2025年中考数学二轮复习压轴题之二次函数与三角形问题 讲义

二次函数之三角形问题 一、 等腰三角形存在性问题 1 1、知识导航 1 2、典例精析 5 3、中考真题演练 6 二、 直角三角形的存在性问题 27 1、知识导航 27 2、典例精析 29 3、中考真题演练 31 三、 相似三角形存在性问题 53 1、知识导航 53 2、典例精析 53 3、中考真题演练 56 一、 等腰三角形存在性问题 1、知识导航 等腰三角形存在性问题 【问题描述】 如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形． 【几何法】“两圆一线”得坐标 （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC； （2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC； （3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． 【注意】若有三点共线的情况，则需排除． 作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求． 同理可求，下求． 显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、B均往下移一个单位，当点A坐标为（1,0），点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解： 而对于本题的，或许代数法更好用一些． 【代数法】表示线段构相等 （1）表示点：设点坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3）， （2）表示线段：， （3）分类讨论：根据，可得：， （4）求解得答案：解得：，故坐标为． 【小结】 几何法：（1）“两圆一线”作出点； （2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标． 代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C； （2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC； （3）根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC； （4）列出方程求解． 问题总结： （1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上； （2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； （3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口． 2、典例精析 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接． （1）求二次函数的表达式； （2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由． 【分析】 （1）； （2）可用铅垂法，当点D坐标为时，△ADE面积最大，最大值为14； （3）这个问题只涉及到A、E两点及直线x=-1（对称轴） ①当AE=AP时，以A为圆心，AE为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点． ∵AE=，∴，又AH=3，∴， 故、． ②当EA=EP时，以E点为圆心，EA为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点． 过点E作EM垂直对称轴于M点，则EM=1，， 故、． ③当PA=PE时，作AE的垂直平分线，与对称轴交点即为所求P点． 设，， ∴，解得：m=1． 故． 综上所述，P点坐标为、、、、． 【补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决． 3、中考真题演练 1．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标； 2．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．    (1)求此二次函数的解析式； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图中探索）． 3．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．    (1)求b，c的值． (2)点是抛物线上的动点 ②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．    (1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标； (2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形的边长； 5．（2023·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．    (1)直接写出抛物线和直线的解析式； (2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值； 6．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点．      (1)求抛物线的函数表达式； (2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标； 7．（2023·四川凉山·中考真题）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点． ①当取得最大值时，求的值和的最大值； ②当是等腰三角形时，求点的坐标． 8．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围． 9．（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 二、 直角三角形的存在性问题 1、知识导航 【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标． 【几何法】两线一圆得坐标 （1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C； （2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C； （3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角） 重点还是如何求得点坐标，求法相同，以为例： 【构造三垂直】 求法相同，以为例： 构造三垂直步骤： 第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线； 第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似． 【代数法】表示线段构勾股 还剩下待求，不妨来求下： （1）表示点：设坐标为（m，0），又A（1，1）、B（5，3）； （2）表示线段：，，； （3）分类讨论：当为直角时，； （4）代入得方程：，解得：． 还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法： 互相垂直的两直线斜率之积为-1． 考虑到直线与AB互相垂直，，可得：， 又直线过点A（1,1），可得解析式为：y=-2x+3， 所以与x轴交点坐标为，即坐标为． 确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上~ 【小结】 几何法：（1）“两线一圆”作出点； （2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数． 代数法：（1）表示点A、B、C坐标； （2）表示线段AB、AC、BC； （3）分类讨论①AB²+AC²=BC²、②AB²+BC²=AC²、③AC²+BC²=AB²； （4）代入列方程，求解． 如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等． 2、典例精析 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）请在轴上找一点，使的周长最小，求出点的坐标； （3）试探究：在拋物线上是否存在点，使以点，，为顶点，为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】 （1）抛物线：，直线AC：y=3x+3； （2）看图，M点坐标为（0,3）与C点重合了． （3）考虑到AC为直角边，故分别过A、C作AC的垂线，与抛物线交点即为所求P点， 有如下两种情况， 先求过A点所作垂线得到的点P： 设P点坐标为， 则PM=m+1，AM=， 易证△PMA∽△ANC，且AN=3，CN=1， ∴，解得：，（舍）， 故第1个P点坐标为； 再求过点C所作垂线得到的点P： ，CN=m， ，解得：，（舍）， 故第2个P点坐标为． 综上所述，P点坐标为或． 3、中考真题演练 1．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴相交于点，其顶点是C．      (1)_______； (2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围； (3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求点P的坐标． 2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．    (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是___________； (2)点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线的解析式是___________．当时，x的取值范围是___________． (3)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由． 3．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 4．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，且平行于轴，与抛物线交于两点（在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．     　　   (1)当时，求点的坐标； (2)连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式； 5．（2022·山东济南·中考真题）抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式和t，k的值； (2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标； 6．（2022·四川广安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）． (1)求此抛物线的函数解析式． (3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标． 7．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为，连接、． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)如图1，若点是线段的中点，连接，在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 8．（2022·四川雅安·中考真题）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）． (1)求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标； (2)在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由； 8（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 三、 相似三角形存在性问题 1、知识导航 在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”． 【相似判定】 判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形； 判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形； 判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形． 以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题． 【题型分析】 通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题． 【思路总结】 根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！ 所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角． 然后再找： 思路1：两相等角的两边对应成比例； 思路2：还存在另一组角相等． 事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1． 一、如何得到相等角？ 二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？ 搞定这两个问题就可以了． 2、典例精析 例一、如图，抛物线与轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，-3）．点Q是抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标． 【分析】 （1）抛物线：； （2）思路：考虑到△ABC和△BOE有一组公共角，公共角必是对应角． ∠ABC的两边BA、BC与∠OBE的两边BO、BE成比例即可，故可得： 或． 解得：或， 故E点坐标为或． 当E点坐标为时，直线OE解析式为， 联立方程：，解得：，， 此时Q点坐标为或； 当E点坐标为时，直线OE解析式为， 联立方程：，解得：，， 此时Q点坐标为或． 综上所述，Q点坐标为或或或． 说明：过程应详细分类讨论两种情况，分别求出结果． 例二、如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x-1与抛物线交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D． （1）求m、n的值及该抛物线的解析式； （2）如图2，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】 （1）m=1，n=3， 抛物线解析式为； （2）思路：平行得相等角，构造两边成比例 由题意得D（5，0），故直线CD解析式为：y=x-5， ∴CD∥AB， ∴∠CDA=∠BAD， 考虑到点Q在线段CD上， ∴或， 解得：或， 故Q点坐标为或． 3、中考真题演练 1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究 如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且，连接，．    (1)求点M的坐标及抛物线的解析式； (3)点D是线段(包含点B，C)上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，请直接写出点Q的坐标； 2．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线交轴于两点（在的左边），交轴于点．    (1)直接写出三点的坐标； (2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于三点，连接．若与相似，求的值； 3．（2023·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．    (1)直接写出抛物线和直线的解析式； (3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1． (1)求抛物线的解析式； (3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由． 5．（2022·湖南·中考真题）如图，已知抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点．    (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标； (2)若四边形为矩形，．点以每秒1个单位的速度从点沿向点运动，同时点以每秒2个单位的速度从点沿向点运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以、、为顶点的三角形与相似时，求运动时间的值； 6．（2022·辽宁·中考真题）抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A(3，0)，点C(0，﹣3)，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．    (1)求抛物线的解析式； (3)如图②，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标． 7．（2022·广西桂林·中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (3)过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标． 8．2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； (3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 9．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次函数之三角形问题 一、 等腰三角形存在性问题 1 1、知识导航 1 2、典例精析 5 3、中考真题演练 6 二、 直角三角形的存在性问题 27 1、知识导航 27 2、典例精析 29 3、中考真题演练 31 三、 相似三角形存在性问题 53 1、知识导航 53 2、典例精析 53 3、中考真题演练 56 一、 等腰三角形存在性问题 1、知识导航 等腰三角形存在性问题 【问题描述】 如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形． 【几何法】“两圆一线”得坐标 （1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC； （2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC； （3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB． 【注意】若有三点共线的情况，则需排除． 作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求． 同理可求，下求． 显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、B均往下移一个单位，当点A坐标为（1,0），点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解： 而对于本题的，或许代数法更好用一些． 【代数法】表示线段构相等 （1）表示点：设点坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3）， （2）表示线段：， （3）分类讨论：根据，可得：， （4）求解得答案：解得：，故坐标为． 【小结】 几何法：（1）“两圆一线”作出点； （2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标． 代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C； （2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC； （3）根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC； （4）列出方程求解． 问题总结： （1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上； （2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； （3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口． 2、典例精析 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接． （1）求二次函数的表达式； （2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由． 【分析】 （1）； （2）可用铅垂法，当点D坐标为时，△ADE面积最大，最大值为14； （3）这个问题只涉及到A、E两点及直线x=-1（对称轴） ①当AE=AP时，以A为圆心，AE为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点． ∵AE=，∴，又AH=3，∴， 故、． ②当EA=EP时，以E点为圆心，EA为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点． 过点E作EM垂直对称轴于M点，则EM=1，， 故、． ③当PA=PE时，作AE的垂直平分线，与对称轴交点即为所求P点． 设，， ∴，解得：m=1． 故． 综上所述，P点坐标为、、、、． 【补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决． 3、中考真题演练 1．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标； 【分析】（1）将，代入，求出,即可得出答案； （2）分别以点为顶点、以点为顶点、当以点为顶点，计算即可； 【详解】（1）解：（1）∵，两点在抛物线上， ∴ 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）令， ∴， 由为等腰三角形，如图甲，    当以点为顶点时，，点与原点重合， ∴； 当以点为顶点时，，是等腰中线， ∴， ∴； 当以点为顶点时， ∴点D的纵坐标为或， ∴综上所述，点D的坐标为或或或． 2．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．    (1)求此二次函数的解析式； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图中探索）． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴， ∴； （3）解：设，， ∵， ∴， 由得， ∴， ∴． 3．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．    (1)求b，c的值． (2)点是抛物线上的动点 ②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：将、代入抛物线中， 可得：，解得：， 即：，； （2） ②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形． 理由如下：由①可知， 由题意可知抛物线的对称轴为直线， ∵轴， ∴，，则， 当点在对称轴左侧时，即时，    ，当时，为等腰直角三角形， 即：，整理得：， 解得：（，不符合题意，舍去） 此时，即点； 当点在对称轴右侧时，即时，    ，当时，为等腰直角三角形， 即：，整理得：， 解得：（，不符合题意，舍去） 此时：，即点； 综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形． 4．（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．    (1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标； (2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形的边长； 【详解】（1）解：由题意可得： ，解得：， 所以抛物线的函数表达式为； 当时，，则顶点M的坐标为． （2）解：如图：过点M作交于D 设点，则, ∴， ∵是等边三角形, ∴, ∴,即，解得：或（舍去） ∴，， ∴该三角形的边长． 5．（2023·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．    (1)直接写出抛物线和直线的解析式； (2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值； 【分析】（1）由题得抛物线的解析式为，将点代入求，进而得抛物线的解析式；设直线的解析式为，将点，的坐标代入求，，进而得直线的解析式． （2）由题得，分别求出，，，对等腰中相等的边进行分类讨论，进而列方程求解； 【详解】（1）解：抛物线过点，， 抛物线的表达式为， 将点代入上式，得， ． 抛物线的表达式为，即． 设直线的表达式为， 将点，代入上式， 得， 解得． 直线的表达式为． （2）解：点在直线上，且， 点的坐标为． ，，． 当为等腰三角形时， ①若，则， 即， 解得． ②若，则， 即， 解得或（舍去）． ③若，则， 即， 解得（舍去）或． 综上，或或． 6．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点．      (1)求抛物线的函数表达式； (2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标； 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，分和两种情况，分别根据等腰三角形性质和两点坐标距离公式列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设， 根据题意，是以为腰的等腰三角形，有两种情况： 当时，点B和点P关于y轴对称，    ∵，∴； 当时，则， ∴， 整理，得， 解得，， 当时，，则， 当时，，则， 综上，满足题意的点B的坐标为或或； 7．（2023·四川凉山·中考真题）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点． ①当取得最大值时，求的值和的最大值； ②当是等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①当时，有最大值，最大值为；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出，进而求出直线的解析式为，则，进一步求出，由此即可利用二次函数的性质求出答案；②设直线与x轴交于H，先证明是等腰直角三角形，得到；再分如图3-1所示，当时， 如图3-2所示，当时， 如图3-3所示，当时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点， ∴抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴抛物线顶点P的坐标为， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为 （2）解：①∵抛物线解析式为，点C是抛物线与y轴的交点， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线与抛物线交于点，与直线交于点 ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ②设直线与x轴交于H， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 如图3-1所示，当时， 过点C作于G，则 ∴点G为的中点， 由（2）得， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 如图3-2所示，当时，则是等腰直角三角形， ∴，即， ∴点E的纵坐标为5， ∴， 解得或（舍去）， ∴ 如图3-3所示，当时，过点C作于G， 同理可证是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴，， ∴， ∴ 综上所述，点E的坐标为或或 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 8．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围． 【答案】(1)抛物线的表达式为，顶点D的坐标为； (2)点M的坐标为； (3)的取值范围为． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）作点B关于原点的对称点，连接交轴于点M，此时的周长最小，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可； （3）以为边在的下方作等边三角形，得到点在以为圆心，1为半径的上，据此求解即可． 【详解】（1）解：由于抛物线经过点和点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点D的坐标为； （2）解：∵点，对称轴为直线， ∴点， ∵，， ∴长为定值， 作点B关于原点的对称点，则，连接交轴于点M， 则， ∴，此时的周长最小， 设直线的解析式为， 则， 解得，， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点M的坐标为； （3）解：以为边在的下方作等边三角形，作轴于点，连接，， ∵等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点在以为圆心，1为半径的上， ， 当点在线段上时，有最小值为； 当点在射线上时，有最大值为； ∴的取值范围为． 【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 9．（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得的坐标，根据勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，进而根据得出，连接，设交轴于点，则得出是等腰直角三角形，进而得出，则点与点重合时符合题意，，过点作交抛物线于点，得出直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解； （3）勾股定理求得，根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为； （2）由，当时，，则 ∵，则，对称轴为直线 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 当时，，则 ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∴ 连接，设交轴于点，则 ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又 ∴ ∴ ∴点与点重合时符合题意， 如图所示，过点作交抛物线于点， 设直线的解析式为，将代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：， ∴ 综上所述，或； （3）解：∵，， ∴ ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中 ∴， ①当时，，解得：或 ②当时，，解得： ③当时，，解得：或（舍去） 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 二、 直角三角形的存在性问题 1、知识导航 【问题描述】如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1,1），点B坐标为（5,3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标． 【几何法】两线一圆得坐标 （1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C； （2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C； （3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角） 重点还是如何求得点坐标，求法相同，以为例： 【构造三垂直】 求法相同，以为例： 构造三垂直步骤： 第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线； 第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似． 【代数法】表示线段构勾股 还剩下待求，不妨来求下： （1）表示点：设坐标为（m，0），又A（1，1）、B（5，3）； （2）表示线段：，，； （3）分类讨论：当为直角时，； （4）代入得方程：，解得：． 还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法： 互相垂直的两直线斜率之积为-1． 考虑到直线与AB互相垂直，，可得：， 又直线过点A（1,1），可得解析式为：y=-2x+3， 所以与x轴交点坐标为，即坐标为． 确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上~ 【小结】 几何法：（1）“两线一圆”作出点； （2）构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数． 代数法：（1）表示点A、B、C坐标； （2）表示线段AB、AC、BC； （3）分类讨论①AB²+AC²=BC²、②AB²+BC²=AC²、③AC²+BC²=AB²； （4）代入列方程，求解． 如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等． 2、典例精析 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）请在轴上找一点，使的周长最小，求出点的坐标； （3）试探究：在拋物线上是否存在点，使以点，，为顶点，为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】 （1）抛物线：，直线AC：y=3x+3； （2）看图，M点坐标为（0,3）与C点重合了． （3）考虑到AC为直角边，故分别过A、C作AC的垂线，与抛物线交点即为所求P点， 有如下两种情况， 先求过A点所作垂线得到的点P： 设P点坐标为， 则PM=m+1，AM=， 易证△PMA∽△ANC，且AN=3，CN=1， ∴，解得：，（舍）， 故第1个P点坐标为； 再求过点C所作垂线得到的点P： ，CN=m， ，解得：，（舍）， 故第2个P点坐标为． 综上所述，P点坐标为或． 3、中考真题演练 1．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴相交于点，其顶点是C．      (1)_______； (2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围； (3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求点P的坐标． 【详解】（1）解：把代入得， ， 解得， 故答案为； （2）解：过点D作DM⊥OA于点M，    ∵， ∴二次函数的解析式为 设， ∵D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，， ∴， 解得m=或m=8（舍去）， 当m=时，， ∴， ∵， ∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为， 把代入得， 解得a=3或a=（舍去）， ∴平移后得抛物线为 ∵过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降， 在的对称轴x=的左侧，y随x的增大而减小，此时原抛物线也是y随x的增大而减小， ∴； （3）解：由，设平移后的抛物线为，则顶点为， ∵顶点为在上， ∴， ∴平移后的抛物线为，顶点为， ∵原抛物线， ∴原抛物线的顶点，对称轴为x=1， ∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q， ∴， ∵点Q、C在直线x=1上，平移后的抛物线顶点P在原抛物线顶点C的上方，两抛物线的交点Q在顶点P的上方， ∴∠PCQ与∠CQP都是锐角， ∵是直角三角形， ∴∠CPQ=90°， ∴， ∴化简得， ∴p=1（舍去），或p=3或p=， 当p=3时，， 当p=时，， ∴点P坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．    (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是___________； (2)点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线的解析式是___________．当时，x的取值范围是___________． (3)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，，或 (3)是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可； （2）把代入求出解析式，再求与的交点即为，最后根据函数图象判断当时，x的取值范围； （3）根据“梦之点”的定义求出点A，B的坐标，再求出顶点C的坐标，最后求出，，，即可判断的形状． 【详解】（1）∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形“梦之点”满足，， ∴点，是矩形“梦之点”，点不是矩形“梦之点”， 故答案为：，； （2）∵点是反比例函数图象上的一个“梦之点”， ∴把代入得， ∴， ∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等， ∴“梦之点”都在直线上， 联立，解得或， ∴， ∴直线的解析式是， 函数图象如图：    由图可得，当时，x的取值范围是或； 故答案为：，，或； （3）是直角三角形，理由如下： ∵点A，B是抛物线上的“梦之点”， ∴联立，解得或， ∴，， ∵ ∴顶点， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题是函数的综合题，考查了一次函数、反比例函数、二次函数，理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，正确理解新定义是解决此题的关键． 3．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将、、代入抛物线解析式求解即可； （3）过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，设， 可求，，由，可求，进而求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， 抛物线的解析式为． （3）解：存在， 如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，    ∵抛物线的对称轴为直线， 设， ， ， ， ， ， 解得：， ； 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线解析式为， ，且经过， 直线解析式为， 当时，，   ； 综上所述：存在，的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键． 4．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，且平行于轴，与抛物线交于两点（在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为．     　　   (1)当时，求点的坐标； (2)连接，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式； 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而得出顶点坐标，根据对称性，即可求解． （2）由题意得，的顶点与的顶点关于直线对称，，则抛物线．进而得出可得，①当时，如图1，过作轴，垂足为．求得，代入解析式得出，求得．②当时，如图2，过作，交的延长线于点．同理可得，得出，代入解析式得出代入，得；③当时，此情况不存在． 【详解】（1）∵， ∴抛物线的顶点坐标． ∵，点和点关于直线对称． ∴． （2）由题意得，的顶点与的顶点关于直线对称， ∴，抛物线． ∴当时，可得． ①当时，如图1，过作轴，垂足为． ∵， ∴． ∵ ∴． ∴． ∵， ∴． ∵直线轴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵点在图像上， ∴． 解得或． ∵当时，可得，此时重合，舍去．当时，符合题意． 将代入， 得． 　　   　　   ②当时，如图2，过作，交的延长线于点． 同理可得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵点在图像上， ∴．解得或． ∵， ∴．此时符合题意． 将代入，得． ③当时，此情况不存在． 综上，所对应的函数表达式为或． 5．（2022·山东济南·中考真题）抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式和t，k的值； (2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标； 【详解】（1）解：∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴，（舍）， ∴． ∵在直线上， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为． （2）解：如图，作轴于点， 对于，令x=0，则y=-6， ∴点C（0，-6），即OC=6， ∵A（3，0）， ∴OA=3， ∵点P的横坐标为m． ∴， ∴，， ∵∠CAP=90°， ∴， ∵， ∴， ∵∠AOC=∠AMP=90°， ∴， ∴， ∴，即， ∴（舍），， ∴， ∴点． 6．（2022·四川广安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）． (1)求此抛物线的函数解析式． (3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (3)P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），， 【分析】（1）直接将B（0，-4），C（2，0）代入，即可求出解析式； （3）分三种情况讨论，①当∠PAB=90°时，即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，将A（-4,0）代入得，解得：，此时P点坐标为：（-1,3）；②当∠PBA=90°时，即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，将B（0，-4）代入得，，此时P点坐标为：（-1,-5）；③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，由于PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，=-1，则此时P点坐标为：，． 【详解】（1）解：将B（0，-4），C（2，0）代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的函数解析式为：． （3）①当∠PAB=90°时， 即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：， 将A（-4,0）代入得，， 解得：， ∴PA所在直线解析式为：， ∵抛物线对称轴为：x=-1， ∴当x=-1时，， ∴P点坐标为：（-1，3）； ②当∠PBA=90°时， 即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：， 将B（0，-4）代入得，， ∴PA所在直线解析式为：， ∴当x=-1时，， ∴P点坐标为：（-1，-5）； ③当∠APB=90°时，设P点坐标为：， ∴PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：， ∵PA⊥PB， ∴=-1， 解得：，， ∴P点坐标为：， 综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，时，△PAB为直角三角形． 【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与一次函数、三角形的综合，灵活运用所学知识是解题的关键． 7．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为，连接、． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)如图1，若点是线段的中点，连接，在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)；A（-1，0）； (2)存在E（0，2）或（0，-1），使得是以为斜边的直角三角形； 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）先根据中点坐标公式可得点，设点E（0，m），再根据两点坐标公式可得，，，再由勾股定理，即可求解； 【详解】（1）解：把点和点代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 令y=0，则， 解得：， ∴点A（-1，0）； （2）解：存在，理由如下： ∵点A（-1，0），点，点是线段的中点， ∴点， 设点E（0，m）， ∴， ， ， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， 整理得：， 解得：或-1， ∴点E的坐标为（0，2）或（0，-1）； 8．（2022·四川雅安·中考真题）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）． (1)求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标； (2)在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)E的坐标为：或或或 【分析】（1）根据题意可设抛物线为再代入C的坐标可得函数解析式，化为顶点式可得顶点坐标； （2）如图，由可得抛物线的对称轴为：设 而A（﹣1，0），C（0，-3），再利用勾股定理分别表示 再分三种情况讨论即可； 【详解】（1）解： 二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴设二次函数为： 把C（0，﹣3）代入抛物线可得： 解得： ∴抛物线为： （2）如图，由 可得抛物线的对称轴为： 设 而A（﹣1，0），C（0，-3）， 当时，， 解得 当时， 解得： 当时， 整理得： 解得： 综上：E的坐标为：或或或 9．（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，最小值为 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标表示两点距离，二次函数最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）可求，设，由，得，则 ，解得，（舍去），故； （3）分当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，得到这个面积是关于m的二次函数，进而求最值即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图： 由得抛物线对称轴为直线， ∵两点关于抛物线对轴对称， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴， ∴； （3）存在，理由： 当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时， 设点，则点，设直线交轴于点， 设直线表达式为：， 代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得 则， 则， 则 ， 即存在最小值为； 当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时， 同上可求直线表达式为：， 令，得 则， 则， 则 即存在最小值为； 当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方同理可求， 即存在最小值为， 综上所述，的面积是否存在最小值，且为． 三、 相似三角形存在性问题 1、知识导航 在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”． 【相似判定】 判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形； 判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形； 判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形． 以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题． 【题型分析】 通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题． 【思路总结】 根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！ 所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角． 然后再找： 思路1：两相等角的两边对应成比例； 思路2：还存在另一组角相等． 事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1． 一、如何得到相等角？ 二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？ 搞定这两个问题就可以了． 2、典例精析 例一、如图，抛物线与轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，-3）．点Q是抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标． 【分析】 （1）抛物线：； （2）思路：考虑到△ABC和△BOE有一组公共角，公共角必是对应角． ∠ABC的两边BA、BC与∠OBE的两边BO、BE成比例即可，故可得： 或． 解得：或， 故E点坐标为或． 当E点坐标为时，直线OE解析式为， 联立方程：，解得：，， 此时Q点坐标为或； 当E点坐标为时，直线OE解析式为， 联立方程：，解得：，， 此时Q点坐标为或． 综上所述，Q点坐标为或或或． 说明：过程应详细分类讨论两种情况，分别求出结果． 例二、如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x-1与抛物线交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D． （1）求m、n的值及该抛物线的解析式； （2）如图2，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】 （1）m=1，n=3， 抛物线解析式为； （2）思路：平行得相等角，构造两边成比例 由题意得D（5，0），故直线CD解析式为：y=x-5， ∴CD∥AB， ∴∠CDA=∠BAD， 考虑到点Q在线段CD上， ∴或， 解得：或， 故Q点坐标为或． 3、中考真题演练 1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究 如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且，连接，．    (1)求点M的坐标及抛物线的解析式； (3)点D是线段(包含点B，C)上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与相似，请直接写出点Q的坐标； 【分析】（1）根据点M在y轴负半轴且可得点M的坐标为，利用待定系数法可得抛物线的解析式为； （3）由可知，要使点Q，N，C为顶点的三角形与相似，则以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形，从而分和两种情况讨论，①当，可推导B与点Q重合，，即此时符合题意，利用求抛物线与x轴交点的方法可求出点Q的坐标；②当时，可推导，即此时符合题意，再证明，从而得到，再设点的横坐标为q，则，，从而得到，解得q的值，从而得到点Q的坐标，最后综合①②即可； 【详解】（1）解：∵点M在y轴负半轴且， ∴ 将，代入，得 解得 ∴抛物线的解析式为 （3），， 补充求解过程如下： ∵在中，，以点Q，N，C为顶点的三角形与相似， ∴以点Q，N，C为顶点的三角形也是直角三角形， 又∵轴，直线交直线于点N， ∴，即点N不与点O是对应点． 故分为和两种情况讨论： ①当时，由于轴， ∴轴，即在x轴上， 又∵点Q在抛物线上， ∴此时点B与点Q重合， 作出图形如下：      此时， 又∵ ∴，即此时符合题意， 令， 解得：(舍去) ∴点Q的坐标，也即点B的坐标是． ②当时，作图如下：    ∵轴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴，即此时符合题意， ∵， ∴，即 ∵，， ∴ ∴， 设点的横坐标为q，则，， ∴， ∴， 解得：(舍去)， ∴， ∴点Q的坐标是 综上所述：点Q的坐标是，； 2．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线交轴于两点（在的左边），交轴于点．    (1)直接写出三点的坐标； (2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于三点，连接．若与相似，求的值； 【分析】（1）令，解一元二次方程求出值可得、两点的坐标，令求出值可得点坐标，即可得答案； （2）分和两种情况，利用相似三角形的性质分别列方程求出值即可得答案； 【详解】（1）∵抛物线解析式为， ∴当时，， 解得：，， 当时，， ∴，，． （2）解：是直线与抛物线的交点， ， ①如图，若时， ， ∴ ， ∴， 解得，（舍去）或． ②如图，若时．过作轴于点． ， ∴， ∴， ， ， ∴ ， ∴，， ， ∴， 解得，（舍去）或．    综上，符合题意的的值为2或． 3．（2023·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．    (1)直接写出抛物线和直线的解析式； (3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题得抛物线的解析式为，将点代入求，进而得抛物线的解析式；设直线的解析式为，将点，的坐标代入求，，进而得直线的解析式． （3）对点在点左侧或右侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解，进而可得，的坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点，， 抛物线的表达式为， 将点代入上式，得， ． 抛物线的表达式为，即． 设直线的表达式为， 将点，代入上式， 得， 解得． 直线的表达式为． （3）解：点与点相对应， 或． ①若点在点左侧， 则，，． 当，即时， 直线的表达式为， ，解得或（舍去）． ，即． ，即， 解得． ，． 当，即时， ，， ，即， 解得（舍去）或（舍去）． ②若点在点右侧， 则，． 当，即时， 直线的表达式为， ，解得或（舍去）， ， ，即， 解得． ，． 当，即时， ，． ，即， 解得或（舍去）． ，． 综上，，或，或，． 【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，平面直角坐标系中两点距离的算法，相似三角形的性质与判定等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 4．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1． (1)求抛物线的解析式； (3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y=-x2+2x+3； (3)存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或 【分析】（1）由抛物线的对称轴可得点B的坐标，由此设出交点式，代入点C的坐标，即可得出抛物线的解析式； （3）由抛物线的对称性可得出点E的坐标，点D的坐标，根据两点间的距离公式可得出AD，DE，AE的长，可得出△ADE是直角三角形，且DE∶AE=1：3，再根据相似三角形的性质可得出EF和FM的比例，由此可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：∵顶点D的横坐标为1， ∴抛物线的对称轴为直线x=1， ∵A（-1，0）， ∴B（3，0）， 设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3）， 把C（0，3）代入抛物线的解析式得： -3a=3，解得a=-1， ∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3； （3）解：存在，理由如下： ∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴D（1，4）， 由抛物线的对称性得：E（2，3）， ∵A（-1，0）， ∴， ∴， ∴△ADE是直角三角形，且∠AED=90°，DE∶AE=1∶3， ∵点M在直线l下方的抛物线上， 设，则t＞2或t＜0， ∵MF⊥l， ∴点F（t，3）， ∴，， ∵以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似， ∴或， ∴或， 解得t=2（舍去） 或t=3或t=-3或（舍去）或， ∴点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或， 综上所述，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，圆内四边形的性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等，第（2）问得出四点共固是解题关键；第（3）问得出△ADE是直角三角形并得出AD∶AE的值是解题关键． 5．（2022·湖南·中考真题）如图，已知抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点．    (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标； (2)若四边形为矩形，．点以每秒1个单位的速度从点沿向点运动，同时点以每秒2个单位的速度从点沿向点运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以、、为顶点的三角形与相似时，求运动时间的值； 【答案】(1)；顶点为 (2)或 【分析】（1）设二次函数表达式为：，将、代入，进行计算即可得，根据二次函数的性质即可得； （2）依题意，秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为，分情况讨论：①当时，②当时，进行解答即可得； 【详解】（1）解：设二次函数表达式为：， 将、代入得： ， 解得，， 抛物线的函数表达式为：， 又，， 顶点为； （2）解：依题意，秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为． ①当时， ， 解得； ②当时， ， 解得； 综上得，当或时，以、、为顶点的三角形与相似； 6．（2022·辽宁·中考真题）抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A(3，0)，点C(0，﹣3)，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．    (1)求抛物线的解析式； (3)如图②，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3 (3)Q点坐标为(﹣7，5)或(﹣12，5)或(3，﹣10)或(3，﹣5) 【分析】（1）用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）先分别求出直线AE、AC的解析式，进而求出点B（1，2），D（1，0），F（1，﹣2），过点P作x轴垂线交AC于点M，交x轴于点N，设P（m，m2﹣2m﹣3），则M（m，m﹣3），由面积关系求出P点的横坐标； （3）分类讨论①当△CDF∽△QAE时， ；②当△CDF∽△AQE时，；③当△CDF∽△EQA时， ；④当△CDF∽△QEA时， ．分别求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：将A（3，0），点C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c， ∴， 解得， ∴y＝x2﹣2x﹣3； （3）∵C（0，﹣3），D（1，0），F（1，﹣2）， ∴CD＝，CF＝，DF＝2， ∵E（﹣2，5），A（3，0）， ∴AE＝5， 设Q（x，y）， ①当△CDF∽△QAE时， ∴＝＝， ∴AQ＝5，EQ＝5， ∴， 解得或（舍）， ∴Q（﹣7，5）； ②当△CDF∽△AQE时，， ∴＝＝， ∴AQ＝5，QE＝10， ∴， 解得（舍）或， ∴Q（﹣12，5）； ③当△CDF∽△EQA时， ， ∴＝＝， ∴EQ＝5，AQ＝10， ∴， 解得或（舍）， ∴Q（3，﹣10）； ④当△CDF∽△QEA时， ， ∴＝＝， ∴EQ＝5，AQ＝5， ∴， 解得或（舍）， ∴Q（3，﹣5）； 综上所述：Q点坐标为（﹣7，5）或（﹣12，5）或（3，﹣10）或（3，﹣5）． 【点睛】本题主要是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形面积，相似三角形的判定和性质，利用数形结合和分类讨论思想解答是解题的关键． 7．（2022·广西桂林·中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (3)过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标． 【答案】(1)A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，4) (3)(，)或(，)或(，) 【分析】（1）由y＝﹣x2+3x+4可得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）； （3）由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，设Q（，t），则Q（，t+1），M（0，t+1），N（，0），知BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，①当＝时，＝，可解得Q（，）或（，）；②当＝时，＝，得Q（，）． 【详解】（1）解：在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4， ∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）． （3）如图： 由y＝﹣x2+3x+4得，抛物线对称轴为直线， 设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0）， ∵B（4，0），C（0，4）； ∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|， ∵∠CMP＝∠QNB＝90°， ∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝， ①当＝时，＝， 解得t＝或t＝， ∴Q（，）或（，）； ②当＝时，＝， 解得t＝或t＝（舍去）， ∴Q（，）， 综上所述，Q的坐标是(，)或(，)或(，)． 【点睛】本题主要考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，线段和的最小值，相似三角形的性质及应用等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 8．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； (3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)相等，理由见解析 【分析】（1）根据顶点为，利用求出，再将代入解析式即可求出，即可得出函数表达式； （2）延长交x轴于点D，由（1）知抛物线的解析式表达式为，求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，则，利用两点间距离公式求出，易证，得到，由，即可证明； （3）过点作轴，交x轴于点G，利用抛物线解析式求出，求出，根据，易证，得到，由，即，求出，得到，即点的横坐标为，由折叠的性质得到，求出直线的解析式为，进而求出，得到，利用三角形面积公式求出，则，即可证明结论． 【详解】（1）解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为， ， ， 将代入解析式，则， ， 抛物线的解析式表达式为； （2）证明：如图1，延长交x轴于点D， 由（1）知抛物线的解析式表达式为，则， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得： 直线的解析式为，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作轴，交x轴于点G， 令，即， 解得：， 根据题意得：， ， 轴，轴， ， ， ， ，即， ， ， 点的横坐标为， 由折叠的性质得到， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，涉及二次函数的性质，二次函数解析式，一次函数的解析式，折叠的性质，二次函数与三角形相似的综合问题，二次函数与面积综合问题，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 9．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①当时，有最大值为；②当P的坐标为或时，与相似 【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标； （2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可； ②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可． 【详解】（1）解：把，，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （2）解：①设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； ②∵，， ∴， 又， ∴， 又轴， ∴轴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴轴， ∴P的纵坐标为3， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴， ∴P的坐标为； 当时，如图，过B作于F， 则，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴P的坐标为 综上，当P的坐标为或时，与相似． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$