精品解析：江苏省苏州市苏州高新区第一初级中学校2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试题

2023–2024学年新区一中初二年级12月份月考数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 第19届亚运会在杭州顺利举行，下面几幅图片是代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个正比例函数的图象经过和两点，则n的值是（ ） A. 2 B. C. 8 D. 4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 若，则 以a、b为边长等腰三角形的周长为（ ） A. 19 B. 22 C. 23 D. 19或23 6. 如图所示，已知，用尺规在线段上确定一点，使得，则符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形中，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图①，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D是AB边的中点，点P从点A出发，沿着AC﹣CB运动，到达点B停止．设点P的运动路径长为x，连DP，记△APD的面积为y，若表示y与x有函数关系的图象如图②所示，则△ABC的周长为（　　） A. 6+2 B. 4+2 C. 12+4 D. 6+4 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 若电影院中的3排4号记作，则6排2号可以记作________． 10. 若有意义，则的取值范围是_____． 11. 由四舍五入得到的近似数，精确到______位． 12. 已知点、在直线上，则与大小关系是______． 13. 已知点在一次函数的图象上，则______． 14. 将点向右平移3个长度单位，再向上平移a个长度单位得到点Q，点Q恰好在直线上，则a的值为_____． 15. 直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，于点C，P是线段上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为___________． 三、解答题（本大题共68分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 求下列各式中的x的值． （1）； （2）． 19. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为， （1）若点P在过点且与y轴平行的直线上时，求m的值； （2）若点P在第三象限，且点P到x轴的距离为7，求m的值． 20. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，三点在格点上． （1）作出关于y轴对称的； （2）的面积为 ； （3）在y轴上作点P，使得值最小，并求出点P的坐标． 21. 受《乌鸦喝水》故事的启发，利用水桶和体积相同的小球进行了如图操作： （1）已知放入小球后量筒中水面的高度是放入小球个数(个)的一次函数，从图中可以看出函数经过点与点，试确定该函数表达式； （2）当水桶中至少放入_______个小球时，有水溢出． 22. 已知与成正比例，且时，． （1）求与的函数关系式； （2）将所得函数图象向上平移3个单位，求平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积． 23. 2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． （1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． （2）若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 24. 自推出亚运会纪念品以来，亚运会纪念品迅速成为紧俏商品．某经销店承诺对所有商品明码标价，绝不哄抬物价．如下表所示是该店甲、乙两种亚运会纪念品的进价和售价： 商品价格 甲 乙 进件（元/个） 40 100 售价（元/个） 45 110 该店有一批用3800元购进的甲、乙两种亚运会纪念品库存，预计全部销售后可获毛利润共400元．【毛利润＝（售价﹣进价）*销售量】 （1）该店库存的甲、乙两种亚运会纪念品分别为多少个？ （2）根据预售情况，该店计划增加甲种亚运会纪念品的购进量，减少乙种亚运会纪念品的购进量．已知甲种亚运会纪念品增加的数量是乙种亚运会纪念品减少的数量的3倍，进货价不变，设毛利润为y，乙种亚运会纪念品减少的数量为x． ①求y关于x的关系式； ②若用于购进这两种亚运会纪念品的总资金不超过4000元，可使全部销售后获得的毛利润最大，求出最大毛利润． 25. 我们知道长方形的四个角都是直角，两组对边分别相等． 小亮在参加数学兴趣小组活动时，对一张长方形纸片进行了探究．如图是长方形纸片，点E是边的中点．先将沿着翻折，得到；再将翻折至与重合，折痕是．请你帮助小亮解决下列问题： （1）判断的形状，并说明理由； （2）已知，，求的长． 26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点B、C的坐标分别为（0，0）、（6，0），A是第一象限内的一点，且△ABC是等边三角形．点D的坐标为（2，0），E是边AB上一动点，连接DE，以DE为边在DE右侧作等边△DEF． （1）求出A点坐标； （2）当点F落在边AC上时，△CDF与△BED全等吗？若全等，请给予证明；若不全等，请说明理由； （3）连接CF，当△CDF是等腰三角形时，直接写出BE的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023–2024学年新区一中初二年级12月份月考数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 第19届亚运会在杭州顺利举行，下面几幅图片是代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、B、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 下列根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，符合定义，是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数中含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式即被开方数中不含有开方不尽的因数，被开方数不含有分母，熟练掌握定义是解题的关键． 3. 已知一个正比例函数的图象经过和两点，则n的值是（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正比例函数图象上的点的坐标特征．利用待定系数法求出正比例函数的解析式，再将点代入求值即可．关键是求出函数解析式． 【详解】解：设正比例函数的解析式为，将，代入，得：， ∴， 当时，， ∴； 故选B． 4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴点所在的象限是第四象限， 故选：． 5. 若，则 以a、b为边长等腰三角形的周长为（ ） A. 19 B. 22 C. 23 D. 19或23 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查偶次方及绝对值的非负性，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，由偶次方及绝对值的非负性可求解a，b的值，再由三角形的三边关系进行判定，即可求解三角形的周长． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴等腰三角形的三边长分别为5，5，9或5，9，9， ∵， ∴边长分别为5，5，9的等腰三角形的周长为； 边长分别为5，9，9的等腰三角形的周长为 ∴以a、b为边长的等腰三角形的周长为19或23， 故选：D． 6. 如图所示，已知，用尺规在线段上确定一点，使得，则符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质及作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质以及作图方法．由题意可得，，则在线段垂直平分线上，即可求解． 【详解】解：，，点在线段上， ， 在线段垂直平分线上， 结合选项可知，A选项的作图为线段垂直平分线，符合题意， 故选：A． 7. 如图，矩形中，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，根据两点之间的距离求点表示的数，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及通过距离表示点的坐标． 根据矩形的性质和勾股定理得出，根据两个点之间线段的长度求出点的坐标即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ， 由勾股定理得， ， ∵点表示的数为， 点表示的数为， 故选：C． 8. 如图①，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D是AB边的中点，点P从点A出发，沿着AC﹣CB运动，到达点B停止．设点P的运动路径长为x，连DP，记△APD的面积为y，若表示y与x有函数关系的图象如图②所示，则△ABC的周长为（　　） A. 6+2 B. 4+2 C. 12+4 D. 6+4 【答案】A 【解析】 【分析】设BC=x，在Rt△ABC中根据∠A=30°，可得AB=2BC=2x，即有，由图②可知△ADP的最大面积为，由图①易知，当P点行至C点时，△ADP的面积最大，此时根据AD=BD，可得，再在Rt△ABC中，有，即有，解得x=2，即有BC=2，AB=4，，则问题得解． 【详解】设BC=x，在Rt△ABC中，有∠A=30°，∠C=90°， ∴AB=2BC=2x， ∴利用勾股定理可得：， 由图②可知△ADP的最大面积为， ∵D点AB中点， ∴AD=BD， 由图①易知，当P点行至C点时，△ADP的面积最大， 此时根据AD=BD，可得， 即有， 又∵在Rt△ABC中，， 即有， 解得x=2（负值舍去），即BC=2，AB=4，， 则△ABC的周长为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，数形结合得出是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 若电影院中的3排4号记作，则6排2号可以记作________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置，根据题意可知“排”字前面的数字记为第一个数字，“号”字前面的为第二个数字，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵电影院中的3排4号记作， ∴6排2号可以记作， 故答案为：． 10. 若有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数．有意义， ∴． 解得． 11. 由四舍五入得到的近似数，精确到______位． 【答案】百 【解析】 【分析】本题考查了近似数与科学记数法，先把科学记数法转换成正常表示，找到小数点对应位置即可． 【详解】解：依题意，， 则由四舍五入得到的近似数，精确到百位． 故答案为：百 12. 已知点、在直线上，则与大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，比较一次函数函数值的大小，先分别求出，即可得出答案． 【详解】解：点、在直线上， ，， ， 故答案为：． 13. 已知点在一次函数的图象上，则______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和代数式求值，先把代入，可得，再把代入即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴ ∴， 故答案为：2025． 14. 将点向右平移3个长度单位，再向上平移a个长度单位得到点Q，点Q恰好在直线上，则a的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据点的平移求得Q的坐标，代入即可求得a的值． 【详解】解：∵点向右平移3个长度单位，再向上平移a个长度单位得到点Q， ∴点， 又∵点在直线上， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了坐标与图形变化-平移，一次函数图象上点的坐标特征，根据点的平移求得Q的坐标是解题的关键． 15. 直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出a值，再根据图象得到直线在直线的上方部分的点的横坐标取值范围即可求解． 【详解】解：将点代入中，得，解得， ∴， 由图象知，当时，直线在直线的上方， ∴关于x的不等式的解集为 ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，于点C，P是线段上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由点P的运动确定的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段，当线段与垂直时，线段的值最小． 【详解】解：由已知可得， ∴三角形是等腰直角三角形， ∵， ∴， 又∵P是线段上动点，将线段绕点A逆时针旋转， ∵P在线段上运动，所以的运动轨迹也是线段， 当P在O点时和P在C点时分别确定的起点与终点， ∴的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段， ∴当线段与垂直时，线段的值最小， 在中，， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特点，动点运动轨迹的判断，垂线段最短，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共68分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）6； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂，平方根，立方根，即可求解， （2）根据二次根式混合运算，即可求解， 本题考查了，零指数幂，立方根，二次根式的混合运算，解题的关键是：熟练掌握相关预算法则． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 求下列各式中的x的值． （1）； （2）． 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可； （2）根据等式的性质和立方根的定义进行计算即可. 本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提. 【小问1详解】 解: 由于， ∴，即：或， 【小问2详解】 解：，即：， 由于， 所以，即． 19. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为， （1）若点P在过点且与y轴平行的直线上时，求m的值； （2）若点P在第三象限，且点P到x轴的距离为7，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形， （1）根据点P在第三象限，且点P到x轴的距离为7，确定方程求解即可； （2）根据点P在第三象限，且点P到x轴的距离为7，得出相应方程求解即可； 熟练掌握坐标与图形基本知识点是解题关键． 【小问1详解】 解：点P在过点且与y轴平行的直线上， ， 解得：， 因此m的值为； 【小问2详解】 点P在第三象限，且点P到x轴的距离为7， ， 解得：， 因此m的值为． 20. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，三点在格点上． （1）作出关于y轴对称的； （2）的面积为 ； （3）在y轴上作点P，使得值最小，并求出点P的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求． （2） （3）如图所示，点P即为所求， 点P坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查作图---轴对称变换，利用轴对称变换的定义和性质和待定系数法求一次函数解析式： （1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）用矩形的面积减去周围三个三角形的面积即可； （3）作点B关于y轴的对称点，连接，与y轴的交点即为所求，利用待定系数法求出所在直线解析式，然后求出时y的值即可得出点P的坐标，根据轴对称的性质和两点之间线段最短即可说明理由． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 △ABC的面积为， 故答案为：； 【小问3详解】 点B关于y轴的对称点坐标为， 设所在直线解析式为， 则， 解得， ∴所在直线解析式为， 当时，， ∴点P坐标为， 根据轴对称的性质知， 由两点之间线段最短知最小，则最小． 21. 受《乌鸦喝水》故事的启发，利用水桶和体积相同的小球进行了如图操作： （1）已知放入小球后量筒中水面的高度是放入小球个数(个)的一次函数，从图中可以看出函数经过点与点，试确定该函数表达式； （2）当水桶中至少放入_______个小球时，有水溢出． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数实际应用问题，综合考查同学们识图能力、处理信息能力、待定系数法以及函数所反映的对应与变化思想的应用． （1）利用待定系数法即可得到y与x的一次函数关系式； （2）根据（1）可以得出，再进行求解即可得出答案． 【小问1详解】 设， 把，，代入得：， 解得， 即； 【小问2详解】 由， 得， 即至少放入个小球时有水溢出． 22. 已知与成正比例，且时，． （1）求与的函数关系式； （2）将所得函数图象向上平移3个单位，求平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正比例函数的定义设，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出平移后直线与坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式计算． 【小问1详解】 解：由题意，设， ∵时，， ∴， 解得：， ∴与的函数关系式为，即； 【小问2详解】 将所得函数图象向上平移3个单位后得到的函数解析式为：， 设平移后直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时，， ∴， ∴， 当时，即， 解得：， ∴， ∴， ∴平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积为． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，待定系数法，一次函数图象的平移，一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和一次函数图象的平移规律是解题的关键． 23. 2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． （1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． （2）若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】（1） 解：会受到台风的影响. 理由：如图，过点A作，垂足为D， 在中，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， 答：农场A会受到台风的影响； （2） 【解析】 【分析】（1）作，中，根据勾股定理，求出的长，进而求得的长，即可求解， （2）假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，根据勾股定理求出的长，即可， 此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进行计算是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，所以，，由勾股定理，可得 ∵台风的速度是， ∴受台风影响的时间为， 答：台风影响该农场持续时间为． 24. 自推出亚运会纪念品以来，亚运会纪念品迅速成为紧俏商品．某经销店承诺对所有商品明码标价，绝不哄抬物价．如下表所示是该店甲、乙两种亚运会纪念品的进价和售价： 商品价格 甲 乙 进件（元/个） 40 100 售价（元/个） 45 110 该店有一批用3800元购进的甲、乙两种亚运会纪念品库存，预计全部销售后可获毛利润共400元．【毛利润＝（售价﹣进价）*销售量】 （1）该店库存的甲、乙两种亚运会纪念品分别为多少个？ （2）根据预售情况，该店计划增加甲种亚运会纪念品的购进量，减少乙种亚运会纪念品的购进量．已知甲种亚运会纪念品增加的数量是乙种亚运会纪念品减少的数量的3倍，进货价不变，设毛利润为y，乙种亚运会纪念品减少的数量为x． ①求y关于x的关系式； ②若用于购进这两种亚运会纪念品的总资金不超过4000元，可使全部销售后获得的毛利润最大，求出最大毛利润． 【答案】（1）该店库存的甲种亚运会纪念品有20个，乙种甲种亚运会纪念品有30个 （2）①；②最大利润元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，关键是根据毛利润等于两种亚运会纪念品的利润之和列出函数关系式， （1）该店库存的甲种亚运会纪念品有x个，乙种亚运会纪念品有y个，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组即可； （2）根据题意列出函数关系式，求出x的取值范围，由函数的性质求函数最值． 【小问1详解】 解：设该店库存的甲种亚运会纪念品有x个，乙种亚运会纪念品有y个， 由题意，得：， 解得， 答：该店库存的甲种亚运会纪念品有20个，乙种甲种亚运会纪念品有30个； 【小问2详解】 ①根据题意得y关于x的关系式为： ， ②根据题意得， 解得：， ∵， ∴y随着x的增大而增大， ∴当时，y取得最大值，． 25. 我们知道长方形的四个角都是直角，两组对边分别相等． 小亮在参加数学兴趣小组活动时，对一张长方形纸片进行了探究．如图是长方形纸片，点E是边的中点．先将沿着翻折，得到；再将翻折至与重合，折痕是．请你帮助小亮解决下列问题： （1）判断的形状，并说明理由； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）是直角三角形，理由见解答； （2）． 【解析】 【分析】（1）由翻折得，，则，所以是直角三角形； （2）由题意可知，，可得，根据翻折可得，，，，，，，则、、在同一直线上，，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：是直角三角形，理由如下： ∵由翻折得，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 由翻折可知，，，，， ，，， 则、、在同一直线上，， ∴在中，，则， 在中，， ∴在中， 【点睛】此题重点考查长方形的性质、轴对称的性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识与方法，证明、、在同一直线上，是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点B、C的坐标分别为（0，0）、（6，0），A是第一象限内的一点，且△ABC是等边三角形．点D的坐标为（2，0），E是边AB上一动点，连接DE，以DE为边在DE右侧作等边△DEF． （1）求出A点坐标； （2）当点F落在边AC上时，△CDF与△BED全等吗？若全等，请给予证明；若不全等，请说明理由； （3）连接CF，当△CDF是等腰三角形时，直接写出BE的长度． 【答案】（1）（3，）； （2） 全等， 证明：∵△ABC、△DEF都是等边三角形． ∴∠ABC=∠ACB=∠DEF=60°，DE=DF， ∴∠CDF+∠BDE=∠BDE+∠BED=120°， ∴∠CDF=∠BED， ∴△CDF≌△BED（AAS）； （3）5-或3或1+ 【解析】 【分析】（1）过点A作AH⊥BC于H，根据三线合一求出BH，再利用勾股定理求出AH，即可得到点A坐标； （2）根据等边三角形的性质推出∠ABC=∠ACB=∠DEF=60°，DE=DF，由此得到∠CDF=∠BED，即可证得△CDF≌△BED（AAS）； （3）利用三角形外角性质证出∠FDC=∠BED，分三种情况： 当CD=CF=6-2=4时，过点F作FM⊥CD于M，过点D作DN⊥AB于N，证明△NDE≌△MFD（AAS），得到FM=DN，DM=NE，根据∠BDN=30°，求出BN，利用勾股定理求出DN，CM，即可得到BE；当DF=CF时，过点F作FH⊥CD于H，过点D作DG⊥AB于G，证明△DGE≌△FHD（AAS），得到DH=GE==2，求出BG=，即可得到BE；当CD=DE=4时，过点D作DN⊥AB于N，勾股定理求出DN及NE，即可得到BE． 【小问1详解】 解：过点A作AH⊥BC于H，则∠AHB=90°， ∵点B、C的坐标分别为（0，0）、（6，0）， ∴BC=6， ∵△ABC是等边三角形． ∴AB=BC=6， ∵AH⊥BC， ∴BH=HC=3， ∴， ∴A点坐标为（3，）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵∠CDE=∠EBD+∠BED，∠ABC=∠DEF=60°， ∴∠FDC=∠BED， 当CD=CF=6-2=4时，过点F作FM⊥CD于M，过点D作DN⊥AB于N， ∴∠DNE=∠FMD=90°， 又∵DE=DF， ∴△NDE≌△MFD（AAS）， ∴FM=DN，DM=NE， ∵∠ABC=60°，∠BND=90°， ∴∠BDN=30°， ∴BN=， ∴， ∴， ∴NE=DM=， ∴BE=BN+NE=1+=5-； 当DF=CF时，过点F作FH⊥CD于H，过点D作DG⊥AB于G， ∴∠DGE=∠FHD=90°， 又∵DE=DF，∠FDC=∠BED， ∴△DGE≌△FHD（AAS）， ∴DH=GE==2， ∵∠ABC=60°，∠BND=90°， ∴∠BDN=30°， ∴BG=， ∴BE=BG+GE=1+2=3； 当CD=DE=4时，过点D作DN⊥AB于N， ∵∠ABC=60°，∠BND=90°， ∴∠BDN=30°， ∴BN=， ∴， ∴， ∴BE=BN+NE=1+； 综上，BE的长度为5-或3或1+． 【点睛】从考查了等边三角形的性质，勾股定理，等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形30度角的性质，熟记各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $