：， 故答案为：． 13. 如图，已知，若，．则 的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 根据平行线分线段成比例定理得出比例式，带入即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 故答案为： ． 14. 根据《山西省教育厅关于组织参加第五届中华经典诵写讲大赛的通知》，某校组织了“笔墨中国”的汉字书写征文大赛，现从中随机抽取部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，并根据结果绘制了如下两副不完整的统计图．若该校共征集到400份作品，请估计等级为 的作品约有______份． 【答案】120 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图中用样本估计总体，先根据等级C的占比和份数求出样本总量，进而求出等级A的占比，再用A的占比估计总体即可． 【详解】解： ， 则等级为 的作品约有120份． 故答案为：120． 15. 如图，在楼顶点 处观察旗杆测得旗杆顶部 的仰角为30°，旗杆底部 的俯角为45°.已知楼高m，则旗杆的高度为___．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】过点A作AE⊥CD于点E，由平行线的性质可知∠ADB＝∠EAD＝45°，故可得出AB＝BD＝9m，再根据正方形的判定定理得出四边形ABDE是正方形，故可得出AE＝BD，由锐角三角函数的定义求出CE的长，进而可得出结论． 【详解】如图，过点A作AE⊥CD于点E， ∵AE∥BD， ∴∠ADB＝∠EAD＝45°， ∴AB＝BD＝9m． ∵AB⊥BD，ED⊥BD，AE⊥CD，AB＝BD， ∴四边形ABDE是正方形， ∴AE＝BD＝AB＝DE＝9m． 在Rt△ACE中， ∵∠CAE＝30°， ∴CE＝AE•tan30°＝9×＝3， ∴CD＝CE＋DE＝（3＋9）m． 故答案为. 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 16. 如图，在矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连接EF．已知AB＝6，BC＝8，则EF的长为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BD，根据折叠的性质得到AE＝EM，CF＝NF，证明△EDM∽△BDA，根据相似三角形的性质求出DE，同理出去DF，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠A＝∠C＝∠EDF＝90°， ∴ ∵将矩形ABCD沿BE所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处， ∴AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°， ∴∠EMD＝90°， ∵∠EDM＝∠ADB， ∴△EDM∽△BDA， ∴， 设DE＝x，则AE＝EM＝8﹣x， ∴ 解得，x＝5，即DE＝5， 同理，△DNF∽△DCB， ∴， 设DF＝y，则CF＝NF＝6﹣y， ∴， 解得，y＝，即DF＝， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 三、解答题（本大题共6小题，共56分。） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）运用公式法解答即可； （2）运用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：， ． ． 方程有两个不等的实数根， 即． 【小问2详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得． 于是得，或， ∴ 18. 某商场将每件进价为160元的某种商品原来按每件200元出售，一天可售出100件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加5件． （1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ （2）若商场经营该商品一天要获利润4320元，则每件商品应降价多少元？ 【答案】（1）元 （2）每件商品应降价4元或16元 【解析】 【分析】（1）根据总利润=单件利润×销量即可列式计算； （2）分别表示出销量和单件的利润即可表示出总利润，从而列出方程求解． 【小问1详解】 解：原来一天可获利润是：元； 【小问2详解】 设：每件商品应降价x元， 依题意得：. 解得：. ∴每件商品应降价4元或16元. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于基础题型．解题的关键是能够表示出销量和单件的利润，难度不大． 19. 为落实“双减”政策．优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组．“”，B组．“”，C组．“”，D组．“”，E组“”，将收集的数据整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的总人数是_______人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是________度； （3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 【答案】（1）100， 补全的条形统计图如下图所示： （2）72 （3）1710人 【解析】 【分析】（1）根据C组人数及所占比例得出总人数，确定D组的人数即可补全统计图； （2）用360度乘以B组人数所占的比例即可； （3）总人数乘以不超过90分钟学生的比例即可得出结果． 【小问1详解】 解：人， ∴D组的人数为： ， 【小问2详解】 ， 故答案为：； 【小问3详解】 （人）， 答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人． 【点睛】题目主要考查扇形统计图与条形统计图，用样本估计总体及求扇形的圆心角等，理解题意，根据扇形统计图与条形统计图获取相关信息是解题关键． 20. 新元学校科技社团赵翔同学借助无人机，测量坡角为的滑行跑道斜坡部分 的长度．如图所示，水平飞行的无人机在点 处测得跑道斜坡的顶端 处的俯角，底端点B处的俯角，点C，B，F在同一条水平直线上，米．（所有计算结果精确到1米．参考数据：，，..，，，） （1）求无人机的飞行高度 ． （2）求滑行跑道 的长度． 【答案】（1）米 （2）30米 【解析】 【分析】（1）在中根据正切求解即可； （2）先在中根据余弦求出 ，然后证明 为直角三角形，即可求出AB的值． 【小问1详解】 解∶由题意知，，， 则， 在中，，， ∴（米）， 答：无人机的飞行高度 为米； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴（米）， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴（米）， 滑行跑道 的长度30米． 【点睛】本题考查解直角三角形、仰角俯角等知识，判断 为直角三角形是第（2）问的关键． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点，一次函数图象分别与x轴，y轴交于E，D两点．过A作轴，垂足为C，连接 ． （1）求一次函数解析式和反比例函数解析式； （2）点P为反比例函数图象上一点，若，求点P的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）或 （3） 或 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数图象及性质． （1）将点 代入可求出反比例函数解析式，再将代入求出的反比例函数解析式可得，再将和代入可求出一次函数解析式； （2）令一次函数中分别求出点坐标，再设，再利用三角形面积公式即可求出本题答案； （3）观察图象即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：根据题意：将点 代入中，得：，， ∴反比例函数解析式：， 再将代入中，得：， ∴， 将和代入中，得： ，解得：， ∴一次函数解析式：； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴令 ，则，令，则， ∴，即，，即：， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴，即：，解得：， ∴或． 【小问3详解】 解：∵， ∴在图象中找出一次函数比反比例函数低的部分， ∴ 或． 22. 【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 【答案】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2＝AD•AB； （2）AD＝； （3）5﹣2 【解析】 【分析】（1）根据题意证明△ADC∽△ACB，即可得到结论； （2）根据现有条件推出△BFE∽△BCF，再根据相似三角形的性质推断，即可得到答案； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，先证明四边形AEGC为平行四边形，再证△EDF∽△EGD，可得，根据EG＝AC＝2EF，可得DE＝EF，再根据，可推出DG＝DF=5，即可求出答案． 【详解】解：（1）略 （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， 又∵∠BFE＝∠A， ∴∠BFE＝∠C， 又∵∠FBE＝∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2＝BE•BC， ∴BC＝＝=， ∴AD＝； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD， ∵AC∥EF， ∴四边形AEGC为平行四边形， ∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G， ∵∠EDF＝∠BAD， ∴∠EDF＝∠BAC， ∴∠EDF＝∠G， 又∵∠DEF＝∠GED， ∴△EDF∽△EGD， ∴， ∴DE2＝EF•EG， 又∵EG＝AC＝2EF， ∴DE2＝2EF2， ∴DE＝EF， 又∵， ∴DG＝DF=5， ∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质，平行四边形的性质和证明，证明三角形相似是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $