精品解析：福建省莆田市仙游县山立学校2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题

山立学校2022—2023学年上学期高一年期中考 数 学 试 卷 姓名______ 班级______ 座号______ 一、单选题（本题共8小题，每小题5分共40分，每小题都只有一个选项是正确的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集、并集定义求解即得. 【详解】由题意，，则. 故选：A. 2. 设命题则命题的否定为（ ） A. B. C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由带量词命题的否定形式的规定写出结果，应包括：否定量词，否定结论. 【详解】命题的否定是“，”. 故选：D. 3. 条件“”是条件“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充要条件的判断方法分别考虑即得. 【详解】由，若，则得不到，即条件“”不是条件“”成立的充分条件； 又由知，故由不等式的性质可得，，即条件“”是条件“”成立的必要条件； 故条件“”是条件“”成立的必要不充分条件. 故选：B. 4. 下面函数中既是奇函数又是上单调递增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义和在上的单调性易得. 【详解】由奇函数的定义，函数的定义域关于原点对称，排除D项， 又由，排除A项， 因在上单调递减，故排除B项， 而是奇函数，在上单调递增，符合要求. 故选：C. 5. 函数y＝ln（1﹣x）的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数的定义域和特殊点，判断出正确选项. 【详解】由，解得，也即函数的定义域为，由此排除A,B选项.当时，，由此排除D选项.所以正确的为C选项. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数图像识别，属于基础题. 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，将分别与中间值比较大小即得. 【详解】因函数是减函数，故， 又是增函数，故， 而函数在上是增函数，故， 故得. 故选：A. 7. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（） A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 【答案】C 【解析】 【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解. 【详解】由，当时，， 则. 故选：C. 8. 设函数若为奇函数，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分段函数得，再利用为奇函数得，，代入计算即得. 【详解】因是奇函数， 故. 故选：A. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分共20分.在每小题给出的选项中，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9. 下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据元素与集合，集合之间的关系易判断各选项. 【详解】对于A，因，故A错误； 对于B，是自然数，故B正确； 对于C，因，故，即C正确； 对于D，由可得，即，故D错误. 故选：BC. 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是增函数 C. D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据函数奇偶性的定义分析判断，对于B，根据增函数的定义分析判断，对于C，根据题意求出的解析式，再求值判断，对于D，由解方程求解. 【详解】对于A，当时，， 当时，， 当时，，也满足， 所以是奇函数，所以A正确， 对于B，因为当时，是常函数，不是增函数，所以B错误， 对于C，由题意得， 所以，所以C错误， 对于D，因为，所以由，得，所以D正确. 故选：AD 11. 若，则下列式子有最小值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由条件推出，再依次对选项进行判断.对于A，D,可以直接或间接运用基本不等式求出其最小值；对于B，可以在消元后，运用函数在上的单调性排除；对于C，直接运用重要不等式转化即得. 【详解】由可得，. 对于A，因，当且仅当时取等号，即有最小值为2，故A正确； 对于B，因，因在上单调递增，故函数无最小值，即无最小值，故B错误； 对于C，由，当且仅当时取等号，即有最小值为2，故C正确； 对于D，由，由A项知，有最小值为2，即D正确. 故选：ACD. 12. 已知，则下列结论正确的是（　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据对数的运算性质可判断；对B，根据换底公式即可可判断；对C，根据换底公式即可判断，对D，设新函数令，分类讨论的取值即可判断. 【详解】对A，根据对数的运算性质需要底相同时才有运算法则，故A错误； 对B，利用换底公式可得，故B正确； 对C，利用换底公式可得，故C正确； 对D，令，， 当，是减函数，所以，故， 当时，是增函数，所以，故， 综上所述：，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（每小题5分，共20分） 13. 已知幂函数的图象关于y轴对称，则m的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的知识求得的可能取值，根据图象关于轴对称求得的值. 【详解】由于是幂函数，所以，解得或. 当时，，图象关于轴对称，符合题意. 当时，，图象关于原点对称，不符合题意. 所以的值为. 故答案为： 14. 函数的图象恒过定点______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的性质即可令求解. 【详解】令，解得，所以， 故函数的图象恒过定点， 故答案为： 15. 函数，的最大值为____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据对勾函数的单调性可求出结果. 【详解】因为在上递减，在上递增， 所以在或在时，取得最大值， 因为，， 所以， 所以函数，的最大值为. 故答案为：. 16. 写出一个定义域为，值域为的函数______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据函数的定义域和值域考虑指数型函数且都可以. 【详解】因函数在上的值域为， 结合常见的基本初等函数，可考虑指数型函数：. 故答案为：（答案不唯一） 四、解答题（本大题共6题，共70分） 17. 已知全集，集合. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数和对数函数的单调性求解两不等式即得； （2）由（1）结论求得，再由交集定义即可求得. 【小问1详解】 由可得，，则，即，故； 又由可得，，即，故. 【小问2详解】 因，，则， 故. 18. 计算化简A，B： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算性质即可求解， （2）根据指数幂的运算即可求解. 【小问1详解】 【小问2详解】 19. 已知关于x的不等式的解集为. （1）求的值； （2）若关于x的不等式的解集为R，求k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式和对应一元二次方程的关系列出方程组，解之即得； （2）将（1）求得的的值代入不等式并整理，由题意得到关于的不等式，解之即得. 【小问1详解】 依题意知，方程有两根为2和3， 则由韦达定理可得，，解得，； 【小问2详解】 由可得，， 依题意需使，，解得，，即. 20. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断奇偶性，并加以证明； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）偶函数，证明如下： 因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数， （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数的性质即可求解， （2）根据偶函数的定义即可代入求解， （3）根据对数的运算性质，结合对数函数的单调性，即可列不等式求解. 【小问1详解】 由题意可得且，解得， 所以定义域为 【小问2详解】 为偶函数，证明略； 【小问3详解】 ，化简得 且， 解得 因此m的取值范围是 21. 某商店对该店某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行分析发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（该月的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）.该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示： x 10 20 25 30 110 120 125 130 已知第10天该商品的日销售收入为121元. （1）求k的值； （2）根据上表中数据，用函数模型，（为常数）来描述该商品的日销售量与时间x的关系，试求出函数的解析式； （3）根据（1）（2）的结论，求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值. 【答案】（1） （2）,（，） （3）121元 【解析】 【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为121元，列出方程解之即得； （2）在表格中任取两组对应值代入，得二元方程组，求解即得； （3）依题列出的解析式，运用基本不等式求出其最小值即得. 【小问1详解】 因为第10天该商品的日销售收入为121元， 即，解得； 【小问2详解】 由表中数据可得，，即， 解得，故,（，） 【小问3详解】 依题意，， 因，，由，当且仅当时等号成立， 即该商品的日销售收入在第10天最小，最小值为121元. 22. 已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性和条件，列出方程组，求解即得函数解析式； （2）将（1）中结论代入不等式，化简后，设，将问题转化成不等式在上恒成立，只需求出在上的最小值即得. 【小问1详解】 由题意，， 由①，可得 ，②， 联立①和②，解得，，； 【小问2详解】 由，将（1）结论代入可得，（*）， 设，则，因时，是增函数，故得， 此时（*）为，即， 依题意，不等式在上恒成立. 而函数在上单调递减，在上单调递增， 故，即时，取得最小值为4， 故，即. 【点睛】思路点睛：本题主要考查抽象函数不等式在给定区间上的恒成立问题，属于难题.解题思路是，先利用函数的奇偶性联立方程组求出解析式，再将不等式化简后进行换元并变量分离，从而将其转化成不等式在上恒成立问题，即只需求得的最小值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山立学校2022—2023学年上学期高一年期中考 数 学 试 卷 姓名______ 班级______ 座号______ 一、单选题（本题共8小题，每小题5分共40分，每小题都只有一个选项是正确的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题则命题的否定为（ ） A. B. C. D. ， 3. 条件“”是条件“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 下面函数中既是奇函数又是上单调递增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数y＝ln（1﹣x）的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（） A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 8. 设函数若为奇函数，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分共20分.在每小题给出的选项中，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9. 下列正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是增函数 C. D. 若，则 11. 若，则下列式子有最小值的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知，则下列结论正确的是（　） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共20分） 13. 已知幂函数的图象关于y轴对称，则m的值为_________. 14. 函数的图象恒过定点______. 15. 函数，的最大值为____________ 16. 写出一个定义域为，值域为的函数______. 四、解答题（本大题共6题，共70分） 17. 已知全集，集合. （1）求； （2）求. 18. 计算化简A，B： （1） （2） 19. 已知关于x的不等式的解集为. （1）求的值； （2）若关于x的不等式的解集为R，求k的取值范围. 20. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断奇偶性，并加以证明； （3）若，求实数的取值范围. 21. 某商店对该店某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行分析发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（该月的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）.该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示： x 10 20 25 30 110 120 125 130 已知第10天该商品的日销售收入为121元. （1）求k的值； （2）根据上表中数据，用函数模型，（为常数）来描述该商品的日销售量与时间x的关系，试求出函数的解析式； （3）根据（1）（2）的结论，求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值. 22. 已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $