精品解析：安徽省芜湖中华艺术学校2023-2024学年高一下学期4月期中质量检测数学试题

芜湖顶峰艺术高级中学2023~2024学年度第二学期高一期中质量检测 数学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：必修第二册第六章向量，第七章复数，第八章立体几何8.1~8.4. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合，，则的面积是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5. 某同学为表达对“新冠疫情”抗疫一线医护人员的感激之情，亲手为他们制作了一份礼物，用正方体纸盒包装，并在正方体六个面上分别写了“致敬最美逆行”六个字，该正方体纸盒水平放置的六个面分别用“前面､后面､上面､下面､左面､右面”表示.如图是该正方体的展开图.若图中“行”在正方体的左面，那么在正方体右面的字是（ ） A. 最 B. 美 C. 逆 D. 敬 6. 已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知在中，角所对的边分别为，若，则一定是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 8. 梯形中，，，，，，点E在线段上，点F在线段上，且，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若直线不平行于平面，则下列结论不成立的是（ ） A. 内所有的直线都与异面 B. 内不存在与平行的直线 C. 内所有的直线都与相交 D. 直线与平面有公共点 10. 在中，若，则角的值可以为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，为线段的中点，为线段的中点，为线段上的动点，下列结论正确的是（ ） A. 若为线段的中点，则 B. 的最大值为 C. 的最小值为0 D. 的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知（为虚数单位），则__________. 13. 紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶､石瓢壶､潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的侧面积约为__________. 14. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是边BC边上一点，，，且，则的最小值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数是纯虚数． （1）求实数的值； （2）若复数满足，，求复数． 16. 已知向量，. （1）设向量与的夹角为，求； （2）若向量与向量垂直，求实数m. 17. 记的内角的对边分别为，已知． （1）证明：； （2）若，求的周长． 18. 如图，正方形的边长为6，E是的中点，F是边上靠近点B的三等分点，与交于点M． （1）求的值； （2）已知点P是正方形四条边上的动点，若，求的长度． 19. 已知锐角的内角的对边分别为，． （1）求； （2）若，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 芜湖顶峰艺术高级中学2023~2024学年度第二学期高一期中质量检测 数学 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：必修第二册第六章向量，第七章复数，第八章立体几何8.1~8.4. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先确定复数z在复平面内对应的点，进而可得点的位置. 【详解】， z在复平面内对应的点为，在第三象限. 故选：C. 2. 设向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量减法的定义及坐标运算即可解得. 【详解】. 故选：B. 3. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用正弦定理即可解得. 【详解】∵，，，∴由正弦定理可得，则. 故选：B. 4. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合，，则的面积是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法求面积即可. 【详解】因为为等腰直角三角形，所以，， 根据斜二测画法可得，所以. 故选：B. 5. 某同学为表达对“新冠疫情”抗疫一线医护人员的感激之情，亲手为他们制作了一份礼物，用正方体纸盒包装，并在正方体六个面上分别写了“致敬最美逆行”六个字，该正方体纸盒水平放置的六个面分别用“前面､后面､上面､下面､左面､右面”表示.如图是该正方体的展开图.若图中“行”在正方体的左面，那么在正方体右面的字是（ ） A. 最 B. 美 C. 逆 D. 敬 【答案】A 【解析】 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点以及题意，把“行”放到正方体的左面，然后把平面展开图折成正方体，看“行”的相对面，即可判断. 【详解】把正方体的表面展开图再折成正方体，如图，“行”在正方体的左面，那么在正方体右面的字是“最”． 故选：A． 6. 已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再利用投影向量运算即可求解. 【详解】由题意得， 则在上的投影向量为，故D正确. 故选：D. 7. 已知在中，角所对的边分别为，若，则一定是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角关系，根据二倍角公式化简得，结合三角形内角性质确定关系，即可得三角形形状. 【详解】根据正弦二倍角公式，得， 则得，则， 又因为，则，故， 所以一定是等腰三角形， 故选：C 8. 梯形中，，，，，，点E在线段上，点F在线段上，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将视为基底，表示出运算即可 【详解】，，，，，. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若直线不平行于平面，则下列结论不成立的是（ ） A. 内所有的直线都与异面 B. 内不存在与平行的直线 C. 内所有的直线都与相交 D. 直线与平面有公共点 【答案】ABC 【解析】 【分析】直线不平行于平面，可得或与平面相交．据此可判断出结论． 【详解】直线不平行于平面，可得或与平面相交． 对于A：直线与平面内的直线相交、平行或为异面直线，故A错误； 对于B：当时，平面内存在与直线平行的直线，故B错误； 对于C：当时，内的直线可能与平行，故C错误； 对于D：直线与平面有公共点，故D正确． 故选：ABC． 10. 在中，若，则角的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用同角的商数关系和余弦定理化简即得解. 【详解】解：由余弦定理及，得， 又或. 故选：BC 11. 如图，在中，为线段的中点，为线段的中点，为线段上的动点，下列结论正确的是（ ） A. 若为线段的中点，则 B. 的最大值为 C. 的最小值为0 D. 的最小值为4 【答案】AB 【解析】 【分析】利用向量加法运算化简判断A，建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算结合函数性质求解数量积的最值判断BCD. 【详解】对于A，因为为线段的中点，为线段的中点，所以， ，，两式相加化简得，正确； 如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系， 由题意，设，设， 由知，因为， 所以，解得，所以， 所以，所以，又，所以， 因为，所以， 所以的最大值为，的最小值为，故选项B正确，C错误； 因为，， 所以， 因为，所以当时，有最小值为，故选项D错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知（为虚数单位），则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得，结合复数的运算法则，即可求解. 【详解】由的计算规律，可得，所以. 故答案为： 13. 紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶､石瓢壶､潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的侧面积约为__________. 【答案】 【解析】 【分析】把石瓢壶的壶体近似看成一个圆台，可根据条件求出母线长，利用圆台侧面积公式计算即可. 【详解】根据题意，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图为该圆台的轴截面， 上底面半径为下底面半径高 则该圆台的母线长为 故圆台的侧面积 故答案为：. 14. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是边BC边上一点，，，且，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由等面积法可得：，可得，再结合基本不等式求最值. 【详解】由等面积法可得：， 所以， 所以，可得， 所以， 当且仅当，时取等号，所以的最小值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数是纯虚数． （1）求实数的值； （2）若复数满足，，求复数． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】（1）由复数为纯虚数，可得，从而可求出的值； （2）由（1）知，令，由，，列方程可求出的值，从而可求出复数 【详解】解：（1）由复数为纯虚数，有，得． （2）由（1）知，令，有． 又由，得，有． 由上知或． 16. 已知向量，. （1）设向量与的夹角为，求； （2）若向量与向量垂直，求实数m. 【答案】（1）；（2）0. 【解析】 【分析】（1）用夹角公式算出余弦值，进而算出正弦值； （2）向量垂直即数量积为0，进而求出m. 【详解】（1）， ∴； （2）若向量与向量垂直，则， 即， ，，， ∴，解得：. 17. 记的内角的对边分别为，已知． （1）证明：； （2）若，求的周长． 【答案】（1）证明如下： 由得， 化简得， 由正弦定理可得，故得证. （2）9 【解析】 【分析】（1）先用二倍角公式化简，然后用正弦定理即可得到答案. （2）结合（1）中和，最后利用完全平方式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）及得，， 所以，结合，则， 则，则的周长为. 18. 如图，正方形的边长为6，E是的中点，F是边上靠近点B的三等分点，与交于点M． （1）求的值； （2）已知点P是正方形四条边上的动点，若，求的长度． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）建立适当的平面直角坐标系，求出的坐标，由向量坐标的数量积公式即可求解； （2）首先由，，得出点满足的两条直线方程，联立得的坐标，进一步由，对分类讨论即可求出它的位置，由向量模的坐标公式即可求解. 【小问1详解】 如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系． 则，，，， 所以，， 所以． 【小问2详解】 设， 所以， 因为， 所以， 所以． 因为，，， 所以，所以， 所以，所以，，所以． 由题得，又，由图易知，点P在线段上或线段， ①若P在上，设，，，，则， 解得， 所以，． ②若P在上，设，，，，则， 解得， 所以，． 综上，的长度为或． 19. 已知锐角的内角的对边分别为，． （1）求； （2）若，求面积的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，所以有，从而得，结合，即可得答案； （2）由是锐角三角形及，可得，由三角形面积公式得，结合正弦定理及，求出的取范围,即可得答案. 【小问1详解】 解：由正弦定理可得， 又由， 因为，可得， 因为，可得，所以， 又因为， 所以； 【小问2详解】 解：因为是锐角三角形，由（1）知且，可得， 因为，所以， 由三角形面积公式得， 又由正弦定理且， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 即面积的取值范围为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $